柯西中值定理和不定式極限匯總課件

§2柯西中值定理和不定式極限§2柯西中值定理和不定式極限1§2柯西中值定理與不定式極限教學(xué)要求1．理解柯西中值定理的條件與結(jié)論的幾何意義，并能運用該定理對相關(guān)問題進行論證．2．熟練掌握求兩類不定式極限的洛必達法則．3．熟練掌握其它類型不定式變換成兩類典型不定式的一般規(guī)律，并求極限．§2柯西中值定理與不定式極限教學(xué)要求1．2一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo),則存在使得問題:若曲線y=f(x)表為程為參數(shù)方程的形式(1)式如何變化?一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值3定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii)在內(nèi)可導(dǎo);(iii)不同時為0;(iv)則存在使得以下證法是否正確:顯然在均滿足拉格朗日中值定理的條件,故又所以定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii4回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理證明過程:定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo),則存在使得證:作輔助函數(shù)則(i)在連續(xù);(ii)在可導(dǎo);(ii)由羅爾定理,使得而進而回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理證明過程:定理6.5定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii)在內(nèi)可導(dǎo);(iii)不同時為0;(iv)則存在使得(2)證:作輔助函數(shù)故在滿足羅爾定理的條件,故存在使得即(3)若則有與條件(iii)矛盾,故進而可由(3)得到(2).定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii6定理6.1(羅爾(Rolle)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間上連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo);(iii)則在內(nèi)至少存在一點使得定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo),則存在使得定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii)在內(nèi)可導(dǎo);(iii)不同時為0;(iv)則存在使得(g(x)=x時為拉格朗日定理)(f(a)=f(b)時為羅爾定理)定理6.1(羅爾(Rolle)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:7例1設(shè)在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得分析:注意到證:設(shè)則在上滿足柯西中值定理的條件,于是存在使得即例1設(shè)在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得分析:注意到證:設(shè)則在上滿8二、不定式極限例2求下列極限:二、不定式極限例2求下列極限:91.型不定式定理6.6若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰域內(nèi)都可導(dǎo),且(iii)(A可以是常數(shù),也可以是則(洛必達法則)證:補充定義任取則在以為端點的區(qū)間上滿足柯西定理的條件,所以有介于之間)1.型不定式定理6.6若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰10當(dāng)時,故證:補充定義任取則在以為端點的區(qū)間上滿足柯西定理的條件,所以有介于之間)注:將定理中的換為結(jié)論仍然成立.當(dāng)時,故證:補充定義任取則在以為端點的區(qū)間上滿足柯西定理的條11例2求下列極限:解:例2求下列極限:解:12解:(難往下)注意到即所以解:(難往下)注意到即所以13解:2.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰域內(nèi)都可導(dǎo),且(iii)(A可以是常數(shù),也可以是則解:2.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空142.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰域內(nèi)都可導(dǎo),且(iii)(A可以是常數(shù),也可以是則證明思路:(只證A是常數(shù)的情形)要證:先證:2.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰15先證:1)已知(條件iii)當(dāng)時,有2)在區(qū)間估計3)建立與柯西中值定理的關(guān)系分別估計與由柯西中值定理(因為先證:1)已知(條件iii)當(dāng)時,有2)在區(qū)間估計3)建立與16分別估計與由柯西中值定理(因為同時說明在有界.設(shè)又(因為由條件當(dāng)時分別估計與由柯西中值定理(因為同時說明在有界.設(shè)又(因為由條17例2求下列極限:解:注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若用洛必達法則:(不存在)例2求下列極限:解:注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若18注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若用洛必達法則:(不存在)(2)洛必達法則只能用于不定式,不加考慮亂用,將出笑話!(哈哈,錯了!)三其它類型不定式常有以下不定式極限:基本思路:通過適當(dāng)變形,將其化為注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若用洛必達法則:(不存在)19三其它類型不定式常有以下不定式極限:基本思路:通過適當(dāng)變形,將其化為例2求下列極限:解:三其它類型不定式常有以下不定式極限:基本思路:通過適當(dāng)變20例3求下列極限:解:例3求下列極限:解:21例3求下列極限:解:例3求下列極限:解:22例3求下列極限:解:例3求下列極限:解:23例3求下列極限:解:例4(雜題、難題）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù).且已知例3求下列極限:解:例4(雜題、難題）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù).且已24例4(雜題、難題）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù).且已知解:例4(雜題、難題）設(shè)為可導(dǎo)函數(shù).且已知解:25都簡單了:而都簡單了:而26引子提出的問題:5.求極限引子提出的問題:5.求極限27§2柯西中值定理和不定式極限§2柯西中值定理和不定式極限28§2柯西中值定理與不定式極限教學(xué)要求1．理解柯西中值定理的條件與結(jié)論的幾何意義，并能運用該定理對相關(guān)問題進行論證．2．熟練掌握求兩類不定式極限的洛必達法則．3．熟練掌握其它類型不定式變換成兩類典型不定式的一般規(guī)律，并求極限．§2柯西中值定理與不定式極限教學(xué)要求1．29一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo),則存在使得問題:若曲線y=f(x)表為程為參數(shù)方程的形式(1)式如何變化?一、柯西中值定理定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值30定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii)在內(nèi)可導(dǎo);(iii)不同時為0;(iv)則存在使得以下證法是否正確:顯然在均滿足拉格朗日中值定理的條件,故又所以定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii31回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理證明過程:定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo),則存在使得證:作輔助函數(shù)則(i)在連續(xù);(ii)在可導(dǎo);(ii)由羅爾定理,使得而進而回放:拉格朗日(Lagrange)中值定理證明過程:定理6.32定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii)在內(nèi)可導(dǎo);(iii)不同時為0;(iv)則存在使得(2)證:作輔助函數(shù)故在滿足羅爾定理的條件,故存在使得即(3)若則有與條件(iii)矛盾,故進而可由(3)得到(2).定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii33定理6.1(羅爾(Rolle)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間上連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo);(iii)則在內(nèi)至少存在一點使得定理6.2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:(i)在閉區(qū)間連續(xù);(ii)在開區(qū)間可導(dǎo),則存在使得定理6.5(柯西中值定理)設(shè)滿足:(i)在上連續(xù);(ii)在內(nèi)可導(dǎo);(iii)不同時為0;(iv)則存在使得(g(x)=x時為拉格朗日定理)(f(a)=f(b)時為羅爾定理)定理6.1(羅爾(Rolle)中值定理)若函數(shù)滿足下列條件:34例1設(shè)在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得分析:注意到證:設(shè)則在上滿足柯西中值定理的條件,于是存在使得即例1設(shè)在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得分析:注意到證:設(shè)則在上滿35二、不定式極限例2求下列極限:二、不定式極限例2求下列極限:361.型不定式定理6.6若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰域內(nèi)都可導(dǎo),且(iii)(A可以是常數(shù),也可以是則(洛必達法則)證:補充定義任取則在以為端點的區(qū)間上滿足柯西定理的條件,所以有介于之間)1.型不定式定理6.6若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰37當(dāng)時,故證:補充定義任取則在以為端點的區(qū)間上滿足柯西定理的條件,所以有介于之間)注:將定理中的換為結(jié)論仍然成立.當(dāng)時,故證:補充定義任取則在以為端點的區(qū)間上滿足柯西定理的條38例2求下列極限:解:例2求下列極限:解:39解:(難往下)注意到即所以解:(難往下)注意到即所以40解:2.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰域內(nèi)都可導(dǎo),且(iii)(A可以是常數(shù),也可以是則解:2.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空412.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰域內(nèi)都可導(dǎo),且(iii)(A可以是常數(shù),也可以是則證明思路:(只證A是常數(shù)的情形)要證:先證:2.型不定式定理6.7若函數(shù)滿足:(i)(ii)在點的空心鄰42先證:1)已知(條件iii)當(dāng)時,有2)在區(qū)間估計3)建立與柯西中值定理的關(guān)系分別估計與由柯西中值定理(因為先證:1)已知(條件iii)當(dāng)時,有2)在區(qū)間估計3)建立與43分別估計與由柯西中值定理(因為同時說明在有界.設(shè)又(因為由條件當(dāng)時分別估計與由柯西中值定理(因為同時說明在有界.設(shè)又(因為由條44例2求下列極限:解:注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若用洛必達法則:(不存在)例2求下列極限:解:注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若45注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若用洛必達法則:(不存在)(2)洛必達法則只能用于不定式,不加考慮亂用,將出笑話!(哈哈,錯了!)三其它類型不定式常有以下不定式極限:基本思路:通過適當(dāng)變形,將其化為注:(1)洛必達法則并不是萬能的.若用洛必達法則:(不存在)46三其它類型不定式常有以下不定式極限:基本思路:通過適當(dāng)變形,將其化為例2求下列極限:解:三其它類型不定式常有以下不定式極限:基本思路:通過適當(dāng)變47例