2022-2023學(xué)年上海九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期同步精講第20講正多邊形與圓（解析版）

第20講正多邊形與圓知識(shí)梳理一知識(shí)梳理一正多邊形的概念：正多邊形、中心角、半徑、邊心距匚正多邊形的相關(guān)計(jì)算r求中心角、半徑、邊心距、邊數(shù)題型探究卜L正多邊形有關(guān)的周長(zhǎng)與面積課后作業(yè)卷^知識(shí)一、直線與圓的位置關(guān)系.正多邊形各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形.有“條邊的正多邊形（〃是正整數(shù)，且〃23）就稱(chēng)作正〃邊形..正〃邊形的對(duì)稱(chēng)性正〃邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)=〃.當(dāng)”為偶數(shù)時(shí)，正〃邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是它的兩條對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)..正多邊形的外接圓和內(nèi)切圓任何一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，外接圓和內(nèi)切圓的圓心都是這個(gè)正多邊形的對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn).正多邊形外接圓（或內(nèi)切圓）的圓心叫做正多邊形的中心.正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.正多邊形內(nèi)切圓的半徑長(zhǎng)叫做正多邊形的邊心距.正多邊形一邊所對(duì)的關(guān)于外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角.360"每一個(gè)中心角="=它的每一個(gè)外角.正多邊形的性質(zhì).正多邊形都只有一個(gè)外接圓，圓有無(wú)數(shù)個(gè)內(nèi)接正多邊形..正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形..正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心；當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心..邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方..任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形..正多邊形的畫(huà)法（1）用量角器等分圓由于在同圓中相等的圓心角所對(duì)的弧也相等，因此作相等的圓心角（即等分頂點(diǎn)在圓心的周角）可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對(duì)的弦相等，依次連接各分點(diǎn)就可畫(huà)出相應(yīng)的正n邊形.（2）用尺規(guī)等分圓對(duì)于一些特殊的正n邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.①正四、八邊形。

在。0中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的?。醋鱊AOB的平分線交@于E）就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。②正六、三、十二邊形的作法。通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知,正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在。O中，任畫(huà)一條直徑AB,分別以A、通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知,B為圓心，以。。的半徑為半徑畫(huà)弧與。O相交于C、D和E、F,則A、C,E、B、F、D是。。的6等分點(diǎn)。顯然，A、E、F（或C、B、D）是。0的3等分點(diǎn)。同樣，在圖（3）中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把。O12等分……。要點(diǎn)詮釋?zhuān)寒?huà)正n邊形的方法：（1）將一個(gè)圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點(diǎn).③.題型探究4L【例1】（1）正十邊形有條對(duì)稱(chēng)軸，它不僅是對(duì)稱(chēng)圖形，還是對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心角是 【答案】10;軸；中心；36.【解析】正〃邊形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸的條數(shù)=〃，如果"為偶數(shù)，則正〃邊形也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，中心（2）正九邊形的中心角等于【答案】40【解析】正九邊形的中心角等于：—=40*.9故答案為：40.（3）一個(gè)正〃邊形的中心角等于18。，那么〃=.【答案】20【解析】:正n邊形的中心角為18。，/.18n=360,:.n=20.故答案為20.（4）如圖，AB,AC分別為。。的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三角形的邊，BC是圓內(nèi)接正〃邊形的一邊，則〃的值為?【解析】解：如圖所示，連接AO,BO,CO.TAB、AC分別為。。的內(nèi)接正方形、內(nèi)接正三邊形的一邊,3600 360°AZAOB=--=90°,ZAOC=^-=120°,4 3ZBOC=30°，30°故答案為：12.@知識(shí)二、正多邊形的相關(guān)計(jì)算設(shè)正n邊形的半徑長(zhǎng)為氐、中心角為％、邊長(zhǎng)為小、邊心距為rn，則利用等腰三角形OAB,通過(guò)解直角三角形OAH,可由其中兩個(gè)量求出其余的兩個(gè)量.進(jìn)一步還可以求出這個(gè)正n邊形的周長(zhǎng)及面積.?.題型探究風(fēng)【例2】（1）若正六邊形的邊長(zhǎng)為4,則此正六邊形的邊心距為【答案】28【解析】由題知，依據(jù)正六邊形的性質(zhì)，如圖：構(gòu)造等邊三角形為等邊三角形的高：???0C即為正六邊形的邊心距；又。4=08=4,.'.AC=BC=2；由勾股定理可得：OC=\lo/C-AC2=273：故填：2?（2）如圖，正六邊形A8CDEF內(nèi)接于。。，若4B=3cm,則。0的半徑為fQcA' 【解析】解：連接AO,B0,?.,正六邊形ABCDEF內(nèi)接于。0,/.ZAOB=60°,.'.△ABO是等邊三角形，VAB=3,.??OO的半徑為：3.故答案為：3.(3)已知正六邊形的外接圓的半徑是5cm,則該正六邊形的邊長(zhǎng)是.【答案】5cm.【解析】解：如圖，AB為。0內(nèi)接正六邊形的一邊；；OA=OB,/.△OAB為等邊三角形,AB=OA=5(cm).故答案為5cm.(4)一個(gè)正六邊形的邊心距為之叵，則這個(gè)正六邊形外接圓的周長(zhǎng)為2【答案】6兀【解析】解：如圖，連接OA,過(guò)O作OM_LAB于M,???正六邊形為圓內(nèi)接正六邊形，且OM=3g,AOA=AB,ZAOM=30°,:.OM=OAcos30°=—2OA=3,即該正六邊形外接圓的周長(zhǎng)為27tx3=6兀，故答案為：67t.(5)如圖，。。的半徑為1,作兩條互相垂直的直徑AB、CD,弦AC是。O的內(nèi)接正四邊形的一條邊.若以A為圓心，以1為半徑畫(huà)弧，交。0于點(diǎn)E,F,連接AE、CE,弦EC是該圓內(nèi)接正n邊形的一邊，則該正n邊形的面積為一.【答案】3【解析】解：如圖所示，連接EO,作EF_LCO交CO于點(diǎn)F由題意可得”=12，NEOC=30。/.EF=jEO=y:.Saeoc=-EFCO^-x-xl=-2 22 4二該正12邊形的面積=I2Saeoc=3故答案為：3?^舉一反三.如果一個(gè)正多邊形的中心角為72。，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（）.A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】根據(jù)正多邊形的中心角與邊數(shù)的關(guān)系，其邊數(shù)為360+72=5..如圖，半徑為1且相外切的兩個(gè)等圓都內(nèi)切于半徑為3的圓，那么圖中陰影部分的周長(zhǎng)為

7【答案】；兀【解析】如圖所示：設(shè)三個(gè)圓的圓心為A,B,0,連接AD,AC,B0,則AD過(guò)B,AC過(guò)O且AB=BO=AO=2,即三角形ABO是等邊三角形，NA=NABO=NAOB=60。,/.ZOBD=ZBOC=120°,兩個(gè)小弧長(zhǎng)是:120^x兩個(gè)小弧長(zhǎng)是:120^x12 ——71180 3弧DC長(zhǎng)是黑震12 7陰影部分的周長(zhǎng)是:兀+2x§乃=3乃7故答案為：.六個(gè)帶30°角的直角三角板拼成一個(gè)正六邊形，直角三角板的最短邊為1,求中間正六邊形的面積【答案】2【解析】解：如圖所示，連接AC、AE.CE,作BG_LAC、DILCE.FHLAE,AILCE,在正六邊形A8CDE尸中，???直角三角板的最短邊為1,...正六邊形ABCCEF為1,...△ABC、△CDE.△AEF為以1為邊長(zhǎng)的等腰三角形，AACE為等邊三角形,VZABC=ZCDE=ZEFA=120°,AB=BC=CD=DE=EF=FA=T,：.NBAG=NBCG=ZDCE=ZDEC=ZFAE=NFE4=30",:.BG=DI=FH=；,???由勾股定理得:AG=CG=CI=EI=EH=AH=旦,2'，AC=AE=CE=x/3?3???由勾股定理得：A/=-,.?.S=3xlxV3xl+lxV3x|=^故答案為：史24.若圓內(nèi)接正方形的邊心距為3,則這個(gè)圓內(nèi)接正三角形的邊長(zhǎng)為【答案】3底【解析】解：正方形外接圓直徑為正方形的對(duì)角線長(zhǎng).?.?正方形邊長(zhǎng)為6,二正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為6&，外接圓半徑為3夜.如圖所示：作OC_LBC于￡>,連接OB,貝|]28。￡>=60。，在Rt48。。中，08=3戊，N080=30°,BD=cos?>0oxOB=^-.2,:BD=CD,BC=2BD=3瓜.故答案為：3\[(>■5.一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正多邊形的內(nèi)角和是其外角和的2倍，則這個(gè)正多邊形的半徑【答案】4【解析】解：設(shè)正多邊形的邊數(shù)為n,由題意得(n-2).180°=360°x2,解得n=6二正多邊形為正六邊形，???邊長(zhǎng)為4的正六邊形可以分成六個(gè)邊長(zhǎng)為4的正三角形，...該正多邊形的半徑等于4.故答案為：4.如圖，正六邊形AB8E尸的邊長(zhǎng)為2,則aACE的周長(zhǎng)為_(kāi).【答案】6拒

【解析】作BGJLAC,垂足為G.如圖所示:則AC=2AG,-.AB=BC,AG=CG,???六邊形ABCOEF是正六邊形,.-.ZABC=120°,AB=BC=2,,-.ZBAC=30°,：.AG=ABcos30°=2x^-=73.2AC=2x6=24,r.AACE的周長(zhǎng)為3x26=66故答案為66..如果正n邊形的中心角為2a,邊長(zhǎng)為5,那么它的邊心距為.（用銳角a的三角比表示）【答案】jcota【答案】jcota（或§

2tana【解析】分析：根據(jù)正多邊形的邊數(shù)，確定正多邊形的中心角，然后構(gòu)造等腰上角形，利用等腰三角形的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)解直角三角形即可.

解析：如圖所示:???正n邊形的中心角為2a,邊長(zhǎng)為5,,/邊心、星叵OD=°cota(或 2 2tana故答案為gcota故答案為gcota（或2tana.已知正三角形ABC外接圓的半徑為2,那么正三角形ABC的面積為【答案】33【解析】解：如圖所示：連接OA、06、OC,過(guò)。作。。八8。于0,???正三角形A5C外接圓的半徑為2,:.OA=OB=OC=2,ZABC=60°,/.ZOBD=30°,vODlfiC,.?.NO￡)8=90。，0D=-0B=-x2=l,;.BD=6OD=6,2 2??.BC=2BD=2超，SMBC=-BCxAD=-BCx(AO+OD)=-x2y/3x(2+l)=-x2y/3x3=3y/3,故答案為：3y/3-課后作業(yè).如果某正多邊形的外接圓半徑是其內(nèi)切圓半徑的0倍，那么這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（ ）A.3 B.4 C.5 D.無(wú)法確定【答案】B【解析】如圖，OA、OC分別為此多邊形的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，AB為邊長(zhǎng)，，OCJ_AB,.,.ZOCA=90°,???外接圓半徑是其內(nèi)切圓半彳仝的亞倍，:.cosZAOC= ,0A2ZAOC=45°,ZAOB=90°,即此多邊形的中心角為90°,...此多邊形的邊數(shù)=360。+90。=4,

故選：B..若一個(gè)正〃邊形（〃為大于2的整數(shù)）的半徑為r,則這個(gè)正〃變形的邊心距為n360°B.r-cos nn360°B.r-cos n【答案】D【解析】解：由題意可得如圖:假設(shè)AB為正n多邊形的一條邊，OCLAB,???OA=r,1QAOOC=OA?cosZAOC=r?cos ；n故選D.的值為（）.OO是一個(gè)正〃邊形的外接圓，若。。的半徑與這個(gè)正〃邊形的邊長(zhǎng)相等，的值為（）A.3B.4A.3B.4C.6D.8【答案】C【解析】Q0是一個(gè)正n邊形的外接圓，若。0的半徑與這個(gè)正n邊形的邊長(zhǎng)相等,則這個(gè)正n邊形的中心角是60。，360+60°=6n的值為6,故選C.己知在正六邊形ABCCEF中，AB=6,那么正六邊形A8COEF的面積等于【答案】54G.【解析】解：連接OE、OD,如圖所示：；六邊形ABCDEF是正六邊形,?：OB=OD=6,...△OOE是等邊三角形，萬(wàn)作OHLEDTH,則OH=OE?sinNOED=6*9=3退，2：.5aode=jDE?OH=1x6x36=96,SZ、a，”abco￡f=65aode—54下）.故答案為：546..如圖，。。的半徑為6,如果弦A8是。。內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是。。內(nèi)接正十二邊形的一邊，那么弦BC的長(zhǎng)為【答案】6^3【解析】解：連接。A、。8、0C,作。力，8c于點(diǎn)。：AB是。0內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是（DO內(nèi)接正十二邊形的一邊,3609 3609AZAOB=--=90",ZAOC=---=30°,4 12：.ZBOC=ZAOB+ZAOC=900+30°=120°,'：OC=OB,：.ZOCD=^OBC=30°,"：0c=6,OCr：.CD= =3g,cos30?BC=2CD=6也,

故答案為：65/3..劉徽是我國(guó)魏晉時(shí)期卓越的數(shù)學(xué)家，他在《九章算術(shù)》中提出了“割圓術(shù)”，利用圓的內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓來(lái)近似計(jì)算圓的面積，如圖所示，若用圓的內(nèi)接正十二邊形的面積Si來(lái)近似估計(jì)。。的面積S,設(shè)。。的半徑為1,貝”-Si=.（兀取3.14,結(jié)果精確到0.01）【答案】0.14【解析】解：如圖，過(guò)A作的半徑為1,OO的面積S=n.360°???圓的內(nèi)接正十二邊形的中心角為背=30。,:.AC=-OA=-f2 2二圓的內(nèi)接正十二邊形的面積E=12x：O8-AC=12xgxlx3=3,/.S—S1=7T-3?0J41故答案為：0.14..正六邊形的邊長(zhǎng)、半徑、邊心距之比為.【答案】2:2:6【解析】解：如圖所示，邊長(zhǎng)AB=2：AGB又該多邊形為正六邊形，故/OBA=60。，在RSBOG中，BG=1,OG=V3,所以AB=2,即邊長(zhǎng)、半徑、邊心距之比為2：2：73..如圖，正五邊形A8CDE內(nèi)接于。。，點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF,若/AFC=126。，則的度數(shù)為.【答案】18°.【解析】解：?..正五邊形A8CCE內(nèi)接于00,5V5VZAFC=126°,=108°,：.ZBAF=ZAFC-ZABF=\26Q：.ZBAF=ZAFC-ZABF=\26Q-108°=18°.故答案為：18。.9.如圖，ABCQE是邊長(zhǎng)為1的正五邊形，則它的內(nèi)切圓與外接圓所圍圓環(huán)的面積為T(mén)TTT【答案】T4【解析】連接OA、OF,設(shè)OA=R,OF=r；???ABLjOO相切，五邊形ABCDE是正五邊形，AB=1,ZAFO=90°,AF=；AB=；在及△AFO中，人尸=AO?—尸。2即(g)=R2-r2又???S回環(huán)=乃(/?2_巧，故答案為二.4.一個(gè)正多邊形的對(duì)稱(chēng)軸共有10條，且該正多邊形的半徑等于4,那么該正多邊形的邊長(zhǎng)等于.【答案】245-2.【解析】根據(jù)題意作圖，：一個(gè)正多邊形的對(duì)稱(chēng)軸共有10條，,這個(gè)正多邊形為正十邊形，故每個(gè)內(nèi)角為144。，則圖中NOAB=NOBA=72。，故NAOB=36°,在BO上找一點(diǎn)C,使AC=CO,則/OAC=NAOB=36。，ZBAC=ZOAB-ZOAC=36°,:.ZACB=180°-ZCAB-ZABC=72°./.△ACO,△ABC都為等腰三角形.；/BAC=/AOB=36。，/.△ABO^ABCA,設(shè)AB=x,可知OC=x,BC=4-x,解得x=26-2.（-2石-2舍去）則正多邊形的邊長(zhǎng)26-2

ABAB.（用.已知正多邊形的邊長(zhǎng)為a,且它的一個(gè)外角是其內(nèi)角的一半，那么此正多邊形的邊心距是.（用含字母。的代數(shù)式表示）.【答案】立a2【解析】設(shè)這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為X,則正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為2x,x+2x=180,解得x=60即這個(gè)正多邊形的一個(gè)外角為60。,.??這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為：婆=6,60即這個(gè)正多邊形為六邊形.已知這個(gè)正多邊形的邊長(zhǎng)為“，即可求得此正多邊形的邊心距是如a2故答案為走a.2cm..已知正方形的邊長(zhǎng)為2cm,那么它外接圓的半徑長(zhǎng)是.cm.【答案】O【解析】?.?正方形的邊長(zhǎng)為2,由中心角只有四個(gè)可得出：竽=9。、二中心角是：90,正方形的外接圓半徑是：sin/AOC=三,OA2,:AC=-=1,ZAOC=45',2OA=f=&.二也~2故答案為.如圖，AB,4c分別為。。的內(nèi)接正六邊形，內(nèi)接正方形的一邊，BC是圓內(nèi)接"邊形的一邊，則〃等于.【答案】12【解析】連接AO,BO,CO,如圖所示:???AB、AC分別為。。的內(nèi)接正六邊形、內(nèi)接正方形的一邊,AZAOB=—=60°,NAOC=^￡=90。,60 4r.ZBOC=30°,故答案為12..正多邊形的中心角為72度，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于度.【答案】540【解析】解：?.?正多邊形的中心角為72度，二邊數(shù)為：360。+72。=5,,這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和=(5-2)?180°=540°.故答案為：540..正十邊形的中心角等于 度.【答案】36【解析】正十邊形的中心角等于360。70=36。故答案為：36..一個(gè)正”邊形的一個(gè)內(nèi)角等于它的中心角的2倍，則〃= .【答案】6【解析】二正”邊形的一個(gè)內(nèi)角和=(n-2)*180°,

?,?,?正〃邊形的一個(gè)內(nèi)角二180°x(n-2)360°???正〃邊形的中心角二——，n,180°x(n-2)_360°x2?. =,n n解得：n=6.故答案為6..如果一個(gè)正多邊形的中心角為36。，那么這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是.【答案】35【解析】解：由題意可得：邊數(shù)為360%36°=10,所以這個(gè)多邊形的對(duì)角線條數(shù)是小啜2=35(條)，故答案為：35..據(jù)《漢書(shū)律歷志》記載：“量者，畬(yue),合、升、斗、斛(hii)也“斛是中國(guó)古代的一種量器，"斛底，方而圜(huan)其外，旁有龐(tiao)焉”.意思是說(shuō)：“斛的底面為：正方形的外接一個(gè)圓，此圓外是一個(gè)同心圓”，如圖所示.問(wèn)題：現(xiàn)有一斛，其底面的外圓直徑為兩尺五寸(即2.5尺)，“鹿旁”為兩寸五分(即兩同心圓的外圓與內(nèi)圓的半徑之差為0.25尺)，則此斛底面的正方形的周長(zhǎng)為 尺.(結(jié)果用最簡(jiǎn)根式表示)【答案】40【解析】解：???四邊形CDEF為正方形，ND=90。，CD=DE,；.CE為直徑，/ECD=45。，由題意得AB=2.5,.,.CE=2.5-0.25x2=2,???CD=CE.cosNECD=2x—=&2:.^ECD=45°,???正方形CDEF周長(zhǎng)為4萬(wàn)尺.故答案為：4五19.△OBC是等邊三角形NBCE=90°△BEC△OBC是等邊三角形NBCE=90°△BEC是直角三角形易知BE是正六邊形最長(zhǎng)的對(duì)角線，EC的正六邊形的最短的對(duì)角線如圖，正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線BE、CF交于點(diǎn)O,連接EC記為心，那么法三我們規(guī)定：一個(gè)正n邊形（n為整數(shù)，n>4）的最短對(duì)角線與最長(zhǎng)對(duì)角線長(zhǎng)度的比值叫做這個(gè)正n邊形的“特.".X6=20.如圖，已知圓。是正六邊形A8CCE/外接圓，直徑8E=8,點(diǎn)G、”分別在射線C。、EF上(點(diǎn)G不與點(diǎn)C、。重合)，且NGB”=60。，設(shè)CG=x,EH=y.(1)如圖①，當(dāng)直線8G經(jīng)過(guò)弧CD的中點(diǎn)Q時(shí)，求NCBG的度數(shù)；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)G在邊CO上時(shí)，試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出x的取值范圍；(3)聯(lián)結(jié)AH、EG,如果△AF4與△OEG相似，求CG的長(zhǎng).圖① 圖② (備用圖)Qr【答案】(1)ZCBG=15°；(2)y=--(0<x<4)；(3)CG的長(zhǎng)為12x+4【解析】解：(1)如圖，連