2022學年第一學期杭州市教學質(zhì)量檢測數(shù)學模擬卷含答案

高三數(shù)學第=page66頁（共=sectionpages66頁）2022學年第一學期杭州市高三年級教學質(zhì)量檢測數(shù)學模擬卷全卷共4頁，22題，滿分150分；考試時間120分鐘。一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中有且只有一項符合題意，多選、錯選、不選均不得分。若集合，，滿足：，則A. B. C. D.設(shè)，則“”是“函數(shù)在為減函數(shù)”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分又不必要條件把本不同的書分給名同學，每個同學至少一本，則不同的分發(fā)數(shù)為A.種 B.種 C.種 D.種在平面直角坐標系中，、分別是雙曲線的左、右焦點，過作漸近線的垂線，垂足為，與雙曲線的右支交于點，且，，則雙曲線的漸近線方程為A. B. C. D.在中，

，，則的值為A. B. C. D.已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則的值為A. B. C. D.的最小值是，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.已知，函數(shù)滿足：恒成立，其中是的導函數(shù)，則下列不等式中成立的是A. B.

C. D.二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個選項中有多項符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯選、不選均不得分。已知，且，則．(

)A. B. C. D.已知非零復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點分別為，為坐標原點，則(

)A.當時，

B.當時，

C.若，則存在實數(shù)，使得

D.若，則定義平面斜坐標系，記，，分別為軸、軸正方向上的單位向量若平面上任意一點的坐標滿足：，則記向量的坐標為，給出下列四個命題，正確的選項是A. 若，

，則B. 若，以為圓心、半徑為的圓的斜坐標方程為C. 若，，則D. 若，記斜平面內(nèi)直線的方程為，則在平面直角坐標系下點到直線的距離為已知橢圓的右頂點為，過右焦點的直線交橢圓于兩點，設(shè)，，，的斜率分別記為，，以下各式為定值的是A. B.

C. D.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。已知隨機變量服，且，則

．已知公差為且各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，且，則的最小值為

．已知圓：，圓：，定點，動點分別在圓和圓

上，滿足，則線段的取值范圍___________已知實數(shù)，，，滿足，，且，則的取值范圍是

．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（10分）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知， 若為邊上一點，，，且，求 若，，為平面上一點，，其中，求的最小值．（12分）已知數(shù)列滿足，，記，在中每相鄰兩項之間都插入個數(shù)，使它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個新的正項等比數(shù)列，若數(shù)列中的第項是數(shù)列中的第項求數(shù)列及的通項公式．求數(shù)列的前項和．（12分）如圖所示，矩形是某生態(tài)農(nóng)莊一塊植物栽培基地的平面圖，現(xiàn)欲修一條筆直的小路寬度不計經(jīng)過該區(qū)域，其中都在矩形的邊界上．已知，單位：百米，小路將矩形分成面積分別為，單位：平方百米的兩部分，其中，且點在面積為的區(qū)域內(nèi)，記長為百米．若，求的最大值；若，求的取值范圍．（12分）從年底開始，非洲東部的肯尼亞等國家爆發(fā)出了一場嚴重的蝗蟲災情．目前，蝗蟲已抵達烏干達和坦桑尼亞，并向西亞和南亞等地區(qū)蔓延蝗蟲危害大，主要危害禾本科植物，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只蝗蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．平均溫度平均產(chǎn)卵數(shù)個表中，．根據(jù)散點圖判斷，與其中，為自然對數(shù)的底數(shù)哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？給出判斷即可，不必說明理由并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程．精確到小數(shù)點后第三位根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時蝗蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為．記該地今后年中，恰好需要次人工防治的概率為，求取得最大值時相應的概率；根據(jù)中的結(jié)論，當取最大值時，記該地今后年中，需要人工防治的次數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差．

附：對于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，．（12分）已知拋物線:經(jīng)過點，過點的直線與拋物線有兩個不同的交點，，且直線交軸于，直線交軸于．

求直線的斜率的取值范圍；

設(shè)為原點，，，求證：為定值．（12分）已知函數(shù)．當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；當時，探究關(guān)于的方程的實數(shù)根的個數(shù)．高三數(shù)學答案第=page2525頁（共=sectionpages11頁）2022學年第一學期杭州市教學質(zhì)量檢測數(shù)學模擬卷參考答案一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中有且只有一項符合題意，多選、錯選、不選均不得分。1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.A

二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題列出的四個選項中有多項符合題意，選全得5分，漏選得2分，錯選、不選均不得分。9.

10.

11.

12.

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.

14.

15.

16.

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.解：由可得，即，因為，所以，因為，所以．由可得，則，因為，所以，在中，由正弦定理可得，即，解得由余弦定理可得，解得．記，，則點在線段上且為的中點，記的中點為，邊上的高為，，，則．，所以的最小值為．18.解：因為，，所以，因為，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以．所以．由題意知，．所以，即

，又，則．所以．又，則，則．

，

，

得，

．

所以．

19.解：依題意，折痕有下列三種情形：

折痕的端點，分別在邊，上；

折痕的端點，分別在邊，上；

折痕的端點，分別在邊，上．

在情形、中，故當時，折痕必定是情形．

設(shè)，，則

因為，當且僅當時取等號，

所以，當且僅當時取等號．

即的最大值為

由題意知，長方形的面積為．

因為，，所以，．

(ⅰ)當折痕是情形時，設(shè)，，則，即．

由得．

所以，

令，則，設(shè)，

則，令，得負舍．所以的取值范圍為，故的取值范圍是；

(ⅱ)當折痕是情形時，設(shè)，，

則，即．

由得．

所以，．

所以的取值范圍為；

(ⅲ)當折痕是情形時，設(shè)，，

則，即．

由得．

所以，．所以的取值范圍為

綜上所述，的取值范圍為

20.解：由散點圖可以判斷，更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸類型，對兩邊取自然對數(shù)得，令，，，則，因為，，所以關(guān)于的回歸方程為，所以關(guān)于的回歸方程為．由，

，且，當時，，當時，．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，即最大值，故；由可知，當時，取最大值，又，則，由題意可知，

故，．

21.解：Ⅰ拋物線：經(jīng)過點，，解得，

由題意，直線的斜率存在且不為，設(shè)過點的直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組可得，消可得，，且，解得，且，則，，又、要與軸相交，直線不能經(jīng)過點，即，故直線的斜率的取值范圍是；

Ⅱ證明：設(shè)點，，則，，因為，所以，故，同理，

直線的方程為，

令，得，同理可得，

因為，

，為定值．

22.解：∵(，，∴

即為偶函數(shù)．

（1）當時，，當時，，所以，所以當時，f'(x)0；當時，f'(x)0；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；又根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；（2）因為，所以，當a1時，f'(x)0對任意恒成立，此時在上單調(diào)遞增，又，所以關(guān)于的方程無實數(shù)根；當時，使得，即．且當時，；當時，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；，，①當，即時，關(guān)于的方程在區(qū)間上無實數(shù)根，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上無實數(shù)根；②當，即時，關(guān)于的方程在區(qū)間上有1個實數(shù)根，又為偶函數(shù)，所以關(guān)于的方程在上有2個實數(shù)根；綜上，當時，關(guān)于的方程在上有2個實數(shù)根；

???????當時關(guān)于的方程在上無實數(shù)根．

數(shù)學模擬卷小題解析1.【分析】本題考查補集以及集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．根據(jù)題意畫出圖，由圖即可得到．【解答】解：集合，，滿足：，

如圖，

．故選：．2.【分析】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性問題及充分、必要條件，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)為單調(diào)減函數(shù)解出的范圍，即可判斷得結(jié)果．【解答】解：由題意可得為減函數(shù)，則，解得．故選：3.【分析】本題考查排列組合問題中簡單的分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意可知其中一名同學分得兩本書，其余兩名同學各分得一本書，利用排列組合數(shù)進行計算．【解答】解：根據(jù)題意可知其中一名同學分得兩本書，其余兩名同學各分得一本書，不同的分發(fā)數(shù)為種

故選D．4.【分析】本題主要考查雙曲線的基本性質(zhì)，屬于中檔題．

利用雙曲線的定義建立，，的關(guān)系即可解得答案．【解答】解：由題意可得焦點到漸近線的距離為，又因為，所以，則，，

在中由余弦定理得，代入化簡得，則漸近線方程．故選：5.【分析】本題考查了兩角和與差的三角函數(shù)，以及正弦定理，屬于中檔題．

先利用兩角差的正弦公式將原式變形，再利用正弦定理化角為邊可得答案．【解答】解：因為，，則．故選：．6.【分析】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項公式及分組求和，屬于綜合題．

由遞推公式確定通項公式后，再求．【解答】解：因為，所以又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列．所以，則

故選：．7.【分析】本題考查分段函數(shù)的最值問題、恒成立問題及分類討論的思想，屬于綜合題．

先求出的最小值為，再將時轉(zhuǎn)化為恒成立問題．【解答】解：因為當時，，令，得，則在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，即函數(shù)在處取得最小值，

所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，當時，不符合．當時，對稱軸，則或解得或，所以故選：．8.【分析】

本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力，難度適中.

解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是轉(zhuǎn)化得到sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，其二是構(gòu)造函數(shù)g（x）=cosxf（x）即可.

【解答】

解：：因x∈（0，），故tanxf（x）＞f′（x），

∴sinxf（x）＞f′（x）cosx，即sinxf（x）﹣cosxf′（x）＞0，

令g（x）=cosxf（x），

則g′（x）=cosxf′（x）﹣sinxf（x）＜0，

所以函數(shù)g（x）在（0，）為減函數(shù)，

∴cosf（）＞cosf（），

∴f（）＞f（），

故選A．9.【分析】本題考查構(gòu)造新函數(shù)，由函數(shù)圖象判斷自變量的大小，屬于綜合題．

等式兩邊取對數(shù)，構(gòu)造函數(shù)函數(shù)，結(jié)合圖象得到與的范圍．【解答】解：兩邊取對數(shù)，得，構(gòu)造函數(shù)，則．，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，

得的圖象如右所示，又，所以，．故選：10.【分析】本題考查了復數(shù)的運算以及幾何意義，屬于簡單題．【解答】解：對于選項，，平方可得，項正確；對于選項，取，則，當，項錯誤；對于選項，，平方可得，即，因此存在實數(shù)，使得，項正確；對于選項，取，但，項錯誤．11.【分析】本題考查新定義背景平面向量向量的線性運算，以及點到直線的距離公式，屬于綜合題．

根據(jù)題目的新定義對選項逐一判斷即可．【解答】解：對于選項：若，

，則；因為，所以；故A錯誤；對于選項：設(shè)以為圓心、半徑為的圓上任意一點為，因為，所以，得，，，

即故B正確；對于選項：，

，則，即，

，故C錯誤；對于選項：若，斜平面內(nèi)直線的方程為，則在直角坐標下的直線的方程為，則原點到直線的方程為故D正確．故選：12.【分析】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系及應用，屬于綜合題．

通過設(shè)直線方程聯(lián)立方程組，再借助韋達定理表示出所需驗證的代數(shù)式是否為定值．【解答】解：由已知，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得，消去得：，設(shè)，，

則與有關(guān)，不是定值，故選項A錯誤．

是定值，故選項B正確．

與有關(guān)，不是定值故選項C錯誤．定值故選項D正確．故選：13.【分析】本題考查正態(tài)曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．

利用正態(tài)曲線關(guān)于對稱，得到與的關(guān)系．【解答】解：因為，所以正態(tài)曲線關(guān)于對稱，且，所以，所以．14.【分析】本題考查等差數(shù)列的通項公式及基本不等式的應用，屬于中檔題．

先根據(jù)得到，再借助基本不等式求的最小值．【解答】解：因為，則，化簡得因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，則，，則當且僅當，即時取等號，所以的最小值為．15.【分析】

本題主要考查了圓的方程的綜合運用，與圓有關(guān)的軌跡問題，兩點間的距公式，中點坐標公式運用，考查了分析和運算求解能力，屬于較難題．

設(shè)、，由條件可得，結(jié)合可得，代入坐標運算可得，即，設(shè)的中點為，則，利用中點坐標公式表示出點的軌跡方程，進而求出的取值范圍即可求解