數(shù)學(xué)必修五完整筆記含習(xí)題和答案

27-/NUMPAGES27目錄必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié) -2-含參不等式 -9-一元二次不等式 -12-均值不等式 -16-整式不等式（高次不等式） -23-分式不等式 -24-絕對(duì)值不等式 -25-不等式關(guān)系 -27-線性歸納 -27-

必修5知識(shí)點(diǎn)總結(jié)1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對(duì)邊，為的外接圓的半徑，則有．2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；=4\*GB3④．（正弦定理主要用來(lái)解決兩類問(wèn)題：1、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。2、已知兩角和一邊，求其余的量。）⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無(wú)解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想DbsinADbsinAAbaC當(dāng)無(wú)交點(diǎn)則B無(wú)解、當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：當(dāng)a<bsinA，則B無(wú)解當(dāng)bsinA<a≤b,則B有兩解當(dāng)a=bsinA或a>b時(shí)，B有一解注：當(dāng)A為鈍角或是直角時(shí)以此類推既可。3、三角形面積公式：．4、余弦定理：在中，有，，．5、余弦定理的推論：，，．(余弦定理主要解決的問(wèn)題：1、已知兩邊和夾角，求其余的量。2、已知三邊求角)6、如何判斷三角形的形狀：設(shè)、、是的角、、的對(duì)邊，則：=1\*GB3①若，則；CABD=2\*GB3②若，則；=3\*GB3③若，則．CABD正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,但不能到達(dá)，在岸邊選取相距千米的C、D兩點(diǎn)，并測(cè)得∠ACB=75O,∠BCD=45O,∠ADC=30O,∠ADB=45O(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。本題解答過(guò)程略附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).7、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．8、數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)．9、有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列．10、無(wú)窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列．11、遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1>an）．12、遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都不大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列（即：an+1<an）．13、常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列（即：an+1=an）．14、擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．15、數(shù)列的通項(xiàng)公式：表示數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系的公式．16、數(shù)列的遞推公式：表示任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系的公式．17、如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．符號(hào)表示:。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①②2()③(為常數(shù)18、由三個(gè)數(shù)，，組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項(xiàng)．若，則稱為與的等差中項(xiàng)．19、若等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，則．20、通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．21、若是等差數(shù)列，且（、、、），則；若是等差數(shù)列，且（、、），則．22、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．③23、等差數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項(xiàng)數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項(xiàng)數(shù)為，則，且，（其中，）．24、如果一個(gè)數(shù)列從第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號(hào)表示：（注：①等比數(shù)列中不會(huì)出現(xiàn)值為0的項(xiàng)；②同號(hào)位上的值同號(hào)）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①②(，)③(為非零常數(shù)).④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列.25、在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項(xiàng)．若，則稱為與的等比中項(xiàng)．（注：由不能得出，，成等比，由，，）26、若等比數(shù)列的首項(xiàng)是，公比是，則．27、通項(xiàng)公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．28、若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則．29、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式：①．②30、對(duì)任意的數(shù)列{}的前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系：[注]：①（可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{}前n項(xiàng)和→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常見(jiàn)的數(shù)列的思想方法：⑴等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在時(shí)，有最大值.如何確定使取最大值時(shí)的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式與函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項(xiàng)公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前n項(xiàng)和公式對(duì)應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時(shí)為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點(diǎn)揭開(kāi)了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問(wèn)題提供了非常有益的啟示。例題：1、等差數(shù)列中，，則.分析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點(diǎn)共線，所以利用每?jī)牲c(diǎn)形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上）例題：2、等差數(shù)列中，，前n項(xiàng)和為，若，n為何值時(shí)最大？分析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，是拋物線=上的離散點(diǎn)，根據(jù)題意，，則因?yàn)橛笞畲笾?，故其?duì)應(yīng)二次函數(shù)圖像開(kāi)口向下，并且對(duì)稱軸為，即當(dāng)時(shí)，最大。⑵如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前項(xiàng)和可依照等比數(shù)列前項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：⑶兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差的最小公倍數(shù).2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證都成立。3.在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)Sn的最值問(wèn)題：(1)當(dāng)>0,d<0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)m使得取最小值。在解含絕對(duì)值的數(shù)列最值問(wèn)題時(shí),注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。數(shù)列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項(xiàng)相消法:適用于其中{}是各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無(wú)理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an=,求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=∴3.錯(cuò)位相減法:適用于其中{}是等差數(shù)列，是各項(xiàng)不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為，求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和。解：由題設(shè)得：=即=①把①式兩邊同乘2后得=②用①-②，即：=①=②得∴4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=3）4）5）6）

含參不等式一、判別式法：若所求問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對(duì)于二次函數(shù),有1）對(duì)恒成立；2）對(duì)恒成立。例1．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：由題設(shè)可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式對(duì)恒成立，即有解得。所以實(shí)數(shù)的取值范圍為。若二次不等式中的取值范圍有限制，則可利用根的分布解決問(wèn)題。例2．設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，恒成立當(dāng)時(shí)，顯然成立；Oxyx-1當(dāng)Oxyx-1解得。綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍為。二、最值法將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的一種處理方法，其一般類型有：1）恒成立2）恒成立例3．已知，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：設(shè)，則由題可知對(duì)任意恒成立令，得而∴，∴即實(shí)數(shù)的取值范圍為。例4．已知函數(shù)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：若對(duì)任意，恒成立，即對(duì)，恒成立，考慮到不等式的分母，只需在時(shí)恒成立而得而拋物線在的最小值得注：本題還可將變形為，討論其單調(diào)性從而求出最小值。三、分離變量法若所給的不等式能通過(guò)恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進(jìn)而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值，但它思路更清晰，操作性更強(qiáng)。一般地有：1）恒成立2）恒成立實(shí)際上，上題就可利用此法解決。略解：在時(shí)恒成立，只要在時(shí)恒成立。而易求得二次函數(shù)在上的最大值為，所以。例5．已知函數(shù)時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，令，則由可知在上為減函數(shù)，故∴即的取值范圍為。注：分離參數(shù)后，方向明確，思路清晰能使問(wèn)題順利得到解決。四、變換主元法處理含參不等式恒成立的某些問(wèn)題時(shí)，若能適時(shí)的把主元變量和參數(shù)變量進(jìn)行“換位”思考，往往會(huì)使問(wèn)題降次、簡(jiǎn)化。例6．對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍。分析：題中的不等式是關(guān)于的一元二次不等式，但若把看成主元，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為一次不等式在上恒成立的問(wèn)題。解：令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立（）。當(dāng)時(shí)，可得，不合題意。當(dāng)時(shí)，應(yīng)有解之得。故的取值范圍為。注：一般地，一次函數(shù)在上恒有的充要條件為。五、數(shù)形結(jié)合法數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”，這充分說(shuō)明了數(shù)形結(jié)合思想的妙處，在不等式恒成立問(wèn)題中它同樣起著重要作用。我們知道，函數(shù)圖象和不等式有著密切的聯(lián)系：1）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象上方；2）函數(shù)圖象恒在函數(shù)圖象下上方。例7．設(shè),,若恒有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.x-2-4yO-4解：在同一直角坐標(biāo)系中作出及x-2-4yO-4的圖象是半圓的圖象是平行的直線系。要使恒成立，則圓心到直線的距離滿足，解得（舍去)由上可見(jiàn)，含參不等式恒成立問(wèn)題因其覆蓋知識(shí)點(diǎn)多，方法也多種多樣，但其核心思想還是等價(jià)轉(zhuǎn)化，抓住了這點(diǎn)，才能以“不變應(yīng)萬(wàn)變”，當(dāng)然這需要我們不斷的去領(lǐng)悟、體會(huì)和總結(jié)。一元二次不等式一元二次不等式：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的不等式．二次函數(shù)（）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R解一元二次不等式的步驟：①將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”：A=>0(或<0)(a>0)②計(jì)算判別式，分析不等式的解的情況：ⅰ.>0時(shí)，求根<，ⅱ.=0時(shí)，求根＝＝，ⅲ.<0時(shí)，方程無(wú)解，③寫(xiě)出解集.一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的實(shí)根的分布常借助二次函數(shù)圖像來(lái)分析：設(shè)ax2+bx+c=0的兩根為，f(x)=ax2+bx+c,那么：對(duì)稱軸x=yox①對(duì)稱軸x=yox對(duì)稱軸x=oxy②若兩根都小于0，即對(duì)稱軸x=oxyooyx③若兩根有一根小于0一根大于0，即，則有X=nxmX=nxmoy則有X=yomX=yomtnx則有常由根的分布情況來(lái)求解出現(xiàn)在a、b、c位置上的參數(shù)例如：若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求的取值范圍。解：由①型得所以方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根時(shí)，。又如：方程的一根大于1，另一根小于1，求的范圍。解：因?yàn)橛袃蓚€(gè)不同的根，所以由訓(xùn)練：二次方程的兩根為，，且，那么的解集為（C）.（A）（B）（C）（D）練習(xí)：1.下列不等式：①；②；③；④；⑤；⑥.其中是一元二次不等式的有（C）個(gè).（A）（B）（C）（D）2.不等式的解集為（C）.(A)(B)（C）（D）3.已知，則的取值范圍是（C）.(A)(B)R（C）（D）4.已知二次不等式的解集為，則的值為（D）.（A）（B）（C）（D）5.若關(guān)于的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（B）.(A)(B)（C）（D）6．若集合，則.7.函數(shù)的定義域是.8.方程有兩不等個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.9.不等式的解集是，試確定的值.【小可愛(ài)老師說(shuō)】注意“三”個(gè)二次之間的關(guān)系.解：由解集的形式和韋達(dá)定理可知.【小可愛(ài)老師說(shuō)】注意一元二次不等式的解集與一元二次方程根的關(guān)系.10.求函數(shù)的定義域.【小可愛(ài)老師說(shuō)】以解析式給出的函數(shù)的定義域，是使解析式有意義的的集合.解：由函數(shù)的解析式有意義，得即所以函數(shù)的定義域?yàn)?【小可愛(ài)老師說(shuō)】求定義域的實(shí)質(zhì)就是解不等式組.練習(xí)1.若關(guān)于的不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.2.在R上定義運(yùn)算若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)均成立，則（C）.（A）（B）（C）（D）

均值不等式設(shè)、是兩個(gè)正數(shù)，則稱為正數(shù)、的算術(shù)平均數(shù)，稱為正數(shù)、的幾何平均數(shù)1.(1)若，則 (2)若，則 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2.(1)若，則 (2)若，則 （當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）5.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）『ps.(1)當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”．(2)求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用』均值不等式定理：若，，則，即．極值定理：設(shè)、都為正數(shù)，則有：=1\*GB2⑴若（和為定值），則當(dāng)時(shí)，積取得最大值．=2\*GB2⑵若（積為定值），則當(dāng)時(shí)，和取得最小值．例：已知，求函數(shù)的最大值。解：∵，∴，由原式可以化為：當(dāng)，即時(shí)取到“=”號(hào)也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)有應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋eq\f(1,2x2)（2）y＝x＋eq\f(1,x)解：(1)y＝3x2＋eq\f(1,2x2)≥2eq\r(3x2·eq\f(1,2x2))＝eq\r(6)∴值域?yàn)閇eq\r(6)，+∞）(2)當(dāng)x＞0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·eq\f(1,x))＝2；當(dāng)x＜0時(shí)，y＝x＋eq\f(1,x)=－（－x－eq\f(1,x)）≤－2eq\r(x·eq\f(1,x))=－2∴值域?yàn)椋ǎ蓿?]∪[2，+∞）解題技巧技巧一：湊項(xiàng)例已知，求函數(shù)的最大值。 解：因，所以首先要“調(diào)整”符號(hào)，又不是常數(shù)，所以對(duì)要進(jìn)行拆、湊項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，。評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)，即x＝2時(shí)取等號(hào)當(dāng)x＝2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。變式：設(shè)，求函數(shù)的最大值。解：∵∴∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立。技巧三：分離例3.求的值域。解析一：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x＋1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng),即時(shí),（當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，可先換元，令t=x＋1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2即x＝1時(shí)取“＝”號(hào)）。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開(kāi)或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開(kāi)再利用不等式求最值。即化為，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。技巧五：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤＞毩?xí)．求下列函數(shù)的最小值，并求取得最小值時(shí)，x的值.（1）（2）(3)2．已知，求函數(shù)的最大值.；3．，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值，解：都是正數(shù)，≥當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6．變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。。2：已知，且，求的最小值。錯(cuò)解：，且，故。錯(cuò)因：解法中兩次連用均值不等式，在等號(hào)成立條件是，在等號(hào)成立條件是即,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，在利用均值不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。正解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立，又，可得時(shí)，。變式：（1）若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七已知x，y為正實(shí)數(shù)，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，求xeq\r(1＋y2)的最大值.分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤eq\f(a2＋b2,2)。同時(shí)還應(yīng)化簡(jiǎn)eq\r(1＋y2)中y2前面的系數(shù)為eq\f(1,2)，xeq\r(1＋y2)＝xeq\r(2·eq\f(1＋y2,2))＝eq\r(2)x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))下面將x，eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))分別看成兩個(gè)因式：x·eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(x2＋(eq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2)))2,2)＝eq\f(x2＋eq\f(y2,2)＋eq\f(1,2),2)＝eq\f(3,4)即xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2)·xeq\r(eq\f(1,2)＋eq\f(y2,2))≤eq\f(3,4)eq\r(2)技巧八：已知a，b為正實(shí)數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)y＝eq\f(1,ab)的最小值.分析：這是一個(gè)二元函數(shù)的最值問(wèn)題，通常有兩個(gè)途徑，一是通過(guò)消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問(wèn)題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，這種途徑是可行的；二是直接用基本不等式，對(duì)本題來(lái)說(shuō)，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過(guò)解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a＝eq\f(30－2b,b＋1)，ab＝eq\f(30－2b,b＋1)·b＝eq\f(－2b2＋30b,b＋1)由a＞0得，0＜b＜15令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝eq\f(－2t2＋34t－31,t)＝－2（t＋eq\f(16,t)）＋34∵t＋eq\f(16,t)≥2eq\r(t·eq\f(16,t))＝8∴ab≤18∴y≥eq\f(1,18)當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時(shí)，等號(hào)成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2eq\r(2ab)∴30－ab≥2eq\r(2ab)令u＝eq\r(ab)則u2＋2eq\r(2)u－30≤0，－5eq\r(2)≤u≤3eq\r(2)∴eq\r(ab)≤3eq\r(2)，ab≤18，∴y≥eq\f(1,18)點(diǎn)評(píng)：①本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運(yùn)算能力；②如何由已知不等式出發(fā)求得的范圍，關(guān)鍵是尋找到之間的關(guān)系，由此想到不等式，這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含的不等式，進(jìn)而解得的范圍.變式：1.已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。

2.若直角三角形周長(zhǎng)為1，求它的面積最大值。技巧九、取平方5、已知x，y為正實(shí)數(shù)，3x＋2y＝10，求函數(shù)W＝eq\r(3x)＋eq\r(2y)的最值.解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，eq\f(a＋b,2)≤eq\f(a2＋b2,2)，本題很簡(jiǎn)單eq\r(3x)＋eq\r(2y)≤eq\r(2)eq\r(（eq\r(3x)）2＋（eq\r(2y)）2)＝eq\r(2)eq\r(3x＋2y)＝2eq\r(5)解法二：條件與結(jié)論均為和的形式，設(shè)法直接用基本不等式，應(yīng)通過(guò)平方化函數(shù)式為積的形式，再向“和為定值”條件靠攏。W＞0，W2＝3x＋2y＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)＝10＋2eq\r(3x)·eq\r(2y)≤10＋(eq\r(3x))2·(eq\r(2y))2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤eq\r(20)＝2eq\r(5)變式:求函數(shù)的最大值。解析：注意到與的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)=，即時(shí)取等號(hào)。故。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件?？傊?，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。應(yīng)用二：利用均值不等式證明不等式1．已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足a＋b＋c＝1，求證：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用均值不等式可得三個(gè)“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。。同理，。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。應(yīng)用三：均值不等式與恒成立問(wèn)題例：已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：令，。，應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若，則的大小關(guān)系是.分析：∵∴（∴R>Q>P。

整式不等式（高次不等式）穿根法（零點(diǎn)分段法）求解不等式：解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化“+”；(為了統(tǒng)一方便)②求根，并將根按從小到大的在數(shù)軸上從左到右的表示出來(lái)；③由右上方穿線（即從右向左、從上往下：偶次根穿而不過(guò)，奇次根一穿而過(guò)），經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)（為什么？）；④若不等式（x的系數(shù)化“+”后）是“>0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”,則找“線”在x軸下方的區(qū)間.++——++——XX1X2X3Xn-2Xn-1Xn++++-214x（自右向左正負(fù)相間）例題：求不