《數(shù)學哲學史》課件

二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位（一）、數(shù)學的特征1、抽象性2、邏輯的嚴格性3、系統(tǒng)地使用符號①、計算的需要②、邏輯推理的需要③、使數(shù)學形式簡化的最佳途徑二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位14、廣泛的應(yīng)用性①、數(shù)字電視②、1991年海灣戰(zhàn)爭③、姜伯駒的就職演說5、數(shù)學美簡潔美對稱美和諧美奇異美4、廣泛的應(yīng)用性2

?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學的美，感覺數(shù)與形的調(diào)和，感覺幾何學的優(yōu)雅，這是所有數(shù)學家都知道的真正的美感?！?/p>

?Pythagoras（-580－-500）聲稱，萬物皆數(shù)，美是數(shù)的和諧。

?Davinci（1452－1519）認為“黃金分割是美的原則?！?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學3

?Euler（1707－1783）公式

?項武義－情理之中，意料之外?Euler（1707－1783）公式?項武義－情4（二）、數(shù)學在科學中的地位1、古希臘－科學的同義詞2、歐洲中世紀－經(jīng)院哲學盛行R.培根（1214－1294）：數(shù)學是所有科學的支柱。（二）、數(shù)學在科學中的地位53、文藝復(fù)興時期－帶頭學科Copernicus

1473-1543,波蘭Kepler1571-1630,德國Galliler

1564-1642,意大利Newton

1642-1727,英國3、文藝復(fù)興時期－帶頭學科6?Galliler：宇宙是一部巨著,其中的內(nèi)容是自然科學,它的語言是數(shù)學,符號是幾何圖形.如果不懂數(shù)學,就無法讀懂它.?Galliler：74、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學是自然科學的工具”?孔德（法）：數(shù)學力學天文學物理學化學生理學社會學4、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學85、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列?馬克思：一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才能達到真正的完善。?數(shù)學是橫斷科學5、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列9三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征1、數(shù)學萌芽時期（至前6世紀）算術(shù)、幾何開始形成主要成就出現(xiàn)在：巴比倫、埃及、中國三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征10?巴比倫：一些數(shù)表?埃及：-1800，算術(shù)級數(shù)，幾何級數(shù)，正方形錐臺的體積?中國：甲骨文中的數(shù)字，六十甲子?特點：有簡單的推理?巴比倫：一些數(shù)表112、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：又稱為常量數(shù)學或有限數(shù)學時期?西方數(shù)學的中心：古希臘→阿拉伯和印度→西歐?中國數(shù)學獨立地發(fā)展著2、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：12（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期

?泰勒斯

Thales

-624_-547

幾何學鼻祖（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期13?畢達哥拉斯Pythagoras-572_-497初等整數(shù)論?畢達哥拉斯Pythagoras14?亞里士多德Aristoteles-384_-322邏輯學創(chuàng)始人?亞里士多德Aristoteles-384_-32215歐幾里德Eulid

-330_-275公理法歐幾里德Eulid16?阿基米德Archmedes

-287_-212數(shù)學之神窮竭法積分法?阿基米德17阿波羅紐斯Apollonius

-262_-190《圓錐曲線》阿波羅紐斯18?丟番圖Diophantus

246-330代數(shù)方程論?丟番圖19－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉(zhuǎn)移到阿拉伯主要成就：（1）二次方程的解法（2）二項式定理（3）三角學出現(xiàn)－托勒密（Ptolemy,100-170）－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉(zhuǎn)移到阿拉伯20托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密（Ptolemy,100-170）21（2）、西方文藝復(fù)興前后（15—17世紀）：科學發(fā)展的第二個黃金時期①、代數(shù)學已系統(tǒng)地使用符號。標志:Vieta1540－1603，意，代數(shù)學之父（2）、西方文藝復(fù)興前后（15—17世紀）：22②、有三次和四次方程的公式解法

Tartaglia，意塔塔里亞1500－1557②、有三次和四次方程的公式解法23③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用

Fibonacci，1170-1250，意④、產(chǎn)生了十進制小數(shù)及對數(shù)③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用24（3）、中國：《九章算術(shù)》?唐朝李淳風校定的“算經(jīng)十書”：《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《張邱建算經(jīng)》，《五曹算經(jīng)》，《五經(jīng)算術(shù)》，《輯古算經(jīng)》，《夏侯陽算經(jīng)》，《綴術(shù)》

（3）、中國：《九章算術(shù)》25李淳風602－670李淳風602－67026主要成就：①、勾股定理及測量－趙爽，劉徽②、正負數(shù)運算法則－劉徽③、多元一次方程組的解法－劉徽④、極限思想在幾何中的應(yīng)用——劉徽的“割圓術(shù)”主要成就：27⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：

泰九韶的剩余定理和高次方程數(shù)值解法李治和朱世杰的天元術(shù)和四元術(shù)賈憲和楊輝的二項式展開系數(shù)表朱世杰和沈括的高階等差級數(shù)求和算籌的發(fā)展，元代產(chǎn)生了算盤⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：28初等數(shù)時期的特點：①、除虛數(shù)外，初等數(shù)學已基本完備②、與萌芽時期數(shù)學的主要區(qū)別③、這一時期的數(shù)學雖然有極限思想及其初步運用，但主要是以常量、有限和不變圖形的研究為特征的初等數(shù)學。初等數(shù)時期的特點：293、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：又稱為變量數(shù)學時期或高等數(shù)學時期或無限數(shù)學時期（1）、十七世紀的數(shù)學：①、幾何問題代數(shù)化②、變量進入數(shù)學③、概率論產(chǎn)生，使數(shù)學開始涉及偶然事件3、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：30（2）、十八世紀的數(shù)學：①、為微積分作奠基工作②、在微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展出無窮級數(shù)，常微分方程，偏微分方程，變分法等學科③、概率論也發(fā)生了變化：組合概率時期到分析概率時期（2）、十八世紀的數(shù)學：31（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。GaussRiemannPoincareLobachevskyGaloisCantorCauchyCayley……（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。32分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復(fù)變函數(shù)幾何方面——羅氏幾何代數(shù)方面——伽羅瓦創(chuàng)立群論分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復(fù)變函334、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：①、數(shù)學方面：

1900年希爾伯特提出的23個全局性問題，是推動19世紀數(shù)學發(fā)展的強大動力。②、現(xiàn)代數(shù)學的特點：4、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：34Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎(chǔ)，純粹數(shù)學轉(zhuǎn)向研究基本的數(shù)學結(jié)構(gòu)Ⅱ、數(shù)學的抽象化程度越來越高，分支越來越細，內(nèi)在聯(lián)系揭露的越來越深Ⅲ、電子計算機進入數(shù)學領(lǐng)域，推動了數(shù)學的發(fā)展Ⅳ、應(yīng)用數(shù)學蓬勃發(fā)展Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎(chǔ)，純粹數(shù)學轉(zhuǎn)向研35四、數(shù)學的真理性問題問題：數(shù)學體系是否具有真理性？（）

A、嚴密完善；

B、有矛盾，可避免；

C、有矛盾，無法徹底消除；

D、不知道四、數(shù)學的真理性問題36（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機37（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機1、畢達哥拉斯悖論：

①、畢達哥拉斯悖論：希伯索斯(Hippasus)不可公度量（無理數(shù)）的發(fā)現(xiàn)導致第一次危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機38希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之比來表示,即證明不可公度量的存在.

意義：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導致了西方數(shù)學史上的第一次危機，致使以后數(shù)域的擴張，從而為數(shù)學的發(fā)展做出了巨大的貢獻。希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之39證明不是有理數(shù)。證明：（反證）若是有理數(shù)，即，，則，于是是偶數(shù)，則可設(shè)，代入有，即可得是偶數(shù)，這與矛盾！證明不是有理數(shù)。40②、關(guān)于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)Ⅱ、瓦里斯-負數(shù)應(yīng)大于無窮大Ⅲ、-1/1=1/-1

負數(shù)-錯的數(shù),荒謬的數(shù)；負根-假根Ⅳ、虛數(shù)的名稱：卡爾丹諾——詭辯量；納皮爾——實數(shù)的鬼魂；笛卡爾——虛擬的數(shù)；萊布尼茲——它是介于存在和不存在之間的兩棲物②、關(guān)于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)41③、關(guān)于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！雹颉⒅ブZ悖論：芝諾（Zenon，-490—-436），古希臘唯心主義哲學家，巴門尼德的學生，埃利亞學派的主要代表之一。認為世界上唯一真實的東西只是“唯一不動的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“靜”而不是“動”。③、關(guān)于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：42《數(shù)學哲學史》課件43“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地之前，必先到達半路上的一點?！奔从麖募滋幍竭_乙處，必先到達其1/2處，又必先到達其1/4處，...，由于線段無限可分，所以根本就不可能開始運動。問：是怎樣到達的？“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地44阿基里斯追龜假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基里斯?00米處，二者同時同向起跑，當阿基里斯追到100米時，烏龜前進了10米；阿基里斯追上了10米，這時烏龜又前進了1米；阿基里斯又追上1米，烏龜又前進了0.1米，...，阿基里斯總要經(jīng)過烏龜?shù)钠瘘c，即阿基里斯總在烏龜?shù)暮竺?，不管這個距離如何短。所以阿基里斯永遠追不上烏龜。阿基里斯追龜假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基?5飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬間都占有一個特定的位置，它在這一瞬間是不動的，無限個不動的瞬間的總和還是不動，所以飛箭不動。如果說它在動，那就等于說它同時在這一點上又不在這一點上，矛盾！飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬46Ⅲ、普羅克魯斯悖論一個無窮大＝兩個無窮大Ⅲ、普羅克魯斯悖論47Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等48Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”492、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，使數(shù)學進入了變量時代，但當時的微積分理論還不是很嚴密，例如關(guān)于實無窮小量，產(chǎn)生了嚴重的邏輯困難，因而導致了第二次數(shù)學危機。2、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了50①、展開，含有，當時認為是有限的非零的量，要多小就有多小，在展開式中不去掉；②、但求導數(shù)時，又可以把高階無窮小去掉。①、展開，含有，當時認為是有限的非零51Newton認為，對函數(shù)有

Newton認為，對函數(shù)52英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”——招之即來，揮之即去。馬克思在《數(shù)學手稿》中也曾說過：“把高階無窮小去掉是暴力鎮(zhèn)壓！”---導致了第二次數(shù)學危機。英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”—53分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結(jié)為實數(shù)理論Ⅰ、戴德金（Dedekind，1813－1916，德）的分劃說——對數(shù)軸用不同的分劃有不同的有理數(shù)和無理數(shù)Ⅱ、康托（Cantor，1829－1920，德）：基本序列——用有理數(shù)的逼近構(gòu)造無理數(shù)微積分理論建立在實連續(xù)統(tǒng)的基礎(chǔ)上分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結(jié)為實數(shù)理54②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。它的創(chuàng)始人是康托Cantor，1829－1920，德—樸素的集合論②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。它的創(chuàng)55結(jié)論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學是建立在實數(shù)理論和與它相聯(lián)系的集合論的基礎(chǔ)上的。這樣，分析的嚴密化過程基本結(jié)束。結(jié)論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學是建立在實數(shù)理論和與它相聯(lián)系的集合563、集合論悖論：（1）、Russell悖論—1902年：A={集合A|A不屬于A}問:A是否屬于A？?“由一切不包含自身的集合所組成的集合”是否包含自身的問題。

3、集合論悖論：（1）、Russell悖論—190257Russell悖論的替代說法“理發(fā)師悖論”—1919年:某城鎮(zhèn)中只有一個理發(fā)師，而鎮(zhèn)中的每一個人都要理發(fā)，理發(fā)師就約定：“我給且只給鎮(zhèn)中那些不給自己理發(fā)的人理發(fā)，”問：這位理發(fā)師是否給他自己理發(fā)？

Russell悖論的替代說法“理發(fā)師悖論”—1919年:58Russell悖論的影響弗雷格（Frege，1848－1925，德）的《算法基礎(chǔ)》第三卷戴德金（Dedkind，1831－1916，德）的名著《什么是數(shù)和數(shù)是什么》布勞維爾（Brouwer，1881－1966，荷蘭)Russell悖論的影響弗雷格（Frege，1848－1959（3）、Cantor悖論—1899年對等與基數(shù)一方面,有另一方面,若令S為大全集,則有（3）、Cantor悖論—1899年對等與基數(shù)60（4）、說謊者悖論一個克里特人說：“所有的克里特人都說謊?！闭垎栠@個克里特人是否在說謊？?等價的一句話：“這句話是假的?！保?）、說謊者悖論一個克里特人說：“所有的克里特人都說謊。”614、其他悖論：（1）、柏拉圖—蘇格拉底悖論：柏拉圖：下面蘇說的話是假的蘇格拉底：柏拉圖前面說了真話問：蘇格拉底是否在說真話？4、其他悖論：（1）、柏拉圖—蘇格拉底悖論：62（2）、梵學者的預(yù)言：印度預(yù)言家的女兒，在紙上寫了一件事（一句話），讓她的父親預(yù)言這件事情在今天下午三點鐘之前是否發(fā)生，并在卡片上寫下“是”或“不”字。此梵學者在卡片上寫下了一個“是”字。她女兒在紙上寫的這件事（這句話）是“在今天下午三點鐘之前，您將寫一個‘不’字在卡片上?！保?）、梵學者的預(yù)言：63（3）、意料之外的考試：一位教授宣布，下周的某一天要進行一次“意料之外的考試”，并說沒有一個學生能夠在考試那天之前的一天推測出考試的日期。一個學生“證明”了：考試不會在一周的最后一天進行。

（3）、意料之外的考試：64（4）、哪輛車中的異性多：甲乙兩輛汽車都坐滿了40人，甲車中40個男人，乙車中40個女人，甲車中10個男人到乙車中去了，又從乙車中下來10個人（幾男幾女不清楚）到甲車中去，問：甲乙二車中哪輛車中的異性多？（4）、哪輛車中的異性多：65（5）、格里林悖論－1908年形容詞有兩種：一是“自狀的”：如“抽象的”、“中文的”等均適用于自身；一種是“非自狀的”：如“圓的”、“單音節(jié)的”、“英文的”等均不適用于自身。現(xiàn)在問：“非自狀的”這一性質(zhì)是自狀的還是非自狀的呢？（5）、格里林悖論－1908年66（6）、飛蟲悖論：一只飛蟲在二輛騎自行車相對而行的人之間來回飛行（二車同速，勻速為每小時2公里，相距18公里），當二車在中點碰面時，飛蟲共走了多少距離？一個遞減的級數(shù)之和？－VonNeumann，1903－1957，美

逆問題（6）、飛蟲悖論：67二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位（一）、數(shù)學的特征1、抽象性2、邏輯的嚴格性3、系統(tǒng)地使用符號①、計算的需要②、邏輯推理的需要③、使數(shù)學形式簡化的最佳途徑二、數(shù)學的特征及其在科學中的地位684、廣泛的應(yīng)用性①、數(shù)字電視②、1991年海灣戰(zhàn)爭③、姜伯駒的就職演說5、數(shù)學美簡潔美對稱美和諧美奇異美4、廣泛的應(yīng)用性69

?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學的美，感覺數(shù)與形的調(diào)和，感覺幾何學的優(yōu)雅，這是所有數(shù)學家都知道的真正的美感?！?/p>

?Pythagoras（-580－-500）聲稱，萬物皆數(shù)，美是數(shù)的和諧。

?Davinci（1452－1519）認為“黃金分割是美的原則?！?Poincare（1854－1912）說：“感覺數(shù)學70

?Euler（1707－1783）公式

?項武義－情理之中，意料之外?Euler（1707－1783）公式?項武義－情71（二）、數(shù)學在科學中的地位1、古希臘－科學的同義詞2、歐洲中世紀－經(jīng)院哲學盛行R.培根（1214－1294）：數(shù)學是所有科學的支柱。（二）、數(shù)學在科學中的地位723、文藝復(fù)興時期－帶頭學科Copernicus

1473-1543,波蘭Kepler1571-1630,德國Galliler

1564-1642,意大利Newton

1642-1727,英國3、文藝復(fù)興時期－帶頭學科73?Galliler：宇宙是一部巨著,其中的內(nèi)容是自然科學,它的語言是數(shù)學,符號是幾何圖形.如果不懂數(shù)學,就無法讀懂它.?Galliler：744、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學是自然科學的工具”?孔德（法）：數(shù)學力學天文學物理學化學生理學社會學4、19世紀，Laplace（1749－1827）－“數(shù)學755、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列?馬克思：一種科學只有在成功地運用數(shù)學時，才能達到真正的完善。?數(shù)學是橫斷科學5、19世紀末，數(shù)學與自然科學并列76三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征1、數(shù)學萌芽時期（至前6世紀）算術(shù)、幾何開始形成主要成就出現(xiàn)在：巴比倫、埃及、中國三、數(shù)學發(fā)展的幾個重要階段及其主要特征77?巴比倫：一些數(shù)表?埃及：-1800，算術(shù)級數(shù)，幾何級數(shù)，正方形錐臺的體積?中國：甲骨文中的數(shù)字，六十甲子?特點：有簡單的推理?巴比倫：一些數(shù)表782、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：又稱為常量數(shù)學或有限數(shù)學時期?西方數(shù)學的中心：古希臘→阿拉伯和印度→西歐?中國數(shù)學獨立地發(fā)展著2、初等數(shù)學時期（-6世紀—17世紀）：79（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期

?泰勒斯

Thales

-624_-547

幾何學鼻祖（1）、古希臘：科學發(fā)展的第一個黃金時期80?畢達哥拉斯Pythagoras-572_-497初等整數(shù)論?畢達哥拉斯Pythagoras81?亞里士多德Aristoteles-384_-322邏輯學創(chuàng)始人?亞里士多德Aristoteles-384_-32282歐幾里德Eulid

-330_-275公理法歐幾里德Eulid83?阿基米德Archmedes

-287_-212數(shù)學之神窮竭法積分法?阿基米德84阿波羅紐斯Apollonius

-262_-190《圓錐曲線》阿波羅紐斯85?丟番圖Diophantus

246-330代數(shù)方程論?丟番圖86－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉(zhuǎn)移到阿拉伯主要成就：（1）二次方程的解法（2）二項式定理（3）三角學出現(xiàn)－托勒密（Ptolemy,100-170）－1世紀，羅馬消滅古希臘，數(shù)學的中心轉(zhuǎn)移到阿拉伯87托勒密（Ptolemy,100-170）托勒密（Ptolemy,100-170）88（2）、西方文藝復(fù)興前后（15—17世紀）：科學發(fā)展的第二個黃金時期①、代數(shù)學已系統(tǒng)地使用符號。標志:Vieta1540－1603，意，代數(shù)學之父（2）、西方文藝復(fù)興前后（15—17世紀）：89②、有三次和四次方程的公式解法

Tartaglia，意塔塔里亞1500－1557②、有三次和四次方程的公式解法90③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用

Fibonacci，1170-1250，意④、產(chǎn)生了十進制小數(shù)及對數(shù)③、“印度—阿拉伯數(shù)碼”定型通用91（3）、中國：《九章算術(shù)》?唐朝李淳風校定的“算經(jīng)十書”：《周髀算經(jīng)》，《九章算術(shù)》，《海島算經(jīng)》，《孫子算經(jīng)》，《張邱建算經(jīng)》，《五曹算經(jīng)》，《五經(jīng)算術(shù)》，《輯古算經(jīng)》，《夏侯陽算經(jīng)》，《綴術(shù)》

（3）、中國：《九章算術(shù)》92李淳風602－670李淳風602－67093主要成就：①、勾股定理及測量－趙爽，劉徽②、正負數(shù)運算法則－劉徽③、多元一次方程組的解法－劉徽④、極限思想在幾何中的應(yīng)用——劉徽的“割圓術(shù)”主要成就：94⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：

泰九韶的剩余定理和高次方程數(shù)值解法李治和朱世杰的天元術(shù)和四元術(shù)賈憲和楊輝的二項式展開系數(shù)表朱世杰和沈括的高階等差級數(shù)求和算籌的發(fā)展，元代產(chǎn)生了算盤⑤、中國傳統(tǒng)數(shù)學最輝煌的時期——宋元時期：95初等數(shù)時期的特點：①、除虛數(shù)外，初等數(shù)學已基本完備②、與萌芽時期數(shù)學的主要區(qū)別③、這一時期的數(shù)學雖然有極限思想及其初步運用，但主要是以常量、有限和不變圖形的研究為特征的初等數(shù)學。初等數(shù)時期的特點：963、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：又稱為變量數(shù)學時期或高等數(shù)學時期或無限數(shù)學時期（1）、十七世紀的數(shù)學：①、幾何問題代數(shù)化②、變量進入數(shù)學③、概率論產(chǎn)生，使數(shù)學開始涉及偶然事件3、近代數(shù)學時期（17世紀中期—19世紀末期）：97（2）、十八世紀的數(shù)學：①、為微積分作奠基工作②、在微積分的基礎(chǔ)上發(fā)展出無窮級數(shù)，常微分方程，偏微分方程，變分法等學科③、概率論也發(fā)生了變化：組合概率時期到分析概率時期（2）、十八世紀的數(shù)學：98（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。GaussRiemannPoincareLobachevskyGaloisCantorCauchyCayley……（3）、十九世紀的數(shù)學：數(shù)學發(fā)展的第三個黃金時期。99分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復(fù)變函數(shù)幾何方面——羅氏幾何代數(shù)方面——伽羅瓦創(chuàng)立群論分析方面——確立了微積分的現(xiàn)代形式，產(chǎn)生了復(fù)變函1004、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：①、數(shù)學方面：

1900年希爾伯特提出的23個全局性問題，是推動19世紀數(shù)學發(fā)展的強大動力。②、現(xiàn)代數(shù)學的特點：4、現(xiàn)代數(shù)學時期（19世紀以來）：101Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎(chǔ)，純粹數(shù)學轉(zhuǎn)向研究基本的數(shù)學結(jié)構(gòu)Ⅱ、數(shù)學的抽象化程度越來越高，分支越來越細，內(nèi)在聯(lián)系揭露的越來越深Ⅲ、電子計算機進入數(shù)學領(lǐng)域，推動了數(shù)學的發(fā)展Ⅳ、應(yīng)用數(shù)學蓬勃發(fā)展Ⅰ、集合論成為各個數(shù)學分支的基礎(chǔ)，純粹數(shù)學轉(zhuǎn)向研102四、數(shù)學的真理性問題問題：數(shù)學體系是否具有真理性？（）

A、嚴密完善；

B、有矛盾，可避免；

C、有矛盾，無法徹底消除；

D、不知道四、數(shù)學的真理性問題103（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機104（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機1、畢達哥拉斯悖論：

①、畢達哥拉斯悖論：希伯索斯(Hippasus)不可公度量（無理數(shù)）的發(fā)現(xiàn)導致第一次危機（一）、悖論（Paradox）與三次數(shù)學危機105希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之比來表示,即證明不可公度量的存在.

意義：無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)導致了西方數(shù)學史上的第一次危機，致使以后數(shù)域的擴張，從而為數(shù)學的發(fā)展做出了巨大的貢獻。希伯索斯在研究邊長為1的正方形時,發(fā)現(xiàn)其對角線不能用整數(shù)之106證明不是有理數(shù)。證明：（反證）若是有理數(shù)，即，，則，于是是偶數(shù)，則可設(shè)，代入有，即可得是偶數(shù)，這與矛盾！證明不是有理數(shù)。107②、關(guān)于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)Ⅱ、瓦里斯-負數(shù)應(yīng)大于無窮大Ⅲ、-1/1=1/-1

負數(shù)-錯的數(shù),荒謬的數(shù)；負根-假根Ⅳ、虛數(shù)的名稱：卡爾丹諾——詭辯量；納皮爾——實數(shù)的鬼魂；笛卡爾——虛擬的數(shù)；萊布尼茲——它是介于存在和不存在之間的兩棲物②、關(guān)于負數(shù)和虛數(shù)：Ⅰ、比“沒有”還小的數(shù)108③、關(guān)于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！雹颉⒅ブZ悖論：芝諾（Zenon，-490—-436），古希臘唯心主義哲學家，巴門尼德的學生，埃利亞學派的主要代表之一。認為世界上唯一真實的東西只是“唯一不動的存在”。所以“存在”是“一”而不是“多”，是“靜”而不是“動”。③、關(guān)于無窮：Ⅰ、莊子（-369－-286）：109《數(shù)學哲學史》課件110“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地之前，必先到達半路上的一點。”即欲從甲處到達乙處，必先到達其1/2處，又必先到達其1/4處，...，由于線段無限可分，所以根本就不可能開始運動。問：是怎樣到達的？“二分法”——運動不存在理由是：“運動著的物體在到達目的地111阿基里斯追龜假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖叮鵀觚斣诎⒒锼骨?00米處，二者同時同向起跑，當阿基里斯追到100米時，烏龜前進了10米；阿基里斯追上了10米，這時烏龜又前進了1米；阿基里斯又追上1米，烏龜又前進了0.1米，...，阿基里斯總要經(jīng)過烏龜?shù)钠瘘c，即阿基里斯總在烏龜?shù)暮竺?，不管這個距離如何短。所以阿基里斯永遠追不上烏龜。阿基里斯追龜假設(shè)阿基里斯的速度是烏龜?shù)氖?，而烏龜在阿基?12飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬間都占有一個特定的位置，它在這一瞬間是不動的，無限個不動的瞬間的總和還是不動，所以飛箭不動。如果說它在動，那就等于說它同時在這一點上又不在這一點上，矛盾！飛箭不動一只飛著的箭在一定的時間內(nèi)經(jīng)過許多點，但在每一個瞬113Ⅲ、普羅克魯斯悖論一個無窮大＝兩個無窮大Ⅲ、普羅克魯斯悖論114Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等Ⅳ、亞里士多德悖論大小不同的兩個圓周長相等115Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”Ⅴ、伽俐略悖論：“部分等于全體”1162、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，使數(shù)學進入了變量時代，但當時的微積分理論還不是很嚴密，例如關(guān)于實無窮小量，產(chǎn)生了嚴重的邏輯困難，因而導致了第二次數(shù)學危機。2、貝克萊悖論：1650年，牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了117①、展開，含有，當時認為是有限的非零的量，要多小就有多小，在展開式中不去掉；②、但求導數(shù)時，又可以把高階無窮小去掉。①、展開，含有，當時認為是有限的非零118Newton認為，對函數(shù)有

Newton認為，對函數(shù)119英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”——招之即來，揮之即去。馬克思在《數(shù)學手稿》中也曾說過：“把高階無窮小去掉是暴力鎮(zhèn)壓！”---導致了第二次數(shù)學危機。英國的貝克萊（Beckly）大主教說：“是逝去量的鬼魂！”—120分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結(jié)為實數(shù)理論Ⅰ、戴德金（Dedekind，1813－1916，德）的分劃說——對數(shù)軸用不同的分劃有不同的有理數(shù)和無理數(shù)Ⅱ、康托（Cantor，1829－1920，德）：基本序列——用有理數(shù)的逼近構(gòu)造無理數(shù)微積分理論建立在實連續(xù)統(tǒng)的基礎(chǔ)上分析的嚴密化過程17－19世紀①、分析學最后歸結(jié)為實數(shù)理121②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。它的創(chuàng)始人是康托Cantor，1829－1920，德—樸素的集合論②、集合論的建立集合論的建立成為整個現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)。它的創(chuàng)122結(jié)論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學是建立在實數(shù)理論和與它相聯(lián)系的集合論的基礎(chǔ)上的。這樣，分析的嚴密化過程基本結(jié)束。結(jié)論：到19世紀，現(xiàn)代數(shù)學