2023年人教版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第一部分考點(diǎn)指導(dǎo)第八章立體幾何第六節(jié)第2課時(shí)用空間向量研究距離問題

第2課時(shí)用空間向量研究距離問題【考試要求】了解利用空間向量求空間距離的方法，會(huì)求空間距離.【高考考情】考點(diǎn)考法：高考命題常以空間幾何體為載體考查空間距離，難度中檔，特別是點(diǎn)到面的距離是考查熱點(diǎn).核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)直觀O- =—知識(shí)梳理二思碓激話- -O歸納?知識(shí)必備空間中的距離”名稱概念求法兩點(diǎn)距空間中兩個(gè)點(diǎn)連線的線段長求向量的模設(shè)直線/的單位方向向量為u,AG1,點(diǎn)線距過空間一點(diǎn)作一條直線的垂線段的長代I,設(shè)9=a,則點(diǎn)P到直線/的距離d=J|a|2—(a*u)2已知平面a的法向量為n,a，氏a,點(diǎn)面距過平面外一點(diǎn)作平面的一條垂線段的長向占。到平面。的用重力"I"'"則點(diǎn)〃至UT[ffl。日勺此1禺為d—n線面距當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)面距面面距當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面上的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離注解1兩點(diǎn)距、點(diǎn)線距都可用空間向量的模來求解，而線面距和面面距可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距,利用平面的法向量來求解.智學(xué)?變式探源1.選擇性必修一P34例62.選擇性必修一P38練習(xí)T3L（改變條件）在棱長為1的正方體力比348G〃中，￡為4〃的中點(diǎn)，則點(diǎn)C到直線方的距離為（）【解析】選c.建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,則C(l,1,0),G(l,1,1),40,g，1)，所以=(-19—萬，1)，CC]=(0,0,1),所以點(diǎn)G到直線用的距離d=|cq]所以點(diǎn)G到直線用的距離d=|cq]2-(cq.CE,2~^~r42.（改變圖形）如圖,在棱長為2.（改變圖形）如圖,在棱長為1的正方體ABC》A\B、C\D、中,平面44。與平面的距離d是（）C."ODYC."ODY【解析】選B.如圖,以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以加，【解析】選B.如圖,以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以加，DC,〃〃所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，連接BD,BD交AC于點(diǎn)、E,則6(1,1,0),〃(0,0,0),〃(0,0,1),因?yàn)槿鏮L47,ACLBD,BDCDD產(chǎn)D,所以4C_L平面D、DB,所以BD\LAC.同理可證BD\LAB\.因?yàn)榱?口仍=4所以8〃，平面45C,即BD；是平面45。的一個(gè)法向量.因?yàn)槠矫?5?！ㄆ矫?所以點(diǎn)〃到平面45。的距離即為兩平面之間的距離.i-i-(1 1因?yàn)辇?b，9,I乙乙0,BD,=（-1,所以d_\麗?西|2X（-1）+2X（-1）+0X1所以|BE\| W+l+1慧考?四基自測(cè)3.基礎(chǔ)知識(shí)4.基本方法5.基本應(yīng)用6.基本能力3.(求點(diǎn)面距)在空間直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，平面以6的一個(gè)法向量為a=(2,-2,1),已知點(diǎn)夕(一1,3,2),則點(diǎn)夕到平面的6的距離d等于( )A.4B.2C.3D.10P?n I—2—6+2I【解析】選B.點(diǎn)尸到平面的8的距離為=1 ] =2..(求兩點(diǎn)距)已知灑=(2,1,1),龐=(1,3,1),則點(diǎn)43之間的距離為.【解析】因?yàn)殄?0B-0A=(—1，2,0),所以46=AB(-1)2+22+02=乖.答案：乖.(由點(diǎn)面距求參數(shù))已知平面。的法向量為〃=(一2,-2,1),點(diǎn)加X,3,0)在平面。內(nèi),若點(diǎn)夕(一2,1,4)到平面。的距離d為與，則*=.【解析】已知d="丁=與，因?yàn)槌?(-2—x,-2,4),n3cr. |—2(—2—x)+4+41 10 ?所以d= /…一, =-7，解得*=—1或一1L44+4+1 3答案：一1或一11

.(求線面距)如圖，在棱長為1的正方體力比243K〃中，機(jī)加分別是線段8旦，的中點(diǎn)，則直線助V到平面力切的距離為.【解析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則平面4M的一個(gè)法向量為(1，1，1)，由題意，知1, ,月(1,0,0),所以沏=(0,1,1?(1,1,1)所以點(diǎn)〃到平面力切的距離為d=~易知MN〃A%,又因?yàn)镴W平面力幼，力〃u平面/制,所以MN//平面ACD、,所以"V到平面ACD,的距離為好乙?、考點(diǎn)、摞寬?悟法培優(yōu),自主練透“考點(diǎn)一兩點(diǎn)距自主練透.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA=(1,1,-2),OB=(3,2,8),OC=(0,1,0),則線段48的中點(diǎn)尸到點(diǎn)。的距離為().B.2^/14 C.-\[53 D.

【解析】選D.因?yàn)檗k(0A+08)=義(4,3,6)=(2, 30C=(0,1,0),所以瓦"應(yīng)1一澇7=(-2,-1,一3),所以|死'|=^4+；+9=亨..如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中，有一棱長為a的正方體力比B'CD',A'。的中點(diǎn)后與的中點(diǎn)/的距離為.【解析】易知4(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A'(a,0,a),答案.譙i—i? 2教師專用?教師專用?【規(guī)律方法】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的基本方法(1)把線段用向量表示，然后利用|a『=a?a,通過向量運(yùn)算求|a.(2)求解的圖形適合建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)，可用坐標(biāo)法求向量的長度(或兩點(diǎn)間距離).【加練備選】如圖，空間四邊形/靦的每條棱和對(duì)角線的長都等于1,點(diǎn)〃，N分別是46,切的中點(diǎn)，則

妙的長為由題意”—IQ=|r|=1,且pq,r三向量兩兩夾角均為60°.【解析】設(shè)拔=p，【解析】設(shè)拔=p，AC=q,AD=cW='AN—AM=：(AC+~AD)—：AB=：(q+2p).乙 乙 乙所以|說「=阪?麻=；(q+r—p)?(q+r—p)=；[4+P+/+2(q?r-q?0—r?夕)]=[X2=,1.所以肺1=乎，即腑的長為平.答案.亞I—I? 27考點(diǎn)二點(diǎn)線距 |講練互動(dòng)[典例1](1)直角AABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC_L平面ABC,PC=2,則點(diǎn)P到直線AB的距離是.(2)直角4ABC的兩條直角邊(2)直角4ABC的兩條直角邊BC=3,AC=4,PC_L平面ABC,是 .【解析】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA,CB,CP所在直線分別為x間直角坐標(biāo)系.以則A(4,0,0),B(0,3,0),P(0,0,2),所以靠=(-4,3,0),AP=(-4,0,2),PB=(0,3,r 宓<43 、(1)取a—月尸一(一4,0,2),u— ——(->口，0,\AB\155)則點(diǎn)夕到直線49的距離為d—4a? (a?u)'—^20一'(2)取力一力-(4, 3,0),r= -fo,一立里，2-BPI 13PC=2,則點(diǎn)A到直線PB的距離軸、y軸、z軸建立如圖所示的空—2).562洞25—5 .13),則點(diǎn)A到直線陽的距離則點(diǎn)A到直線陽的距離dK"(b?「)13答案：⑴雪⑵等5 13，規(guī)律方法計(jì)算點(diǎn)到直線距離的基本方法(1)先求出直線的方向向量，再計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影向量的模，最后利用勾股定理求點(diǎn)到直線的距離.(2)在直線上設(shè)出垂線段的垂足的坐標(biāo)，利用共線和垂直求出垂足坐標(biāo)，再求向量的模.，對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練如圖，在長方體力比D45G〃中，AA{=AB=2,AD=1,F,G分別是46,少的中點(diǎn)，則點(diǎn)〃到直線0的距離為.【解析】如圖，以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,〃〃所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則〃(0,0,2),尸(1,1,0),6(0,2,1),所以港=(1,-b-1),期=(0,-2,1),所以望=亍邛,畫卜m'所以點(diǎn)〃到直線GF的距離為=華.答案:華y考點(diǎn)三點(diǎn)面距、線面距與面面距 I講練互動(dòng)［典例2］如圖，已知正方形4靦的邊長為1,如，平面4靦，且勿=1,E,6分別為16,BC的中點(diǎn).p(1)求點(diǎn)〃到平面必尸的距離；(2)求直線力。到平面陽'的距離.【解析】(1)建立以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,而分別為x軸、y軸、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則尸(0,0,1),4(1,0,0),。(0,1,0),彳1, 0),年，1,，〃(0'0'0)'所以所=2,'~PE=(1, ,面=(-L—2(0)'設(shè)平面陽'的一個(gè)法向量a=(x,y,z),f1,1\n-EF=0,TL則〈 即〈.—?5?陽=0, x+-y_Z=Q、乙取x=2,則夕=2,z=3,所以a=(2,2,3),所以點(diǎn)〃到平面陽'的距離=^====噂，n^4+4+9 17因此點(diǎn)〃到平面陽'的距離為.⑵因?yàn)榉聪Ψ謩e為44,寬的中點(diǎn)，所以用〃又因?yàn)?71平面陽；班z平面陽；所以47〃平面兩因?yàn)樯?(o,—o),所以點(diǎn)力到平面際的距離d=窄?=蘇=平所以直線4C到平面陽'的距離為華.?規(guī)律方法1.求點(diǎn)到平面的距離的步驟(1)求線面距離可以轉(zhuǎn)化為求直線上任意一點(diǎn)到平面的距離,利用求點(diǎn)到平面的距離的方法求解即可；(2)求兩個(gè)平行平面間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到平面的距離,利用求點(diǎn)到平面的距離的方法求解即可.?對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練.若三棱錐月力a'的三條側(cè)棱兩兩垂直，且滿足陽=%=夕。=1,則點(diǎn)夕到平面46。的距離是()【解析】選D.以夕為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為，PB,A7所在的直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則4(1,0,0),8(0,1,0),C(0,0,1),夕(0,0,0).6c可以求得平面46c的一個(gè)法向量為a=（1,1,1）,則4I』；川=坐..（多選題）正方體4兆745G〃的棱長為2,E,F,G分別為a；CC、,仍的中點(diǎn).則（）A.直線緒與直線45'垂直B.直線4G與平面力"'平行9C.平面力跖截正方體所得的截面面積為2D.點(diǎn)4和點(diǎn)〃到平面力砥的距離相等【解析】選仇力.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,函分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),E(l,2,0),F(0,2,1),D(0,0,0),D,(0,0,2),G(2,2,1),A,(2,0,2),所以前=(-b0,1),AE=(-1,2,0),AF=(-2,2,1),AG=(0,2,1),AD—(—2,0,0),A,G=(0,2,—1).

對(duì)于4：因?yàn)樾?AE=1+0+0=1#0,所以直線EF與直線AE不垂直.所以力錯(cuò)誤；對(duì)于6：設(shè)平面AEF的法向量a=(x,y,z),\n,~AE=—x+2y=Q / 、則J ,取y=l,得a=(2,1,2).[n?赤=-2x+2y+z=0因?yàn)锳U?“=0+2—2=0且4H平面4M所以直線4G與平面力跖平行.所以B正確；對(duì)于C：連接力〃，切，因?yàn)椤?6分別是6GCG的中點(diǎn)，所以平面力斷截正方體所得的截面為梯形AEFh所以平面力旗截正方體所得的截面面積為AR+EFS=--AR+EFS=---X/?=、4+4+1\/4+4所以C正確;對(duì)于D：由前面可知平面1廝的法向量〃=(2,1,2),AA'=(0,0,2),DA=(2,0,0DA=(2,0,0),所以點(diǎn)4到平面45F的距離力=AA1?n0+0+2X2#4+1+4點(diǎn)。到平面力/的距離d=~DA?n|2X2+0+0|_4W+l+4 3所以點(diǎn)4和點(diǎn)〃到平面的距離相等，所以D正確..正方體9〃的棱長為4,〃，N,E,夕分別為48,CD,8G的中點(diǎn)，求平面力*與平面廳以〃間的距離.【解析】如圖所示，以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,〃〃所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則力(4,0,0),M2,0,4),〃(0,0,0),6(4,4,0),￡(0,2,4),6(2,4,4),M4,2,4).從而詼=(2,2,0),痂=(2,2,0),奇=(一2,0,4),BF=(-2,0,4),所以詼=MN,AM=BF,所以EF〃MN,AM//BF,EFCBF=F,所以平面4W平面EFBD.設(shè)a=(x,y,z)是平面力*的一個(gè)法向量，A?痂=2x+2y=0, 1x=2z,則 解得.?正一2x+4z=0,取z=l,得a=(2,—2,1),由于法=(0,4,0),所以兩平行平面間的距離d="*2=?.\n\ 3電1【加練備選】在直三棱柱中，A4=AB=BC=3,AC=2,〃是47的中點(diǎn).(1)求證：6c〃平面4切；(2)求直線5C到平面上切的距離.【解析】⑴連接加交43于