概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 等可能概型 古典概型課件

一、等可能概型二、典型例題三、幾何概率四、小結(jié)第四節(jié)等可能概型()1.定義一、等可能概型(古典概型)

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個事件，且包含

m個樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:2.古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為課堂練習(xí)1

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點(diǎn)數(shù)之和為4的概率.4.古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把4個球放到3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為2o

生日問題

某班有20個學(xué)生都是同一年出生的,求有10個學(xué)生生日是1月1日,另外10個學(xué)生生日是12月31日的概率.

課堂練習(xí)1o

分房問題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.例2一只口袋裝有6只球,其中4只白球、2只紅球.從袋中取球兩次,(a)第一次取一只球,放回袋中,抽樣.(b)第一次取一球不放回袋中,余的球中再取一球,(1)取到的兩只球都是白球的概率;(2)取到的兩只球顏色相同的概率;種取球方式:試分別就上面兩種情況求考慮兩觀察其顏色后第二次從剩這種取球方式叫做不放回抽樣.每次隨機(jī)地取一只,這種取球方式叫做放回?cái)噭蚝笤偃∫磺?可利用(4.1)式來計(jì)算事件的概率.第一次從袋中取球有6只球可供抽取,第二次也有6只球可供抽取.由組合法的乘法原理,一共有對于由于第一次共有4只白球可供抽取,第二次也有4只白球可供抽取,則由乘法原理總共有同理,于是得(b)不放回抽樣.由讀者自己完成.例3試求每個盒子至多有一只球的概率(盒子容量不限).解因每一只故共有而每個盒子不同放法.因而所求的概率為說明：許多問題和本例有相同數(shù)學(xué)模型.生日問題假設(shè)每人的生日在一年365天中任一天是等可能的,即都等于1/365,他們的生日各不相同的概率為因而,生日問題我們利用軟件包進(jìn)行數(shù)值計(jì)算計(jì)算可得下述結(jié)果:在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有例5袋中取一只球,(1)作放回抽樣;(2)作不放回抽樣,解(1)放回抽樣的情況,顯然有(2)不放回抽樣的情況.各人取一只球,每種取法是一個基本事件.且由于對稱性知每個基本事件盡管取球的先后次序不同,各人取到白球的概率是一樣的,大家機(jī)會相同(例如在購買福利彩票時,各人得獎的機(jī)會是一樣的).另外值得注意的是放回抽樣與例6在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解例7將15名新生隨機(jī)地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為例8某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進(jìn)行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777故一周內(nèi)接待12次來訪共有定義

當(dāng)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間是某個區(qū)域，并且任意一點(diǎn)落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為說明當(dāng)古典概型的試驗(yàn)結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型那么兩人會面的充要條件為例7

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi),在預(yù)定地點(diǎn)會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達(dá)該地是等可能的,且兩人到達(dá)的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y表示平面上點(diǎn)的坐標(biāo),則有例8

甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見車就乘;(2)最多等一輛車.求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達(dá)車站的時刻是互相不牽連的，且每人在1時到2時的任何時刻到達(dá)車站是等可能的.見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達(dá)的時刻,則有解最多等一輛車,甲、乙同乘一車的概率為蒲豐投針試驗(yàn)例91777年,法國科學(xué)家蒲豐(Buffon)提出了投針試驗(yàn)問題.平面上畫有等距離為a(a>0)的一些平行直線,現(xiàn)向此平面任意投擲一根長為b(b<a)的針,試求針與某一平行直線相交的概率.解蒲豐資料由投擲的任意性可知,這是一個幾何概型問題.蒲豐投針試驗(yàn)的應(yīng)用及意義歷史上一些學(xué)者的計(jì)算結(jié)果(直線距離a=1)3.179585925200.54191925Reina3.1415929180834080.831901Lazzerini3.159548910300.751884Fox3.1373826001.01860DeMorgan3.1554121832040.61855Smith3.1596253250000.81850Wolf相交次數(shù)投擲次數(shù)針長時間試驗(yàn)者利用蒙特卡羅(MonteCarlo)法進(jìn)行計(jì)算機(jī)模擬.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出最簡單的隨機(jī)現(xiàn)象古典