2021年湖南省衡陽市衡陽縣某高中實驗班招生數(shù)學試卷（附答案詳解）

A.-6B.-42.A.9A.-6B.-42.A.9B.12C.16D.252021年湖南省衡陽市衡陽縣創(chuàng)新實驗班招生數(shù)學試卷1.把有理數(shù)a代入|a+3|-9得到%,稱為第一次操作，再將由作為a的值代入得到。2,稱為第二次操作，…，若a=36,經(jīng)過第2021次操作后得到的是（）D.0C.-2D.0（3-k）x+k和，2：y=-kx的位置可能是（）3.在等腰AHBC中，AB=AC=5,P為BCk一點,PA=3,3.4.5.A.M>NC.M<N4.5.A.M>NC.M<ND.不確定如圖，四邊形0A8C為平行四邊形，A在x軸上，且乙40c60。，反比例函數(shù)y=：（k>0）在第一象限內過點C,且與48交于點E.若E為48的中點，且Sa"e=4百，則OC的長為（）3B.淖5763%3已知ab=1,M=——I—,N=——I——則M與N的大小關系為.（）l+al+b l+al+b已知C點在圓O的直徑BE的延長線上，CA切圓。于A點，NACB的平分線分別交AE、AB于點F、。.則UC尸的余弦值為（）

aBcaBcA.i B.立 C.3 D.12 2 2.若3——丫-1=0,貝lj代數(shù)式9/+6/-6%+2021的值為..化簡：13+ +2百+13-+2百=..已知AB,CO是。。中兩條垂直的弦，。。的半徑為3,若4。=4,則BC=..如圖，在平面直角坐標系中，點4(0,3)、點8(3,1),點「是》軸正半軸上一動點，給出4個結論：①線段AB的長為m；②在△APB,若AP=國，貝的面積是不③當Saabp=3S“bo時，點尸的坐標為(1,0)；④設點P的坐標為(x,0),則回定+J(3—x)2+1的最小值為5.其中正確的結論有..計算(1一款1_*).….(1一素的結果是 ..從-2，-1，°，以1,2這六個數(shù)字中，隨機抽取一個數(shù)記為m則使得關于x的方程含=-1的解為非負數(shù)，且滿足關于x的不等式組“一之。>° 只有三個整數(shù)解的概率是 .lx2+2x-8<0.如圖，在△ABC中，AB=AC,CM平分乙4CB,與A8交于點M,AD1BC于點D,ME1BC于點E,MF1MC與BC交于點F,若CF=12,貝lj￡)E=..已知以方程/一；(；+771=0(血43的兩根為腰長與底邊長的等腰三角形有且僅有1個，求實數(shù)用的取值范圍..某餐廳共有10名員工，所有員工工資的情況如下表:人員經(jīng)理廚師甲廚師乙會計服務員甲服務員乙勤雜工人數(shù)1111132工資額20000700040002500220018001200請解答下列問題：(1)餐廳所有員工的平均工資是多少？(2)所有員工工資的中位數(shù)是多少？(3)用平均數(shù)還是中位數(shù)描述該餐廳員工工資的一般水平比較恰當？(4)去掉經(jīng)理和廚師甲的工資后，其他員工的平均工資是多少？它是否能反映餐廳員工工資的一般水平？.(1)已知a,6為實數(shù)，求證:\a+b\<|a|+|b|；(2)利用(1)的結論，證明:當a,b,c為實數(shù)時，\a+b+c\<|a|+|b|+|c|；(3)已知a,b為實數(shù),求max{|a|,|-2a+4|}的最小值.(符號max{a,b}表示實數(shù)a,6中較大者，如max{l,/}=&).如圖，在Rt△4BC中，乙ACB=90",CD1AB交AB于點O,且4。=4,BD=1,Rt“EG的直角頂點E在AC邊上運動，一條直角邊EG經(jīng)過點8,且與CD交于點N,另一條直角邊E尸與A8交于點M.(1)求證：aaems^cbn：(2)若E是AC的四等分點，求需的值..如圖1,拋物線y=小"一3小》+71(771不0)與》軸交于點4。(一1,0),與y軸交于點8(0,3),在線段OA上有一動點E(不與。、A重合)，過點E作x軸的垂線交直線A8于點N,交拋物線于點P.(1)分別求出拋物線和直線AB的函數(shù)表達式；(2)連接PA、PB,求APAB面積的最大值，并求出此時點P的坐標.(3)如圖2,點E(2,0),將線段OE繞點。逆時針旋轉得到?？?，旋轉角為a(0。<a<90。)，連接E'4、E'B,求E'A+|E'B的最小值.答案和解析.【答案】A【解析】解：第1次操作，的=|36+3|-9=30；第2次操作，a2=|30+3|-9=24；第3次操作，=124+3|—9=18；第4次操作，a4=|18+3|-9=12；第5次操作，as=|12+3|-9=6；第6次操作，a6=|6+3|-9=0；第7次操作，a7=|0+3|-9=-6；第8次操作，a7=I—6+3|-9=-6；從第7次開始，其結果都是-6,第2021次操作，。2。21=|-6+3|-9=-6.故選：A.把36代入|a+3|-9中，進行計算，把所得結果再代入|a+3|-9中，經(jīng)過多次計算可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，即可得出答案.本題主要考查了數(shù)字的規(guī)律和絕對值的計算，根據(jù)題意進行計算找出規(guī)律是解決本題的關鍵..【答案】B【解析】解：由題意知，分三種情況：1、當k>3時，y=(3-k)x+k的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；y=-kx的圖象經(jīng)過二、四象限；2、當0<k<3時，y=(3-k)x+k的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；y=-kx的圖象經(jīng)過二、四象限；3、當k<0時，y=(3-k)x+k的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，y=-匕的圖象經(jīng)過第一、三象限；故8選項正確.故選：B.根據(jù)一次函數(shù)的性質，對A的取值分三種情況進行討論，排除錯誤選項，即可得到結果.考查了一次函數(shù)的圖象和正比例函數(shù)的圖象.一次函數(shù)y=kx+b的圖象有四種情況：①當k>0,b>0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；②當上>0,b<0,函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、三、四象限：③當k<0,b>0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；④當k<0,b<0時，函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限..【答案】C【解析】解：如圖，AEIBC,AP=3,由等腰三角形的性質可知，AB=AC,BE=EC,PB-PC=(BE+EP)(EC-EP)=(BE+EP)(BE-EP),PB-PC=BE2-EP2,由勾股定理可知，BE2=AB2-AE2,AE2+EP2=AP2,PBPC=AB2-AE2-EP2=AB2-(AE2+EP2)=AB2-AP2=52-32=16.此時點P恰好與點E重合，為BC的中點.故選：C.將PB-PC變形，然后根據(jù)等腰三角形的性質和勾股定理求解即可.本題考查等腰三角形的性質和勾股定理，PC的變形是關鍵..【答案】D【解析】解：過點C作CDlx軸于點。，過點E作EFlx軸于點凡如圖：???四邊形048c為平行四邊形，0C=AB,0C//AB,Z.EAF=/.A0C=60°,在RtZiC。。中，v/.D0C=60°,:.4D0C=30°,設0。=t,貝I]CC=V3t,OC=AB=2t,在RtAEAF中，vZ.EAF=60",AE=^AB=t.AF=-t,EF=y/3AF=—t,2 2??點c與點E都在反比例函數(shù)的圖象上，??ODxCD=OFxEF,??OF=23**OA=2t——t=—t,2 2S四邊形OABC=2saoce，A-1Xy/3t=2X46，2...解得：t=￥(舍負)，8V3

...0C=亍故選：D.過點C作C。1x軸于點D,過點E作EF1x軸于點F,由平行四邊形的性質可得OC=AB,OC//AB,LEAF=乙40c=60°；設OD=t,在Rt△COD中和在Rt△EAF中，分別用含r的式子表示出CD、OC、AE.AF及EF：再根據(jù)點C與點E都在反比例函數(shù)y=的圖象上，得出等式，表示出。尸,進而表示出。A的長，根據(jù)平行四邊形0A8C和AOCE的面積關系得出關于，的方程，解得r,則可求得OC的長.本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義、平行四邊形的性質、解直角三角形及四邊形與三角形的面積等知識點，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵..【答案】B［解析］解：M- =,：+%+：、= ab=1,1+g1+b (l+d)(l+b)1+a+b+ctb..1+a+b+ab.???”=: ：~~r=1；l+a+b+ab1=1工田m-Q+ab+b+ab_1+a+b+ab_11+Q+b+ab1+a+b+abM=N.故選8.本題考查了分式的加減，分別計算出M、N的值，就不難判斷它們的大小.此題的實質還是化簡分式，題目較靈活，也用到了整體代入的思想..【答案】B【解析】解：連接OA,&4切圓。于A點，??Z,OAC=90°,vBE是。。的直徑，??Z-BAE=90°,??乙BAE-Z-OAE=Z-OAC—Z-OAEf?Z.EAC=LBAO3vOB=OA,?乙B=Z-BAO:.乙B=Z-EAC,vCO平分乙4CB,??Z-ACD=乙BCD,vZ/1DF=Z.B+乙BCD,Z.AFD=Z.ACD+Z-EAC,??Z.ADF=Z.AFD=1(180°-Z-BAE)=45°,??sinZ.ADF=sin45°=二，2故選：B.連接OA,根據(jù)切線的性質可得4OAC=90。，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得/B4E=90。，從而利用等式的性質可得4EAC=tB4。，然后利用等腰三角形的性質可得,B=NBA。，從而可得ZB=/.EAC,最后利用三角形的外角可得N4DF="FC=45。，即可解答.本題考查了切線的性質，圓周角定理，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵..【答案】2024【解析】解：9x3+6*2-6x+2021=3x2?3x+2x3x2—6x+2021=3x2(3x+2)-6x4-2021v3x2—x—1=0.3x2=x+1,把3/=x+1代入，原式=(x+l)(3x+2)-6x+2021=3x2+3x+2x+2-6x+2021=(x+1)+3x+2x+2—6x+2021=x+l+3x+2x+2—6x+2021=2024.故答案為：2024.觀察多項式97+6/-6x+2021的特點，前兩項有公因式3/,由已知條件得出3/=x+1,然后代入多項式，化簡后又出現(xiàn)3x2,再次代入3/=x+l,化簡求出值.本題考查因式分解的應用，通過將多項式的幾項因式分解后再利用已知條件求值是解本題的關鍵..【答案】V3+1【解析】解：令x=、3+J5+ +、3-泗+26,則x>0,=6+2V2xV2—V3；..2 42^3_3-2^3+1_(V3-I)2(V^一］)2.二等二????x2=64-2&X漁22^；2=6+V12-2=4+2百=(3+2百+1)=(V3)2+2V3+1=(V3+I)2；:,x=V3+1；故答案為：V3+1.先設原式為x,求出/,再進行化簡即可得出答案.本題主要考查了二次根式的加減和化簡，利用了完全平方公式和平方差公式，會化簡是解題的關

鍵..【答案】2遙【解析】解：連接8D,連接。。并延長，交。。于E點，連接4E,vAB1.CD,Z.CDB+乙ABD=90",???CE是直徑，Z.DAE=90",/.ADE+4E=90°,又?:Z.ABD=乙E,Z.CDB=Z.ADE.BC=AE,在RM4DE中，BE=6,AD=4,AE=y/DE2-AD2=V62-42=275,?-BC=AE=2V5.故答案為：2遍.連接BD,連接DO并延長,交0。于E點，連接AE,根據(jù)垂徑定理和圓周角定理,即可求得4CCB=^ADE,得出BC=AE,利用勾股定理求得AE,即可求得BC的長.本題考查了垂徑定理，圓周角定理，勾股定理，證得AE=BC是解題的關鍵..【答案】①④【解析】解：??Y(0,3),8(3,1),AB=V32+22=V13,故①正確，在Rt△AOP中，OP=>JAP2-AO2=V10-9=1,???P(l,0),過點B作BDlx軸于點C.S&abp=S四邊形aodb—Saaop—S“db=)x(l+3)x3-3XIX3—&xlx2=3.5>故②錯i天，設P(t,0),則有:x(l+3)x3-1xtx3-|x(3-t)xl=ix1x3x3,

?一9??L一—,4.?.P(7,0),故③錯誤.4由勾股定理得：AP=V32+x2=V9+x2,PB=7(3-x)2+I2.作A關于x軸的對稱點A,連接4'B交x軸于P,則PA=P4,aAP+PB=A'P+PB=A'B,此時AP+PB的值最小，過B作BC1。4于C,則4。=3+3—2=4,BC=3,由勾股定理得：AB=<42+32=5,4P+PB的最小值是5,即設點尸的坐標為Q,0),則以+9+J(3—x)2+l的最小值為5.故④正確；綜上所述，其中正確的結論有：①④：故答案為：①④.①正確.利用勾股定理求解；②錯誤.ZkAPB的面積是3.5；③錯誤.通過計算點P6,0);④正確.作A關于x軸的對稱點連接AB交x軸于P,則PA=PA'AP+PB=A'P+PB=A'B,此時4P+PB的值最小，求出B4,可得結論.本題考查了軸對稱的最短路徑問題、等腰三角形的判定、圖形與坐標特點、勾股定理，是一個不錯的綜合題，難度適中，有等腰三角形和軸對稱的作圖問題，也有求最值問題，第4問中，熟練掌握并能靈活運用軸對稱的最短路徑問題是關鍵.11.【答案】二40［解析］解：原式=(1+1)(1-1)(1+1)(1-1)一一(1+/)(1-瘀)=；x|x|xgxqxqX-X19 21 21—X——=—.20 20 40故答案為：黑40原式各項利用平方差公式分解，變形后約分即可得到結果.此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵.12.【答案】i6【解析【解：解方程普=-1得：x=Z，2x+l a+2由題意知a+2>0且」-*a+2 2解得Q>—2,由/+2%—840,得：-由》——CL>0,得：％>aQ,??,不等式組只有三個整數(shù)解，—1<|a<0.解得一2<a<0,所以符合以上兩個條件的a的范圍為-2<a<0,則一2,-1,0,p1,2在此范圍內的只有一1這1種情況，所以此事件的概率為；，故答案為：3O根據(jù)分式方程的解為非負數(shù)得出a>-2,由不等式組只有三個整數(shù)解得出-24a<0,從而得出符合以上兩個條件的。的范圍為一2<a<0,繼而知一2,-1,0,i,1,2在此范圍內的只有一1這1種情況，根據(jù)概率公式求解即可.本題主要考查的是解分式方程，一元一次不等式組的解集，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程和一元一次不等式組的能力及概率公式的應用.13.【答案】3【解析】解：取CF的中點G,連接MG,設OE=x,EF=y,可得DC=CF—EF-DE=12-x—y,vAB=AC,ADIBC,:.BD=DC=12—x—y,BE=BD-DE=12—2,x—y(T)>vFG=CG=6*??EG=FG—EF=6—y②，vMG是Rt△MFC斜邊上的中線，??乙FGM=2Z.BCM=UCB,：AB=AC,?Z-B=Z-ACB,??Z-FGM=乙B,又ME1BG,??BE=EG,由①、②得12—2x-y=6—y,???x=3.

故答案為：3.取C尸的中點G,連接MG,設DE=x,EF=y,然后再利用含x、y的式子表示BE、EG,再列方程即可得到x的值.此題主要考查了角平分線的性質，以及等腰三角形的性質，解題關鍵是掌握等腰三角形三線合一，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半..【答案】解：設X1，工2是方程/-x+m=0的兩個實數(shù)根，依題意有：Xi>0,x2>0,即方程/-x+m=0有兩個正實根，:.A=(-I)?—4xl-m=l-4m>0, +x2=0>0?x^x2=m>0>0<m<-,1vm手一,4不妨設工1<%2不妨設工1<%2，則l+Vl_47n ，X2-

2 / 2要使以方程*2-x+m=0的兩根為腰長與底邊長的等腰三角形有且僅有1個，則2xi<X2即2x.2m<-,90<m<-.9【解析】首先可得4>0,且兩根均為正數(shù)，其次因兩根作底和腰的等腰三角形有且只有一個，而以較大根為腰的等腰三角形必存在，故以較小根為腰的等腰三角形不存在，故可得較小根的兩倍小于等于較大根，即可求出結果.本題考查等腰三角形的性質、一元二次方程相關知識，熟練掌握等腰三角形的性質、一元二次方程的求根公式是解題的關鍵..【答案】解：(1)—(20000+7000+4000+2500+2200+1800X3+1200X2)=4350(元)；答：平均工資為4350元;2200+180022200+180022000(76);答：所有員工工資的中位數(shù)是2000元;(3)由(1)(2)可知，用中位數(shù)描述該餐廳員工工資的一般水平比較恰當：(4)去掉經(jīng)理和廚師甲的工資后，其他員工的平均工資是2062.5元，和(2)的結果相比較，能反映餐廳員工工資的一般水平.【解析】(1)根據(jù)平均數(shù)的計算公式，求出總工資數(shù)除以人數(shù)即可；(2)求出10個人工資從小到大排列后的第5、6位數(shù)據(jù)的平均數(shù)即為中位數(shù)：(3)平均數(shù)容易受到極端值的影響，因此用中位數(shù)比較合適：(4)計算除經(jīng)理和廚師后，其它員工的平均工資為1887.5元，可以反映餐廳員工工資的平均水平.本題考查平均數(shù)、中位數(shù)的意義及計算方法，平均數(shù)反映一組數(shù)據(jù)的集中趨勢和平均水平，但容易受到極端值的影響，有時要幾個統(tǒng)計量綜合考慮再做決定..【答案】解：(1)(|a+b|)2=a?+2ab+Z?2,(|a|+|b|)2=a2+2\a\■|b|+b2,a(|a+b|)2-(|a|+網(wǎng)產(chǎn)=2(ab-|a||d|)<0,+ W(|a|+|b|)2,又???|a+b|20,|a|+\b\>0,\a+b\<|a|+|b|(當且僅當ab>0時等號成立)；(2)|a+b+c|=|(a+b)+c|W|a+ +|c|<|a|+|b|+|c|；(3)設max{|a|,|-2a+4|}=M,aM>|a|,M>|-2a+4|,3M>2\a\+|-2a+4|=\2a\+|-2a+4|>|-2a+2a+4|=4,aM>p當且僅當a=a=—2a+4時取等號，且max{|a|,|-2a+4|}的最小值為g.【解析】⑴根據(jù)([a+h|)2=a2+2ab+b2,(|a|+|b|)2-a2+2\a\?|b|+b2,得出(|a+b\)2-(|a|+網(wǎng)產(chǎn)=2(ab-|a||6|)<0,即可得出結論；(2)利用(1)的結論證明即可；(3)根據(jù)已知得出3M>2\a\+|-2a+4|=|2a|+|-2a+4|>|-2a+2a+4|=4,即可解答.本題考查了實數(shù)大小比較，掌握放縮法比較實數(shù)大小是解題的關鍵，用放縮法比較實數(shù)的大小的基本思想方法是：把要比較的兩個數(shù)進行適當?shù)姆糯蠡蚩s小，使復雜的問題得以簡化，來達到比較兩個實數(shù)的大小的目的..【答案】(1)證明：vZ.ACB=90°,"EG=90°,Z.AEM+乙CEB=90°=/.CEB+“BN,/.AEM=乙CBN,vCD1AB,Z.BCN+Z.ACD=90°=Z.ACD+/.EAM,乙BCN=EAM,???△AEMsaCBN：(2)解：作.EH"CD,交AB于”，

vAD=4,BD=1,由射影定理得：AC=2V5,BC=V5,當CE=工4。時，AE=—,4 2由(1)知：XAEMsxCBNAEEM3:.BCBN2：EH//CD,1.%CE=-AC

4HD=-AD=2,4??EN=BN,EM3"*1二一,EN2同理，當AE=；4C時，瞿4 EN6綜上所述嗑