中考數(shù)學幾何旋轉經典例題

中考數(shù)學幾何旋轉經典例題中考數(shù)學幾何旋轉經典例題中考數(shù)學幾何旋轉經典例題中考數(shù)學幾何旋轉經典例題編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:中考數(shù)學幾何旋轉綜合題1.（2009年山東德州）23．(本題滿分10分)已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF⊥BD交BC于F，連接DF，G為DF中點，連接EG，CG．（1）求證：EG=CG；（2）將圖①中△BEF繞B點逆時針旋轉45o，如圖②所示，取DF中點G，連接EG，CG．問（1）中的結論是否仍然成立若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由．FBADCEG第23題圖①（3）將圖①中FBADCEG第23題圖①FFBADCEG第23題圖②FBFBACE第23題圖③D解：（1）證明：在Rt△FCD中，∵G為DF的中點，∴CG=FD．…………1分同理，在Rt△DEF中，EG=FD．………………2分∴CG=EG．…3分（2）（1）中結論仍然成立，即EG=CG．…………4分證法一：連接AG，過G點作MN⊥AD于M，與EF的延長線交于N點．FBADCEGFBADCEGMNN圖②（一）∵AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△DAG≌△DCG．∴AG=CG．………5分在△DMG與△FNG中，∵∠DGM=∠FGN，F(xiàn)G=DG，∠MDG=∠NFG，∴△DMG≌△FNG．∴MG=NG在矩形AENM中，AM=EN．……………6分在Rt△AMG與Rt△ENG中，∵AM=EN，MG=NG，∴△AMG≌△ENG．∴AG=EG．FBADCEGMFBADCEGM圖②（二）證法二：延長CG至M,使MG=CG，連接MF，ME，EC，……4分在△DCG與△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG．∴MF∥CD∥AB．………5分∴．在Rt△MFE與Rt△CBE中，∵MF=CB，EF=BE，∴△MFE≌△CBE．∴．…………………6分FBADCE圖③G∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠FBADCE圖③G∴△MEC為直角三角形．∵MG=CG，∴EG=MC．∴．………………8分（3）（1）中的結論仍然成立，即EG=CG．其他的結論還有:EG⊥CG．……10分2.(2009山西)在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，將△ABC繞點B順時針旋轉角(0°＜＜90°)得△A1BC1，A1B交AC于點E，A1C1分別交AC，BC于D，F(xiàn)(1)如圖22－4(a)，觀察并猜想，在旋轉過程中，線段EA1與FC是怎樣的數(shù)量關系并證明你的結論；圖23－4(a)(2)如圖23－4(b)，當＝30°時，試判斷四邊形BC1DA的形狀，并說明理由；圖23－4(b)(3)在(2)的情況下，求ED的長．解(1)證明：∵AB＝BC，∴∠A＝∠C．由旋轉可知，AB＝BC1，∠A＝∠C1，∠ABE＝∠C1BF．∴△ABE≌△C1BF．∴BE＝BF．又∵BA1＝BC，∴BA1－BE＝BC－BF，即EA1＝FC．(2)四邊形BC1DA是菱形．證明：∵∠A1＝∠ABA1＝30°，∴A1C1∥AB，同理AC∥BC1．∴四邊形BC1DA是平行四邊形．又∵AB＝BC1，∴四邊形BC1DA是菱形．(3)如圖23－4(c)，過點E作EG⊥AB于點G，則AG＝BG＝1．圖23－4(c)在Rt△AEG中，由(2)知四邊形BC1DA是菱形，∴AD＝AB＝2．(如圖23－5(b)，點D′，E′分別與點D，E對應)，點E′在AB上，D′E′與AC交于點M．圖23－5(1)求∠ACE′的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD′是梯形；(3)求△AD′M的面積．的面積轉化為S△AD′E′－S△AME′，利用方程的思想求解．解(1)如圖23－5(a)，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∠EDC＝90°．∴CE＝CE′＝4．如圖23－5(b)，在Rt△ACE′中，∠E′AC＝90°，，CE′＝4，∴∠ACE′＝30°．(2)如圖23－5(b)，∵∠D′CE′＝∠ACB＝45°，∠ACE′＝30°，∴∠D′CA＝∠E′CB＝15°．又，∴△D′CA∽△E′CB．∴∠D′AC＝∠B＝45°．∴∠ACB＝∠D′AC．∴AD′∥BC．∵∠B＝45°，∠D′CB＝60°，∴∠ABC與∠D′CB不互補，∴AB與D′C不平行．∴四邊形ABCD′是梯形．(3)在圖23－5(c)中，過點C作CF⊥AD′，垂足為F，過D′作D′G⊥AB，垂足為G．作∠AMH＝60°交AE′于H．可得∠FCD′＝∠ACF－∠ACD′＝30°．在Rt△ACF中，在Rt△D′CF中，∴△AD′E中，AD′＝，AE′＝2，∠BAD′＝135°．在Rt△AD′G中，設AM＝x，可得，MH＝HE′＝2－在Rt△AMH中，由AM2＋AH2＝MH2，可得化簡，得解得由AM＜AC可得．3.(2009湖南常德)如圖23－8(a)，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別為EB，CD的中點，易證：CD＝BE，△AMN是等邊三角形．圖23－8(1)當把△ADE繞A點旋轉到圖23－8(b)的位置時，D，E，B三點共線，CD＝BE是否仍然成立若成立請證明；若不成立請說明理由；(2)當△ADE繞A點旋轉到圖23－8(c)的位置時，D，E，B三點不共線，△AMN是否還是等邊三角形若是，請給出證明；并求出當AB＝2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．解(1)如圖23－8(b)CD＝BE．理由如下：∵△ABC和△ADE為等邊三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAC＝60°．∵∠BAE＝∠BAC－∠EAC，∠DAC＝∠EAD－∠EAC，∴∠BAE＝∠DAC．∴△ABE≌△ACD．∴CD＝BF．(2)如圖23－8(c)，△AMN是等邊三角形，理由如下：同理可證△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD．∵M，N分別是BE，CD的中點，∵AB＝AC，∠ABE＝∠ACD，∴△ABM≌△ACN．∴AM＝AN，∠MAB＝∠NAC．∴∠NAM＝∠NAC＋∠CAM＝∠MAB＋∠CAM＝∠BAC＝60°．∴△AMN是等邊三角形．設AD＝a，則AB＝2a．∵AD＝AE＝DE，AB＝AC，∴CE＝DE．∵△ADE為等邊三角形，∴∠DEC＝120°，∠ADE＝60°．∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∠ADC＝90°．在Rt△ADC中，AD＝a，∠ACD＝30°，∵N為DC的中點，∵△ADE，△ABC，△AMN為等邊三角形，∴S△ADE∶S△ABC∶S△AMN＝∶4.(2009寧波)如圖23－9(a)，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為(－8，0)，直線BC經過點B(－8，6)，C(0，6)，將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′，直線B′C′分別與直線BC相交于點P，Q．圖23－9(1)四邊形OABC的形狀是______，當＝90°時，的值是______；(2)①如圖23－9(b)，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸的正半軸上時，求的值；②如圖23－9(c)，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求△OPB′的面積；(3)在四邊形OABC的旋轉過程中，當0°＜≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP＝若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．分析(1)矩形(或長方形)，；(2)①先證△COP∽△A′OB′，再證△B′CQ∽△B′C′O，并求出CQ，BQ的長，從而可得的值；②易證△OCP≌△B′A′P，∴OP＝B′P，CP＝A′P，設B′P＝x，在Rt△OCP中，根據勾股定理解出x的值，得到S△OPB′；(3)先假設存在這樣的點P和點Q，使，再根據已知條件分類討論求解．解(1)矩形(長方形)，．(2)①∵∠POC＝∠B′OA′，∠PCO＝∠OA′B′＝90°，∴△COP∽△A′OB′，即同理，△B′CQ∽△B′C′O，在Rt△A′OB′中，∴CQ＝3，BQ＝BC＋CQ＝11．②在△OCP和△B′A′P中，∴△OCP≌△B′A′P．∴OP＝B′P，CP＝A′P．設B′P＝x，在Rt△OCP中，CP＝A′P＝OA′－OP＝8－x．(8－x)2＋62＝x2，解答∴S△OPB′(3)存在這樣的點P和點Q，使點P的坐標是對于第(3)題，我們提供如下詳細解答：過點Q作QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH＝OC′＝OC，∵S△POQ＝，S△POQ，∴PQ＝OP．設BP＝x，∵∴BQ＝2x．①如圖23－9(d)，當點P在點B的左側時，OP＝PQ＝BQ＋BP＝3x，在Rt△PCO中，(8＋x)2＋62＝(3x)2．解得(舍去)．圖23－9②如圖23－9(e)，當點P在點B的右側時，OP＝PQ＝BQ－BP＝x，PC＝8－x．在Rt△PCO中，(8－x)2＋62＝x2解得綜上可知，存在點，使5.圖1是邊長分別為4EQ\R(,3)和3的兩個等邊三角形紙片ABC和C′D′E′疊放在一起（C與C′重合）.（1）操作：固定△ABC，將△C′D′E′繞點C順時針旋轉30°得到△CDE，連結AD、BE，CE的延長線交AB于F（圖2）；探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系試證明你的結論.（4分）（2）操作：將圖2中的△CDE，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR（圖3）；探究：設△PQR移動的時間為x秒，△PQR與△ABC重疊部分的面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)自變量x的取值范圍.（5分）（3）操作：圖1中△C′D′E′固定，將△ABC移動，使頂點C落在C′E′的中點，邊BC交D′E′于點M，邊AC交D′C′于點N，設∠ACC′=α（30°＜α＜90°＝（圖4）；E′D′圖2圖3D′E′圖4C/（C/）（C/）探究：在圖4中，線段E′D′圖2圖3D′E′圖4C/（C/）（C/）解：（1）BE=AD證明：∵△ABC與△DCE是等邊三角形∴∠ACB=∠DCE=60°CA=CB，CE=CD∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ATS∴TS（2）如圖在△CQT中∵∠TCQ=30°∠RQT=60° ∴∠QTC=30°∴∠QTC=∠TCQ∴QT=QC=x∴RT=3－x∵∠RTS＋∠R=90°∴∠RST=90°∴y=×32－(3－x)2=－(3－x)2＋(0≤x≤3)（3）C′N·E′M的值不變證明：∵∠ACC′=60°∴∠MCE′＋∠NCC′=120°∵∠CNC′＋∠NCC′=120°∴∠MCE′=∠CNC′ ∵∠E′=∠C′∴△E′MC∽△C′CN∴∴C′N·E′M=C′C·E′C=×=6將兩塊含30°角且大小相同的直角三角板如圖1擺放。（1）將圖1中△繞點C順時針旋轉45°得圖2，點與AB的交點，求證：；（2）將圖2中△繞點C順時針旋轉30°到△（如圖3），點與AB的交點。線段之間存在一個確定的等量關系，請你寫出這個關系式并說明理由；（3）將圖3中線段繞點C順時針旋轉60°到（如圖4），連結，求證：⊥AB.D解：（1）證明：過點作CA的垂線，垂足為D易知：△CD為等腰直角三角形，△DA是直角三角形，且∠A＝30°，D所以故（2）解：過點作C的垂線，垂足為E易知：△E為等腰直角三角形（其中∠2＝∠A＋∠CA＝45°）△CE是直角三角形，且∠1＝30°，所以故（3）證明：將圖3中線段繞點C順時針旋轉60°到，易證：△≌△，于是∠＝∠＝45°，故⊥AB.7.如圖1，小明將一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片（如圖2），量得他們的斜邊長為10cm，較小銳角為30°，再將這兩張三角紙片擺成如圖3的形狀，但點B、C、F、D在同一條直線上，且點C與點F重合（在圖3至圖6中統(tǒng)一用F表示）（圖1）（圖2）（圖3）小明在對這兩張三角形紙片進行如下操作時遇到了三個問題，請你幫助解決。（1）將圖3中的△ABF沿BD向右平移到圖4的位置，使點B與點F重合，請你求出平移的距離；（2）將圖3中的△ABF繞點F順時針方向旋轉30°到圖5的位置，A1F交DE于點G，請你求出線段FG的長度；（3）將圖3中的△ABF沿直線AF翻折到圖6的位置，AB1交DE于點H，請證明：AH﹦DH（圖4）（圖5）（圖6）解：（1）圖形平移的距離就是線段BC的長（2分）又∵在Rt△ABC中，斜邊長為10cm，∠BAC=30，∴BC=5cm，∴平移的距離為5cm．（2分）（2）∵∠，∴∠，∠D=30°．∴∠．（1分）在RtEFD中，ED=10cm，∵FD=，（1分）∵cm．（2分）（3）△AHE與△中，∵，（1分）∵，，∴，即．（1分）又∵，∴△≌△（AAS）（1分）．∴．（1分）8.如圖（9）-1，拋物線經過A（，0），C（3，）兩點，與軸交于點D，與軸交于另一點B．（1）求此拋物線的解析式；（2）若直線將四邊形ABCD面積二等分，求的值；得△MNQ（點M、N、Q分別與點A、E、F對應），使點M、N在拋物線上，作MG軸于點G，若線段MGAG＝12，求點M，N的坐標．DODOBAxyCy=kx+1圖（9）-1EFMNGOBAxy圖（9）-2Q（1）解：把A（，0），C（3，）代入拋物線得 1分整理得 ………………2分解得………………3分∴拋物線的解析式為 4分（2）令解得∴B點坐標為（4，0）又∵D點坐標為（0，）∴AB∥CD∴四邊形ABCD是梯形．DOBAxyCBCy=kx+1DOBAxyCBCy=kx+1圖(9)-1HT設直線與x軸的交點為H，與CD的交點為T，則H（，0），T（，） 6分∵直線將四邊形ABCD面積二等分∴S梯形AHTD＝S梯形ABCD＝４EFMNGEFMNGOBAxy圖(9)-2∴ 8分（3）∵MG軸于點G，線段MG︰AG＝1︰2∴設M（m，）， 9分∵點M在拋物線上∴解得（舍去） 10分∴M點坐標為（3，） 11分根據中心對稱圖形性質知，MQ∥AF，MQ＝AF，NQ＝EF，∴N點坐標為（1，） 12分9.（09年湖南常德）26．如圖9，若和為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點，易證：CD=BE，是等邊三角形．（1）當把繞A點旋轉到圖10的位置時，CD=BE是否仍然成立若成立請證明，若不成立請說明理由；（4分）（2）當繞A點旋轉到圖11的位置時，是否還是等邊三角形若是，請給出證明，并求出當AB=2AD時，與的面積之比；若不是，請說明理由．（6分）圖9 圖10圖11圖9 圖10圖11圖8（09年湖南常德26題解析）解：（1）CD=BE．理由如下: 1分∵和為等邊三角形圖11CNDA