上海市復(fù)旦附中浦東分校2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1．在中，如果，，，則此三角形有（）A.無(wú)解 B.一解C.兩解 D.無(wú)窮多解2．已知，則A.-2 B.-1C. D.23．Logistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域．有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)新冠肺炎累計(jì)確診病例數(shù)（的單位：天）的Logistic模型：其中為最大確診病例數(shù)．當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則約為（）A.60 B.65C.66 D.694．設(shè)全集，集合，，則等于A(yíng). B.{4}C.{2,4} D.{2,4,6}5．的值是A. B.C. D.6．若動(dòng)點(diǎn)．分別在直線(xiàn)和上移動(dòng)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A. B.C. D.7．已知角的終邊過(guò)點(diǎn)，則等于（）A.2 B.C. D.8．設(shè)則的值為A. B.C.2 D.9．函數(shù)在上的圖象為A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.4 B.3C.2 D.111．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.若，則D.函數(shù)的最小值為12．已知棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形,則該正方體的正視圖的面積可能等于A(yíng). B.C. D.2二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）13．若扇形的面積為，半徑為1，則扇形的圓心角為_(kāi)__________.14．設(shè)，，依次是方程，，的根，并且，則，，的大小關(guān)系是___15．已知集合M={3，m+1}，4∈M，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____16．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝a，(1)求證：PD⊥平面ABCD；(2)求證：平面PAC⊥平面PBD；(3)求二面角P－AC－D的正切值18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：A1C1⊥BC1；（Ⅱ）求證：AC1∥平面CDB119．已知函數(shù)f（x）=2sin2（x+）-2cos（x-）-5a+2（1）設(shè)t=sinx+cosx，將函數(shù)f（x）表示為關(guān)于t的函數(shù)g（t），求g（t）的解析式；（2）對(duì)任意x∈[0，]，不等式f（x）≥6-2a恒成立，求a的取值范圍20．已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與的夾角為，求的值21．如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，求證：（1）；（2）.22．冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)是冰雪產(chǎn)業(yè)重要組成部分，加快發(fā)展冰雪裝備器材產(chǎn)業(yè)，對(duì)籌辦好北京2022年冬奧會(huì)、冬殘奧會(huì)，帶動(dòng)我國(guó)3億人參與冰雪運(yùn)動(dòng)具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產(chǎn)企業(yè)，生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為300萬(wàn)元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本（萬(wàn)元）.當(dāng)年產(chǎn)量低于60千件時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量不低于60千件時(shí)，.每千件產(chǎn)品售價(jià)為60萬(wàn)元，且生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完.（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，企業(yè)所獲得利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1、A【解析】利用余弦定理，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【詳解】由余弦定理可知：，該一元二次方程根的判別式，所以該一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故選：A2、B【解析】，，則，故選B.3、B【解析】由已知可得方程，解出即可【詳解】解：由已知可得，解得，兩邊取對(duì)數(shù)有，解得.故選：B4、C【解析】由并集與補(bǔ)集的概念運(yùn)算【詳解】故選：C5、B【解析】利用誘導(dǎo)公式求解.【詳解】解：由誘導(dǎo)公式得，故選：B.6、C【解析】先分析出M的軌跡，再求到原點(diǎn)的距離的最小值.【詳解】由題意可知：M點(diǎn)的軌跡為平行于直線(xiàn)和且到、距離相等的直線(xiàn)l，故其方程為：，故到原點(diǎn)的距離的最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】解析幾何中與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值問(wèn)題一般的求解思路：①幾何法：利用圖形作出對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段，利用幾何法求最值；②代數(shù)法：把待求量的函數(shù)表示出來(lái)，利用函數(shù)求最值.7、B【解析】由正切函數(shù)的定義計(jì)算【詳解】由題意故選：B8、D【解析】由題意可先求f（2），然后代入f（f（2））＝f（﹣1）可得結(jié)果.【詳解】解：∵∴f（2）∴f（f（2））＝f（﹣1）＝故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的函數(shù)值的求解，解題的關(guān)鍵是需要判斷不同的x所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，屬于基礎(chǔ)試題9、B【解析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)奇偶性求出結(jié)果【詳解】函數(shù)的解析式滿(mǎn)足，則函數(shù)為奇函數(shù)，排除CD選項(xiàng)，由可知：，排除A選項(xiàng).故選B.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．屬中檔題.10、B【解析】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，分別畫(huà)出函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象,如圖，由圖知，它們的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是,故選B.【方法點(diǎn)睛】已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍的三種常用的方法：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．一是轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，二是轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題.11、A【解析】本題首先可以去絕對(duì)值，將函數(shù)變成分段函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)解析式繪出函數(shù)圖像，最后結(jié)合函數(shù)圖像即可得出答案.【詳解】由題意可得：，即可繪出函數(shù)圖像，如下所示：故對(duì)稱(chēng)軸為，A正確；由圖像易知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；要使，則，由圖象可得或、或，故或或，C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，最小值，D錯(cuò)誤，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、三角函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)的最值，考查分段函數(shù)，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.12、C【解析】如果主視圖是從垂直于正方體的面看過(guò)去，則其面積為1；如果斜對(duì)著正方體的某表面看，其面積就變大，最大時(shí)，（是正對(duì)著正方體某豎著的棱看），面積為以上表面的對(duì)角線(xiàn)為長(zhǎng)，以棱長(zhǎng)為寬的長(zhǎng)方形，其面積為，可得主視圖面積最小是1，最大是，故選C.點(diǎn)睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)；俯視圖的長(zhǎng)是幾何體的長(zhǎng)，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫(huà)出直觀(guān)圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀(guān)圖；2、觀(guān)察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案寫(xiě)在答題卡上.）13、【解析】直接根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算可得答案【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，因?yàn)樯刃蔚拿娣e為，半徑為1，所以．解得，故答案為：14、【解析】本題首先可以根據(jù)分別是方程的根得出，再根據(jù)即可得出，然后通過(guò)函數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)即可得出，最后得出結(jié)果【詳解】因?yàn)椋?，，所以，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)與函數(shù)都是單調(diào)遞增函數(shù)，前者在后者的上方，所以，綜上所述，【點(diǎn)睛】本題考查方程的根的比較大小，通?？赏ㄟ^(guò)函數(shù)性質(zhì)或者根的大致取值范圍進(jìn)行比較，考查函數(shù)思想，考查推理能力，是中檔題15、3【解析】∵集合M={3，m+1}，4∈M，∴4=m+1，解得m=3故答案為3.16、【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)，作出函數(shù)和的圖象，利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果【詳解】若，則，，若，則，，若，則，，，，，，設(shè)和，則方程在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)為函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不同的零點(diǎn)作出函數(shù)和的圖象，如圖，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)為，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí)，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線(xiàn)為，要使方程，兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根，則，故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題三、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分。解答時(shí)要求寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。）17、（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】(1)證明：∵PD＝a，DC＝a，PC＝a，∴PC2＝PD2＋DC2，∴PD⊥DC．同理，PD⊥AD，又AD∩DC＝D，∴PD⊥平面ABCD(2)證明：由(1)知PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，又四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩PD＝D，∴AC⊥平面PDB．又AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD(3)設(shè)AC∩BD＝O，連接PO.由PA＝PC，知PO⊥AC．又DO⊥AC，故∠POD為二面角P－AC－D的平面角．易知OD＝.在Rt△PDO中，tan∠POD＝.考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定.18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】（1）要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，轉(zhuǎn)證平面，（2）要證AC1∥平面CDB1，轉(zhuǎn)證//即可.試題解析：證明(法一:故有,A.法二:;由直三棱柱;;平面;平面,平面,平面,(連接相交于點(diǎn)O,連OD,易知//,平面,平面,故//平面.點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.(1)證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)平行.(2)證明線(xiàn)面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)線(xiàn)垂直.(3)證明線(xiàn)線(xiàn)垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直.19、（1），；（2）【解析】：（1）首先由兩角和的正弦公式可得，進(jìn)而即可求出的取值范圍；接下來(lái)對(duì)已知的函數(shù)利用進(jìn)行表示；對(duì)于（2），首先由的取值范圍，求出的取值范圍，再對(duì)已知進(jìn)行恒等變形可得在區(qū)間上恒成立，據(jù)此即可得到關(guān)于的不等式，解不等式即可求出的取值范圍.試題解析：（1），因?yàn)?，所以，其中，即?（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，從而，要使不等式在區(qū)間上恒成立，只要，解得：.點(diǎn)晴:本題考查是求函數(shù)的解析式及不等式恒成立問(wèn)題.（1）首先，可求出的取值范圍；接下來(lái)對(duì)已知的函數(shù)利用進(jìn)行表示;(2)先求二次函數(shù)，再解不等式.20、（1）或（2）【解析】（1）由可設(shè)，再由可得答案（2）由數(shù)量積的定義可得，代入即可得答案【詳解】解：（1）由可設(shè)，∵，∴，∴，∴或（2）∵與的夾角為，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題21、⑴見(jiàn)解析；⑵見(jiàn)解析.【解析】（1）要證明線(xiàn)面平行，轉(zhuǎn)證線(xiàn)線(xiàn)平行，在△AB1C中，DE為中位線(xiàn)，易得；（2）要證線(xiàn)線(xiàn)垂直，轉(zhuǎn)證線(xiàn)面垂直平面,易證，從而問(wèn)題得以解決.試題解析：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面⑵在直三棱柱中，平面,平面,又，平面，平面，，平面，平面，矩形是正方形，，平面，，平面又平面，.點(diǎn)睛：垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.(1)證明線(xiàn)面、面面平行，需轉(zhuǎn)化