212熱輻射的基本定律

2.1.2 熱輻射的根本定律第七章光的量子性本章主要介紹歷史上在爭(zhēng)論黑體輻射，光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)時(shí)，怎樣打破經(jīng)典理論成見(jiàn)，漸漸生疏到光的波粒二象性，并闡述波粒二象性的含義。一、幾種不同形式的輻射

§7—1 熱輻射、基爾霍夫定律否則輻射就會(huì)引起物質(zhì)內(nèi)部的變化。在輻射過(guò)程中物質(zhì)內(nèi)部發(fā)生化學(xué)變化的，叫做化學(xué)發(fā)由場(chǎng)的作用引起的輻射叫場(chǎng)致發(fā)光。另一種輻射叫做熱輻射，這種輻射在量值方面和按波長(zhǎng)分布方面都取決全輻射體的溫度。任何溫度的物體都發(fā)出確定的熱輻射。一物體500℃左右，暗紅色。隨溫度不斷上升，輝光漸漸亮起來(lái)，而且波長(zhǎng)較短的輻射越來(lái)越多。1500℃變成光明的白熾光。同一物體在確定溫度下所輻射的能量，在不同光譜區(qū)域的分布是不均勻的，而且溫度越高，光譜中與能量最大的輻射相對(duì)應(yīng)的頻率也越高。在確定溫度下，不同物體所輻射的光譜成份有顯著的不同。二、輻射出射度和吸取比d范圍內(nèi)的輻射能量d與和T有關(guān)，而且d足夠小時(shí)，可認(rèn)為與d成正比d,T

E dTE,T

是和TT時(shí)放射頻率為的單色輻射出射度〔單色輻出度四周的單位頻率間隔內(nèi)的輻射功率。它反映了在不同溫度下，輻射能量按頻率分布的狀況。單位為W/m2J/m2s從特體外表單位面積上所發(fā)出的各種頻率的總輻射功率，稱為物體的輻射出射度。用(T表示：0T)0 0

d

0

E d(T只是溫度的函數(shù)。E0

和(T同外表狀況有關(guān)。0另一方面，當(dāng)輻射照耀到某一不透亮物體外表時(shí)，其中一局部能量將被物體散射或反射，另一局部能量則被物體所吸取用d 表示頻率在和d范圍內(nèi)照耀到溫度為,TT的物體的單位面積上的輻射能量；d,T

表示物體單位面積上所吸取的輻射能量，則A,T

d ,Td,T叫做該物體的吸取比。0A,T

1，吸取比同,T，和物體及外表狀況有關(guān)。三、基爾霍夫定律E

A

之間有著確定的聯(lián)系。將溫度不同的物體P，P，P放在一個(gè)密閉的抱負(fù)絕熱容器里，假設(shè)容器內(nèi)部是真空1 2 3的，則物體與容器之間及物體與物體之間只能通過(guò)輻射和吸取來(lái)交換能量，當(dāng)單位時(shí)間內(nèi)輻射體發(fā)出的能量比吸取的較多時(shí)，它的溫度就下降，這時(shí)輻射就會(huì)減弱。相反輻射將增加。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，系統(tǒng)將建立熱平衡，此時(shí)各物體在單位時(shí)間內(nèi)發(fā)出的能量恰好等于吸取的能量。由此可見(jiàn)，在熱平衡的狀況下。由此可見(jiàn)，在熱平衡的狀況下，單色輻出度較E1859年，基爾霍夫指出：物體的的性質(zhì)無(wú)關(guān)，而只是頻率和溫度的普適函數(shù)。7-1§7—2 黑體輻射

A

f(,T與物體一、黑體T各種物體由于它們有不同的構(gòu)造，因而它對(duì)外來(lái)輻射的吸取，以及它本射對(duì)外的輻射都不一樣。但是有一類物體其外表不反射光，它們能夠在任何溫度下吸取射來(lái)的一切電磁輻射，這類物體就叫做約對(duì)黑體。處于熱平衡時(shí)，黑體具有最大的吸取比，因而它也就有最大的單色輻出度。TT設(shè)以,T

，,

表示確定黑體的單色輻出度和吸取比，由于,

1，則：TETA

,T

f(,T)普適函數(shù)就是確定黑體的單色輻出度。在空腔外表開(kāi)一個(gè)小孔，小孔外表就可以模擬黑體外表。7-27-3二、斯忒藩——玻爾茲曼定律和維恩位移定律在實(shí)際測(cè)得黑體輻射譜后，建立其函數(shù)表達(dá)式的問(wèn)題，在歷史上是逐步得到解決的。維恩依據(jù)熱力學(xué)原理證明，黑體輻射譜必有如下的函數(shù)形式 c5 c c c,T

T

,T

5

f T T

d d2其中f，f的函數(shù)形式尚不能完全確定，利用上式可得以下兩條定律〔1893年〕黑體的輻出度與確定溫度T的四次方成正比。即：(T)0 0

,T

dT45.67108W/m2

k4是一個(gè)普適常數(shù)〔1879年斯忒藩從試驗(yàn)觀看到，1884年玻爾茲曼從理論上給出上式稱為斯忒藩—?！砊任何溫度下，,T

都有一極大值，令這極大值對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為 ，則M b b2.89103m.kmT這個(gè)規(guī)律稱為維恩位移定律。三、維恩公式和瑞利—金斯公式ff的函數(shù)形式進(jìn)一步具體化的，歷史上在這個(gè)問(wèn)題獲得最終的正確答案之前，有過(guò)以下兩個(gè)公式，它們對(duì)揭露經(jīng)典物理的沖突起了重大的作用?！?〕1896年，維恩假設(shè)氣體分子輻射的頻率只是與其速度有關(guān)〔這一假設(shè)看來(lái)是沒(méi)有什么依據(jù)的，從而得到與麥克斯韋速度分布律形式很相像的公式。(,T)

a3c2

e/T

,T

c2 ce5 Te,為常數(shù)，上式稱為維恩公式。〔2〕瑞利—金斯定律1900年瑞利與金斯試圖把能量均分定律應(yīng)用到電磁輻射能量密度按頻率頒的狀況中，他們假設(shè)空腔處于熱平衡時(shí)的輻射場(chǎng)將是一些駐波，依據(jù)能量均分定理，每一列駐波斯灣平均能量kT，與頻率無(wú)關(guān)，這樣可以算出

2c2

2kT 或

,T

2ckT4上式稱為瑞利—金斯公式。兩公式都符合普遍形式。同試驗(yàn)數(shù)據(jù)比較，在短波區(qū)域維恩公式符合的很好，但在長(zhǎng)波范圍則有雖不太大但卻是系統(tǒng)的偏離。瑞利公式與之相反，在長(zhǎng)波局部符合的很好，但在短波波段偏離格外大，不僅如此：0,,T，從而T這明顯是荒唐的，瑞利之后，金斯作過(guò)各種努力，他覺(jué)察，只要堅(jiān)持經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)理論，這一荒唐結(jié)論就不行避開(kāi)。歷史上被人們稱為紫外災(zāi)難?！?—3 普朗克公式和能量子假說(shuō)正確的黑體輻射公式是普朗克給出的〔1900年〕 2 3

或

2c2 1,T c2 e/kT1

,T

5 ec/kT1R是玻爾茲曼常數(shù)，6.621034Js為一普適常數(shù)，稱為普朗克常數(shù)。普朗克公式也符合普遍形式。對(duì)于短波，kT e/kT1化為維恩公式對(duì)于長(zhǎng)波，kT e/kT1/kT化為瑞—金公式在全部的波段里，普式和試驗(yàn)符合的很好。普式的得來(lái)，起初是半徑驗(yàn)的，即利用內(nèi)插法將適用于短波的維恩公式和適用于長(zhǎng)波瑞利—金斯公式連接起來(lái)，在得到上述公式之后，普朗克才設(shè)法從理論上去論證它。為了推導(dǎo)簡(jiǎn)潔，選擇由大量包含各種因有頻率的諧振子組成的系統(tǒng)。通過(guò)放射和吸收，諧振子與輻射場(chǎng)交換能量。認(rèn)真計(jì)算輻射場(chǎng)與諧振子之間的能量交換，得黑體的色輻出度為

22c2

這里(,T)，是頻率為的諧振子在溫度為T(mén)的平衡態(tài)中能量的平均值。下在我們來(lái)計(jì)算 在熱平衡態(tài)中能量的幾率正比于e/k〔玻爾茲曼正則分布，,T依據(jù)經(jīng)典物理學(xué)的觀念，諧振子的能量0到∞間連續(xù)取值，從而e/kTd 0 kT(,T)

e/kT0得到的就是導(dǎo)致紫外災(zāi)難的瑞利—金斯公式。為了擺脫困難，普朗克提出如下一個(gè)非同尋常的假設(shè)，諧振子能量的值只取某個(gè)根本單元 的整數(shù)倍，即：00,,2,30 0 0這樣一來(lái) n0

n en00

2ln

en

1

en0n0

2

0 kTn0利用等比級(jí)數(shù)的求和公式，可得， n 1

aaq0e0n0

1e0

1 n1q,T

0e0/kT102 0 ,T

c2 e0/kT1 要此式符合普遍形式，必需含 正比于，即 這里 0 0的比例系數(shù)。這樣 2 3

這便是普朗克公式。,T c2 e/kT1綜上所述，我們看到，為了推導(dǎo)與試驗(yàn)相符的黑體輻射公式，人們不得不作這樣的假 設(shè)：頻率為的諧振子，其能量取值為 0 0設(shè)稱為普朗克能量子假設(shè)。從經(jīng)典物理學(xué)的眼光來(lái)看，這個(gè)假設(shè)是如此的不行思議，就連變朗克本人也感到難以信任。他曾想盡量縮小與經(jīng)典物理學(xué)之間的沖突，宣稱只假設(shè)諧振子的能量是量子化的，而不必認(rèn)為輻射場(chǎng)本射也具有不連續(xù)性。但后來(lái)的很多事實(shí)迫使我們成認(rèn)，輻射場(chǎng)也是量子化的。普朗克因說(shuō)明光量子論而獲得1918年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)金。§7—4 光電效應(yīng)本章將說(shuō)明：頻率為的電磁波是能量為的光粒子體系，光不僅有波的性質(zhì)，而且有粒子的性質(zhì)。一、光電效應(yīng)及其試驗(yàn)規(guī)律電子在光的作用下從金屬外表放射出來(lái)的現(xiàn)象，稱為光電效應(yīng)，逸出來(lái)的電子稱為光電子。光電效應(yīng)的規(guī)律如下：飽和電流Im的大小與入射光的強(qiáng)度成正比，即光電子數(shù)目同光強(qiáng)成正比。光電子的最大初動(dòng)能與光的強(qiáng)度無(wú)關(guān)，只與入射光的頻率有關(guān)，大，光電子的能量大。入射光的頻率低于 ，不管光的強(qiáng)度如何，照耀時(shí)間多長(zhǎng)，都沒(méi)有光電子輻射。0光的照耀和光電子的釋放幾乎是同時(shí)的，在測(cè)量精度范圍內(nèi)〔109s〕觀看不出兩者間存在滯后現(xiàn)象。二、光電效應(yīng)同波動(dòng)理論的沖突〔1〕光愈強(qiáng)，電子接收的能量越多，釋放出去的電子〔2〕釋放電子主要取決于光強(qiáng)，應(yīng)當(dāng)與頻率等沒(méi)有關(guān)系〔3〕關(guān)于光照的時(shí)間問(wèn)題，光能量是均勻在它傳播的空間的，由于電子截面很小，積存足夠能量而釋放出來(lái)必需要經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的時(shí)間〔幾十秒至幾分鐘。試驗(yàn)事實(shí)同上面的結(jié)論完全相反?！?—5 受因斯坦的量子解釋一、愛(ài)因斯坦的光子假設(shè)及其光電方程1905年愛(ài)因斯坦推廣了普朗克關(guān)于能量子的概念，他指出：光在傳播過(guò)程中具有波動(dòng)的特性，而在光和物質(zhì)相互作用過(guò)程中，光能量是集中在一些叫做光量子〔光子單個(gè)光子的能量與頻率成正比，即愛(ài)因斯坦認(rèn)為一個(gè)光子的能量是傳遞給金屬中的單個(gè)電子的。電子吸取一個(gè)光子后，把能量的一局部用來(lái)擺脫金屬對(duì)它的束縛，余下的一局部就為成電子離開(kāi)金屬外表后的動(dòng)能，按能量守衡和轉(zhuǎn)換定律應(yīng)有1

m2W21上式稱為愛(ài)因斯坦光電效應(yīng)方程。2m2為光電子的功能，W為光電子逸出金屬外表所需的最小能量，稱為逸出功。二、對(duì)光電效應(yīng)的量子解釋〔1〕 解釋Im光強(qiáng)1 1〔2〕

按v

m2w 越大，m2越大。2 2〔3〕 無(wú)需積存能量的時(shí)間。光通量N三、光子的質(zhì)量和動(dòng)量

I neNm依據(jù)相對(duì)論里質(zhì)能關(guān)系mc2一個(gè)光子的質(zhì)量：m2c2 c2m01m012c2m 00也不存在相對(duì)于光子靜的參照系。2p2c2m2c40pc pmc2

全都。§7—6 康普頓效應(yīng)由于倫琴射線的波長(zhǎng)很短，所以即使通過(guò)不含雜質(zhì)的均勻物質(zhì)時(shí)，也可觀看到散射現(xiàn)象，1922年康普頓在爭(zhēng)論碳、石臘等物質(zhì)中的這種散射時(shí)，覺(jué)察散射譜線中除了波長(zhǎng)和原其間有確定的關(guān)系。這種波長(zhǎng)轉(zhuǎn)變的散射稱為康普頓效應(yīng)。7-4試驗(yàn)原理如右圖，用銅的特征倫琴線0

0.7078A入射在石墨上，波長(zhǎng)的轉(zhuǎn)變?yōu)?

2ksin22kk(2.42630890.00000401012m90o時(shí)波同和散射物質(zhì)都無(wú)關(guān)。0經(jīng)典的散射理論對(duì)康普頓效應(yīng)是難以解釋的。必需同量子概念來(lái)解釋。在輕原子里，電子和原子核的聯(lián)系相當(dāng)弱，電離能約為幾個(gè)電子伏特，和倫琴射線光子的能量104~105ev比起來(lái)，幾乎可以略去不計(jì)。因此對(duì)全部的輕原子，都可以假定散射過(guò)程僅是光子和電子的相互作用。作為一級(jí)近擬，可以認(rèn)為電子是自由的，而且在受到光子作用之前是靜止的。只要假定在作用過(guò)程中動(dòng)量和能量都守衡，并引用經(jīng)典力學(xué)中粒子彈性碰〔散射子本射也因之削減了能量〔減低了頻率，增大了波長(zhǎng)〕那么康普頓效應(yīng)就可得到解釋。2

7-52

22動(dòng)量守衡(mv)2

cosc c c20能量守衡mc2mc20mc2 ()mc20m2c422222m2c4

c2() 0 0 m22c2

22cosm2c2(c22)m2c40

2m

c2()12c12c200 2m21c

m2 2 0m2c40

m2c2(c22)m2c40

m2c40

2(1cos)2m

c2()0(1cos)mc2()00(1cos)m

c cc c0

(1cos)0 mc02

sin2mc 20

2 sin2mc 20 0.024265

和觀看結(jié)果相等。mc0這種理論計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果的符合，說(shuō)明白能量守衡和動(dòng)量守衡兩個(gè)定律在微觀現(xiàn)象中嚴(yán)格地適用，大量的其它試驗(yàn)也都證明白這個(gè)結(jié)論 mc0相應(yīng)的光子的波長(zhǎng)。mc20mc0對(duì)試驗(yàn)來(lái)說(shuō)有重要意義的是相對(duì)此值那么就很小，例如：10cm 1011

，假設(shè)入射光是可見(jiàn)光，微波或無(wú)線電波，這種變化難以觀看，量子結(jié)果與經(jīng)典結(jié)果全都。射線：~1A 102和在一個(gè)數(shù)量級(jí)。假設(shè)電子被原子嚴(yán)密地束縛或者入射光子能量很小，碰撞后整個(gè)原子發(fā)生反沖，而不是個(gè)別電子的反沖，則 里的m

應(yīng)代之以M

m〔對(duì)于碳M

2200m

，康普mc 0

0＞＞0 0 0頓位移就格外小，所以波長(zhǎng)的變化可以略去不計(jì)。于是在康普頓散射中，有些光子是和所謂的“自由電子”碰撞的，這些光子的波長(zhǎng)是變化的。另一些光子是同嚴(yán)密束縛的電子及原子核碰撞的，這些光子的波長(zhǎng)不變。一個(gè)溫度在〔或外表可以在電磁波譜的全部波長(zhǎng)上四周放射能量。面〔包括水面體輻射的根本定律?；鶢柣舴蚨蒊沿光束路徑s的變化可以表示為1dI j ds

kI

〔2.1〕ds是光束方向上的長(zhǎng)度元量；是介質(zhì)的密度。但是在熱力學(xué)平衡的條件下，dI/ds=0，由此得到j(luò)Ik j

(T) 〔2.2〕這就是著名的基爾霍夫定律〔Kirchhoff〕定律。它說(shuō)明，在熱力學(xué)平衡條件下，介質(zhì)的〔質(zhì)量〕j與〔質(zhì)量〕吸取系數(shù)k之比，與介質(zhì)的性質(zhì)無(wú)關(guān)，只是溫度T和波長(zhǎng) J A

代替源函數(shù)系數(shù)j

與吸取系數(shù)k，即J IA J

(T) 〔2.3〕Kirchhoff定律說(shuō)明，假設(shè)介質(zhì)吸取某一特定波長(zhǎng)的輻射，它必將同時(shí)放射一樣波長(zhǎng)輻J

AI

，即放射強(qiáng)度等于吸取強(qiáng)度。又由于J

為放射率，所以發(fā)射率等于吸取率。對(duì)于一個(gè)確定黑體來(lái)說(shuō)，J

I ，因此J /I

A 1，而且適用于全部波長(zhǎng)；對(duì)于灰體來(lái)說(shuō)，J /I

A 1?？梢杂苫鶢柣舴蚨傻玫揭韵峦普揋oodyandYun，198：②介質(zhì)的放射強(qiáng)度J 〔或稱源函數(shù)〕等于輻射強(qiáng)度I J I ③c”2I在腔體內(nèi)的全部介質(zhì)中都相等，其中c”2是有關(guān)介質(zhì)中的光速；c”2I

必定只是溫度T的一個(gè)普適函數(shù)，寫(xiě)作c2B

〔留意，波長(zhǎng)c/c是真空中的光速。嚴(yán)格熱力學(xué)平衡存在的一個(gè)進(jìn)一步的推論是，B

必需具有下述形式( ) 〔2.4〕( ) 〔2.4〕B F c2 式中，F(xiàn)是一個(gè)未知函數(shù)，讀者可以在標(biāo)準(zhǔn)的熱力學(xué)教科書(shū)中找到這種陳述的證明。普朗克公式結(jié)合公式2.〕以及推論2.IB，而最終是函數(shù)F，它表示黑體輻射強(qiáng)度的光譜分布。因此，確定函數(shù)F的形式成為1920年里，大量科學(xué)家投身于這一問(wèn)題的爭(zhēng)論，并極大地促進(jìn)了量子理論的進(jìn)展。最終，德國(guó)科學(xué)家普朗克〔Planck〕獲得成功，他用一個(gè)能量不連續(xù)的諧振子假設(shè)，依據(jù)玻爾茲曼的統(tǒng)計(jì)方法，得到以下表達(dá)式2h3

c2(eh/kT

1)

〔2.5〕式中，hh6.6261761027ergs；k是玻爾茲曼〔Boltzmann〕常數(shù)，k1.3806621016erg/deg；cc2.9979245801010cm/s。普朗克公式是描述黑體能量輻射的能量是怎樣隨頻率及溫度T而變化的定量關(guān)系的公式。由于頻率與波長(zhǎng)具有關(guān)系式：c/I

dI

和d c2

d，所以，如黑體溫度T以確定溫標(biāo)K為單位，則波長(zhǎng)B(T)〔以W/(m2m)為單位〕也可以寫(xiě)作

2hc25(ehc/kT

〔2.6〕由于歷史的緣由，也常常承受如下定義，C 1及

3.741832108(W/m2)m4，C hc/k1.438786104mK1式中，C、C 分別稱為第一輻射常數(shù)和其次輻射常數(shù)。于是，普朗克公式又可寫(xiě)為1 2 c

1 C 5(eC2/T1)C

〔2.7〕〔長(zhǎng)波方向和短波方向四周的行為是完全不同的。在長(zhǎng)波方向，當(dāng)0時(shí)，由式2.〕和2.6，可得2h3B c22h2B 5

eh/kTehc/kT這就是維恩〔Wien〕分布。普朗克正是在總結(jié)了這兩種極端狀況下的結(jié)果后，提出其黑體輻射公式的。斯特藩-玻爾茲曼定律〔2.6〕0到T的黑體輻射的總能量B(T)B(T)

T)d2hc25d 〔2.〕令2xC2

0 T hcT

0 ehc/kT1則CT4 x3) 1

dx 〔2.9〕假設(shè)留意到

C42

0ex1x30ex1

dx415則最終可得式中，

4CB(T) 1T4T4 〔2.10〕15C423C 15.67032108W/(m2K4)15C42稱為斯特藩-玻爾茲曼〔Stefan-Boltzmann〕常數(shù)。斯特藩-玻爾茲曼定律說(shuō)明，一個(gè)確定黑體的總輻射通量密度與黑體溫度的4次方成正定義成輻射強(qiáng)度，也可以被定義成輻射通量，二者相差一個(gè)因子BI。其中，B是通量，而I則是強(qiáng)度。因此，斯特藩-玻爾茲曼定律也有可能被寫(xiě)作(T)T4

〔2.11〕維恩位移定律在普朗克公式〔2.7〕中，令C2xT2并取其對(duì)波長(zhǎng)的微分，得C[5(ex1)xex]假設(shè)令B(T)0，即

1 6(ex1)2

〔2.12〕5(ex1)xex則可求得普朗克函數(shù)B(T)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)在Cx 2 4.9651 Tm式中， 是黑體最大輻射強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)。如記ma m T則a0.28978cmK 〔2.13a〕或K 〔2.13b〕m這就是維恩〔Wien〕位移定律。它說(shuō)明，黑體最大輻射強(qiáng)度的波長(zhǎng)與溫度T成反比。假設(shè)用輻射頻率 表示，則有mTc K 〔2.14〕m在日地平均距離上，積分的太陽(yáng)輻射通量密度大致相當(dāng)于一個(gè)6000K的黑體，所以其峰值輻0.5m左右；另一方面，地球外表可以近似看成是一個(gè)溫度300K10m。普朗克常數(shù)的兩種形式〔2.5〕和〔2.6〕2.2中。圖中坐標(biāo)B

的曲線說(shuō)明了大氣計(jì)算中一個(gè)格外重要的實(shí)際問(wèn)題。6000K5m的波長(zhǎng)上只具有其0.4%255K5m0.4%。因此，對(duì)大局部實(shí)際應(yīng)用來(lái)說(shuō)，可以獨(dú)立地處理太陽(yáng)和地球輻射流束〔亦見(jiàn)圖。圖2.2 普朗克函數(shù)〔GoodyandYu