地球物理勘探 1-5波動方程的解及地震波的特點課件

3波動方程的解及地震波的特點本章包括：無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的平面波無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波地震波的動力學(xué)特點地震波的運動學(xué)特點1

P波—波動方程無限大、均勻各向同S波—波動方程性介質(zhì)中的平面波SV波

SH波{3波動方程的解及地震波的特點2

位移方程(P74)

脹縮點震源——球面縱波

震

脹縮力

物理含義無限大、各向同性源介質(zhì)中的球面波性旋轉(zhuǎn)力質(zhì)位移方程

旋轉(zhuǎn)點震源——球面橫波物理含義{{{3波動方程的解及地震波的特點3惠更斯-夫列涅爾原理

地震波的運動特點射線積分理論-克希霍夫積分費馬原理和波的射線

時間場和視速度定理{3波動方程的解及地震波的特點53波動方程的解及地震波的特點

在均勻、各向同性、理想彈性介質(zhì)中的彈性波方程為：兩邊取分別散度和旋度，并且令則可得縱波方程和橫波方程

63波動方程的解及地震波的特點

波動方程反映了物體波動過程的普遍規(guī)律。波動方程的求解通常是和定解問題聯(lián)系起來考慮。波動方程的解就是波函數(shù)。在不同的情況下可以得到不同的解，即波函數(shù)有不同的形式。73.1無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的平面波一、沿任意方向傳播的平面波直接用位移向量所表示的波動方程式求解式中：A為振幅，決定位移的大小，ψ為波的相位.2πf/V=w/V為簡諧波參數(shù)，f頻率，w圓頻率，V波速。i為虛數(shù)符號，僅考慮實數(shù)時為簡諧波。為傳播項。此式表達的波函數(shù)為沿k方向傳播的平面簡諧波。8二、沿X軸方向傳播的平面波（即）

將上式代入波的Navier方程整理簡化，并令體力F=0，可得103.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波下面進一步討論在地震勘探的初始和邊界條件下，脹縮力divF和旋轉(zhuǎn)力rotF的作用下，求解波函數(shù)，并分析其性質(zhì)（以縱波為主）2.2.1脹縮點震源條件下的球面縱波1、初始和邊界條件初始條件：在均勻各向同性介質(zhì)中，炸藥爆炸后產(chǎn)生一個均勻的力垂直作用在半徑為a的球形空腔壁上。當(dāng)或相對無限大空間而言，這個震源可以看成是點震源，其力位函數(shù)或者震源函數(shù)可以表示為（初始條件）122、坐標(biāo)變換和球坐標(biāo)下球面縱波的傳播方程解已知球面縱波傳播波動方程如下：

此式是直角坐標(biāo)系中的波動方程，需轉(zhuǎn)換到球坐標(biāo)系中，即

為矢量r和z軸之間的夾角，為矢量r在xoy平面上的投影與x軸之間的夾角3.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波14各種算子在球坐標(biāo)系中的表達式為：3.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波15將各種算子帶入縱波的波動傳播方程，得到著名的弦方程：

其解為如果使為常數(shù)，則t隨r增大而增大，代表了沿r向“外”傳播的波，稱為發(fā)散波。代表了沿-r向“內(nèi)”傳播的波，即向震源方向傳播的波，稱為聚會波。聚會波只存在于t為負值的情況，這與實際不合，則該波是不存在的。3.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波16該式是齊次方程的解，只反映了波的傳播特點。當(dāng)力位函數(shù)不為零時，需求非齊次方程的解，即達朗貝爾解。將點震源用半徑r=a的小球代替，小球體積為W。對上式求體積分，并令r->0,其極限情況就是點震源的達朗貝爾解。因此，上式又可寫為：17左端的第一項，其特解帶入則得，左端的第二項，按奧斯特洛斯公式：任意一個矢量場，若在空間域W中該場的一階導(dǎo)數(shù)是存在，則該場邊界S上的通量等于在W域中散度的體積分。即：1820力位函數(shù)不為零的波動方程的達郎貝爾解為：該式為用震源函數(shù)表示的波動方程的位移位解。在實際工作中，人們不可能接收到質(zhì)點的位移位，而只能接收到質(zhì)點的位移。地震記錄上地震波的振幅A值就是反映質(zhì)點的位移。所以必須把位移位轉(zhuǎn)換成位移。3.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波21平面波的波前代替球面波的波前,引起的誤差是平面波的傳播方向偏離了真正的傳播方向.如果球面波的半徑足夠大或者PR足夠小時，可根據(jù)需要，使偏差變得很小。233.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波

2.2.2旋轉(zhuǎn)點震源條件下的球面橫波

球面橫波有以下一些特點：球面橫波以速度沿r方向向外傳播位移與震源強度及其一階導(dǎo)數(shù)有關(guān)位移幅度與傳播距離r及其平方成反比波的轉(zhuǎn)播方向和振動方向垂直質(zhì)點的位移方向有兩個，產(chǎn)生水平偏振的SH波和垂直偏振的SV波

為延遲位243.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波

2.2.3球形空腔震源條件下的地震波

點震源是一種數(shù)學(xué)抽象，它和實際激發(fā)的震源是有差別的。在地震勘探中廣泛使用的震源是爆炸震源、重錘震源，可控震源等，這類震源可以描述為在彈性介質(zhì)中挖一個半徑為a的球形空腔，炸藥包放在空腔的中心。并作如下的假設(shè)：

⑴炸藥包本身具有球?qū)ΨQ性，即作用在球腔壁上的力是均勻的正壓力（脹縮力）；⑵球形空腔半徑相對于炸藥包半徑是足夠大，以致爆炸沖擊波未能使空腔壁發(fā)生塑性變形，而是保持彈性形變。

26可利用點震源的球形對稱求解問題，只需將縱波波動方程的解得延遲位“”換成“”。則縱波的傳播方程解為：該式表示了彈性波是從空腔的球面處開始向外傳播的。若令：其位移解u則為：因此，要確定和球腔脹縮P(t)的關(guān)系：3.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波273.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波①初始條件：②邊界條件(應(yīng)考慮在球腔壁上存在著作用力的邊界條件）：應(yīng)用球坐標(biāo)的虎克定律，求積分得出：283.2無限大、均勻各向同性介質(zhì)中的球面波

2.2.4任意震源的地震波

對于任意震源，一般可以分解為若干個點震源和球形震源的迭加和；其波動方程的解原則上也可以利用疊加原理，將每一個分解后的單個震源求解后，再將其相加求和就可以得到任意震源方程的解

303.3地震波的動力學(xué)特點

地震波的動力學(xué)特征：就是有地震波的動力學(xué)參數(shù)來體現(xiàn)的。地震波的動力學(xué)參數(shù)：用于描述地震波振動特征的參數(shù)，包括波的振幅（A）、頻率(f)或周期(T)、相位、波速、偏振及衰減等特點。在實際工作中，縱波的激發(fā)可以利用炸藥、氣槍、電火花等很方便地得到，而橫波的激發(fā)則相對困難一些，而且其激發(fā)能量一般也比較弱。特別是地表附近的含水風(fēng)化層有利于縱波的傳播和縱波的垂直出射，因此縱波的激發(fā)和接收都比較容易，而風(fēng)化層對橫波的傳播和接收都比較困難。因此，目前的橫波勘探的深度一般大致在1000米內(nèi)。換句話說，目前的勘探方法主要還是縱波勘探。

313.3地震波的動力學(xué)特點2.3.1球面縱波的傳播特點在球坐標(biāo)中，縱波的質(zhì)點位移為：1、遠離震源的球面縱波(1/r>>1/r2)(r/λ>>1)2、近震源的球面縱波（1/r2>>1/r）(r/λ<<1)323.3地震波的動力學(xué)特點在近震源區(qū)域，質(zhì)點振動規(guī)律（波函數(shù)）主要與震源函數(shù)有關(guān)；而在遠震源區(qū)域，質(zhì)點振動主要與震源函數(shù)的導(dǎo)數(shù)有關(guān)。在近震源區(qū)域，質(zhì)點振動的位移振幅主要與傳播距離的平方(r2)成反比，衰減較快；而在遠震源區(qū)域，質(zhì)點振動的幅度主要與傳播距離r成反比，衰減較慢。當(dāng)傳播距離r很大時，地震波的振幅趨于穩(wěn)定，在一個波動帶內(nèi)r可視為常數(shù)。33

3、波前、波帶及波尾

地震勘探通常都是在遠離震源處觀測質(zhì)點的位移，因此，在遠震源情況下，進一步討論有關(guān)波前、波帶和波尾的概念。按照點震源的定義，則震源函數(shù)有：其一階導(dǎo)數(shù)可表示為：（初始條件）3.3地震波的動力學(xué)特點34由上式可知的存在條件是：

即波從O點出發(fā)，經(jīng)過到達(q點)，再經(jīng)過時間到達(p點)，稱p點為波前,以為半徑的球面為波前面,q點為波尾，以為半徑的球面為波尾面，和之間為波帶。相應(yīng)地，可以分為波前區(qū)（表示尚未波動的區(qū)域）、波尾區(qū)（波動已結(jié)束的區(qū)域）和波動區(qū)（正在波動的區(qū)域）。3.3地震波的動力學(xué)特點注意：某個時刻的波前、波尾35

在波動區(qū)，相鄰質(zhì)點的位移狀態(tài)是不相同的，這是由于確定質(zhì)點位移的震源函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)是變化的。對于每個給定的時刻，波動帶的質(zhì)點可以是相互靠近，形成質(zhì)點局部密集帶，稱為壓縮帶；也可以是彼此分開，形成局部的疏松帶，稱為膨脹帶。壓縮帶和膨脹帶不斷交替更換，使地震波不斷向前傳播，即縱波（脹縮波）的傳播特點。3.3地震波的動力學(xué)特點363.3地震波的動力學(xué)特點可用體應(yīng)變來定量闡述又：則有：體應(yīng)變的符號取決于震源的二階導(dǎo)數(shù)的符號。假設(shè)震源函數(shù)在△t時間為一個簡單的連續(xù)信號，則一階導(dǎo)數(shù)至少有一次經(jīng)過零點，二階至少有兩次零點。則體應(yīng)變將從正->負->正（或者負->正->負），即疏松帶->壓縮帶->輸松帶。因此，縱波在波動帶內(nèi)至少有三個不同的脹、縮帶。373.3地震波的動力學(xué)特點

2.3.2地震波的波剖面和振動圖波剖面：在某一固定時刻，觀測波動帶內(nèi)，沿波的傳播方向(r)各質(zhì)點的位移狀態(tài)圖形(up-r)。正值表示壓縮，負值表示膨脹。正峰值為波峰，負峰值為波谷。振動圖：在某一傳播距離處，觀測波動帶內(nèi)某個質(zhì)點隨時間的位移變化狀態(tài)圖形(up-t)。振動圖的極值（正或負）稱為相位。極值的大小為振幅。

注意：單道地震記錄是振動圖。

多道地震記錄包含了振動圖和波動圖.383.3地震波的動力學(xué)特點視波長：在波剖面上，正峰值為波峰，負峰值為波谷，波峰之間的距離為視波長。視波數(shù)：視波長的倒數(shù)稱為視波數(shù)。視周期：在振動圖上，相鄰正極值（或負極值）之間的距離為視周期。視頻率：視周期的倒數(shù)稱為視頻率。

有如下一些關(guān)系：

這里引入了視周期、視波長、視波數(shù)和視頻率等概念，因為是實際觀測到的數(shù)據(jù)。393.3地震波的動力學(xué)特點

2.3.3能流密度和球面擴散

1、能流密度

地震波的傳播實質(zhì)上就是能量的傳播。射波通過的介質(zhì)體積為W，介質(zhì)的密度為，對簡諧振動，則波的能量：即波的能量與振幅平方、頻率平方、介質(zhì)密度和體積成正比。能量密度：包含在介質(zhì)中單位體積內(nèi)的能量：能流密度或波的強度I：單位時間內(nèi)通過介質(zhì)面積S的能量為能流通量，則單位時間內(nèi)通過單位面積的能量為能流密度或波的強度I即波的強度正比于波的振幅平方、頻率平方、速度及介質(zhì)密度。40由上式可得出以下結(jié)論：在其他條件相同時，地震波的振幅A與√I,成正比，I大則A大；在I、w、△W一定時，密度大的巖石與密度小的巖石相比，其振幅要小，即在致密巖石中要獲得相同的振幅就需要更多的能量（未考慮吸收）。高頻的波與低頻的波，要獲得相同的振幅，則需要更多的能量。3.3地震波的動力學(xué)特點413.3地震波的動力學(xué)特點球面波沿r方向傳播，S3中無能量流通，波僅從面流入，從面流出，因此，通過這兩個面的能流通量相等。即：則：

結(jié)論：波的強度與傳播距離成反比。波的振幅與傳播距離成反比是幾何擴散，不存在能量損失，僅是能量的重新分配，這種能量變化與地下巖石彈性參數(shù)無關(guān)。423.3地震波的動力學(xué)特點2.3.4波場的頻譜分析

時間域非周期函數(shù)x(t)的傅立葉變換對為：

式中，為頻率域復(fù)函數(shù)，稱為x(t)的頻譜，該式表明任何一個非周期函數(shù)x(t)都是由不同頻率，不同振幅和不同相位的簡諧振動之和組成。復(fù)函數(shù)可以表示為

其中：

稱為x(t)的振幅譜，表示了每個簡諧分量對x(t)振幅的貢獻；

稱為x(t)的相位譜，表示了各個簡諧振動之間的相位關(guān)系。43443.3地震波的動力學(xué)特點由振幅譜可知時間函數(shù)x(t)中包含的簡諧波頻率成分及相應(yīng)的幅度值，由相位譜可知參與疊加的各頻率簡諧波的初相位。如果研究波剖面，則將自變量時間t換為距離x，f換為k，相應(yīng)的傅立葉變換為

這就是波剖面的波數(shù)譜分析。如果對二維地震記錄一次完成二維傅立葉變換，則完成了頻率波數(shù)（頻波）分析。453.3地震波的動力學(xué)特點頻譜分析就是將整個時間域中的信號F(t)通過傅立葉正變換求得振幅譜和相位譜。表示了整個時間域內(nèi)每個簡諧分量對F(t)的貢獻；但是它們不能表示每個時刻的頻譜特征，即瞬時頻譜三瞬數(shù)字處理技術(shù)是為了研究瞬時頻譜。該技術(shù)可以得到信號在每個時刻的瞬時頻譜。瞬時頻譜分析技術(shù)在研究巖石的巖性和識別小斷層等地質(zhì)現(xiàn)象時很有價值。瞬時頻譜分析是基于復(fù)信號分析為基礎(chǔ)的復(fù)信號u(t)表示為

式中，表示實際地震信號，表示的希爾伯特變換463.3地震波的動力學(xué)特點

則:瞬時振幅瞬時相位瞬時頻率這樣，就可以得到三瞬剖面。473.3地震波的動力學(xué)特點

頻譜分析的應(yīng)用：識別不同的地震波。不同的地震波的頻譜是不一樣的，也就是說它們的視波長、視周期、視速度等特征不一樣。這樣，我們就可能利用各種方法（包括儀器、野外、處理…等）剔除或壓制干擾波，而加強有效波。識別巖性。不同巖石、巖性、厚度的的地層的頻譜是不一樣的。比如砂巖含油氣后其頻率可能變低，其速度也可能變低。

48493.3.5地震波的極化

波的極化：縱波質(zhì)點位移的方向與波的傳播方向一致，橫波質(zhì)點的位移方向與波的傳播方向垂直，這樣的現(xiàn)象叫做波的極化。線性極化波：質(zhì)點振動在一條直線上的波，如縱波、橫波；面極化波：質(zhì)點位移是在一個平面內(nèi)做曲線運動研究波的極化可以識別不同的波，還可以確定最有利的接收方向。3.3地震波的動力學(xué)特點503.3地震波的運動學(xué)特點波的運動學(xué)特征就是研究波的傳播時間和空間的關(guān)系。波的傳播理論：最早由荷蘭科學(xué)家惠更斯提出，但只是一個實驗總結(jié)，只能給出波在傳播空間中的幾何位置，而且沒有數(shù)學(xué)證明。夫列涅爾對波的傳播做了物理解釋和簡單的定量計算，即惠更斯-夫列涅爾原理。計算結(jié)果雖不是很精確，沒有解決如何定量一個觀測點的波場問題，但形成波傳播的運動學(xué)基礎(chǔ)。1883年，德國科學(xué)家克?；舴蚶美@射積分理論解決了波場的定量計算問題。513.3地震波的運動學(xué)特點2.3.1惠更斯-夫列涅爾原理

惠更斯原理:在空間中，任意時刻波前面上的每一個點都可以看成是一個新的點源，并由它產(chǎn)生二次擾動形成元波前，各個元波前的包絡(luò)就是下一個時刻的新波前的位置。

惠更斯-夫列涅爾原理:波前面上各個新點源產(chǎn)生的二次擾動，都可以傳播到空間上任意一個觀測點M上，形成相互干涉的疊加振動；該疊加振動就是該觀測點M的總擾動，即M點的波場。522.3地震波的運動學(xué)特點2.3.2繞射積分理論-克?；舴蚍e分式

波前面上任意一個新點源發(fā)出的元波前可稱為廣義繞射子波；空間中任意一點的波場就是所有繞射子波的積分和。具有嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，不僅給出了波的傳統(tǒng)的幾何（射線）傳播理論，而且給出了質(zhì)點位移（波形）方程?？讼；舴蚪o出了更普遍情況下的波動方程的解，即達朗貝爾方程解。這種解法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于地震勘探中。廣義克?；舴蚍e分式532.3地震波的運動學(xué)特點1、延遲位式中的前一項為體積分，后一項為面積分，實際中常常不能同時存在的。如a圖，在t=0時刻從M1點的球體中向外發(fā)出彈性波，該波源區(qū)的半徑為a。則在t=t1時刻的波前將是半徑為“a+Vt1”球面。若積分域取得比W球體還大，即閉合面S在W球面之外，顯然，彈性波到達觀測點M時，絕不可能到達S面上，S面上的位函數(shù)及導(dǎo)數(shù)必然為零，只有第一項。這一結(jié)果稱為波場在M(x,y,z)的延遲位，表示了在t時刻M的波場是從震源M1在“t-R/V”時刻發(fā)出的。

圖b是任意波源區(qū)，任何一塊dW發(fā)出的波都要經(jīng)過R/V時延后才能到達M點。因此，在t時刻波源區(qū)W0對M點的波函數(shù)是所有子波源發(fā)出的波，經(jīng)過不同R/V延遲后，于t1時刻到達M點的疊加積分和。542、空間域W內(nèi)無體積波源，或者在震源作用時間△t之后W域中無波源，此時，體積分為零，只有面積分：3、若觀測點M1在空間域W以外，則克?；舴蚍e分式不成立，兩積分之差為零。則無法用格林公式求解波場。若M點取在空間域W以內(nèi)，則兩積分之差為等于M點t時刻的波函數(shù)。2.3地震波的運動學(xué)特點553.3地震波的運動學(xué)特點3.3.3費馬原理和波的射線

費馬原理：波沿垂直于波前面的路徑傳播時，其時間最短。這個路徑就是波場的射線方向，因此也可以說波沿射線方向傳播的時間最短。費馬原理也叫費馬最小時間原理。它是從射線原理來描述波的傳播，克?；舴蚍e分是從廣義繞射理論來描述波的傳播?？梢宰C明，波的主要能量集中在射線方向上或者是在射線附近。注意：應(yīng)用費馬原理不僅適用于均勻介質(zhì)，而且適用于非均勻介質(zhì)?？梢岳觅M馬原理進行射線追蹤。563.3