材料力學-第十三章能量法

Chapter13 (Energy(Energy22第十三章量法(Energy§13-1概述§13-2桿件變形能的計算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading§13-3互等定理（Reciprocal§13-4單位荷載法定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’s(Energy(Energy§13-1概述一、能量方法（Energymethods)利用功能原Vε=W來求解可變形固體的位移,變形和內等的方法二、外力功（Workoftheexternal固體在外力作用下變形,,外力因此而做功,則成為外力功.三、變形能（Strain在彈性范圍內,彈性體在外力作用下發(fā)的能量,稱為彈性變形能,簡稱變形能 (Energy(Energy44四、功能原理（Work-energy可變形固體在受外力作用而變形時,外力和內力均將作功.對Vε=(Energy(Energy§13-2桿件變形能的計(Calculationofstrainenergyfortypesofloading一、桿件變形能的計算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxial當拉力為F1時,桿件的伸長為當再增加一個dF1時,相應的變形增量為此外力功的增dW

) (Energy(EnergyPAGEPAGE7llF

積分得

W dW

l

F

FF 1 F根據功能Vε=W,可得以下變VW1FΔl1F ΔlFl Vε

F F 2EAVεnF2VεnF2 i12EiPAGEPAGE8((Energy當軸力或截面連續(xù)變化

lF2(N0N比能（strainenergy單位體積的應變能.記作1

2EA( 1σε σ1

σ

σε

（單位((Energy扭轉桿內的變形能（StrainenergyfortorsionalllVεW

Me

M M T e e Vεl2GIp(Vεl2GIp(T2( VεnT i12Gi1或

9((Energy（Strainenergyforflexural 純彎曲（purebending)

VVWε12Mθe12MMeeM2橫力彎曲（nonuniformbendingVεVεM2(el2EI(((Energy組合變形的變形能（Strainenergyforcombined截面上存在幾種內力各個內力及相應的各個位移相互獨立力獨立作用原理成立各個內力只對其相應的位移做功.Vε

F2( T2(

M2(x)l2EA(

l2GIp(

l2EI((Energy三、變形能的應用（ApplicationofstrainFABCabl例題 試求圖示梁的FABCabl解Vε

M2(x) 2EI

ala2EI

dx1

x2blb2EI

F F Fa2EIl2 2EIl2 6EIlW1F

Fa2b2 由Vε=W

3EIl((Energy例題 試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能原理求截面的垂直位移.已知EI為常量.不計軸力和剪力影 解：M() Vε

M 2EI

2π2

πF2R3 A 8EIW1F2由Vε=W得y

4EI ((Energy例題 拉桿彈性范圍內工作.抗拉剛度EI,受到F1和AaBbCAaBbC⑴若先B截面然后C截面⑵若先C截面然后B截面分別計算兩種加力方法拉桿的應變能(Energy(EnergyB截面F1,然后C截面abB截面F1,B截面的位ab 外力作W1

F F C1 2 C再在C上加CCC截面的位

F2(aF2

W2

F2(a F2C (Energy(Energy在加F2后,B截面又有abBabB在加F2過程中F1作功（常力作功 W

C 1 C所以應變VW1F 1F C 112F2aF2(ab)FF12 (Energy(Energy若先在C截面加F2,然后B截面加ab在C截面加F2后,F2作 ab F2(a 2EA在B截面加F1后,F1作 FF 2EA(Energy(EnergyabF1C截面的ab

注意

VW1F 1F F C B 2F2aF2(ab)FF 2 計算外力作功時,注意變力作功與常力作功的區(qū)別應變能Vε只與外力的最終值有關,而與加載過程序無關 (Energy(Energy§13-3互等定理（ReciprocalTheorems的互等定理（Reciprocalworktheorem 兩力作用點沿的位移分 1F1F 在結構上再作F3 沿F3和F4方向的相應 F

完成的功

1F1F (Energy(Energy在F3和F4的作用下,F1和F2的作用點又有44 F1F2成的功Fδ'F 因此,按先加F1,F2后的次序加力,結構的應 1Fδ1Fδ1Fδ1FδF

F

(Energy(Energy若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得結 1Fδ1Fδ1Fδ1FδFδ'Fε2 由于應變能只決定于力最最值,與加力的次序無關,Vε1Fδ'Fδ'Fδ'F1 314功的互等定理（reciprocalwork(Energy(Energy§13-4單位載荷法(定理（Unit-loadmethodormohr’s一、定理的推導（Derivationofmohr’s求任意點A的位移A(Energy(EnergyA先作AF,再作用 F 1、變形圖M2(AVεA

2EIVε

M2x 圖AAVε1VεVε1

圖 ((Energy單位載荷與真任意截面的彎矩

M(x)M([M(x)M(變形能

Vε2

2EI

V

1

[M(x)M(x)]2

2EIV

1

[M(x)M(x)]2

2EIM2(

M2(

M(x)M(

2EI

dx

2EI

dx (Energy(EnergywA

M(x)M(x)

（Mohr’s M(x)M(x) n桁架 Δni 定

Δ M(x)M(x) （Generalformulaformohr’sΔ

FN(x)FN(x)dx

T(x)T(x)dx

M(x)M(x)

注意:上式中應看成廣義位移,把單位力看成對應的廣義力(Energy(Energy三、使用定理的注意事（1）M（x）：結構在原載荷下的內力 ——去掉主動力,在所求廣義位移點,的方向加廣義單位力時,結構產生的內力 所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功的量綱（4）M（x與M（x）的坐標系必須一致,每段桿的坐自由建立（5）積分必須遍及整個結構例題抗彎剛度為EI的等截面簡支均布荷載作用,用單位荷法求梁中點的撓度wC和支座A截面的轉角.剪力對彎曲的不計A

l

B解:在實際荷載作用下,x截面的彎

實際載荷M(x)

x

(0xl (Energy(Energy

ql/2

A l

Cx求C截面的在C點加一向下的單位力

單位載荷系x截面的彎

M(x)12

(0xl2M(

l/

wClM(x)

2

2EI

x2

2 5ql

A

l

1A

Bx實際載荷求A截面的轉A截面加一單位引起x截面的彎

單位載荷系M(x)1x (0xll M(x)

M(x)dx

1(

x

ql

（（順時針

(Energy(Energy例題圖示外伸梁,其抗彎剛EI.用單位載荷法求C度和轉角q

x 實際載荷

x 單位載荷F解 F 求截面的撓度（在C處加一單位力

M(x) x

M(x)2(Energy(EnergyAB1CxAB1Cxa x 實際載荷 M(x)qa M(x)

單位載荷 1

2a

x

x)dx

(qax)( EI0

aa(Energy(Energy實際載荷系

單位載荷系 ABCxxa求C截面的轉ABCxxa

M(x)qax

M(x)

M(x)qa M(x)

C

(2x3

)dx

0 （ ((Energy例題剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標出.不計剪力和軸力對位移的影響.計算A點的垂直位移及B解:（1）計算點的垂直位移在點加垂直向下的單位力BalBalCA C(Energya M(x)Fx M(x)Fa

M(x) M(x) F aM(x)M( lM(x)M( a1EIa1

dx0

EI2Ca (Fx)(x)dx1

實際載荷xAEI2

(Fa)(a)dx 010 Fa

單位載荷6((Energya（2）計算B截面的轉角,在B上加一個單位力偶 A M(x)Fx M(x)Fa

M(x) M(x) l aM(x)M( lM(x)M(1 1

dx0

EI2

C實際載荷1B1BxxC

(Fx)(0)dx 1

l單位載荷系統(tǒng)l （(Energy(Energy例題圖示為一水平面內的曲桿，B處為一剛性ABC=90°C處承受豎直力F，設兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別EIGIp，求C點豎向的位移.ABABbaC實際載荷實際載荷Axxba單位載荷AxxbaC解:在C點加豎向單位力 M(x)FxT(x)

M(x)xT(x)0

M(x)T(x)Fb

M(x)T(x)(EnergyAxxbAxxbaAxxba

M(x)M(x)dx

T(x)TEI 11p11abaEI0(Fx)(x)dxEI0(Fx)(x)dxaba1

0

3EI

b3)

(Energy(Energy例題圖示為一簡單桁架,其各桿的EA相等.在圖示荷載作用下AC兩節(jié)點間的相對位移2a2 桁架求位移的單位載荷2a2

nnΔi

2a2 1

1 實際載荷系

a單位載荷 桿件FNi FNiFNili1012a02-12a23214-12a25-12a26F0a072008-0a0900a0

)

4.12 i

(2

2A,C兩點間的距離縮短2例題計算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ABEI=常數FO FO BRF(Energy解 1 1 OA單位載荷AO實際載荷

Mππ

πFR2(1cos)

(Energy(Energy§13-5卡氏定理(Castigliano’s任何剛性位移作用有外力F1,F2,,Fi,相應的位移結構的變形VW1Fδ1Fδ1Fδ (Energy(EnergyFi一個增Fi引起所有力的作用點沿力方向的位移增量為Δδ1,Δδ2,Δδ3

在作用Fi的過程中,Fi的功

1 1原有的所有力F1Δδ1F2Δδ2FiΔδi結構應變能的增量ΔV1ΔFΔδFΔδFΔδFΔδ2 2(Energy(Energy略去高階微 1ΔF ΔVεF1Δδ1F2Δδ2FiΔδi如果把原來的力看作第一組力,而把Fi看作第二組力.F1Δδ1F2Δδ2FiΔδiΔFi

或者

i i當Fi趨于零趨于零時上式

這就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem） (Energy(Energy說明卡氏第二定理只適用于線性彈性iδi Fi為廣義為相應的位一個線一個線一個角位一個相對線相對角一對(Energy(Energy卡氏第二定理的應軸向拉伸與 F2(

F( F(δi ε

2EA扭

δVε

T2(x)dx

T(

T(x)ipip

Fi p

彎δVε

M2(x)dx

M(x)M(x)ii

Fi

(Energy(Energy平面組合變

δi

nn

FNjl

δ

F2(

T2(

M2(

[ N NFN(x)FN(x)dxT(x)T(x)dxM(x)M(x)(Energy(Energy BCAFla(Energy(Energy解

MeMFe MFe Ala

M(x)(

Fa)x

M1(x1

a

M1(x1)x1

M2(x2)Fx2M2(x2)

M2(x2)(Energy(EnergyMFe Ala lMMFe Ala

dx1aM2(x2 M2(x2

1(Fla2Mela

lAl

M1(

M(1 dx11

M2(x2)aa

M(x

1(MelFla （ (Energy(Energy例題剛架結構如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.慮軸力和剪力的影響，計算C截面的轉角和D截面的水平位移在C截面虛設Ma在D截面虛設一水平力 FRDF1( M) FRAx

CB

(Energy(EnergyCD:M(x)[F