材料力學(xué)-第十三章能量法

Chapter13 (Energy(Energy22第十三章量法(Energy§13-1概述§13-2桿件變形能的計(jì)算(Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading§13-3互等定理（Reciprocal§13-4單位荷載法定理(Unit-loadmethod&mohr’stheorem)§13-5卡氏定理(Castigliano’s(Energy(Energy§13-1概述一、能量方法（Energymethods)利用功能原Vε=W來(lái)求解可變形固體的位移,變形和內(nèi)等的方法二、外力功（Workoftheexternal固體在外力作用下變形,,外力因此而做功,則成為外力功.三、變形能（Strain在彈性范圍內(nèi),彈性體在外力作用下發(fā)的能量,稱為彈性變形能,簡(jiǎn)稱變形能 (Energy(Energy44四、功能原理（Work-energy可變形固體在受外力作用而變形時(shí),外力和內(nèi)力均將作功.對(duì)Vε=(Energy(Energy§13-2桿件變形能的計(jì)(Calculationofstrainenergyfortypesofloading一、桿件變形能的計(jì)算（Calculationofstrainenergyforvarioustypesofloading）軸向拉壓的變形能（Strainenergyforaxial當(dāng)拉力為F1時(shí),桿件的伸長(zhǎng)為當(dāng)再增加一個(gè)dF1時(shí),相應(yīng)的變形增量為此外力功的增dW

) (Energy(EnergyPAGEPAGE7llF

積分得

W dW

l

F

FF 1 F根據(jù)功能Vε=W,可得以下變VW1FΔl1F ΔlFl Vε

F F 2EAVεnF2VεnF2 i12EiPAGEPAGE8((Energy當(dāng)軸力或截面連續(xù)變化

lF2(N0N比能（strainenergy單位體積的應(yīng)變能.記作1

2EA( 1σε σ1

σ

σε

（單位((Energy扭轉(zhuǎn)桿內(nèi)的變形能（StrainenergyfortorsionalllVεW

Me

M M T e e Vεl2GIp(Vεl2GIp(T2( VεnT i12Gi1或

9((Energy（Strainenergyforflexural 純彎曲（purebending)

VVWε12Mθe12MMeeM2橫力彎曲（nonuniformbendingVεVεM2(el2EI(((Energy組合變形的變形能（Strainenergyforcombined截面上存在幾種內(nèi)力各個(gè)內(nèi)力及相應(yīng)的各個(gè)位移相互獨(dú)立力獨(dú)立作用原理成立各個(gè)內(nèi)力只對(duì)其相應(yīng)的位移做功.Vε

F2( T2(

M2(x)l2EA(

l2GIp(

l2EI((Energy三、變形能的應(yīng)用（ApplicationofstrainFABCabl例題 試求圖示梁的FABCabl解Vε

M2(x) 2EI

ala2EI

dx1

x2blb2EI

F F Fa2EIl2 2EIl2 6EIlW1F

Fa2b2 由Vε=W

3EIl((Energy例題 試求圖示四分之一圓曲桿的變形能,并利用功能原理求截面的垂直位移.已知EI為常量.不計(jì)軸力和剪力影 解：M() Vε

M 2EI

2π2

πF2R3 A 8EIW1F2由Vε=W得y

4EI ((Energy例題 拉桿彈性范圍內(nèi)工作.抗拉剛度EI,受到F1和AaBbCAaBbC⑴若先B截面然后C截面⑵若先C截面然后B截面分別計(jì)算兩種加力方法拉桿的應(yīng)變能(Energy(EnergyB截面F1,然后C截面abB截面F1,B截面的位ab 外力作W1

F F C1 2 C再在C上加CCC截面的位

F2(aF2

W2

F2(a F2C (Energy(Energy在加F2后,B截面又有abBabB在加F2過(guò)程中F1作功（常力作功 W

C 1 C所以應(yīng)變VW1F 1F C 112F2aF2(ab)FF12 (Energy(Energy若先在C截面加F2,然后B截面加ab在C截面加F2后,F2作 ab F2(a 2EA在B截面加F1后,F1作 FF 2EA(Energy(EnergyabF1C截面的ab

注意

VW1F 1F F C B 2F2aF2(ab)FF 2 計(jì)算外力作功時(shí),注意變力作功與常力作功的區(qū)別應(yīng)變能Vε只與外力的最終值有關(guān),而與加載過(guò)程序無(wú)關(guān) (Energy(Energy§13-3互等定理（ReciprocalTheorems的互等定理（Reciprocalworktheorem 兩力作用點(diǎn)沿的位移分 1F1F 在結(jié)構(gòu)上再作F3 沿F3和F4方向的相應(yīng) F

完成的功

1F1F (Energy(Energy在F3和F4的作用下,F1和F2的作用點(diǎn)又有44 F1F2成的功Fδ'F 因此,按先加F1,F2后的次序加力,結(jié)構(gòu)的應(yīng) 1Fδ1Fδ1Fδ1FδF

F

(Energy(Energy若按先加F3,F4后加F1,F2的次序加力,又可求得結(jié) 1Fδ1Fδ1Fδ1FδFδ'Fε2 由于應(yīng)變能只決定于力最最值,與加力的次序無(wú)關(guān),Vε1Fδ'Fδ'Fδ'F1 314功的互等定理（reciprocalwork(Energy(Energy§13-4單位載荷法(定理（Unit-loadmethodormohr’s一、定理的推導(dǎo)（Derivationofmohr’s求任意點(diǎn)A的位移A(Energy(EnergyA先作AF,再作用 F 1、變形圖M2(AVεA

2EIVε

M2x 圖AAVε1VεVε1

圖 ((Energy單位載荷與真任意截面的彎矩

M(x)M([M(x)M(變形能

Vε2

2EI

V

1

[M(x)M(x)]2

2EIV

1

[M(x)M(x)]2

2EIM2(

M2(

M(x)M(

2EI

dx

2EI

dx (Energy(EnergywA

M(x)M(x)

（Mohr’s M(x)M(x) n桁架 Δni 定

Δ M(x)M(x) （Generalformulaformohr’sΔ

FN(x)FN(x)dx

T(x)T(x)dx

M(x)M(x)

注意:上式中應(yīng)看成廣義位移,把單位力看成對(duì)應(yīng)的廣義力(Energy(Energy三、使用定理的注意事（1）M（x）：結(jié)構(gòu)在原載荷下的內(nèi)力 ——去掉主動(dòng)力,在所求廣義位移點(diǎn),的方向加廣義單位力時(shí),結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的內(nèi)力 所加廣義單位力與所求廣義位移之積,必須為功的量綱（4）M（x與M（x）的坐標(biāo)系必須一致,每段桿的坐自由建立（5）積分必須遍及整個(gè)結(jié)構(gòu)例題抗彎剛度為EI的等截面簡(jiǎn)支均布荷載作用,用單位荷法求梁中點(diǎn)的撓度wC和支座A截面的轉(zhuǎn)角.剪力對(duì)彎曲的不計(jì)A

l

B解:在實(shí)際荷載作用下,x截面的彎

實(shí)際載荷M(x)

x

(0xl (Energy(Energy

ql/2

A l

Cx求C截面的在C點(diǎn)加一向下的單位力

單位載荷系x截面的彎

M(x)12

(0xl2M(

l/

wClM(x)

2

2EI

x2

2 5ql

A

l

1A

Bx實(shí)際載荷求A截面的轉(zhuǎn)A截面加一單位引起x截面的彎

單位載荷系M(x)1x (0xll M(x)

M(x)dx

1(

x

ql

（（順時(shí)針

(Energy(Energy例題圖示外伸梁,其抗彎剛EI.用單位載荷法求C度和轉(zhuǎn)角q

x 實(shí)際載荷

x 單位載荷F解 F 求截面的撓度（在C處加一單位力

M(x) x

M(x)2(Energy(EnergyAB1CxAB1Cxa x 實(shí)際載荷 M(x)qa M(x)

單位載荷 1

2a

x

x)dx

(qax)( EI0

aa(Energy(Energy實(shí)際載荷系

單位載荷系 ABCxxa求C截面的轉(zhuǎn)ABCxxa

M(x)qax

M(x)

M(x)qa M(x)

C

(2x3

)dx

0 （ ((Energy例題剛架的自由端A作用集中力F.剛架各段的抗彎剛度已于圖中標(biāo)出.不計(jì)剪力和軸力對(duì)位移的影響.計(jì)算A點(diǎn)的垂直位移及B解:（1）計(jì)算點(diǎn)的垂直位移在點(diǎn)加垂直向下的單位力BalBalCA C(Energya M(x)Fx M(x)Fa

M(x) M(x) F aM(x)M( lM(x)M( a1EIa1

dx0

EI2Ca (Fx)(x)dx1

實(shí)際載荷xAEI2

(Fa)(a)dx 010 Fa

單位載荷6((Energya（2）計(jì)算B截面的轉(zhuǎn)角,在B上加一個(gè)單位力偶 A M(x)Fx M(x)Fa

M(x) M(x) l aM(x)M( lM(x)M(1 1

dx0

EI2

C實(shí)際載荷1B1BxxC

(Fx)(0)dx 1

l單位載荷系統(tǒng)l （(Energy(Energy例題圖示為一水平面內(nèi)的曲桿，B處為一剛性ABC=90°C處承受豎直力F，設(shè)兩桿的抗彎剛度和抗扭剛度分別EIGIp，求C點(diǎn)豎向的位移.ABABbaC實(shí)際載荷實(shí)際載荷Axxba單位載荷AxxbaC解:在C點(diǎn)加豎向單位力 M(x)FxT(x)

M(x)xT(x)0

M(x)T(x)Fb

M(x)T(x)(EnergyAxxbAxxbaAxxba

M(x)M(x)dx

T(x)TEI 11p11abaEI0(Fx)(x)dxEI0(Fx)(x)dxaba1

0

3EI

b3)

(Energy(Energy例題圖示為一簡(jiǎn)單桁架,其各桿的EA相等.在圖示荷載作用下AC兩節(jié)點(diǎn)間的相對(duì)位移2a2 桁架求位移的單位載荷2a2

nnΔi

2a2 1

1 實(shí)際載荷系

a單位載荷 桿件FNi FNiFNili1012a02-12a23214-12a25-12a26F0a072008-0a0900a0

)

4.12 i

(2

2A,C兩點(diǎn)間的距離縮短2例題計(jì)算圖（a）所示開口圓環(huán)在F力作用下切口的張開量ABEI=常數(shù)FO FO BRF(Energy解 1 1 OA單位載荷AO實(shí)際載荷

Mππ

πFR2(1cos)

(Energy(Energy§13-5卡氏定理(Castigliano’s任何剛性位移作用有外力F1,F2,,Fi,相應(yīng)的位移結(jié)構(gòu)的變形VW1Fδ1Fδ1Fδ (Energy(EnergyFi一個(gè)增Fi引起所有力的作用點(diǎn)沿力方向的位移增量為Δδ1,Δδ2,Δδ3

在作用Fi的過(guò)程中,Fi的功

1 1原有的所有力F1Δδ1F2Δδ2FiΔδi結(jié)構(gòu)應(yīng)變能的增量ΔV1ΔFΔδFΔδFΔδFΔδ2 2(Energy(Energy略去高階微 1ΔF ΔVεF1Δδ1F2Δδ2FiΔδi如果把原來(lái)的力看作第一組力,而把Fi看作第二組力.F1Δδ1F2Δδ2FiΔδiΔFi

或者

i i當(dāng)Fi趨于零趨于零時(shí)上式

這就是卡氏第二定理（Castigliano’sSecondTheorem） (Energy(Energy說(shuō)明卡氏第二定理只適用于線性彈性iδi Fi為廣義為相應(yīng)的位一個(gè)線一個(gè)線一個(gè)角位一個(gè)相對(duì)線相對(duì)角一對(duì)(Energy(Energy卡氏第二定理的應(yīng)軸向拉伸與 F2(

F( F(δi ε

2EA扭

δVε

T2(x)dx

T(

T(x)ipip

Fi p

彎δVε

M2(x)dx

M(x)M(x)ii

Fi

(Energy(Energy平面組合變

δi

nn

FNjl

δ

F2(

T2(

M2(

[ N NFN(x)FN(x)dxT(x)T(x)dxM(x)M(x)(Energy(Energy BCAFla(Energy(Energy解

MeMFe MFe Ala

M(x)(

Fa)x

M1(x1

a

M1(x1)x1

M2(x2)Fx2M2(x2)

M2(x2)(Energy(EnergyMFe Ala lMMFe Ala

dx1aM2(x2 M2(x2

1(Fla2Mela

lAl

M1(

M(1 dx11

M2(x2)aa

M(x

1(MelFla （ (Energy(Energy例題剛架結(jié)構(gòu)如圖所示.彈性模量EI已知。材料為線彈性.慮軸力和剪力的影響，計(jì)算C截面的轉(zhuǎn)角和D截面的水平位移在C截面虛設(shè)Ma在D截面虛設(shè)一水平力 FRDF1( M) FRAx

CB

(Energy(EnergyCD:M(x)[F