2023學(xué)年黑龍江省哈爾濱市哈三中高三下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．近年來，隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代，各種方便的相繼出世，其功能也是五花八門.某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途，隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，各主要用途與對應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示，現(xiàn)有如下說法：①可以估計(jì)使用主要聽音樂的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù)；②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用主要玩游戲；③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過總數(shù)的.其中正確的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．已知數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，若、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．4．已知平行于軸的直線分別交曲線于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A． B． C． D．5．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則的最大值為A．2 B． C． D．6．設(shè)，均為非零的平面向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件7．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn),則A． B．C． D．8．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓：與圓：交于，兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-29．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽爻，“”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽爻的概率為（）A． B． C． D．10．復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，其中為虛部單位，則實(shí)數(shù)()A．3 B． C． D．11．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值是（）A．-1 B．7 C．1 D．1或712．如圖是國家統(tǒng)計(jì)局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．2014年我國入境游客萬人次最少B．后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C．這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D．前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得二面角為，此時(shí)點(diǎn)，，，在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.14．一個(gè)房間的地面是由12個(gè)正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.15．角α的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，2），則sin（π﹣α）的值是_____．16．（5分）已知，且，則的值是____________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前列項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證：.18．（12分）函數(shù)（1）證明：；（2）若存在，且，使得成立，求取值范圍.19．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會(huì)主義生態(tài)文明的價(jià)值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會(huì)超過2.88萬元？說明你的理由.20．（12分）在中，、、的對應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長.21．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和，，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知直線：與拋物線切于點(diǎn)，直線：過定點(diǎn)Q，且拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)Q的距離與其到準(zhǔn)線距離之和的最小值為.（1）求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與拋物線交于(異于點(diǎn)P)兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，直線PA，PB的斜率分別為，那么是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【答案解析】

可解出集合，然后進(jìn)行補(bǔ)集、交集的運(yùn)算即可．【題目詳解】，，則，因此，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，涉及一元二次不等式的求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【答案解析】

根據(jù)利用主要聽音樂的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較，可判斷①的正誤；計(jì)算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例，可判斷②的正誤；計(jì)算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例，可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【題目詳解】使用主要聽音樂的人數(shù)為，使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為，所以①正確；使用主要玩游戲的人數(shù)為，而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為，，故超過的大學(xué)生使用主要玩游戲，所以②錯(cuò)誤；使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為，因?yàn)?，所以③正確.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷，計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.3．B【答案解析】

利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得再根據(jù)此范圍求的最小值．【題目詳解】數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，、滿足，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得，即，，可得，且、都是正整數(shù)，求的最小值即求在，且、都是正整數(shù)范圍下求最小值和的最小值，討論、取值.當(dāng)且時(shí)，的最小值為.故選：B．【答案點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和指數(shù)冪的運(yùn)算法則、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力和分類討論思想，是中等題．4．A【答案解析】

設(shè)直線為，用表示出，，求出，令，利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間和極小值、最小值，即可求出的最小值．【題目詳解】解：設(shè)直線為，則，，而滿足，那么設(shè)，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以故選：．【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查化簡整理的運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)確定函數(shù)的最小值是關(guān)鍵，屬于中檔題．5．C【答案解析】

設(shè)出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進(jìn)而利用弦長公式求得|AB|的表達(dá)式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【題目詳解】解：設(shè)直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用，直線與橢圓的關(guān)系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，判別式找到解決問題的突破口．6．B【答案解析】

根據(jù)充分條件、必要條件的定義進(jìn)行分析、判斷后可得結(jié)論．【題目詳解】因?yàn)?，均為非零的平面向量，存在?fù)數(shù)，使得，所以向量，共線且方向相反，所以，即充分性成立；反之，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時(shí)，滿足，但此時(shí)，不共線且反向，所以必要性不成立．所以“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的充分不必要條件．故選B．【答案點(diǎn)睛】判斷p是q的什么條件，需要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p，定義法是判斷充分條件、必要條件的基本的方法，解題時(shí)注意選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄅ袛嗝}是否正確．7．D【答案解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn),所以,則,即.故選D．8．D【答案解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結(jié)合圓的性質(zhì)可知O在兩個(gè)圓心的連線上，從而可求.【題目詳解】因?yàn)?，所以O(shè)在AB的中垂線上，即O在兩個(gè)圓心的連線上，，，三點(diǎn)共線，所以，得，故選D.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)應(yīng)用，幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)化是求解的捷徑.9．C【答案解析】

分類討論，僅有一個(gè)陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒有陽爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【題目詳解】由圖可知，僅有一個(gè)陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個(gè)陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．B【答案解析】

利用乘法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)即可得到答案.【題目詳解】由已知，，所以，解得.故選：B【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，是一道容易題.11．C【答案解析】

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，化簡即可求得的值.【題目詳解】由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，代入化簡可得.∴解得.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12．D【答案解析】

ABD可通過統(tǒng)計(jì)圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計(jì)算中位數(shù)判斷選項(xiàng)是否正確.【題目詳解】A．由統(tǒng)計(jì)圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B．由統(tǒng)計(jì)圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C．入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D．由統(tǒng)計(jì)圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動(dòng)更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯(cuò)誤.故選：D.【答案點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計(jì)圖，分析出對應(yīng)的信息，對學(xué)生分析問題的能力有一定要求.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

分別取，的中點(diǎn)，，連接，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為，半徑為，，由勾股定理可得、，再根據(jù)球的面積公式計(jì)算可得；【題目詳解】如圖，分別取，的中點(diǎn)，，連接，則易得，，，，由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為，半徑為，，可得，解得，.故該球的表面積為.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查多面體的外接球的計(jì)算，屬于中檔題.14．11【答案解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類，在其中會(huì)有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法”.采用分類計(jì)數(shù)原理，求得總的方法數(shù).【題目詳解】（1）先貼如圖這塊瓷磚，然后再貼剩下的部分，按如下分類：5個(gè)：，3個(gè)，2個(gè)：，1個(gè)，4個(gè)：，（2）左側(cè)兩列如圖貼磚，然后貼剩下的部分：3個(gè)：，1個(gè)，2個(gè)：，綜上，一共有（種）.故答案為：11.【答案點(diǎn)睛】本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.15．【答案解析】

計(jì)算sinα，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算得到答案.【題目詳解】由題意可得x＝1，y＝2，r，∴sinα，∴sin（π﹣α）＝sinα．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)定義，誘導(dǎo)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16．【答案解析】

由于，且，則，得，則．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析【答案解析】

（1）由已知可得，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，由，可求，時(shí)，由，可證，驗(yàn)證時(shí)，不等式也成立，即可得證.【題目詳解】（1）由可得，，即，所以，解得，（2）當(dāng)時(shí)，，,當(dāng)時(shí)，，綜上，由可得遞增，，時(shí)；所以，綜上：故.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，利用放縮法證明不等式，涉及等比數(shù)列的求和公式，屬于難題.18．（1）證明見詳解；（2）或或【答案解析】

（1）（2）首先用基本不等式得到，然后解出不等式即可【題目詳解】（1）因?yàn)樗裕?）當(dāng)時(shí)所以當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立因?yàn)榇嬖冢?，使得成立所以所以或解得：或或【答案點(diǎn)睛】1.要熟練掌握絕對值的三角不等式，即2.應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)要滿足“一正二定三相等”.19．（1）；（2）（i）詳見解析；（ii）會(huì)超過；詳見解析【答案解析】

（1）利用組合進(jìn)行計(jì)算以及概率表示，可得結(jié)果.（2）（i）寫出X所有可能取值，并計(jì)算相對應(yīng)的概率，列出表格可得結(jié)果.（ii）由（i）的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率，可得7月與8月經(jīng)濟(jì)損失的期望和，最后7月、8月、9月經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望與2.88萬元比較，可得結(jié)果.【題目詳解】（1）設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則P（ξ＝2），P（ξ＝3），則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為；（2）（i），，，X的分布列如下：X02201480P（ii）由（i）可得：E（X）＝02201480302（元），故該企業(yè)9月的經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望為30E（X），即30E（X）＝9060元，設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為Y元，可得：，，，E（Y）＝02201480320（元），所以該企業(yè)7月、8月這兩個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望為320×（31+31）＝19840（元），由19840+9060＝28900＞28800，即7月、8月、9月這三個(gè)月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望會(huì)超過2.88萬元.【答案點(diǎn)睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬基礎(chǔ)題。20．（1）；（2）.【答案解析】

（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，結(jié)合正弦定理求出；（2）結(jié)合第一問的結(jié)論以及余弦定理即可求解．【題目詳解】解：（1）∵，且，∴，由正弦定理，∴，∵∴銳角，∴（2）∵，∴∴∴在中，由余弦定理得∴【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的綜合運(yùn)用．21．(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)證明見解析.【答案解析】試題分析：將，求出切線方程求導(dǎo)后討論當(dāng)時(shí)和時(shí)的單調(diào)性證明，求出實(shí)數(shù)的取值范圍先求出、的通項(xiàng)公式，利用當(dāng)時(shí)，得，下面證明：解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，切點(diǎn)為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（Ⅱ）由，令，則（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）.故在上為增函數(shù).①當(dāng)時(shí)，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；②當(dāng)時(shí)，由于，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，必存在，使得，由于在上為增