linear system theory-lec4第四章線性系統(tǒng)能控性和觀測

單輸入-1單輸入-單輸出系統(tǒng)的能控規(guī)范型xAxy完全能特征

rankb An1bdet(sIA)(s)snn1sn1

sc 奇異變換xPx，PQ1，即可導(dǎo)出其第一能控規(guī)范型為cycx 其 0 A 1,bcc cc

0 cccQc nicAib,i0, ,n證明由PQI，即Pb An1b PAi1b 01i

0]T i ,當(dāng)取i1bcPb

APAP1PAQPA[b An1b]P[Ab Anb] P[ An1b Ab 0 P[b

1 1 1 n1cccQc 定理 對完全能控的單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，定

P

1 則性非奇異變換xP1x下系統(tǒng)代數(shù)等價于下述第二能控規(guī)范111 n1Ac

ycx

,bccccPn1

n1

cAb

cAb b 0cAn1b cAn2b 證明①推導(dǎo)Ac：記P

e，利用AcP1AP可導(dǎo)nPAcAP Aen

n n

1 利用Cayley-Hamilton定理，可

PA

n

Ae(AnbAn1b Abb)b 0Ae(An1b An2b Abb)be 1

(A2b

Ab

b)

b

從而001 n1PAc[ e1 en001 n1 en因為[e1

]P，所以左乘P1，即導(dǎo)出了A的表達式c推導(dǎo)bc：利用bcP1bP

bn1

1得

Pbbe[e

ePeP 1 n 左乘P1就得到bc的表達推導(dǎo)cc：利用cccPP

bn1

1即cccP

b

n1 1

注：能控規(guī)范型Ac,bc)與特征多項式的系數(shù)聯(lián)系結(jié)論 設(shè)系統(tǒng)完全能控，則其傳遞函數(shù) sn1 sn2 W(s)

(i n1)直sn證明伴隨矩陣的定

sn1 AAA32

* 1 1adj(sIA)adj

* s2

sn-1

sn1*于adj(sIA)b1s sn1TccW(s)c(sI

sn1 det(sI 證明只需證數(shù)等價系統(tǒng)的(s)和可

(i n1)相同兩個系統(tǒng)(A,bc)和(A,b,c)，且兩者之間成立ATAT1,bTb,ccT其中T為非奇異常陣。于是(s)det(sIA)detT(sIA)T1det(sIA)和i1cAnib

icb icT1TbcAnibn1

i 例1將如下單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)化成第二能控 2 x2 1x2u,n 1 y011解：特征(s)det(sIA)s35s常第二能控規(guī)范變換

2cb1cAb2cb cA2bcAbcb 1 x 01x0 45 y043 2P 0 2 1 1 1逆 112 12P

7 5

7 1x

1 28

28x31 1

4 7 xP1x x x 7 5

7 7 x 1x5 3 23 7 23 單輸入-完全能觀測的單輸入-單輸出線性定常xAxy有c

cA cAn1 非奇異變換x?Qox下，即可導(dǎo)出其第一能觀測規(guī)范型為

0 x x1

1

n1 n1y 0其中系數(shù)是det(sIA)(s)snn1sn1 1s0icAib,i0, n1定理 對完全能觀測的單輸入-單輸出線性定常系統(tǒng)，定e1 1 cAn1e 1 Q2 n1cA ne n

1c則性非奇異變換xQx下，即可導(dǎo)出其第二能觀測規(guī)范型 0 0 x

x1

y n1

n1

n1

cAb

cAb b 0cAn1b cAn2b 例2給定能觀測的單輸入-單輸出線性定常系 2 x 1x2 1 y011常

(s)det(sIA)s35s2cb cAb2cbcA2b2cAb1cb系統(tǒng)的第二能觀測規(guī)范?

x 5x4變換

0 0 y001

1cA2 4 Q 2cA 0 1c 1能觀測規(guī)范型中的狀態(tài)

4x1 4x14x24x3 1x3xx 2 3 x2 利用對偶關(guān)系求取能觀多輸入-多輸出線性系統(tǒng)的能控規(guī)范型和能觀規(guī)范型[GoPagexAxy其中，A為nn常陣；B和C分別為nr和mn能能控性判別陣QcB能觀測性判能觀測性判別陣

An1QCAo o

n1當(dāng)系統(tǒng)為能控時，必有rankQcn，也即nnr的Qcn個線性無當(dāng)系統(tǒng)為能觀測時，則有rankQon，從而mnn的Qo中有且僅有n個線性無關(guān)的行。找出Qc(Qo)中的n個線性無關(guān)的列(行)，有兩種搜索方案 方案[列搜索]：以n7和r4為例b1，在A0b的格用”表示1之按列的方向進行搜索Ab1和b1性無關(guān)，就在乘積Ab1的格內(nèi)記“對第一列繼續(xù)搜索，直到發(fā)現(xiàn)一向量Av1b和先前各列中各向量b,Ab ,Av1 1線性相關(guān)時為止，并在表征Av1b12 如果如上找到的線性無關(guān)的向量數(shù)v1n，則繼續(xù)對第二列搜索，類似地若b 與b,Ab, ,Av11b為線性無關(guān)，就2 和先前取定的所有向量為線性相關(guān)，并在其格內(nèi)記以“”。如此重復(fù)下去，一直到第l列，并有v1v2vl時搜索結(jié)方案[行搜索 以n7和r4為例如果rankBr，那么B中的r個列是線性無先從b1起，依次找到r

的向量b1,b2 ,br，并在其對應(yīng)格內(nèi)記上“” 左6至右進行判斷，直到Abr；其中，6和先前取定的所有向量為線性無的向量格內(nèi)記上“”，反之則記上“”量并將它們的格保留為空白（C-HTheorem）。注2：用表示第列(1,2, ,r)中“”格的長度，那么就可得到一個指數(shù)集{1,2, ,r}，顯然它即為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集。算法1[Wonham第一能控規(guī)范型的求取]第二步： B br并按照搜索方案來找出矩陣Qc中的n個線性無關(guān)的b,Ab ,Av11b;b,Ab ,Av21b ;b,Ab ,Avl 其中v1v2 vln第三步：取變換陣T[b Av11bb Av2 b Avl1b 第四步AcT1AT,BcT1B,Cc 求取的系統(tǒng)性非奇異變換xT1x下的代數(shù)等價系統(tǒng)(A,B,C) 具有下述Wonham第一能控規(guī)范型的形xAcxyCc其 A A All Aii

i , *(vvi 0C控C控。

j

i0*(vvi B 0

(nr上述各式中用“*”表示的元為可能的非零證明具體推證過程和單輸入-單輸出情形相類似，此處從略算法2[Wonham第二能控規(guī)范型的求取第一步~第三步：同算法第四步：計算矩陣T1，并將其表為下述形T

eT11 eT eTl1 eTlvl第五步：取矩陣T1的每個塊陣中的末行e

,2,

,T

，按下述式構(gòu)成變

e T Te e eTAv1 S eTeeT eTAvl1e 第六步AcSAS1,BcSB,CcCS取系統(tǒng)性非奇異變換xSx下的代數(shù)等價系統(tǒng)(Ac,Bc,Cc)具有下yCc其 Ac All00*

v

,i （一、二i A

,ji 0

(vvi cBc

1

上述各式中用“*”表示的元為可能的非零Luenberger算法3[Luenberger第一能控規(guī)范型的求取

第二步：按搜索方案II找出其能控性矩陣Qc的n個線性無關(guān)列，且將搜索結(jié)果b,Ab ,A11b, Ab ,A21b , Ab ,Ar1 其中{1,2 ,r}為系統(tǒng)的能控性指數(shù)集，12nr第三步：依據(jù)搜索結(jié)果構(gòu)成P[b A1bb

b A1b

第四步cc

定理3對于完全能控的多輸入-多輸出的線性定常系統(tǒng)，設(shè)其滿足rankBr，對其應(yīng)用算法3求得系統(tǒng)性非奇異變換xP1x?c?cu ?其 ?r

?rr A

,i , 1*( 00?

00

,i

i0*(i 01 00

2

,

B 00 ir i算法4[Luenberger第二能控規(guī)范型的求取第一步~第三步：同算法第四步：計算矩陣P1，并將其表為下P1

第五步：取矩陣P1的每個塊陣中的最末一行e

,2,

e 按r述方式構(gòu)r e e 11Ae eTA11 S T e TeT eTAr1e第六步

cc

CS定理4對于完全能控的多輸入-多輸出的線性定常系統(tǒng)，設(shè)其滿足rankBr，對其應(yīng)用算法4求得系統(tǒng)性非奇異變換xSx下?c?cu ?其 ?r ?r1Aii

?rr i ,

( Aij

,i

((

BB?

,B

B 01 ir i例 已知定常線性系統(tǒng)(A,B,C)A

1 B C 0 求該系統(tǒng)的Luenberger第二能控

75 Qc

97 從中按方案II選取線性獨立列向量得

0 0P

容易計

28 eT

eTP

12e e

T作矩

eT21eT 10

00S

00 eT 01不難算

0 0S1

0 0于是經(jīng)簡單計算可

0

Ac

11

B? ,C 0

cc型共四種規(guī)范型（Wonham一、二，Luenberger一、二能控規(guī)定理5考慮完全能觀測的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，則其xoAoxoyCo其 Ao ll A A ,i1, * 0 A j 0

Co

yCo其 A 2l 0

0

*,i1, *100,j1, ,i 0 Co

定理7對完全能觀測的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)rankCm，則其Luenberger第一能觀測規(guī)范型在形式上對偶于?o?o?ou 其?

AA A A

A

,i1, ,* * 0 A ,i 0

C? Cm, 定理8對完全能觀測的多輸入-多輸出線性定常系統(tǒng)，設(shè)rankCm則其Luenberger第二能觀測規(guī)范型在形式上對偶于

?o?oo 其 Amm 0 A ,i1, , 1 1A

0 ,i 0 0 0C?CC

,

線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分

能控性和能觀測性性非奇異變換下的屬線性定常系 設(shè)(A,B,C)為對(A,B,C)進行線性非奇異變換所導(dǎo)出的結(jié)果，即APAP1 B CCP其中P為非奇異常陣，從而必成rankQc和rankQo其中Qc和Qc為兩者的能控性Qo和Qo為兩者的能觀測性矩證Qc PAn1B

CP CAP QoC

QoP n1 n1線性時變系非奇

C CAPxA(t)xB(t)u,tyC(t)

xR1(t)變換后的狀態(tài)空間其?0結(jié)論 設(shè)R(t)的元是對t的絕對連續(xù)函數(shù)，且R(t)對一切t[t,t0均不降t0J,t1t0,t1J，記變換前后的Gram能控矩陣分別rankW?c(t1,t0)rankWc(t1,t0)和ran?o(t1,t0)rankWo(t1,t0證 ?00左乘R1(tx(t)(t,tx

t(t,)B()u( R1(t)x(t)R1(t)(t,t)xtR1(t)(t,)[R()R1()]B()u xxR1(t)?(t) 從而由此得

?(t,)R1(t)(t,)R(?ct11 0 0R1(t)W(t,t)R1(t) c10 1

對線性系統(tǒng)作線性非奇異變換既不改變系統(tǒng)的能控性和性，也不改變其不完全能控和不完全能觀測的程度不完全能控的多輸入-多輸出線性定常系不完全能觀：能x不完全能觀：能y如何求變換矩陣？？算法1[能控性結(jié)構(gòu)分解的求取第一步：能控性矩QcB An1并求出rankQckn為q1,q2, ,qk。此外，在n維實數(shù)空間中任意地選擇nk個列向量，記為qk1, ,qn，使得{q1,q2, ,qn}為線性無關(guān)組。第三步：按下述方式組成變P1Q第四步

qk qnAPAP1,BPB,CCP定理1對不完全能控系統(tǒng)，利用算法1求得系統(tǒng)性非奇異變換xPx下的代數(shù)等價系統(tǒng)AB,C具有下述結(jié)構(gòu)按能控性分解c c x Ac c x Ax 0c cc y Cxc c其中xc為k維能控分狀態(tài)向量，即Ac,Bc)能控xc為nk維不控分狀態(tài)向量krankQc證明1pT1PQ1pTnPP1pT1 qkqk q pTn 也 pTq0,i 對于jk,Aqj是q1,q2 ,qk的線性組合。 pTAq0,ik ,n,j1, , 于APAP1PA

qk qnP Aqk AqnpT1 Aqk AqnpTn k n

Ap p

p p k

12pT

pT

pTAq k k pTAq

k k k c k n同樣，B的所有列也均可表為q1,q2, ,qk的線性組合[注：qi取自能pTB pTBBc 0pT k1pB pBCCP1

再krankQcrankQc An1B An1Bc n1

rank A

Ac c因A為kk矩陣，由Cayley-Hamilton定理又知AkB,Ak1B ,An1B均c可表為B,AB ,Ak1B的線性組合 c cc A Ak1Bcc

c 這表明A,B)為能控，即x為能控分狀態(tài)

例 給定線性定常系 11 x010x 0

1

已知n=3rankB2，因

1

AB

110102n

故不完全能控 011Q Q c

010]T和q[101]T線性無關(guān)。再任取q[100]T使構(gòu)成的矩為非奇異。求

0P1Q10 P

11于是

1

011 APAP1 01 0

1 01 11110 0 BPB 1 0 CCP110 002 0 這樣就導(dǎo)出了系統(tǒng)按能控性分解的表

c

1

1 x c

0x xc x cy02 c xc 控兩部分。其中能控部分為如下的k維子系統(tǒng)xcAcxcAx

12

不能控部分為如下的nk維子系xcA cy2Ccyy1y2。det(sIA)det(sIA)sI

det(sIA)det(sIA

sIA c不完全能控系統(tǒng)的特征值由兩部分組成：一部分為的特征值cA為系統(tǒng)的能控振型；另一部分為的特征值，稱為系統(tǒng)的不能控Ac型注3系統(tǒng)在結(jié)構(gòu)分解后的方塊圖，系統(tǒng)的不能控部分既不受輸入u的直接影響，也不受能控狀態(tài)xc的間接影響。因此不能控部分能控子系統(tǒng)：xcAcxcA12xcB 不能控子系xcA c系統(tǒng)輸出 yy1c注 變換陣P1中，不管是從能控性判別陣Q中選取c{q1,q2, ,qk}，還是此外取定的{qk1, ,qn}，都不是惟一的取法。注5線性定常系統(tǒng)是完全能控的，當(dāng)且僅當(dāng)它不能通過線性不完全能觀測的線性定常系xAxy算法2[能觀性結(jié)構(gòu)分解的求取第一步：系統(tǒng)的能觀測性判別CCAQ o并計算rankQlno

第二步：在Qo中任意地選取l個線性無關(guān)的行向量h1,h2, ,hl，此外再任取nl個行向量hl1, ,hn，使得h1,h2, ,hn線性無關(guān)。第三步：按下述方式構(gòu)成變換h1 Fhlh第四步

l1 hnAFAF1,B CCF定理2對不完全能觀測系統(tǒng)，基于算法2求得系統(tǒng)性非奇異變換xFx下的代數(shù)等價系統(tǒng)?B?C?具有結(jié)構(gòu)按能觀測性分解的oo

? ? ? Boy

o ? 分解后所得到的能觀測部分是l維子系?o?o?o ?不能觀測部分為nloo

??o

21

y2