第三章晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)課件

第三章晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)一、晶體振動1.晶體振動晶體中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動，而是為繞其平衡位置作振動。2.振動的特點晶體中各原子的振動是相互聯(lián)系的。3.振動模式用格波表述原子的各種振動模式。1第三章晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)一、晶體振動1二、晶體振動的分類(根據(jù)振動的劇烈程度分類)1.晶格振動原子在平衡位置附近的微振動。2.空位或間隙原子少數(shù)原子脫離其格點的振動。3.熔解溫度相當高，整個晶體瓦解，即長程序解體。三、晶格振動的特點1.當原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互獨立的簡諧振動。2.由于晶體的周期性，振動模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。2二、晶體振動的分類(根據(jù)振動的劇烈程度分類)23.可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式。簡諧振子的能量用能量量子?(稱為聲子,由愛因斯坦引入,微振動模式的角頻率)描述。振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。4.如果原子間的相互作用稍強時，就必須考慮非簡諧效應(yīng)—聲子間發(fā)生能量的交換。5.晶體的宏觀性質(zhì)，例如，比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)等都與晶格振動有關(guān)。33.可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動?！?.1一維原子鏈的振動

一、一維布喇菲晶格的振動1.原子的運動方程(1)振動示意圖

m為原子質(zhì)量；xn為位移。

n-2n-1n

n+1n+2第n個原子和第n+1個原子間的相對位移。4§3.1一維原子鏈的振動

一、一維布喇菲晶格的振動1.原(2)兩原子間的相互作用力U(a)：平衡時兩原子間的互作用勢能；U(a+)：產(chǎn)生相對位移后的互作用勢能。把U(a+)在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得：簡諧近似—振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項。5(2)兩原子間的相互作用力簡諧近似—振動很微弱，勢能展式中

>0間距增大

<0間距縮小f

f<0引力(r>a)f>0斥力(r<a)6>0<0ff<0f>06(3)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析

n-1

n

n+1

7(3)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析n-1(4)運動方程根據(jù)牛頓第二定律，可得第n個原子的運動方程：共有N個類似的運動方程。8(4)運動方程共有N個類似的運動方程。82.運動方程的求解及結(jié)果分析(1)方程的解振幅為A，角頻率為的簡諧振動。其中qna表示第n個原子的振動的位相因子。92.運動方程的求解及結(jié)果分析振幅為A，角頻(2)結(jié)果分析①原子之間的振動存在著固定的位相關(guān)系或：10(2)結(jié)果分析或：10②格波

描述晶格中原子振動的、角頻率為平面波稱為格波。格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式。一個格波表示的是所有原子同時做頻率為的振動。格波方程11②格波格波方程11不同原子間位相差:相鄰原子的位相差:格波的波長：12不同原子間位相差:相鄰原子的位相差:格波的波長：123.和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)133.和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)1314144.q的取值范圍(1)周期性

是q的周期函數(shù)，周期為2/a。154.q的取值范圍是q的周期函數(shù)，周期為2/a。15(2)q的取值范圍

為了保證和q的一一對應(yīng)關(guān)系，q的取值范圍設(shè)定為：對于一維布喇菲格子，有：q的取值范圍可寫為：長度為：b。16(2)q的取值范圍對于一維布喇菲格子，有：q的取值范圍可寫為二、一維復(fù)式晶格的振動1.原子的運動方程及其解(1)振動示意圖

M、m分別為大、小原子質(zhì)量，且M

>m。大、小原子等間距排列，原子間距為a,晶格常數(shù)為2a。大原子M排在偶數(shù)位置，小原子m排在奇數(shù)位置。如圖所示：

2n-1

2n

2n+1

2n+2

2n+3

2n+4M>m17二、一維復(fù)式晶格的振動1.原子的運動方程及其解2n-1(2)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析①m(2n+1)原子受力分析m(2n+1)原子受合力18(2)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析①m(2n+1)原②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力：19②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力：19(3)運動方程(3)位移表達式(運動方程的解)①m(2n+1)運動方程②M(2n+2)運動方程20(3)運動方程(3)位移表達式(運動方程的解)①m(2n+12.

和q的關(guān)系

色散關(guān)系(振動頻譜)。把位移表達式代入相應(yīng)的運動方程，通過整理，可以得到

和q的色散關(guān)系。(1)m(2n+1)原子:212.和q的關(guān)系21(2)M(2n+2)原子方程組：22(2)M(2n+2)原子方程組：22(3)

和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)此方程組中，A、B若有異于零的解，其系數(shù)行列式必須等于零。23(3)和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)(4)結(jié)果分析由于

和q存在兩種不同的色散關(guān)系，即存在兩種獨立的格波，所以一維復(fù)式晶格中存在則兩種不同的格波，分別有著各自的色散關(guān)系。24(4)結(jié)果分析243.2的周期性

由于是q的周期函數(shù)，為了保證和q的一一對應(yīng)關(guān)系，把q的取值范圍定在：即：253.2的周期性即：2526264.1和2簡析(1)1極小值與極大值274.1和2簡析27(2)2極小值與極大值28(2)2極小值與極大值28(3)結(jié)論光學波聲學波29(3)結(jié)論光學波聲學波29①聲學波

1支格波可以用聲波來激發(fā)，稱為聲頻支格波。簡稱聲學波。②光學波

2支格波可以用光波來激發(fā)，稱為光頻支格波。簡稱光學波。(光學波也可以用超聲波激發(fā))光學波聲學波30①聲學波光學波聲學波30三、聲學波和光學波的物理意義1.一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲學波的關(guān)系(1)和q的關(guān)系31三、聲學波和光學波的物理意義1.一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲3232(2)結(jié)論①一維復(fù)式格子中的聲學波和一維布喇菲格子中的聲學波在形式上是相同的。具有相似的波形；②一維布喇菲晶格中只有聲學波,沒有光學波。晶格常數(shù):2a晶格常數(shù):a33(2)結(jié)論晶格常數(shù):2a晶格常數(shù):a332.聲學波的物理意義(1)聲學波中，相鄰兩原子(M和m)的振動情況一般情況下有：342.聲學波的物理意義一般情況下有：34結(jié)論

相鄰原子是沿著同一方向振動的。當波長很長時，聲學波實際上是代表原子質(zhì)心的振動。聲學波描述的是晶體中不同原胞之間的振動情況。35結(jié)論35(2)兩種特殊振動36(2)兩種特殊振動3637373.光學波的物理意義(1)光學波中，相鄰兩原子(M和m)的振動情況383.光學波的物理意義38結(jié)論

相鄰兩種不同的原子振動的方向是相反的。當波長很長時，原胞質(zhì)心保持不動。光學波描述的是同一原胞中各原子之間的相對振動情況。39結(jié)論39(2)兩種特殊振動40(2)兩種特殊振動404141四、周期性邊界條件(波恩-卡門邊界條件)

1.波恩-卡門周期性邊界條件對于有限的(N個原子組成)原子鏈，晶體兩端原子的受力情況和內(nèi)部的有所不同。123n-1n

n+1n+2N-1N(1)各原子受力分析即運動方程①n號原子：n42四、周期性邊界條件(波恩-卡門邊界條件)1.波恩-卡門周期②1號原子③N號原子——同理可得：④結(jié)論由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，1號原子和N號原子運動方程的差異將會使方程組的求解十分復(fù)雜，為了解決這一問題，波恩-卡門提出了如下的模型——波恩-卡門邊界條件。43②1號原子③N號原子——同理可得：④結(jié)論43(2)波恩-卡門邊界條件

假設(shè)對于給定的有限長為Na(a為晶格常數(shù)，N為原子個數(shù))的晶體的邊界之外，仍然有無窮多個和該晶體完全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運動狀況是一樣的，即第j(j=1,2,…N)個原子和第tN+j(t=1,2,…)個原子的運動情況是一樣的。由于相互作用是短程的，所以，晶體內(nèi)的絕大數(shù)原子受此假想晶體的影響很弱，完全可以忽略。

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j44(2)波恩-卡門邊界條件12.波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用1號原子應(yīng)和N+1號原子的振動完全相同。即：

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j452.波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用1號原子應(yīng)46463.波恩-卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用設(shè)晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同的原子。由周期性邊界條件可得：(2n+1)和[2N+(2n+1)]完全相同。即：473.波恩-卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用48484.原胞數(shù)N和波矢q、角頻率的關(guān)系(1)不管是布喇菲格子還是復(fù)式格子，波矢q數(shù)目等于晶體中原胞的數(shù)目N。(2)對于一維布喇菲格子，每個波矢q對應(yīng)于一個角頻率?？偟慕穷l率個數(shù)為N個。(3)對于一維復(fù)式格子，每個波矢q對應(yīng)于n(n每個原胞中包含的原子數(shù))個角頻率

?？偟慕穷l率個數(shù)為nN個。5.結(jié)論(1)晶格振動波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù)；(2)晶格振動頻率的數(shù)目=晶體自由度數(shù)。494.原胞數(shù)N和波矢q、角頻率的關(guān)系496.波恩-卡門邊界條件的其它表述形式

N個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特點。N很大，原子運動近似為直線運動處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性506.波恩-卡門邊界條件的其它表述形式505151設(shè)第n個原子的位移為再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移為則有：要求：波矢的取值范圍l為整數(shù)l—N個整數(shù)值，q—N個分立的值。52設(shè)第n個原子的位移為再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移(1)第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài);(2)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度(3第一布里淵區(qū)的線度(4)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)7.第一布里淵區(qū)53(1)第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài);(2)每個波矢在第一布里淵區(qū)(3)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？例題一維復(fù)式格子中，如果計算：(1)光學波頻率的最大值和最小值，聲學波頻率的最大值；(2)相應(yīng)聲子的能量,和；54(3)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在(1)聲學波的最大頻率光學波的最大頻率光學波的最小頻率55(1)聲學波的最大頻率光學波的最大頻率光學波的最小頻率55(2)相應(yīng)聲子的能量(4)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？對應(yīng)電磁波的能量和波長要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段。56(2)相應(yīng)聲子的能量(4)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)§3.2晶格振動的量子化聲子1.格波

描述晶格振動的波。對于微弱的晶格振動，在簡諧近似的情況下，格波可以看成簡諧波。每個格波都是一個獨立的模式?？梢杂锚毩⒑喼C振子來描述格波的獨立模式。2.聲子(?)簡諧振子的能量量子。聲子具有能量、動量。聲子不是真正的粒子，而是表示狀態(tài)的“準粒子”。晶格振動的能量是以?為單元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用可以理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。聲子可與電子或光子發(fā)生作用。57§3.2晶格振動的量子化聲子1.格波57一、一維布喇菲晶格振動時能量的計算1.位移xn(t)的計算(1)位移xn(t)是對所有狀態(tài)的求和

由于周期性邊界條件使波矢q只能取分離的不同值。而一個q對應(yīng)于一個獨立的模式，所以，每一個原子的振動是這些獨立模式的疊加。振幅A和q有關(guān)，xn(t)可表示為:58一、一維布喇菲晶格振動時能量的計算1.位移xn(t)的計算振其中：q可以取N個值由于周期性，對于

l從(-N/2)+1到N/2求和，相當于對l從0到N-1求和。59其中：q可以取N個值由于周期性，對于l從(該式為一等比數(shù)列。60該式為一等比數(shù)列。60③結(jié)論61③結(jié)論61④同理可證如果按狀態(tài)(波矢q)求和，只要看一個格點即可。每個格點的狀態(tài)數(shù)為N。即原胞數(shù)。62④同理可證如果按狀態(tài)(波矢q)求和，只要看一如果按格點求和，只要看一個狀態(tài)即可。格點數(shù)為N。即原胞數(shù)。2.xn(t)的正則坐標表示方法63如果按格點求和，只要看一個狀態(tài)即可。格點數(shù)為N(1)本征矢(2)本征矢組成的新坐標系中位移表示式xn(t)在狀態(tài)空間的傅里葉展開式wq(t)位移分量64(1)本征矢(2)本征矢組成的新坐標系中位移表示式xn(t)65656666(5)xn(t)的正則坐標表示方法Qq(t)—正則坐標或稱為簡正坐標。67(5)xn(t)的正則坐標表示方法Qq(t)—正則坐標或稱3.能量計算(1)勢能xn可以看成是N個獨立振動的疊加。683.能量計算xn可以看成是N個獨立振動的疊加。68先對n求和，再對q,q’求和。69先對n求和，再對q,q’求和。69因為：70因為：70(2)動能71(2)動能71(3)總能量其中，每個單項代表一個諧振子的能量。共包括N項，總的能量是N個獨立的諧振子能量之和。72(3)總能量其中，每個單項代表一個諧振子的能量。共包括N項，二、晶格振動的總能量1.三維晶格振動的總能量1.聲子(1)聲子

?i(q):

晶格振動能量量子，稱為聲子。聲子不是真實的粒子,只是一種準粒子。具有能量?i(q),動量73二、晶格振動的總能量1.三維晶格振動的總能量1.聲子73(3)聲子和晶體的相互作用格波在晶體中傳播受到散射可以看成聲子和晶體中的原子、電子發(fā)生碰撞。(4)聲子和其它粒子的相互作用電子、中子、光子與晶格的相互作用都可用這些粒子與晶體中聲子的相互作用來描述。它們吸收或產(chǎn)生聲子改變粒子本身的能量和動量。(2)聲子的分布聲子是玻色子，服從玻色統(tǒng)計分布。在溫度T處于熱平衡晶格中，聲子?i(q)的平均數(shù)目為：74(3)聲子和晶體的相互作用(2)聲子的分布743.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有n個原子。(1)波矢q數(shù)目——N。(晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目——3nN。(3)晶體頻率數(shù)目——3nN。(4)格波數(shù)目——3nN。(5)格波支數(shù)——3n支。每只對應(yīng)N個。(6)聲學波支數(shù)——3支。共有3N個。(7)光學波支數(shù)——(3n-3)支，共有(3n-3)N個

。

753.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系75例題分別由N個原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體中，聲學波、光學波的分布情況。鋁晶體：鋁是面心立方結(jié)構(gòu)，是布拉菲格子，因此格波中只有3支聲學波，而沒有光學波。聲學波的個數(shù)為3N個。金剛石：金剛石是面心立方結(jié)構(gòu)，但是復(fù)式格子，n=2，格波支數(shù)共有3n支＝6支，其中聲學波3支，聲學波的個數(shù)為3N個。光學波(3n-3)=3支,光學波的個數(shù)為3N個。76例題分別由N個原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體中4.三維晶體波矢q的取值范圍一維布拉菲格子一維復(fù)式格子774.三維晶體波矢q的取值范圍一維布拉菲格子一維復(fù)式格子77三維晶體原胞數(shù)波矢q的取值范圍78三維晶體原胞數(shù)波矢q的取值范圍78第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度每個狀態(tài)所占的體積一二二三三四四一維晶體布里淵區(qū)劃分79第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度每個狀態(tài)所占的體積一二二三三四四一§3.3長波近似

一、長聲學波80§3.3長波近似

一、長聲學波8081812.長聲學波波速vp的計算

當波長很長時，q很小。822.長聲學波波速vp的計算8283833.物理意義相鄰原胞中原子振動的位相差趨于零，而且振幅也趨于相等。4.原因這是由于長聲學波的波長遠遠大于原胞的線度，在半個波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞都整體的沿同一方向運動。因此整個晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學波也就可以近似地被認為是彈性波。843.物理意義84二、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計算1.受力分析85二、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計算1.受力分析852.運動方程根據(jù)牛頓第二定律，其運動方程為：862.運動方程863.運動方程的解及結(jié)果分析(1)運動方程的解

(2)彈性波波速(相速度)把運動方程的解代入運動方程可得：873.運動方程的解及結(jié)果分析(2)彈性波波速(相速度)874.一維復(fù)式格子波速的計算由m+1原子的位移而引起的對第m各原子的恢復(fù)力還可以表示為：884.一維復(fù)式格子波速的計算由m+1原子的位移而引起的對第m各三、長光學波1.長光學波振動的特點光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動。波長>>a(原胞的線度)時，聲學波代表原胞質(zhì)心的振動;光學波表示原胞中原胞的質(zhì)心保持不動，相鄰原子做反位相振動。對于正負離子組成的晶體，長光學波使晶格出現(xiàn)宏觀極化。89三、長光學波1.長光學波振動的特點8990902.長光學波(1)兩種正負離子組成的復(fù)式格子—立方晶體。(2)半波長內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負離子組成的布喇菲原胞反向位移。(3)晶體中出現(xiàn)宏觀的極化。(4)長光學波又稱為極化波。912.長光學波913.長光學波的宏觀方程(1)物理參量923.長光學波的宏觀方程92(2)黃昆方程離子相對運動的動力學方程。準彈性恢復(fù)力電場E附加的恢復(fù)力正負離子相對位移產(chǎn)生的極化電場E產(chǎn)生的附加極化93(2)黃昆方程離子相對運動的動力學方程。準彈性恢復(fù)力電場E(3)黃昆方程的物理意義黃昆方程的解具有如下形式：其中q為波矢。94(3)黃昆方程的物理意義其中q為波矢。94(4)電介質(zhì)中無自由電荷時的極化電場E只討論無旋電場WL可得：極化電場E是縱向場，它趨于減少縱向位移，增加了縱向振動的恢復(fù)力，提高了光學波的縱向頻率L0。95(4)電介質(zhì)中無自由電荷時的極化電場E只討論無旋電場WL可得(5)電介質(zhì)中無自由電荷時的振動方程把和代入可得：96(5)電介質(zhì)中無自由電荷時的振動方程把和代入可得：96(6)靜電場下晶體的介電極化

靜電場下由可得：代入可得：97(6)靜電場下晶體的介電極化靜電場下由可得：代入可得：97電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率(7)光頻電場(高頻)下晶體的介電極化

代入LST關(guān)系98電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率(7)光頻電場(高頻)下晶體4.結(jié)論(2)晶體中存在長光學縱波(LO)和長光學橫波(TO)。(3)長光學縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學縱波伴隨有宏觀的極化電場，極化聲子→縱光學聲子。(4)長光學橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，長光學橫波聲子稱為電磁聲子(TO)，長光學橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合。994.結(jié)論(2)晶體中存在長光學縱波(LO)和長光學橫波(TO§3.4固體比熱

一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述1.比熱表達式當溫度不太低時，電子運動能量的變化對比熱的貢獻較小(約占1%左右)，可以忽略。2.杜隆-珀替定律100§3.4固體比熱

一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述1.比熱表3.杜隆-珀替定律的局限性(1)杜隆-珀替定律只是在溫度比較高(300K以上)時和實驗相符。(2)當溫度較低時，杜隆-珀替定律和實驗不符。定容比熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。絕緣體的比熱按T3趨于零；導(dǎo)體的比熱按T趨于零。4.原因低溫時，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須用晶格振動的量子理論重新計算晶體的平均內(nèi)能。1013.杜隆-珀替定律的局限性101二、量子理論對定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計算(1)振子能量(量子化)

102二、量子理論對定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計算102(2)溫度為T時，頻率為的振子的平均能量根據(jù)波爾茲曼統(tǒng)計理論,第n個量子態(tài)(En=n?)在溫度T出現(xiàn)的概率為：103(2)溫度為T時，頻率為的振子的平均能量103平均能量為：(3)晶體的平均能量104平均能量為：(3)晶體的平均能量104(4)晶體平均能量的積分表示105(4)晶體平均能量的積分表示1052.定容比熱CV的計算如果要求晶體的定容比熱，必須知道角頻率分布函數(shù)()。

()的計算有兩種用得比較廣泛的計算模型：(1)愛因斯坦模型;(2)德拜模型。1062.定容比熱CV的計算如果要求晶體的定容比熱三、愛因斯坦模型1.愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有的原子都以相同的頻率E

振動。2.晶體平均能量3.定容比熱107三、愛因斯坦模型1.愛因斯坦模型假設(shè)3.定容比熱1074.用愛因斯坦溫度E表示定容比熱5.愛因斯坦溫度E的選取

采用試探法，選取合適的E，使得理論曲線和實驗數(shù)據(jù)較好地吻合。大多數(shù)固體的E在100～300K之間。1084.用愛因斯坦溫度E表示定容比熱5.愛因斯坦溫度E的選00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0CV(J/K·mol)金剛石比熱的實驗值和愛因斯坦模型計算值的比較E=1320K10900.10.26.溫度較高時的比熱變化1106.溫度較高時的比熱變化1107.溫度較低時的比熱變化在低溫區(qū)域,隨著溫度的降低,CV比實驗結(jié)果(T3)更快地趨于零。主要原因是愛因斯坦模型的基本假設(shè)存在不足：(1)原子之間的振動不是獨立的，是有聯(lián)系的。(2)振動不是一個定值。格波的頻率是不一樣的。(3)低溫時仍有聲子的激發(fā)。1117.溫度較低時的比熱變化在低溫區(qū)域,隨著溫度的降低,CV112112四、德拜模型1.德拜模型假設(shè)(1)晶體是各向同性的連續(xù)介質(zhì)；格波看作彈性波。(2)縱波(一個)和橫波(兩個，獨立)波速相等，用vp表示；(3)波矢q連續(xù)變化。2.波矢q的分布波矢空間(q空間)是狀態(tài)空間，在波矢空間中，每一點(qxqyqz)所代表的是一個狀態(tài)。113四、德拜模型1.德拜模型假設(shè)波矢空間(q空間1141143.角頻率的分布4.比熱的計算—把上式代入比熱公式可得：1153.角頻率的分布4.比熱的計算—把上式代入比熱公式可得：11116116把②式和③式代入①式可得：117把②式和③式代入①式可得：1175.當T>>D時1185.當T>>D時118和杜隆-珀替定律一致。119和杜隆-珀替定律一致。1196.當T<<D時1206.當T<<D時1207.德拜定律和實驗結(jié)果的一致性德拜定律和實驗符合得非常好，主要因為：(1)在低溫時，長波的激發(fā)時主要的。而對于長波晶格可以當成連續(xù)的介質(zhì)。即溫度越低，德拜模型越接近實際情況。(2)德拜模型假設(shè)條件和實際相符合。主要適用于絕對溫度幾度以下的極低溫度范圍。1217.德拜定律和實驗結(jié)果的一致性1210100200300CV/CV∞鋁比熱的實驗值和德拜模型計算值的比較

D=396K1.00.80.60.40.212201008.D的計算(1)利用vp求D；一維復(fù)式格子波速的計算1238.D的計算一維復(fù)式格子波速的計算123124124(2)利用比熱實驗數(shù)據(jù)求D。晶體T(K)D(由比熱求得)D(由彈性系數(shù)求得)NaCl10308320KCl3230246Ag4225216Zn4308305幾種晶體的D的計算值125(2)利用比熱實驗數(shù)據(jù)求D。晶體T(K)D(由比熱求得)9.D和溫度T的關(guān)系(NaCl晶體)020406080100

T(K)320300280260D(T)實線—實驗值點子—計算值1269.D和溫度T的關(guān)系(NaCl晶體)0計算值和實驗值存在差別的原因—德拜模型中的連續(xù)近似和實際晶體結(jié)構(gòu)有差別。127計算值和實驗值存在差別的原因—德拜模型中的連續(xù)近似和實際晶體00.40.81.21.618161284簡立方晶格的頻譜(KCl)()d×10312800.4簡立方(KCl)晶格的D～T曲線020406080100

T(K)150140130120110D(T)實線—實驗值點子—計算值129簡立方(KCl)晶格的D～T曲線0§3.5非簡諧效應(yīng)

一、非簡諧效應(yīng)1.簡諧效應(yīng)當原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互獨立的簡諧振動。即原子所受的恢復(fù)力和其位移成正比，忽略了勢能表示式中3以上的高次項。可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式。振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。130§3.5非簡諧效應(yīng)

一、非簡諧效應(yīng)1.簡諧效應(yīng)1302.非簡諧效應(yīng)如果考慮勢能表示式中3以上的高次項，晶格的原子的振動就不能用一系列獨立的線性諧振子描述，此時的線性諧振子之間有相互作用，即聲子與聲子之間將相互交換能量，某種頻率的聲子可以轉(zhuǎn)換為另一頻率的聲子，即聲子可以產(chǎn)生，也可以湮滅。通過聲子之間的相互作用，當聲子的分布達到熱平衡后，晶格振動也就達到了熱平衡。1312.非簡諧效應(yīng)1313.聲子碰撞兩個聲子通過非簡諧項的作用，而產(chǎn)生第三個聲子的過程稱為聲子碰撞。4.聲子碰撞遵守的定律聲子間的碰撞遵守能量守恒定律和動量守恒定律。設(shè)兩個聲子的頻率和波矢分別為1、q1和2、q2;第三個聲子的頻率和波矢為3、q3。則有：1323.聲子碰撞1325.聲子碰撞的類型(1)正常過程(Normalprocesses)滿足下式的碰撞過程稱為正常過程，簡稱N過程。聲子吸收聲子發(fā)射第一布里淵區(qū)1335.聲子碰撞的類型聲子吸收聲子發(fā)射第一布里淵區(qū)133對于正常過程：正常過程(N過程)碰撞前后聲子的總能量和總動量沒有發(fā)生改變，只是把兩個聲子的能量和動量傳遞給第三個聲子，凈的熱能流并不因碰撞而減少，熱能流的方向也不因碰撞而偏轉(zhuǎn)。如果聲子的碰撞都是N過程，晶體的熱導(dǎo)率將會是無窮大。134對于正常過程：正常過程(N過程)碰撞前后聲子的總(2)倒逆過程(Umklappprocesses)滿足下式的碰撞過程稱為倒逆過程，簡稱U過程。聲子吸收聲子發(fā)射第一布里淵區(qū)135(2)倒逆過程(Umklappprocesses)聲子吸收對于倒逆過程：倒逆過程(U過程)碰撞前后聲子的準確動量不守恒。它表一種大角度散射，繩子運動的方向有了很大的改變，從而改變了熱流的方向。U過程對熱阻由貢獻。136對于倒逆過程：倒逆過程(U過程)碰撞前后聲子的準固體中存在溫度梯度時，“聲子氣體”的密度分布是不均勻的，溫度較高的區(qū)域?qū)⒂挟a(chǎn)生較多的振動模式和具有較大的振動幅度，即有較多的聲子被激發(fā)，“聲子”密度高，這些聲子通過和晶體中其它聲子發(fā)生碰撞，總使得溫度較低的區(qū)域具有同樣的“聲子”密度，因而“聲子”在無規(guī)則運動的基礎(chǔ)上產(chǎn)生定向運動—聲子的擴散運動，相應(yīng)的熱量從晶體較高溫度區(qū)域傳到溫度較低區(qū)域。二、熱傳導(dǎo)137固體中存在溫度梯度時，“聲子氣體”的密度分1.能流密度單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量。2.溫度差和溫度梯度的關(guān)系1381.能流密度2.溫度差和溫度梯度的關(guān)系1383.單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量1393.單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量139140140T=273KT=77KT=20K熱導(dǎo)率

(W/m·K)聲子平均自由程l(m)熱導(dǎo)率

(W/m·K)聲子平均自由程l(m)熱導(dǎo)率

(W/m·K)聲子平均自由程l(m)硅1504.3×10-815002.7×10-642004.1×10-4鍺703.3×10-83003.3×10-713004.5×10-5石英晶體149.7×10-9661.5×10-77607.5×10-5CaF2117.2×10-9391.0×10-7851.0×10-5NaCl6.46.7×10-9295.0×10-7452.0×10-6LiF103.3×10-91504.0×10-780001.2×10-3熱導(dǎo)率和聲子的平均自由程141T=273KT=77KT=20K熱導(dǎo)率(W/m·K)聲子§3.6確定振動譜的實驗方法1.晶格振動的振動譜晶格振動的頻率和波矢間的關(guān)系(色散關(guān)系)稱為晶格振動的振動譜。2.晶格振動的振動譜的實驗測定方法(1)光子與晶格的非彈性散射;(2)X射線散射;(3)中子非彈性散射。142§3.6確定振動譜的實驗方法1.晶格振動的振動譜1421.光波和晶格的相互作用(1)光波和離子晶體的長光學橫波發(fā)生強烈耦合，形成聲光子；(2)光子和晶格振動發(fā)生相互作用。①由于晶格振動使晶體內(nèi)的電子分布、光學常數(shù)(折射率)發(fā)生相應(yīng)的變化，從而使在晶體中傳播的光波頻率和波矢都發(fā)生相應(yīng)的變化。②光電場使得晶體的力學性質(zhì)(體彈性模量)發(fā)生變化，導(dǎo)致晶格振動發(fā)生變化。一、光子與晶格的非彈性散射1431.光波和晶格的相互作用一、光子與晶格的非彈性散射143入射光子的頻率和波矢散射光子的頻率和波矢光子與聲子的作用過程滿足：能量守恒動量守恒入射光子受到聲子散射，變成散射光子，同時在晶格中產(chǎn)生或吸收一個聲子，其頻率和波矢分別為固定入射光的頻率()和入射方向，測量不同方向的散射光的頻率(

)，可以得到聲子的振動譜(～q)。2.光子和晶格振動相互作用的機理

光子受到聲子的非彈性散射。144入射光子的頻率和波矢散射光子的頻率和波矢光子與聲子的作用過程3.光子與長聲學波聲子相互作用—布里淵散射長聲學波聲子光子的頻率光子被長聲學波聲子散射，人射光子與散射光子的波矢大小近似相等。c－光速；n－晶體的折射率。vp－晶體中的聲速1453.光子與長聲學波聲子相互作用—布里淵散射長聲學波聲子光子長聲學波聲子的波矢近似地寫成不同角度方向測得散射光子的頻率，得到聲子頻率聲子的波矢聲子振動譜散射光和入射光的頻率位移布里淵散射146長聲學波聲子的波矢近似地寫成不同角度方向測得散射光子的頻率，4.光子與光學波聲子的相互作用——光子的拉曼散射

能量守恒動量守恒可見光或紅外光k很小，光子與光波聲子發(fā)生相互作用，要求聲子的波矢q必須很小，光子的拉曼散射只限于光子與長光學波聲子的相互作用。散射光和入射光的頻率位移1474.光子與光學波聲子的相互作用——光子的拉曼散射能量1.X光光子具有更高的頻率(波矢可以很大)，可以用來研究聲子的振動譜。2.X射線的能量~10-4eV遠遠大于聲子能量~10-2eV3.在實驗技術(shù)上很難精確地直接測量X光在散射前后的能量差，因此確定聲子的能量是很困難的。

二、X光非彈性散射4.聲子的波矢1481.X光光子具有更高的頻率(波矢可以很大)，可以用來研究聲子入射晶體時中子的動量和能量出射晶體后中子的動量和能量

三、中子非彈性散射能量守恒“＋”號表示產(chǎn)生一個聲子，“－”號表示吸收一個聲子。動量守恒149入射晶體時中子的動量和能量出射晶體后中子的動量和能量三、中如果中子能量較小，不足以激發(fā)聲子，在散射過程中只吸收聲子，則有測得各個方位上入射中子和散射中子的能量差，確定聲子的頻率。根據(jù)入射中子和散射中子方向的幾何關(guān)系，確定聲子的波矢，得到聲子的振動譜。從反應(yīng)堆出來的慢中子的能量與聲子的能量接近，容易測定中子散射前后的能量變化，直接給出聲子能量的信息。

150如果中子能量較小，不足以激發(fā)聲子，在散射過程中只吸收聲子，則第三章晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)一、晶體振動1.晶體振動晶體中的原子并不是在各自的平衡位置上固定不動，而是為繞其平衡位置作振動。2.振動的特點晶體中各原子的振動是相互聯(lián)系的。3.振動模式用格波表述原子的各種振動模式。151第三章晶體振動和晶體的熱學性質(zhì)一、晶體振動1二、晶體振動的分類(根據(jù)振動的劇烈程度分類)1.晶格振動原子在平衡位置附近的微振動。2.空位或間隙原子少數(shù)原子脫離其格點的振動。3.熔解溫度相當高，整個晶體瓦解，即長程序解體。三、晶格振動的特點1.當原子間相互作用微弱時，原子的振動可近似為相互獨立的簡諧振動。2.由于晶體的周期性，振動模式所取的能量值不是連續(xù)的，而是分立的。152二、晶體振動的分類(根據(jù)振動的劇烈程度分類)23.可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動模式。簡諧振子的能量用能量量子?(稱為聲子,由愛因斯坦引入,微振動模式的角頻率)描述。振子之間不會發(fā)生相互作用，即不能有能量的交換。聲子一旦被激發(fā)出來，它的數(shù)目就一直保持不便。不能把能量傳遞給其它頻率的聲子。4.如果原子間的相互作用稍強時，就必須考慮非簡諧效應(yīng)—聲子間發(fā)生能量的交換。5.晶體的宏觀性質(zhì)，例如，比熱、熱膨脹和熱傳導(dǎo)等都與晶格振動有關(guān)。1533.可以用一系列獨立的簡諧振子來描述這些獨立而又分立的振動?！?.1一維原子鏈的振動

一、一維布喇菲晶格的振動1.原子的運動方程(1)振動示意圖

m為原子質(zhì)量；xn為位移。

n-2n-1n

n+1n+2第n個原子和第n+1個原子間的相對位移。154§3.1一維原子鏈的振動

一、一維布喇菲晶格的振動1.原(2)兩原子間的相互作用力U(a)：平衡時兩原子間的互作用勢能；U(a+)：產(chǎn)生相對位移后的互作用勢能。把U(a+)在平衡位置附近用泰勒級數(shù)展開，可得：簡諧近似—振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項。155(2)兩原子間的相互作用力簡諧近似—振動很微弱，勢能展式中

>0間距增大

<0間距縮小f

f<0引力(r>a)f>0斥力(r<a)156>0<0ff<0f>06(3)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析

n-1

n

n+1

157(3)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析n-1(4)運動方程根據(jù)牛頓第二定律，可得第n個原子的運動方程：共有N個類似的運動方程。158(4)運動方程共有N個類似的運動方程。82.運動方程的求解及結(jié)果分析(1)方程的解振幅為A，角頻率為的簡諧振動。其中qna表示第n個原子的振動的位相因子。1592.運動方程的求解及結(jié)果分析振幅為A，角頻(2)結(jié)果分析①原子之間的振動存在著固定的位相關(guān)系或：160(2)結(jié)果分析或：10②格波

描述晶格中原子振動的、角頻率為平面波稱為格波。格波和連續(xù)介質(zhì)波具有完全類似的形式。一個格波表示的是所有原子同時做頻率為的振動。格波方程161②格波格波方程11不同原子間位相差:相鄰原子的位相差:格波的波長：162不同原子間位相差:相鄰原子的位相差:格波的波長：123.和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)1633.和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)13164144.q的取值范圍(1)周期性

是q的周期函數(shù)，周期為2/a。1654.q的取值范圍是q的周期函數(shù)，周期為2/a。15(2)q的取值范圍

為了保證和q的一一對應(yīng)關(guān)系，q的取值范圍設(shè)定為：對于一維布喇菲格子，有：q的取值范圍可寫為：長度為：b。166(2)q的取值范圍對于一維布喇菲格子，有：q的取值范圍可寫為二、一維復(fù)式晶格的振動1.原子的運動方程及其解(1)振動示意圖

M、m分別為大、小原子質(zhì)量，且M

>m。大、小原子等間距排列，原子間距為a,晶格常數(shù)為2a。大原子M排在偶數(shù)位置，小原子m排在奇數(shù)位置。如圖所示：

2n-1

2n

2n+1

2n+2

2n+3

2n+4M>m167二、一維復(fù)式晶格的振動1.原子的運動方程及其解2n-1(2)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析①m(2n+1)原子受力分析m(2n+1)原子受合力168(2)只考慮近鄰原子的相互作用時的受力分析①m(2n+1)原②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力：169②M(2n+2)受力分析M(2n+2)所受合力：19(3)運動方程(3)位移表達式(運動方程的解)①m(2n+1)運動方程②M(2n+2)運動方程170(3)運動方程(3)位移表達式(運動方程的解)①m(2n+12.

和q的關(guān)系

色散關(guān)系(振動頻譜)。把位移表達式代入相應(yīng)的運動方程，通過整理，可以得到

和q的色散關(guān)系。(1)m(2n+1)原子:1712.和q的關(guān)系21(2)M(2n+2)原子方程組：172(2)M(2n+2)原子方程組：22(3)

和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)此方程組中，A、B若有異于零的解，其系數(shù)行列式必須等于零。173(3)和q的關(guān)系——色散關(guān)系(振動頻譜)(4)結(jié)果分析由于

和q存在兩種不同的色散關(guān)系，即存在兩種獨立的格波，所以一維復(fù)式晶格中存在則兩種不同的格波，分別有著各自的色散關(guān)系。174(4)結(jié)果分析243.2的周期性

由于是q的周期函數(shù)，為了保證和q的一一對應(yīng)關(guān)系，把q的取值范圍定在：即：1753.2的周期性即：25176264.1和2簡析(1)1極小值與極大值1774.1和2簡析27(2)2極小值與極大值178(2)2極小值與極大值28(3)結(jié)論光學波聲學波179(3)結(jié)論光學波聲學波29①聲學波

1支格波可以用聲波來激發(fā)，稱為聲頻支格波。簡稱聲學波。②光學波

2支格波可以用光波來激發(fā)，稱為光頻支格波。簡稱光學波。(光學波也可以用超聲波激發(fā))光學波聲學波180①聲學波光學波聲學波30三、聲學波和光學波的物理意義1.一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲學波的關(guān)系(1)和q的關(guān)系181三、聲學波和光學波的物理意義1.一維復(fù)式格子和布喇菲格子中聲18232(2)結(jié)論①一維復(fù)式格子中的聲學波和一維布喇菲格子中的聲學波在形式上是相同的。具有相似的波形；②一維布喇菲晶格中只有聲學波,沒有光學波。晶格常數(shù):2a晶格常數(shù):a183(2)結(jié)論晶格常數(shù):2a晶格常數(shù):a332.聲學波的物理意義(1)聲學波中，相鄰兩原子(M和m)的振動情況一般情況下有：1842.聲學波的物理意義一般情況下有：34結(jié)論

相鄰原子是沿著同一方向振動的。當波長很長時，聲學波實際上是代表原子質(zhì)心的振動。聲學波描述的是晶體中不同原胞之間的振動情況。185結(jié)論35(2)兩種特殊振動186(2)兩種特殊振動36187373.光學波的物理意義(1)光學波中，相鄰兩原子(M和m)的振動情況1883.光學波的物理意義38結(jié)論

相鄰兩種不同的原子振動的方向是相反的。當波長很長時，原胞質(zhì)心保持不動。光學波描述的是同一原胞中各原子之間的相對振動情況。189結(jié)論39(2)兩種特殊振動190(2)兩種特殊振動4019141四、周期性邊界條件(波恩-卡門邊界條件)

1.波恩-卡門周期性邊界條件對于有限的(N個原子組成)原子鏈，晶體兩端原子的受力情況和內(nèi)部的有所不同。123n-1n

n+1n+2N-1N(1)各原子受力分析即運動方程①n號原子：n192四、周期性邊界條件(波恩-卡門邊界條件)1.波恩-卡門周期②1號原子③N號原子——同理可得：④結(jié)論由于所有原子的方程都是聯(lián)立的，1號原子和N號原子運動方程的差異將會使方程組的求解十分復(fù)雜，為了解決這一問題，波恩-卡門提出了如下的模型——波恩-卡門邊界條件。193②1號原子③N號原子——同理可得：④結(jié)論43(2)波恩-卡門邊界條件

假設(shè)對于給定的有限長為Na(a為晶格常數(shù)，N為原子個數(shù))的晶體的邊界之外，仍然有無窮多個和該晶體完全相同的晶體，并且這些完全相同的晶體內(nèi)相對應(yīng)的原子的運動狀況是一樣的，即第j(j=1,2,…N)個原子和第tN+j(t=1,2,…)個原子的運動情況是一樣的。由于相互作用是短程的，所以，晶體內(nèi)的絕大數(shù)原子受此假想晶體的影響很弱，完全可以忽略。

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j194(2)波恩-卡門邊界條件12.波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用1號原子應(yīng)和N+1號原子的振動完全相同。即：

12j

N

N+1N+j2N

2N+12N+j3N

3N+1

tN+j1952.波恩-卡門邊界條件在有限一維布喇菲格子中的應(yīng)用1號原子應(yīng)196463.波恩-卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用設(shè)晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有兩個不同的原子。由周期性邊界條件可得：(2n+1)和[2N+(2n+1)]完全相同。即：1973.波恩-卡門邊界條件在有限一維復(fù)式格子中的應(yīng)用198484.原胞數(shù)N和波矢q、角頻率的關(guān)系(1)不管是布喇菲格子還是復(fù)式格子，波矢q數(shù)目等于晶體中原胞的數(shù)目N。(2)對于一維布喇菲格子，每個波矢q對應(yīng)于一個角頻率?？偟慕穷l率個數(shù)為N個。(3)對于一維復(fù)式格子，每個波矢q對應(yīng)于n(n每個原胞中包含的原子數(shù))個角頻率

?？偟慕穷l率個數(shù)為nN個。5.結(jié)論(1)晶格振動波矢的數(shù)目=晶體原胞數(shù)；(2)晶格振動頻率的數(shù)目=晶體自由度數(shù)。1994.原胞數(shù)N和波矢q、角頻率的關(guān)系496.波恩-卡門邊界條件的其它表述形式

N個原子頭尾相接形成一個環(huán)鏈，保持了所有原子等價的特點。N很大，原子運動近似為直線運動處理問題時要考慮到環(huán)鏈的循環(huán)性2006.波恩-卡門邊界條件的其它表述形式5020151設(shè)第n個原子的位移為再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移為則有：要求：波矢的取值范圍l為整數(shù)l—N個整數(shù)值，q—N個分立的值。202設(shè)第n個原子的位移為再增加N個原子之后，第N+n個原子的位移(1)第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài);(2)每個波矢在第一布里淵區(qū)占的線度(3第一布里淵區(qū)的線度(4)第一布里淵區(qū)狀態(tài)數(shù)7.第一布里淵區(qū)203(1)第一布里淵區(qū)包含N個狀態(tài);(2)每個波矢在第一布里淵區(qū)(3)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？例題一維復(fù)式格子中，如果計算：(1)光學波頻率的最大值和最小值，聲學波頻率的最大值；(2)相應(yīng)聲子的能量,和；204(3)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在(1)聲學波的最大頻率光學波的最大頻率光學波的最小頻率205(1)聲學波的最大頻率光學波的最大頻率光學波的最小頻率55(2)相應(yīng)聲子的能量(4)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在什么波段？對應(yīng)電磁波的能量和波長要激發(fā)的聲子所用的電磁波波長在近紅外線波段。206(2)相應(yīng)聲子的能量(4)如果用電磁波激發(fā)光學波，要激發(fā)§3.2晶格振動的量子化聲子1.格波

描述晶格振動的波。對于微弱的晶格振動，在簡諧近似的情況下，格波可以看成簡諧波。每個格波都是一個獨立的模式?？梢杂锚毩⒑喼C振子來描述格波的獨立模式。2.聲子(?)簡諧振子的能量量子。聲子具有能量、動量。聲子不是真正的粒子，而是表示狀態(tài)的“準粒子”。晶格振動的能量是以?為單元來增、減能量的。格波與物質(zhì)的相互作用可以理解為聲子和晶體中原子、分子的相互碰撞。聲子可與電子或光子發(fā)生作用。207§3.2晶格振動的量子化聲子1.格波57一、一維布喇菲晶格振動時能量的計算1.位移xn(t)的計算(1)位移xn(t)是對所有狀態(tài)的求和

由于周期性邊界條件使波矢q只能取分離的不同值。而一個q對應(yīng)于一個獨立的模式，所以，每一個原子的振動是這些獨立模式的疊加。振幅A和q有關(guān)，xn(t)可表示為:208一、一維布喇菲晶格振動時能量的計算1.位移xn(t)的計算振其中：q可以取N個值由于周期性，對于

l從(-N/2)+1到N/2求和，相當于對l從0到N-1求和。209其中：q可以取N個值由于周期性，對于l從(該式為一等比數(shù)列。210該式為一等比數(shù)列。60③結(jié)論211③結(jié)論61④同理可證如果按狀態(tài)(波矢q)求和，只要看一個格點即可。每個格點的狀態(tài)數(shù)為N。即原胞數(shù)。212④同理可證如果按狀態(tài)(波矢q)求和，只要看一如果按格點求和，只要看一個狀態(tài)即可。格點數(shù)為N。即原胞數(shù)。2.xn(t)的正則坐標表示方法213如果按格點求和，只要看一個狀態(tài)即可。格點數(shù)為N(1)本征矢(2)本征矢組成的新坐標系中位移表示式xn(t)在狀態(tài)空間的傅里葉展開式wq(t)位移分量214(1)本征矢(2)本征矢組成的新坐標系中位移表示式xn(t)2156521666(5)xn(t)的正則坐標表示方法Qq(t)—正則坐標或稱為簡正坐標。217(5)xn(t)的正則坐標表示方法Qq(t)—正則坐標或稱3.能量計算(1)勢能xn可以看成是N個獨立振動的疊加。2183.能量計算xn可以看成是N個獨立振動的疊加。68先對n求和，再對q,q’求和。219先對n求和，再對q,q’求和。69因為：220因為：70(2)動能221(2)動能71(3)總能量其中，每個單項代表一個諧振子的能量。共包括N項，總的能量是N個獨立的諧振子能量之和。222(3)總能量其中，每個單項代表一個諧振子的能量。共包括N項，二、晶格振動的總能量1.三維晶格振動的總能量1.聲子(1)聲子

?i(q):

晶格振動能量量子，稱為聲子。聲子不是真實的粒子,只是一種準粒子。具有能量?i(q),動量223二、晶格振動的總能量1.三維晶格振動的總能量1.聲子73(3)聲子和晶體的相互作用格波在晶體中傳播受到散射可以看成聲子和晶體中的原子、電子發(fā)生碰撞。(4)聲子和其它粒子的相互作用電子、中子、光子與晶格的相互作用都可用這些粒子與晶體中聲子的相互作用來描述。它們吸收或產(chǎn)生聲子改變粒子本身的能量和動量。(2)聲子的分布聲子是玻色子，服從玻色統(tǒng)計分布。在溫度T處于熱平衡晶格中，聲子?i(q)的平均數(shù)目為：224(3)聲子和晶體的相互作用(2)聲子的分布743.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系晶體有N個原胞組成，每個原胞中含有n個原子。(1)波矢q數(shù)目——N。(晶體原胞數(shù)目)(2)晶體自由度數(shù)目——3nN。(3)晶體頻率數(shù)目——3nN。(4)格波數(shù)目——3nN。(5)格波支數(shù)——3n支。每只對應(yīng)N個。(6)聲學波支數(shù)——3支。共有3N個。(7)光學波支數(shù)——(3n-3)支，共有(3n-3)N個

。

2253.三維晶體原胞數(shù)、波矢、模式數(shù)之間的關(guān)系75例題分別由N個原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體中，聲學波、光學波的分布情況。鋁晶體：鋁是面心立方結(jié)構(gòu)，是布拉菲格子，因此格波中只有3支聲學波，而沒有光學波。聲學波的個數(shù)為3N個。金剛石：金剛石是面心立方結(jié)構(gòu)，但是復(fù)式格子，n=2，格波支數(shù)共有3n支＝6支，其中聲學波3支，聲學波的個數(shù)為3N個。光學波(3n-3)=3支,光學波的個數(shù)為3N個。226例題分別由N個原胞組成的鋁晶體(fcc)和金剛石晶體中4.三維晶體波矢q的取值范圍一維布拉菲格子一維復(fù)式格子2274.三維晶體波矢q的取值范圍一維布拉菲格子一維復(fù)式格子77三維晶體原胞數(shù)波矢q的取值范圍228三維晶體原胞數(shù)波矢q的取值范圍78第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度每個狀態(tài)所占的體積一二二三三四四一維晶體布里淵區(qū)劃分229第一布里淵區(qū)的體積狀態(tài)密度每個狀態(tài)所占的體積一二二三三四四一§3.3長波近似

一、長聲學波230§3.3長波近似

一、長聲學波80231812.長聲學波波速vp的計算

當波長很長時，q很小。2322.長聲學波波速vp的計算82233833.物理意義相鄰原胞中原子振動的位相差趨于零，而且振幅也趨于相等。4.原因這是由于長聲學波的波長遠遠大于原胞的線度，在半個波長內(nèi)就包含了許多原胞，這些原胞都整體的沿同一方向運動。因此整個晶格可以近似地看成連續(xù)介質(zhì)，而長聲學波也就可以近似地被認為是彈性波。2343.物理意義84二、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計算1.受力分析235二、一維連續(xù)晶體中彈性波波速的計算1.受力分析852.運動方程根據(jù)牛頓第二定律，其運動方程為：2362.運動方程863.運動方程的解及結(jié)果分析(1)運動方程的解

(2)彈性波波速(相速度)把運動方程的解代入運動方程可得：2373.運動方程的解及結(jié)果分析(2)彈性波波速(相速度)874.一維復(fù)式格子波速的計算由m+1原子的位移而引起的對第m各原子的恢復(fù)力還可以表示為：2384.一維復(fù)式格子波速的計算由m+1原子的位移而引起的對第m各三、長光學波1.長光學波振動的特點光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動。波長>>a(原胞的線度)時，聲學波代表原胞質(zhì)心的振動;光學波表示原胞中原胞的質(zhì)心保持不動，相鄰原子做反位相振動。對于正負離子組成的晶體，長光學波使晶格出現(xiàn)宏觀極化。239三、長光學波1.長光學波振動的特點89240902.長光學波(1)兩種正負離子組成的復(fù)式格子—立方晶體。(2)半波長內(nèi)，正離子組成的布喇菲原胞同向位移，負離子組成的布喇菲原胞反向位移。(3)晶體中出現(xiàn)宏觀的極化。(4)長光學波又稱為極化波。2412.長光學波913.長光學波的宏觀方程(1)物理參量2423.長光學波的宏觀方程92(2)黃昆方程離子相對運動的動力學方程。準彈性恢復(fù)力電場E附加的恢復(fù)力正負離子相對位移產(chǎn)生的極化電場E產(chǎn)生的附加極化243(2)黃昆方程離子相對運動的動力學方程。準彈性恢復(fù)力電場E(3)黃昆方程的物理意義黃昆方程的解具有如下形式：其中q為波矢。244(3)黃昆方程的物理意義其中q為波矢。94(4)電介質(zhì)中無自由電荷時的極化電場E只討論無旋電場WL可得：極化電場E是縱向場，它趨于減少縱向位移，增加了縱向振動的恢復(fù)力，提高了光學波的縱向頻率L0。245(4)電介質(zhì)中無自由電荷時的極化電場E只討論無旋電場WL可得(5)電介質(zhì)中無自由電荷時的振動方程把和代入可得：246(5)電介質(zhì)中無自由電荷時的振動方程把和代入可得：96(6)靜電場下晶體的介電極化

靜電場下由可得：代入可得：247(6)靜電場下晶體的介電極化靜電場下由可得：代入可得：97電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率(7)光頻電場(高頻)下晶體的介電極化

代入LST關(guān)系248電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率(7)光頻電場(高頻)下晶體4.結(jié)論(2)晶體中存在長光學縱波(LO)和長光學橫波(TO)。(3)長光學縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學縱波伴隨有宏觀的極化電場，極化聲子→縱光學聲子。(4)長光學橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，長光學橫波聲子稱為電磁聲子(TO)，長光學橫波具有電磁性，可以和光場發(fā)生耦合。2494.結(jié)論(2)晶體中存在長光學縱波(LO)和長光學橫波(TO§3.4固體比熱

一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述1.比熱表達式當溫度不太低時，電子運動能量的變化對比熱的貢獻較小(約占1%左右)，可以忽略。2.杜隆-珀替定律250§3.4固體比熱

一、經(jīng)典理論對定容比熱的描述1.比熱表3.杜隆-珀替定律的局限性(1)杜隆-珀替定律只是在溫度比較高(300K以上)時和實驗相符。(2)當溫度較低時，杜隆-珀替定律和實驗不符。定容比熱不再是常數(shù)，而是隨溫度降低而降低。絕緣體的比熱按T3趨于零；導(dǎo)體的比熱按T趨于零。4.原因低溫時，能量均分的經(jīng)典理論已不再適用，必須用晶格振動的量子理論重新計算晶體的平均內(nèi)能。2513.杜隆-珀替定律的局限性101二、量子理論對定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計算(1)振子能量(量子化)

252二、量子理論對定容比熱的描述1.平均內(nèi)能的計算102(2)溫度為T時，頻率為的振子的平均能量根據(jù)波爾茲曼統(tǒng)計理論,第n個量子態(tài)(En=n?)在溫度T出現(xiàn)的概率為：253(2)溫度為T時，頻率為的振子的平均能量103平均能量為：(3)晶體的平均能量254平均能量為：(3)晶體的平均能量104(4)晶體平均能量的積分表示255(4)晶體平均能量的積分表示1052.定容比熱CV的計算如果要求晶體的定容比熱，必須知道角頻率分布函數(shù)()。

()的計算有兩種用得比較廣泛的計算模型：(1)愛因斯坦模型;(2)德拜模型。2562.定容比熱CV的計算如果要求晶體的定容比熱三、愛因斯坦模型1.愛因斯坦模型假設(shè)晶體中所有的原子都以相同的頻率E

振動。2