高二數(shù)學(xué)-選修2-3第三章-統(tǒng)計(jì)案例課件

3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修2-3

第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9961、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：1、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。不吸煙吸煙患肺癌不患肺癌4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來考察這個(gè)問題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)

H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；

|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；在表中

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）

若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率也就判斷是否成立的規(guī)則如果，就判斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義

上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論“成立”錯(cuò)判成“不成立”的概率不會(huì)差過即有99%的把握認(rèn)為不成立。判斷是否成立的規(guī)則如果獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對(duì)的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說明假設(shè)不合理的程度為1%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？

這僅需要確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值k大。此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為P().在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？這僅需要確定思考：

利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？表1-112x2聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：思考：表1-112x2聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)

若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（1）在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大。（2）在二維條形圖中,可以估計(jì)滿足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X=x2的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例。兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越大。若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值；(3)如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：具體作1)如果P(m>10.828)=0.001表示有99.9%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)系;2)如果P(x2>7.879)=0.005表示有99.5%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)系;3)如果P(x2>6.635)=0.01表示有99%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)系;4)如果P(x2>5.024)=0.025表示有97.5%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)系;5)如果P(x2>3.841)=0.05表示有95%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)系;6)如果P(x2>2.706)=0.10表示有90%的把握認(rèn)為”X與Y”有關(guān)系;7)如果P(x2≤2.706),就認(rèn)為沒有充分的證據(jù)顯示”X與Y”有關(guān)系;適用觀測(cè)數(shù)據(jù)a、b、c、d不小于51)如果P(m>10.828)=0.001表示有99.9%一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類取值，即類A和B（如吸煙與不吸煙）；Ⅱ也有兩類取值，即類1和2（如患病與不患?。?。于是得到下列聯(lián)表所示的抽樣數(shù)據(jù)：用統(tǒng)計(jì)量研究這類問題的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)。一般地，對(duì)于兩個(gè)研究對(duì)象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有兩類用統(tǒng)計(jì)量研究這類要推斷“Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：（1）提出假設(shè)H0

：Ⅰ和Ⅱ沒有關(guān)系；（3）查對(duì)臨界值，作出判斷。（2）根據(jù)2×2列表與公式計(jì)算的值；

由于抽樣的隨機(jī)性，由樣本得到的推斷有可能正確，也有可能錯(cuò)誤。利用進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以對(duì)推斷的正確性的概率作出估計(jì)，樣本量n越大，估計(jì)越準(zhǔn)確。要推斷“Ⅰ和Ⅱ有關(guān)系”，可按下面的步驟進(jìn)行：（1）提出假設(shè)H反證法原理與假設(shè)檢驗(yàn)原理反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果推出一個(gè)矛盾，就證明了這個(gè)假設(shè)不成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果一個(gè)與該假設(shè)矛盾的小概率事件發(fā)生，就推斷這個(gè)假設(shè)不成立。反證法原理與假設(shè)檢驗(yàn)原理反證法原理：在一個(gè)已知假設(shè)下，如果3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選修2-3

第三章統(tǒng)計(jì)案例3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及其初步應(yīng)用（一）高二數(shù)學(xué)選獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生活中，我們常常關(guān)心分類變量之間是否有關(guān)系：例如，吸煙是否與患肺癌有關(guān)系？性別是否對(duì)于喜歡數(shù)學(xué)課程有影響？等等。獨(dú)立性檢驗(yàn)本節(jié)研究的是兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)問題。在日常生為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9965人，得到如下結(jié)果（單位：人）列聯(lián)表在不吸煙者中患肺癌的比重是

在吸煙者中患肺癌的比重是

說明：吸煙者和不吸煙者患肺癌的可能性存在差異，吸煙者患肺癌的可能性大。0.54%2.28%探究為了調(diào)查吸煙是否對(duì)肺癌有影響，某腫瘤研究所隨機(jī)地調(diào)查了9961、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙不患肺癌患肺癌吸煙不吸煙080007000600050004000300020001000從三維柱形圖能清晰看出各個(gè)頻數(shù)的相對(duì)大小。從二維條形圖能看出，吸煙者中患肺癌的比例高于不患肺癌的比例。通過圖形直觀判斷兩個(gè)分類變量是否相關(guān)：1、列聯(lián)表2、三維柱形圖3、二維條形圖不患肺癌患肺癌吸煙不吸不吸煙吸煙患肺癌比例不患肺癌比例4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)了兩種情況下患肺癌的比例。不吸煙吸煙患肺癌不患肺癌4、等高條形圖等高條形圖更清晰地表達(dá)

上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸煙和患肺癌有關(guān)，那么事實(shí)是否真的如此呢？這需要用統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)來考察這個(gè)問題。

現(xiàn)在想要知道能夠以多大的把握認(rèn)為“吸煙與患肺癌有關(guān)”，為此先假設(shè)

H0：吸煙與患肺癌沒有關(guān)系.把表中的數(shù)字用字母代替，得到如下用字母表示的列聯(lián)表

用A表示不吸煙，B表示不患肺癌，則“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”等價(jià)于“吸煙與患肺癌獨(dú)立”，即假設(shè)H0等價(jià)于P(AB)=P(A)P(B).上面我們通過分析數(shù)據(jù)和圖形，得到的直觀印象是吸因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；

|ad-bc|越大，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越強(qiáng)。在表中，a恰好為事件AB發(fā)生的頻數(shù)；a+b和a+c恰好分別為事件A和B發(fā)生的頻數(shù)。由于頻率接近于概率，所以在H0成立的條件下應(yīng)該有因此|ad-bc|越小，說明吸煙與患肺癌之間關(guān)系越弱；在表中

為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述分析，我們構(gòu)造一個(gè)隨機(jī)變量-----卡方統(tǒng)計(jì)量（1）

若H0成立，即“吸煙與患肺癌沒有關(guān)系”，則K2應(yīng)很小。根據(jù)表3-7中的數(shù)據(jù)，利用公式（1）計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為：那么這個(gè)值到底能告訴我們什么呢？（2）

獨(dú)立性檢驗(yàn)為了使不同樣本容量的數(shù)據(jù)有統(tǒng)一的評(píng)判標(biāo)準(zhǔn)，基于上述在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率

即在H0成立的情況下，K2的值大于6.635的概率非常小，近似于0.01。

也就是說，在H0成立的情況下，對(duì)隨機(jī)變量K2進(jìn)行多次觀測(cè)，觀測(cè)值超過6.635的頻率約為0.01。思考

答：判斷出錯(cuò)的概率為0.01。在H0成立的情況下，統(tǒng)計(jì)學(xué)家估算出如下的概率也就判斷是否成立的規(guī)則如果，就判斷不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系；否則，就判斷成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)系。獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義

上面這種利用隨機(jī)變量K2來確定在多大程度上可以認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法，稱為兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)。在該規(guī)則下，把結(jié)論“成立”錯(cuò)判成“不成立”的概率不會(huì)差過即有99%的把握認(rèn)為不成立。判斷是否成立的規(guī)則如果獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即“兩個(gè)分類變量沒有關(guān)系”.(2)在此假設(shè)下我們所構(gòu)造的隨機(jī)變量K2

應(yīng)該很小,如果由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值k很大,則在一定可信程度上說明不成立.即在一定可信程度上認(rèn)為“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”；如果k的值很小，則說明由樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有發(fā)現(xiàn)反對(duì)的充分證據(jù)。(3)根據(jù)隨機(jī)變量K2的含義,可以通過評(píng)價(jià)該假設(shè)不合理的程度,由實(shí)際計(jì)算出的,說明假設(shè)不合理的程度為1%,即“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度為約為99%.獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想（類似反證法）(1)假設(shè)結(jié)論不成立,即怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？

這僅需要確定一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)就認(rèn)為K2的觀測(cè)值k大。此時(shí)相應(yīng)于的判斷規(guī)則為：如果，就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；否則就認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”。----臨界值按照上述規(guī)則，把“兩個(gè)分類變量之間沒有關(guān)系”錯(cuò)誤的判斷為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的概率為P().在實(shí)際應(yīng)用中，我們把解釋為有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”；把解釋為不能以的把握認(rèn)為“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”，或者樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“兩個(gè)分類變量之間有關(guān)系”的充分證據(jù)。怎樣判斷K2的觀測(cè)值k是大還是小呢？這僅需要確定思考：

利用上面的結(jié)論，你能從列聯(lián)表的三維柱形圖中看出兩個(gè)分類變量是否相關(guān)呢？表1-112x2聯(lián)表

一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1,x2}和{y1,y2},其樣本頻數(shù)列聯(lián)表（稱為2x2列聯(lián)表）為：思考：表1-112x2聯(lián)表一般地，假設(shè)有兩個(gè)

若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如下步驟判斷H1成立的可能性：2、可以利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個(gè)分類變量是否有關(guān)系，并且能較精確地給出這種判斷的可靠程度。1、通過三維柱形圖和二維條形圖，可以粗略地判斷兩個(gè)變量是否有關(guān)系,但是這種判斷無法精確地給出所得結(jié)論的可靠程度。（1）在三維柱形圖中，主對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積ad與副對(duì)角線上兩個(gè)柱形高度的乘積bc相差越大，H1成立的可能性就越大。（2）在二維條形圖中,可以估計(jì)滿足條件X=x1的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例，也可以估計(jì)滿足條件X=x2的個(gè)體中具有Y=y1的個(gè)體所占的比例。兩個(gè)比例相差越大，H1成立的可能性就越大。若要判斷的結(jié)論為：H1：“X與Y有關(guān)系”，可以按如在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：具體作法是：(1)根據(jù)實(shí)際問題需要的可信程度確定臨界值；(2)利用公式(1)，由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到隨機(jī)變量的觀測(cè)值；(3)如果，就以的把握認(rèn)為“X與Y有關(guān)系”；否則就說樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)沒有提供“X與Y有關(guān)系”的充分證據(jù)。在實(shí)際應(yīng)用中，要在獲取樣本數(shù)據(jù)之前通過下表確定臨界值：具體作1)如果P(m>10.828)=0.001表示有99.9%