精密機(jī)械學(xué)基礎(chǔ)：圓軸扭轉(zhuǎn)2

3.4受扭圓軸受力特點(diǎn)：桿件兩端受到一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面與軸線垂直的力偶作用。變形特點(diǎn)：桿的各橫截面都繞軸線發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。以扭轉(zhuǎn)變形為主的構(gòu)件稱(chēng)為軸。

外力偶矩M——作用在軸上的外力偶矩，單位為牛頓米（Nm)；Np——軸傳遞的功率，Np的單位為千瓦(kW)；n——軸的轉(zhuǎn)速，單位為轉(zhuǎn)/分(r/min)。外力偶矩的轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向一致其中：求內(nèi)扭矩的方法-截面法內(nèi)扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：與截面的外法線方向一致為正，反之為負(fù)。4畫(huà)內(nèi)扭矩圖內(nèi)扭矩隨橫截面位置變化的函數(shù)圖線XTM1.截開(kāi)：2.代替：3.平衡：建立保留部分的平衡方程，確定未知內(nèi)扭矩。T-M=0XT【例】已知：一傳動(dòng)軸，n=300r/min，主動(dòng)輪輸入P1=500kW，從動(dòng)輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。【解】：①計(jì)算外力偶矩nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）nABCDm2

m3

m1

m4③繪制扭矩圖BC段為危險(xiǎn)截面。xT4.789.566.37––112233nABCDm2

m3

m1

m4②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）

3.4.1表面變形與平面假設(shè)圓軸表面變形具有以下特點(diǎn)：各圓周線均繞軸線相對(duì)旋轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，但形狀、大小及相鄰兩圓周線之間的距離均無(wú)變化。所有縱向線仍保持為直線，但都傾斜了一個(gè)微小角度，使圓軸表面的小矩形變?yōu)槠叫兴倪呅巍Ｗ冃翁卣鳎?.4.1扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力和剪應(yīng)變橫截面上無(wú)正應(yīng)力橫截面上有切應(yīng)力(τ)和切應(yīng)變()剪應(yīng)力方向必垂于半徑

變形幾何方程--剪應(yīng)變沿徑向分布規(guī)律取微元長(zhǎng)度dx；微元兩截面相對(duì)扭轉(zhuǎn)角dφ；由變形特征可知，

dφ/

dx為常量，表示相對(duì)扭轉(zhuǎn)角φ與相對(duì)距離之比，無(wú)量綱表達(dá)式說(shuō)明:ρ，所以：由剪切胡克定律，其中G、dφ

/

dx均為常量，即橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力τ(ρ)與該點(diǎn)到圓心的距離ρ成正比。上式說(shuō)明靜力學(xué)方程--剪應(yīng)力表達(dá)式截面上的扭矩Mn，即將代入，得：由此得：其中：橫截面極慣性矩，取決于橫截面的大小和形狀。Mn面轉(zhuǎn)動(dòng)慣量抗扭剛度：GIP反映了圓軸抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱(chēng)為圓軸的截面抗扭轉(zhuǎn)剛度。得：最大剪應(yīng)力發(fā)生在橫截面最外邊緣處分析：在扭矩一定的情況下，GIP愈大，相距單位距離的兩截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角就愈小剪應(yīng)力沿半徑方向的分布：分析：用圖表示由剪應(yīng)力互等定理可知，橫截面內(nèi)的剪應(yīng)力伴隨有位于縱向截面內(nèi)的等值的剪應(yīng)力（如上圖c）注意：應(yīng)力方向與半徑垂直，沿某一直徑圓心兩側(cè)的應(yīng)力方向和內(nèi)力偶的方向一致式中作用：WT值越大，則在給定的最大剪應(yīng)力下圓軸能夠抵抗的扭矩T也就越大。意義：

它是衡量截面抵抗扭轉(zhuǎn)能力的幾何量。WT:抗扭截面系數(shù)，單位為3.4.3.1扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度和剛度計(jì)算2.4.2.1強(qiáng)度條件：塑性材料：脆性材料：危險(xiǎn)截面:圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，產(chǎn)生最大剪應(yīng)力的橫截面。強(qiáng)度準(zhǔn)則

確定圓軸的許可載荷

圓軸截面尺寸設(shè)計(jì)

扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度校核強(qiáng)度準(zhǔn)則解決圓軸扭轉(zhuǎn)的三類(lèi)問(wèn)題3.4.3.2剛度條件

圓軸的最大扭轉(zhuǎn)角：扭轉(zhuǎn)剛度準(zhǔn)則—許用扭轉(zhuǎn)角，取值可根據(jù)有關(guān)設(shè)計(jì)標(biāo)淮確定。對(duì)于長(zhǎng)度為的圓軸的相對(duì)轉(zhuǎn)角：注意：表達(dá)式的應(yīng)用條件，等截面圓桿單位：弧度/米相對(duì)扭轉(zhuǎn)角任意兩個(gè)橫截面繞軸線相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。相距為l的兩個(gè)橫截面的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為:注意：φ的正負(fù)號(hào)與扭矩正負(fù)號(hào)相同。nABCDm2

m3

m1

m4材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸;在長(zhǎng)度l內(nèi)，Mn、G、Ip均為常量。對(duì)于實(shí)心圓軸圓截面的極慣性矩和抗扭截面模量（系數(shù)）對(duì)于內(nèi)、外直徑分別為d、D的空心圓截面或其中α為內(nèi)外徑之比，α＝d/D。BCADTBTCTDTA【解】【例】已知A輪輸入扭矩為2068.9Nm,B輪輸出扭矩為477.5Nm，C輪輸出扭矩為954.9Nm，D輪輸出扭矩為636.6Nm，試畫(huà)出扭力圖，并設(shè)計(jì)該軸直徑d。許可剪應(yīng)為[30N/mm]22.畫(huà)扭矩圖，確定危險(xiǎn)截面用截面法求得BC、CA、AD段內(nèi)各截面上的扭矩分別為BCADTBTCTDTA477.5N·m1432.4N·m636.6N·mTTBC=477.5N·mTCA=1432.4N·mTAD=636.6N·m據(jù)此畫(huà)出扭矩圖，如右下圖所示。由扭矩圖可見(jiàn)危險(xiǎn)截面在CA段，最大扭矩為：Tmax=1432.4N·m477.5N.m594.9N.m2068.9N.m636.6N.m3.由強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)軸直徑：由?。篸=65mm求得軸的直徑為：【例】傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為n=500r/min，主動(dòng)輪A輸入功率Np1=400kW，從動(dòng)輪C，B分別輸出功率Np2=160kW，Np3=240kW。已知[τ]=70MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa。

(1)試確定AC段的直徑d1和BC段的直徑d2；

(2)若AC和BC兩段選同一直徑，試確定直徑d；

(3)主動(dòng)輪和從動(dòng)輪應(yīng)如何安排才比較合理?【解】

1.計(jì)算外力偶矩：軸上A、B、C三處的外力偶矩為：2.畫(huà)扭矩圖用截面法求得AC、CB段內(nèi)各截面上的扭矩分別為：TAC=7640N.m，

TCB=4580N.m400kW160kW240kWn=500r/min3.直徑d1的選取按強(qiáng)度條件按剛度條件4.直徑d2的選取按強(qiáng)度條件按剛度條件5.選同一直徑時(shí)6.將主動(dòng)輪安裝在兩從動(dòng)輪之間受力合理結(jié)束§6.2外力偶矩扭矩和扭矩圖【例6.1】如圖所示，已知圓截面桿各截面處的外力偶矩大小，試畫(huà)出其扭矩圖。解：如圖所示的軸，用截面法求得AB、BC兩段的扭矩值分別為：扭矩圖如圖（d）所示。

T1=TA=3000N?mT2=TA-TB=3000-1800=1200N?m§6.2外力偶矩扭矩和扭矩圖§6.2外力偶矩扭矩和扭矩圖

剪切胡克定律由實(shí)驗(yàn)得到當(dāng)剪應(yīng)力不超過(guò)比例極限時(shí)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比。即：τ=GγG稱(chēng)為剪切彈性模量，與E有相同的量綱和單位。得：τx′=τx同理可得：τy′=τy由∑mz（Fi）=0，即τx(dxdy)dz=τy(dxdz)dy得：τx=τy結(jié)論：在微元體兩個(gè)相互垂直的截面上，剪應(yīng)力總是成對(duì)出現(xiàn)的，它們數(shù)值相等，其方向同時(shí)指向或同時(shí)背離截面的交線。純剪狀態(tài)

微元各對(duì)面上只有剪應(yīng)力而沒(méi)有正應(yīng)力的受力狀態(tài)稱(chēng)為純剪狀態(tài)剪應(yīng)力互等定理由平衡方程∑FY=0，即：求內(nèi)扭矩的方法-截面法內(nèi)扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：與截面的外法線方向一致為正，反之為負(fù)。4畫(huà)內(nèi)扭矩圖X