求點(diǎn)的軌跡方程的六種常見方法講解課件

點(diǎn)的軌跡方程的求法點(diǎn)的軌跡方程的求法定義法若題設(shè)有動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和或差為定值等條件時(shí)，可以利用圓錐曲線的定義直接寫出所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。此類問題相對(duì)也非常簡(jiǎn)單，因此單獨(dú)出現(xiàn)的可能性也很小，可能作為一個(gè)中間步驟出現(xiàn)。以下舉一個(gè)例子說明：定義法若題設(shè)有動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和或差為定值等條件時(shí)，可以利1.定義法

1.定義法直譯法動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件聯(lián)系，直接列動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，即可求得軌跡方程，此類問題非常容易，現(xiàn)在的高考已經(jīng)不可能單獨(dú)考察此類問題，即使出現(xiàn)也將是某個(gè)題目的一個(gè)中間步驟。以下舉一個(gè)例子說明：直譯法動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件聯(lián)系，直接列動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，即可求得軌2.直譯法

求與圓x2+y2-4x=0外切且與Y軸相切的動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。PABxyo變式：外切改為相切呢？解：設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y).由題，得即-4x+y2=4|x|得動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y=0(x<0),或y2=8x(x>0)2.直譯法求與圓x2+y2-4x=0外切且相關(guān)點(diǎn)法如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（u,v）(這種點(diǎn)叫相關(guān)動(dòng)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)的坐標(biāo)u、v可以用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，則可利用點(diǎn)Q的軌跡方程，間接地求得P點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做變量代換法或相關(guān)點(diǎn)法.此類問題的難度屬中檔水平，可能在選擇題或填空題出現(xiàn)，也可能在解答題中出現(xiàn)，屬于小題中較難的題目但屬于大題中較易的題目。以下舉一個(gè)例子說明：相關(guān)點(diǎn)法如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（u,3.相關(guān)點(diǎn)法

過雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P(x,y),Q(u,v),則N點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-u,2y-v).點(diǎn)N在直線x+y=2上,2x-u+2y-v=2①又PQ垂直于直線x+y=2,所以②聯(lián)立①②得:又點(diǎn)Q在雙曲線上,即u2-v2=1,即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為:2x2-2y2-2x+2y-1=03.相關(guān)點(diǎn)法過雙曲線x2-y2=1

如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線：x2+2y2=4交于C,B兩點(diǎn).作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)P的軌跡。

AoxyBCPG解法一：利用韋達(dá)定理解法二：點(diǎn)差法連PO交CB于G.設(shè)P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),則x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求軌跡為(-3,0)為圓心，3為半徑的圓.?4.參數(shù)法

如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線：x2+交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交線的方程，即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。此類問題難度較大，曾經(jīng)在高考?jí)狠S題中出現(xiàn)過，但不論復(fù)雜程度如何，牢牢把握曲線相交的性質(zhì)就把握了解題的關(guān)鍵。以下舉兩個(gè)例子說明：交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交5.交軌法

5.交軌法求點(diǎn)的軌跡方程的六種常見方法講解課件求點(diǎn)的軌跡方程的六種常見方法講解課件

依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)設(shè)=k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak)xy變式(2003年高考第22題變式)已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E,F,G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且,P為GE與OF的交點(diǎn),求點(diǎn)P軌跡方程。ABCDEFGoP直線OF的方程為2ax+(2k-1)y=0……………①直線GE的方程為-a(2k-1)x+y-2a=0…………②從①②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0(去掉（0，0））解：以AB所在直線為x軸,過o垂直AB直線為y軸,建立如圖直角坐標(biāo)系.依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(幾何法運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何的知識(shí)，分析軌跡形成的條件，求出軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為幾何法。在解決某些復(fù)雜問題時(shí)，深入分析圖形性質(zhì)，利用此種方法，可能非常簡(jiǎn)便。以下舉一個(gè)例子說明：幾何法運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何的知識(shí)，分析軌跡形6.幾何法

6.幾何法定義法直譯法也稱相關(guān)點(diǎn)法:

所求動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)依賴于一已知曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M0的運(yùn)動(dòng),將M0的坐標(biāo)用M的坐標(biāo)表示,代入已知曲線,所的方程即為所求.參數(shù)法:動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)依賴于某一參數(shù)(角度、斜率、坐標(biāo)等)的變化,可建立相應(yīng)的參數(shù)方程,再化為普通方程.一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法定義法一、求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的常用方法二、注意1、化簡(jiǎn)要等價(jià)變形，且能結(jié)合圖形對(duì)題意的檢驗(yàn)2、要區(qū)分軌跡與軌跡方程3、如何合理引參？五類參數(shù)：點(diǎn)坐標(biāo)，斜率，比例，角度，長(zhǎng)度等二、注意1、化簡(jiǎn)要等價(jià)變形，且能結(jié)合圖形對(duì)題意的檢驗(yàn)2、要區(qū)點(diǎn)的軌跡方程的求法點(diǎn)的軌跡方程的求法定義法若題設(shè)有動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和或差為定值等條件時(shí)，可以利用圓錐曲線的定義直接寫出所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。此類問題相對(duì)也非常簡(jiǎn)單，因此單獨(dú)出現(xiàn)的可能性也很小，可能作為一個(gè)中間步驟出現(xiàn)。以下舉一個(gè)例子說明：定義法若題設(shè)有動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和或差為定值等條件時(shí)，可以利1.定義法

1.定義法直譯法動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件聯(lián)系，直接列動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，即可求得軌跡方程，此類問題非常容易，現(xiàn)在的高考已經(jīng)不可能單獨(dú)考察此類問題，即使出現(xiàn)也將是某個(gè)題目的一個(gè)中間步驟。以下舉一個(gè)例子說明：直譯法動(dòng)點(diǎn)直接與已知條件聯(lián)系，直接列動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系式，即可求得軌2.直譯法

求與圓x2+y2-4x=0外切且與Y軸相切的動(dòng)圓的圓心的軌跡方程。PABxyo變式：外切改為相切呢？解：設(shè)動(dòng)圓圓心為P(x,y).由題，得即-4x+y2=4|x|得動(dòng)圓圓心的軌跡方程為y=0(x<0),或y2=8x(x>0)2.直譯法求與圓x2+y2-4x=0外切且相關(guān)點(diǎn)法如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（u,v）(這種點(diǎn)叫相關(guān)動(dòng)點(diǎn))而運(yùn)動(dòng)，而Q點(diǎn)的坐標(biāo)u、v可以用動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示，則可利用點(diǎn)Q的軌跡方程，間接地求得P點(diǎn)的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法叫做變量代換法或相關(guān)點(diǎn)法.此類問題的難度屬中檔水平，可能在選擇題或填空題出現(xiàn)，也可能在解答題中出現(xiàn)，屬于小題中較難的題目但屬于大題中較易的題目。以下舉一個(gè)例子說明：相關(guān)點(diǎn)法如果動(dòng)點(diǎn)P（x,y）依賴于已知曲線上另一動(dòng)點(diǎn)Q（u,3.相關(guān)點(diǎn)法

過雙曲線x2-y2=1上一點(diǎn)Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N,求線段QN的中點(diǎn)P的軌跡方程.解:設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為P(x,y),Q(u,v),則N點(diǎn)坐標(biāo)為(2x-u,2y-v).點(diǎn)N在直線x+y=2上,2x-u+2y-v=2①又PQ垂直于直線x+y=2,所以②聯(lián)立①②得:又點(diǎn)Q在雙曲線上,即u2-v2=1,即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為:2x2-2y2-2x+2y-1=03.相關(guān)點(diǎn)法過雙曲線x2-y2=1

如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線：x2+2y2=4交于C,B兩點(diǎn).作平行四邊形OBPC，求點(diǎn)P的軌跡。

AoxyBCPG解法一：利用韋達(dá)定理解法二：點(diǎn)差法連PO交CB于G.設(shè)P(x,y),G(x0,y0),C(x1,y1),B(x2,y2),則x12+2y12=4x22+2y22=4作差，得(x2-x1)(x2+x1)+(y2-y1)(y2+y1)=0即x0+y0k=0又k=解得，x0=y0=x=y=因此消去k,得(x+3)2+y2=9故所求軌跡為(-3,0)為圓心，3為半徑的圓.?4.參數(shù)法

如圖,過點(diǎn)A(-3,0)的直線l與曲線：x2+交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交線的方程，即為所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。此類問題難度較大，曾經(jīng)在高考?jí)狠S題中出現(xiàn)過，但不論復(fù)雜程度如何，牢牢把握曲線相交的性質(zhì)就把握了解題的關(guān)鍵。以下舉兩個(gè)例子說明：交軌法若動(dòng)點(diǎn)是兩曲線的交點(diǎn)，可以通過這兩曲線的方程直接求出交5.交軌法

5.交軌法求點(diǎn)的軌跡方程的六種常見方法講解課件求點(diǎn)的軌跡方程的六種常見方法講解課件

依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a)設(shè)=k(0≤k≤1),由此有E(2,4ak),F(2-4k,4a),G(-2,4a-4ak)xy變式(2003年高考第22題變式)已知常數(shù)a>0,在矩形ABCD中，AB=4,BC=4a,O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)E,F,G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且,P為GE與OF的交點(diǎn),求點(diǎn)P軌跡方程。ABCDEFGoP直線OF的方程為2ax+(2k-1)y=0……………①直線GE的方程為-a(2k-1)x+y-2a=0…………②從①②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程2a2x2+y2-2ay=0(去掉（0，0））解：以AB所在直線為x軸,過o垂直AB直線為y軸,建立如圖直角坐標(biāo)系.依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(幾何法運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何的知識(shí)，分析軌跡形成的條件，求出軌跡方程，這種求軌跡方程的方法稱為幾何法。在解決某些復(fù)雜問題時(shí)，深入分析圖形性質(zhì)，利用此種方法，可能非常簡(jiǎn)便。以下舉一個(gè)例子說明：幾何法運(yùn)用平面幾何的軌跡定理和有關(guān)平面幾何的知識(shí)，分析軌跡形6.幾何法

6.幾何法定義法直譯法也稱相關(guān)點(diǎn)法:

所求動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)依賴