域分析-極點與零點

關于域分析_極點與零點第一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)函數的定義系統(tǒng)零狀態(tài)下，響應的拉氏變換與激勵拉氏變換之比叫作系統(tǒng)函數，記作H(s).可以是電壓傳輸比、電流傳輸比、轉移阻抗、轉移導納、策動點阻抗或導納第二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)函數的極零點分布第三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.1由系統(tǒng)函數的極零點分布決定

時域特性

（1）時域特性——h(t)反變換第i個極點決定總特性Ki與零點分布有關第四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(a)一階極點在原點第五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(b)一階極點在負實軸第六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(c)一階極點在正實軸第七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(d)一階共軛極點在虛軸上第八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(e)共軛極點在虛軸上，原點有一零點第九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(f)共軛極點在左半平面第十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）幾種典型的極點分布——

(g)共軛極點在右半平面第十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（3）有二重極點分布——

(a)在原點有二重極點第十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（3）有二重極點分布——

(b)在負實軸上有二重極點第十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（3）有二重極點分布——

(c)在虛軸上有二重極點第十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（3）有二重極點分布——

(d)在左半平面有二重共軛極點第十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日一階極點第十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日二重極點第十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日極點影響小結：極點落在左半平面—h(t)逞衰減趨勢極點落在右半平面—h(t)逞增長趨勢極點落在虛軸上只有一階極點—h(t)等幅振蕩，不能有重極點極點落在原點—h(t)等于u(t)第十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（4）零點的影響零點移動到原點第十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（4）零點的影響零點的分布只影響時域函數的幅度和相移，不影響振蕩頻率幅度多了一個因子多了相移第二十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日結論H(s)的極點決定了自由響應的振蕩頻率，與激勵無關自由響應的幅度和相位與H(s)和E(s)的零點有關，即零點影響Ki,Kk系數E(s)的極點決定了強迫響應的振蕩頻率，與H(s)無關用H(s)只能研究零狀態(tài)響應，H(s)中零極點相消將使某固有頻率丟失。第二十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日激勵E(s)的極點影響激勵E(s)的極點也可能是復數增幅，在穩(wěn)定系統(tǒng)的作 用下穩(wěn)下來，或與系統(tǒng) 某零點相抵消等幅，穩(wěn)態(tài)衰減趨勢，暫態(tài)第二十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：周期矩形脈沖輸入下圖電路，求其暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應。（1）求e(t)的拉氏變換第二十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）求系統(tǒng)函數H(s)（3）求系統(tǒng)完全響應的拉氏變換暫態(tài)穩(wěn)態(tài)第二十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日(5)求第一個周期引起的響應的拉氏變換V01(t)（4）求暫態(tài)響應，它在整個過程中是一樣的。固定常數衰減因子第二十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（7）求第一周期的穩(wěn)態(tài)響應第二十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（8）整個周期矩形信號的穩(wěn)態(tài)響應暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應完全響應第二十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.2由系統(tǒng)函數決定系統(tǒng)頻率特性什么是系統(tǒng)頻率響應？ 不同頻率的正弦激勵下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應一般為復數，可表示為下列兩種形式：第二十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日由正弦激勵的極點決定的穩(wěn)態(tài)響應如系統(tǒng)是穩(wěn)定的，該項最后衰減為零第二十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日穩(wěn)態(tài)響應有關的幅度該變相位偏移第三十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日若換成變量

系統(tǒng)頻率特性幅頻特性相位特性第三十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日用幾何法求系統(tǒng)頻率特性第三十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：已知試求當

時的幅頻和相位第三十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.3一階系統(tǒng)和二階非諧振系統(tǒng)的

S平面分析已知該系統(tǒng)的H(s)的極零點在S平面的分布，確定該系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性的漸近線第三十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（1）一階系統(tǒng)一零點，一在實軸的極點一在原點的零點，一在實軸的極點只有無窮遠處的零點一在實軸的極點第三十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：求一高階系統(tǒng)的頻率特性+U1—+U2—CRMN-1/RC第三十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第三十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：求一階低通濾波器的頻率特性RC+U1_+U2_M沒有零點第三十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日幅頻特性相位特性第三十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（2）二階非諧振系統(tǒng)的S平面分析只考慮單極點使系統(tǒng)逞低通特性只考慮一極點和一零點使系統(tǒng)逞高通特性中間狀態(tài)是個常數低通高通總體是個帶通第四十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：第四十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日高通低通第四十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

較小時起作用

逐漸增加高通第四十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

較大時起主要作用低通特性

逐漸增加第四十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日帶通第四十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：若已知H(s)零極點分布如圖(a)--(h)試粗略給出它們的第四十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第四十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第四十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.4二階諧振系統(tǒng)的S域分析諧振頻率衰減阻尼因子頻率變化影響高品質因素第四十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（一）諧振頻率衰減因素

諧振頻率

第五十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日(二)阻尼衰減因子的影響若不變，則共軛極點總是落在以原點為圓心，以為半徑的左半圓弧上等幅震蕩衰減震蕩第五十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

臨界不起振實數根本不起振第五十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日（三）頻率變化影響當頻率變化時在S平面沿著虛軸移動，將代入Z(s)，則為系統(tǒng)頻率特性，幅度、相位均沿變化。第五十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日討論的前提下，不變

而變化的情況第五十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第五十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日斜邊乘高直角邊之積第五十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

顯著增長，而增長緩慢些第五十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日(四)高品質因素的影響品質因素定義為包括了兩方面的影響高，若諧振頻率一定，則小，損耗小，容易震蕩，頻率特性尖銳低，則相反第五十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例如：當時的情況

當在附近時第五十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第六十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日邊帶帶寬

高帶窄第六十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例如：高階系統(tǒng)（極零點靠近虛軸）無損電路，即很小第六十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第六十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日有非?？拷撦S的零極點第六十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.5全通網絡和最小相移網絡第六十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.5全通網絡和最小相移網絡系統(tǒng)位于極點左半平面，零點位于右半平面，且零點極點對于軸互為鏡象對稱則，這種系統(tǒng)函數成為全通函數，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網絡。全通，即幅頻特性為常數相移肯定不是零第六十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日全通網絡的零極點分布從對稱零點極點之和為180度逐漸減少最后為-360度第六十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日第六十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例：一些對稱性強的網絡可能是全通網絡第六十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日最小相移網絡零點位于右半平面，矢量夾角的絕對值較大零點為于左半平面，矢量夾角的絕對值較小定義：零點僅位于左半平面或虛軸上的網絡函數稱為“最小相移網絡”非最小相移網絡可以看成最小相移網絡和全通網絡的極聯(lián)第七十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日相互抵消乘第七十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日§5.6系統(tǒng)穩(wěn)定性一個穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界激勵信號產生有界的響應函數穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵情況無關系統(tǒng)沖激響應和系統(tǒng)函數能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性第七十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日穩(wěn)定性的三種情況穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)全部極點落在左半平面（除虛軸外）不穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有極點在右半平面，或虛軸有二階以上重極點，不收斂。邊界穩(wěn)定系統(tǒng)：H(s)有一階極點，等幅震蕩第七十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日穩(wěn)定系統(tǒng)對零極點的要求

在右半平面不能有極點，全在左半面在虛軸上只能有一階極點分子方次最多比分母方次高一次，即：轉移函數策動點函數中分母的的因子只能是的形式，其中都是正值，乘得的系數也是正值。第七十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

從最高次冪到最低次冪無缺項，b0

可以為零。要么全部缺偶次項要么全部缺奇次項的性質也使用于第七十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日2.羅斯-霍爾維茲準則設n階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數為式中，m≤n，ai(i=0,1,2,…,n)、bj(j=0,1,2,…,m)是實常數。H(s)的分母多項式為第七十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日H(s)的極點就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項式。

A(s)為霍爾維茲多項式的必要條件是：A(s)的各項系數ai都不等于零，并且ai全為正實數或全為負實數。若ai全為負實數，可把負號歸于H(s)的分子B(s)，因而該條件又可表示為ai＞0。顯然，若A(s)為霍爾維茲多項式，則系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則(R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(羅斯準則)。第七十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

羅斯和霍爾維茲提出了判斷多項式為霍爾維茲多項式的準則，稱為羅斯-霍爾維茲準則

(R-H準則)。羅斯-霍爾維茲準則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(羅斯準則)。第七十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

若n為偶數，則第二行最后一列元素用零補上。羅斯陣列共有n+1行(以后各行均為零)，第三行及以后各行的元素按以下規(guī)則計算：第七十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

羅斯判據(羅斯準則)

指出：多項式A(s)是霍爾維茲多項式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。若第一列元素的值不是全為正值，則表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符號改變的次數(從正值到負值或從負值到正值的次數)等于A(s)=0在右半平面根的數目。根據羅斯準則和霍爾維茲多項式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號相同(全為正值)，則H(s)的極點全部在左半平面，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若羅斯陣列第一列元素值的符號不完全相同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。第八十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

綜上所述，根據H(s)判斷線性連續(xù)系統(tǒng)的方法是：首先根據霍爾維茲多項式的必要條件檢查A(s)的系數ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺項(至少一項為零)，或者ai的符號不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項式，故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數ai無缺項并且符號相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項式的必要條件，然后進一步再利用羅斯-霍爾維茲準則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。第八十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日例4.8-2

已知三個線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數分別為判斷三個系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。第八十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

解H1(s)的分母多項式的系數a1=0，H2(s)分母多項式的系數符號不完全相同，所以H1(s)和H2(s)對應的系統(tǒng)為不穩(wěn)定系統(tǒng)。H3(s)的分母多項式無缺項且系數全為正值，因此，進一步用R-H準則判斷。H3(s)的分母為A3(s)的系數組成的羅斯陣列的行數為n+1=4，羅斯陣列為第八十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日根據式(4.8-20)和式(4.8-21)，得因為A3(s)系數的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據R-H準則，H3(s)對應的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第八十四頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

例4.8-3

圖4.8-4所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為圖4.8-4例4.8-3圖K取何值時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第八十五頁，共一百零一頁，2022年，8月28日解令加法器的輸出為X(s)，則有由上式得第八十六頁，共一百零一頁，2022年，8月28日根據H(s)的分母構成羅斯陣列，得第八十七頁，共一百零一頁，2022年，8月28日由式(4.8-20)和式(4.8-21)計算陣列的未知元素，得到陣列為根據R-H準則，若和-K＞0，則系統(tǒng)穩(wěn)定。根據以上條件，當K＜0時系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。第八十八頁，共一百零一頁，2022年，8月28日4.8.5拉普拉斯變換與傅里葉變換

若f(t)為因果信號，則f(t)的傅里葉變換F(jω)和單邊拉普拉斯變換F(s)分別為

由于s=σ+jω，因此，若能使σ=Re［s］等于零，則F(s)就等于F(jω)。但是，能否使σ等于零，這取決于F(s)的收斂域。

F(s)的收斂域為Re［s］＞σ0,σ0為實數，稱為收斂坐標。σ0可能小于零，可能等于零，也可能大于零。第八十九頁，共一百零一頁，2022年，8月28日1.σ0＜0

如果σ0＜0，則F(s)的收斂域包含jω軸(虛軸)，F(xiàn)(s)在jω軸上收斂。若令σ=0，即令s=jω，則F(s)存在。這時，f(t)的傅里葉變換存在，并且令s=jω，則F(s)等于F(jω)。即例如，，其單邊拉普拉斯變換為

的傅里葉變換為第九十頁，共一百零一頁，2022年，8月28日2.σ0=0

若收斂坐標σ0=0，F(xiàn)(s)的收斂域為Re［s］＞0，F(xiàn)(s)的收斂域不包含jω軸，故F(s)在jω軸上不收斂。若令s=jω，則F(s)不等于F(jω)。和虛軸上都有極點，并且虛軸上的極點為m個一階極點jβi(i=1,2,…,m)。將F(s)展開為部分分式，表示為式中，F(xiàn)N(s)表示左半平面極點對應的分式。令FN(s)的原函數為fN(t)，則F(s)的原函數為第九十一頁，共一百零一頁，2022年，8月28日

的傅里葉變換為由于是的原函數，并且的極點在左半面，故第九十二頁，共一百零一頁，2022年，8月28日根據傅里葉變換的線性性質和頻移性質，并且由于ε(t)的傅里葉變換為 ，因此得第九十三頁，共一百零一頁，2022年，8月28日