安徽省六安市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

三人行2021?2022屆高三12月聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)(理科)(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)注意事項：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1已知復(fù)數(shù)2=產(chǎn)1,則目=()A.V2 B.243 C.75 D.V10.已知集合4= B={x|x2<8),則AC|8=()A^—2,2-\/2J B.^2,2>/2JC.[2,3) D.[-272,3).已知函數(shù)/(x)=P° 若"0)=2,則()lgx,x>0 I13〃A.2 B.3 C.- D.63.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，一新冠確診病例在2021年12月曾經(jīng)到過某縣城的AB，。共3個地方，現(xiàn)派出4組流調(diào)專家對這3地進行流調(diào).若要求每個地方至少有一組專家，且每組專家只去1個地方進行流調(diào)工作,則A地由2組專家進行流調(diào)的概率為()1-1-6A.出一1.已知sinl8°=,則sin540=( )4A1+小 R>/5-1A. LJ.

C舊-1 D1+小TOC\o"1-5"\h\z4 ' 4.已知（3x-l）（x+l）”的展開式中所有項的系數(shù)之和為64,則展開式中含有1的項的系數(shù)為（）\o"CurrentDocument"A.20 B.30 C.45 D.60.如圖，矩形ABC。是圓柱的軸截面，若E,F分別為A3與線段8c的中點，圓柱的母線為4,側(cè)面積為8乃，則異面直線EF與4C所成角的余弦值為（）\o"CurrentDocument"aR r730 n56 6 62>0,若加2+%〃2=8，且根+〃的最大值為JIU，則2=（）\o"CurrentDocument"B.6 C.3 D.49.已知點。到直三棱柱ABC-A耳G各面的距離都相等，球。是直三棱柱A5C-A與G的內(nèi)切球，若球。的表面積為16萬，aABC的周長為4,則三棱錐A-A3C的體積為（）a4 R16 86 n16G\o"CurrentDocument"3 3 3 3A.y/2B.V2+1C.242D.2a-1.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上，若雙曲線E的焦點分別為"，F(xiàn)2,經(jīng)過尸2且與G尸2A.y/2B.V2+1C.242D.2a-1.已知/（x）=sinx-6cosx的一個對稱中心為（6,0）,把〃X）的圖像向右平移夕（夕>0）個單位后，可以得到偶函數(shù)y=g（x）的圖象，則|。一時的最小值為（）TOC\o"1-5"\h\z5） c2萬 —冗 -兀\o"CurrentDocument"A.— B.一 C.— D.-\o"CurrentDocument"6 3 3 6.函數(shù)〃力=,-3幺卜2洞的零點個數(shù)為（）\o"CurrentDocument"A2 B.3 C.4 D.5二、填空題（每小題5分，共4小題，滿分20分）.已知平面向量5滿足萬石=-4，且W=2,則萬一萬在加上的投影為.x+2<2y.若實數(shù)％y滿足（x+y<4,則z=3x-2y的最大值為.lx-2y>2.已知橢圓C:之+2r=1（。>6>0）的左、右焦點分別為月，F(xiàn)”點A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的兩點.若的周長的最大值為8,且A-A8的周長最大時，F(xiàn)\ArB=-a2,則橢圓C的標準方程為..斯特瓦爾特（Sfew"f）定理是由18世紀的英國數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論.根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為“、b、c,點。在邊BDm.c，tnb2+nc2mna2BCh,且——=—,則AZX= .已知△ABC中，內(nèi)角A、B、。的對邊分別DCn m+n ［m+n）為a、b、c,b=2c=4,asinB+辰cosA=0，點。在BC上，且△ABO的面積與aAOC的面積之比為2，則AO=.三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）.2021年10月16日00:23分，神舟13號載人飛船成功發(fā)射，三名中國宇航員成功進入中國太空站.為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，某高中在學(xué)校的兩個物理興趣班進行太空知識講座后，又進行了太空知識競賽活動競賽共有20道選擇題，每道題5分（答對得5分，答錯或不答得0分）.已知甲、乙兩個物理興趣班的學(xué)生得分都在［75,95］內(nèi)，成績分布如下表所示：得分7580859095

甲班人數(shù)1215355乙班人數(shù)1851345(1)計算并比較甲、乙兩個物理興趣班此次的平均成績；(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得乙班成績的方差約為47.11,比較哪個興趣班成績的方差較?。?3)若規(guī)定成績不低于85分為優(yōu)秀，試填寫下列2x2列聯(lián)表，并判斷是否有95%以上的把握認為競賽成績優(yōu)秀與所在班級有關(guān).優(yōu)秀不優(yōu)秀合計甲班乙班合計參考數(shù)據(jù)：P(R認)0.1500.1000.0500.0250.0100.005k。2.0722.7063.8415.0246.6357.789參考公式：K= ) 、，其中〃=a+h+c+d.(〃+0)(c+d)(a+c)(b+d).如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABC。為直角梯形，NA8C=NDC6=2ZBC4=90°,平面SZ)C_L平面ABC。，CD=CS=4,AB=2,點M為線段SO的中點.B(1)求證：AM〃平面SBC；(2)若求二面角S-AM-C的余弦值..已知數(shù)列｛4“｝滿足q=1,且/+|=2a“+〃-1,若=2"%,｛〃,｝的前〃項和為S”.(1)求證：｛4+〃｝為等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式;(2)求S一并求滿足不等式S“>242的最小正整數(shù)〃的值..已知拋物線￡:丁2=2〃工(〃>0)的焦點為尸，且尸到直線/x-y+2=()的距離為2&.(1)求拋物線￡的方程；(2)若正方形ABC。的邊AB在直線/上，頂點C,。在拋物線E上，求忻［+］叫.已知函數(shù)f(x)=(x+m)lnx-2x+6WeR).(1)若曲線y=/(x)在x=l處的切線與直線x-y=0垂直，求函數(shù)〃x)的極值；(2)當(dāng)相21時，求證：有且只有一個零點X。，且【選考題】請考生在第22、23兩題中任選一題作答注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個題目計分【選修4-4：坐標系與參數(shù)方程】x=3-夜sin，-夜cos。.已知在平面直角坐標系xOy中，曲線C參數(shù)方程為《 廠廠 (。為參數(shù)).以原y=4-J2sin6+cos0點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為5,直線/的極坐標方程為(1)求曲線C的普通方程及直線/的直角坐標方程；(2)若直線/與曲線C交于M,N兩點，求的值.【選修4—5：不等式選講】.已知函數(shù)f(%)=9+3|+國.(1)求不等式/(x)>8的解集；(2)記使得函數(shù)/(x)取得最小值時的X構(gòu)成的集合為A,若mmeA,Am-m=\+2A,求實數(shù)4的取值范圍.參考答案一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的).已知復(fù)數(shù)z=上曳，則|z|=()1-2i11A.6 B.2a/3 C.75 D.710【答案】C【解析】【分析】由模長運算性質(zhì)直接計算可得結(jié)果.【詳解】即儲福=后故選：C..已知集合4=]尤[77^1<1},8={x,W8},則Ap|B=()A.(一2,2夜] B.[2,2夜]C.[2,3) D.[-2&,3)【答案】B【解析】【分析】求解不等式，從而解得集合A8,再求集合的交集即可.【詳解】因為J曰<1,故可得0<x-2<l,解得xw[2,3),故4=[2,3)；因x2<8,故可得xe[—2血,20],故3=[-2&,20]：故Ac3=[2,2同故選：B.3.已知函數(shù)/(x)= +。七°,若/(0)=2,則/]=()TOC\o"1-5"\h\zlgx,x>Q 113〃\o"CurrentDocument"4 ,\o"CurrentDocument"A.2 B.3 C.- D.63【答案】C【解析】【分析】根據(jù)/(0)=2,求得。；再求函數(shù)值即可.【詳解】因為/(0)=1+。=2,故可得。=1,則唱=*<0,/砥=《叫=1。*+1總故選：c.4.根據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計，一新冠確診病例在2021年12月曾經(jīng)到過某縣城的A,8,C共3個地方，現(xiàn)派出4組流調(diào)專家對這3地進行流調(diào).若要求每個地方至少有一組專家，且每組專家只去1個地方進行流調(diào)工作，則A地由2組專家進行流調(diào)的概率為()1111A.- B.- C.- D.—6 4 3 2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)排列組合分組分配問題的處理方法可求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】派出4組流調(diào)專家對這3地進行流調(diào).若要求每個地方至少有一組專家，且每組專家只去1個地c2rl方進行流調(diào)工作，則基本事件總數(shù)為：年2&=36；4其中A地由2組專家進行流調(diào)的基本事件個數(shù)為或度=12；.?.所求概率P=U363故選：C.出一1TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"5.已知sin180=' ，則sin540=( )4\o"CurrentDocument"+6 5/5-1A. D. 8 8r石-1 n1+小4 4【答案】D【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式得到sin54。=cos36。，再利用二倍角余弦公式計算可得；【詳解】解：sin54°=sin(9()°-36°)=cos360=1-2sin218°

=1=1-2xI4J4故選：D.已知（3x-l）（x+l）”的展開式中所有項的系數(shù)之和為64,則展開式中含有x3的項的系數(shù)為（）A.20 B.30 C.45 D.60【答案】A【解析】【分析】令x=l,可由各項系數(shù)和可得〃：利用二項展開式的通項公式，分別令r=3和2即可求得結(jié)果.【詳解】令x=l,則2-2"=64,解得：〃=5；則（x+1）”展開式的通項為：,令5-r=2,解得：r=3,則=3。；/=30工3；令5-「=3,解得：r=2,則-l-C*3=-10x3；展開式中含有F的項的系數(shù)為30—10=20.故選：A..如圖，矩形A8C。是圓柱的軸截面，若E,尸分別為A8與線段8。的中點，圓柱的母線為4,側(cè)面積為A.t8乃，則異面直線E尸與AC所成角的余弦值為（A.t5D.一6【答案】C【解析】【分析】如圖，【分析】如圖，取AB的中點。，連接?！?。尸,則可得NOFE是異面宜線EF與4C所成角，然后在【詳解】如圖，取AB的中點O,連接因為F是BC的中點，所以O(shè)尸〃AC,所以ZOFE是異面直線EF與AC所成角，因為圓柱的母線為4,側(cè)面積為8萬，所以4xtz>AB=8tt,所以A8=2,所以of=Job2+bf2=Ji1W=6，因為8c垂直于底面，0E在底面內(nèi)，所以6cl.0￡,因為E為ab的中點，所以因為8nBe=B,所以O(shè)E_L平面A8CD,因為OFu平面ABC。，所以O(shè)FJ_OE,所以砂=彳=JIT5=&，而“/CMOF45430所以cosZOFE===,￡F76 6所以異面直線E尸與AC所成角的余弦值為叵，6故選：C.已知〃?,〃€/?,%>o,若根2+2]=8，且加+〃的最大值為,則；i=（）A.2 B.6 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】利用三角換元結(jié)合輔助角公式可求力的值.【詳解】因為桃？+/1〃2=8，A>o,故可設(shè)』=20cosa〃=2吟m,，6gR,故加+/=2>/^cose+ =2j2+2sin(e+0)，A,VA1.1COS(P=! ,Sin69=1 其中E衣,而2j2+[sin（8+e）W2j2+1,當(dāng)且僅當(dāng)夕=2%左+'—。,％wZ時等號成立,故加+〃的最大值為2J2+]=Jid,故4=4,故選：D.9.已知點。到直三棱柱ABC-A&G各面的距離都相等，球。是直三棱柱ABC-A8cl的內(nèi)切球，若球。的表面積為16萬，aABC的周長為4,則三棱錐A-A8C的體積為（、4 R16 8百 n16百3 3 3 3【答案】B【解析】【分析】設(shè)三棱柱A8C-4gG的高為兒內(nèi)切球。的半徑為r,通過內(nèi)切球的半徑可求出〃，再求得S^ABC,由體積公式即可求解三棱錐A-ABC的體積.【詳解】解：設(shè)直三棱柱A8C-A8IG的高為兒AB=c,BC=a,AC=b,內(nèi)切球。的半徑為r,則〃=2r,由題意可知球。的表面積為164=4萬產(chǎn)，解得r=2,，〃二%又△ABC的周長為4,即a+b+c=4,二連接OA，OB,0C,。4），。耳,。弓可將直三棱柱48。一4瑪。1分成5個棱錐，即三個以原來三棱柱側(cè)面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的四棱錐，兩個以原來三棱柱底面為底面，內(nèi)切球球心為頂點的的三棱錐，,由體積相等可得直三棱柱ABC-4gG的體積為Sjbch=gahr+gbhr+|chr+2x；S^ABCr,1 4即4\abc=-（〃+b+c）hr+—S^ABC，,S^ABC=4,三棱錐A-ABC的體積為1S.abch=gx4x4=y.故選:B.B10.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上，若雙曲線E的焦點分別為F2,經(jīng)過鳥且與G5垂直的光線經(jīng)雙曲線E反射后，與耳寫成45。角，則雙曲線E的離心率為（）A.V2 B.V2+1 C.2& D.272-1【答案】B【解析】b2【分析】畫出圖象，根據(jù)題意得到AK=6^=2c,求出AF,=L,列出方程，/_2e_1=0,解出a答案.7T r2v2 hr【詳解】由題意得：/A耳居二—,則6=2c,將X=C代入到'—m_=1,y=f_,即TOC\o"1-5"\h\z4 arb~ ah2 h2 LAF）=—?故2c=—,即c2—2〃c—a2=（）,同除以a?得：/一26—1=0，解得：e=J^+l或'a a=1—>/2<0（舍去）

.已知〃x)=sinx-百cosx的一個對稱中心為(6,0),把f(x)的圖像向右平移°(°>0)個單位后，可以得到偶函數(shù)y=g(x)的圖象，則|。一時的最小值為()A.區(qū) B.& C- D心6 3 3 6【答案】D【解析】【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，即可求出函數(shù)的對稱中心坐標，再根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則得到g(x)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求出。的取值，從而計算可得：【詳解】到g(x)的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求出。的取值，從而計算可得：【詳解】解：因為=sinx-JJcosx=2—sinx cosx=2sin、2 2 7 veZ,解得*=?+ k、eZ,即函數(shù)的對稱中心坐標為(^+仁1,。)，k、wZ,把/(x)的圖像向右平移°(°>0)個單位得到g(x)=2sin(x-gTTTT TT數(shù)，所以9+<=々+%,%,&eZ,解得。=<+%,%,&eZ,因為。>。，32 6所以1。一。|=(5+2產(chǎn))一(%"+"2乃)卜卜+("1—“2)萬，K€Z且22GN怛-同.=生：1 tImin$令xj=k、n,rrXgZ,所以。=石+人不，-5)，因為y=g(x)為偶函TT所以夕=—+公乃,22EN,6,所以當(dāng)4=七￡可時故選：D.函數(shù)/(力=,一3/卜2洞的零點個數(shù)為(A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】令〃(％)=2晌，8(同=/-3幺，利用導(dǎo)數(shù)可求得g(x)單調(diào)性，進而得到|g(x)|圖象；在同一坐標系中畫出|g(x)|與〃(x)的圖象，根據(jù)交點個數(shù)可得結(jié)果.【詳解】令〃(月=2洞，^(x)=x3-3x2,則零點個數(shù)即為|g(x)|與〃(x)圖象的交點個數(shù)；g'[x)=3x2-6x=3x(x-2),則當(dāng)xe(-oo,0)U(2,+(?)時，g'(x)>0；當(dāng)xe(O,2)時，g'(x)<0；.??8(6在(一8,0),(2,+o。)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，又g(0)=0,g(2)=-4,進而可得|g(x)|圖象與〃(x)圖象如下圖所示，由圖象可知：|g(x)|與〃(力共有5個交點，即/(x)有5個零點.故選：D.【點睛】方法點睛：求解函數(shù)零點(方程根)的個數(shù)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根的個數(shù)；(2)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題(每小題5分，共4小題，滿分20分).已知平面向量”滿足萬石=-4,且帆|=2,則在B上的投影為.【答案】-4【解析】

【分析】利用數(shù)量積的運算律可求得（m-5卜【分析】利用數(shù)量積的運算律可求得（m-5卜b,由投影公式可計算H【詳解】\a\a-b)-h=ah-h2=-4-4=-8,:.g-B:.g-B在B上的投影,一cos<a-b,b>=(a-b)-b故答案為：—4.x+2<2y.若實數(shù)x,y滿足，x+y<4,則z=3x-2y的最大值為.lx-2y>2【答案】2【解析】【分析】畫出可行域與目標函數(shù)，利用幾何意義求解最大值.【詳解】畫出可行域，如圖顯然2=3*-2丁過8（2,2）時取得最大值，Zmax=6-4=2.故答案為：2.已知橢圓。:=+2=1（。>6〉0）的左、右焦點分別為耳，鳥，點48是橢圓C上關(guān)于x軸對稱a"b」的兩點.若的周長的最大值為8,且A-A8的周長最大時，可?庫=一；/,則橢圓C的標準方程為.2 2 2 2【答案】—+^=1##^-+—=14 2 2 4【解析】【分析】由題可得當(dāng)AB過6時，的周長的最大，結(jié)合條件可得.【詳解】設(shè)A（%,%），8（x°,-%），如圖，的周長為禺4+忸4+|則4山A|+歸區(qū)+國力|+|瑪目=皿,當(dāng)且僅當(dāng)4B過K時，取等號，4。=8,即。=2,h2此時與=c,所以%=—,■a（八（b2\故Ac,—,Bc, ,又耳（-c,0）,0（c,0）,TOC\o"1-5"\h\z——h2)——. 力2 # h41F^A=0,一，居8=0, ,F、A?RB=—-——a2,又4=2,{a)~ a) 2 2a24***b2=29\o"CurrentDocument"2 2...橢圓c的標準方程為士+匕=1.4 2\o"CurrentDocument"故答案為：—+^-=1.4 216.斯特瓦爾特（Sfew""）定理是由18世紀的英國數(shù)學(xué)家提出的關(guān)于三角形中線段之間關(guān)系的結(jié)論.根據(jù)斯特瓦爾特定理可得出如下結(jié)論：設(shè)△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為“、b、c,點。在邊BDmf）〃必mna1BCE且「；=一，貝ijAO-= ; *.己知△A8C中，內(nèi)角A、B、。的對邊分別DCn 加+〃 （加+〃）

為a、b、c,h=2c=4,asinB+顯cosA=0，點。在8C上，且△ABO的面積與aAOC的面積之比為2，則AD=.【答案】名叵##2至3 3【解析】【分析】由正弦定理可求得角A的值，由余弦定理可得出。的值，由已知可得出機=2〃，再利用斯特瓦爾特定理可求得AO的長.【詳解】由asin8+GbcosA=0及正弦定理可得sinAsinB+>/3sin8cosA=0，:8￡（0,"），則sin3>0,所以，si〃A+&cosA=0,則tanA=—G，vAe（0,^-）,故A=-^-,,.'b=4,c=2,由余弦定理可得a=J突+c?-力ccos"=23，沁=黑=2,則變=?=2,故”=2〃，S.cDCDCnmncT（加+〃）-2nx42+mncT（加+〃）-2nx42+〃x222〃2x28_523〃 9〃2 9由斯特瓦爾特定理可得2=F~因此,故答案為：馬叵.3三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）17.2021年10月16日00:23分，神舟13號載人飛船成功發(fā)射，三名中國宇航員成功進入中國太空站.為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，某高中在學(xué)校的兩個物理興趣班進行太空知識講座后，又進行了太空知識競賽活動競賽共有20道選擇題，每道題5分（答對得5分，答錯或不答得0分）.已知甲、乙兩個物理興趣班的學(xué)生得分都在［75,95］內(nèi)，成績分布如下表所示：得分7580859095甲班人數(shù)1215355

乙班人數(shù)1851345(1)計算并比較甲、乙兩個物理興趣班此次的平均成績;(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得乙班成績的方差約為47.11,比較哪個興趣班成績的方差較小;<其中〃=a+Z?+c+d.(3)<其中〃=a+Z?+c+d.成績優(yōu)秀與所在班級有關(guān).優(yōu)秀不優(yōu)秀合計甲班乙班合計參考數(shù)據(jù):P(K")0.1500.1000.0500.0250.0100.005k。2.0722.7063.8415.0246.6357.789參考公式：K2=n^ad—bcy(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)［答案】(1)%p=82,&=82,%=&.：(2)甲班成績的方差較小:(3)列聯(lián)表見解析；沒有95%以上的把握認為競賽成績優(yōu)秀與所在班級有關(guān).【解析】【分析】(1)根據(jù)平均數(shù)計算方法宜接求解即可;(2)根據(jù)方差計算方法求得*后即可得到結(jié)果;(3)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，根據(jù)獨立性檢驗的思想計算即可得到結(jié)果.【小問1詳解】甲班的平均成績：無p=75x12甲班的平均成績：無p=75x12+80x15+85x3+90x5+95x5” =82；乙班的平均成績：無=12+15+3+5+575x18+80x5+85x13+90x4+95x5__ =?2；18+5+13+4+5【小問2詳解】由表格數(shù)據(jù)可知:由表格數(shù)據(jù)可知:140140x(588+60+27+320+845)=46<47.11??.甲班成績的方差較小;【小問3詳解】由已知數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表如下:優(yōu)秀不優(yōu)秀合計甲班132740乙班222345合計355085沒有95%以上的把握認為競賽成績優(yōu)秀與所在班級有關(guān).18.如圖，在四棱錐S—ABC。中，底面ABCD為直角梯形，NA3C=NDCB=2NBC4=90。，平面S￡>C_L平面ABC。，CD=CS=4,AB=2,點M為線段SC的中點.(1)求證：AM〃平面SBC；(2)若求二面角S—AM—C的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2)3【解析】【分析】(1)在平面S8C中構(gòu)造與AM平行的直線，通過線線平行即可證明線面平行;(2)以C為坐標原點，建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角即可.【小問1詳解】取CS中點為N,連接MN,BN,如下所示:在△OCS中，因為M,N分別為OS,CS的中點，而^得MN=、DC,MN//DC,2又四邊形A8CO為直角梯形，且A8=2,OC=4,故可得A8〃OC,2故MN=AB'MNHAB，故四邊形ABNM為平行四邊形，則AM〃BN,又因為BNu面BCS,AA/(z面8CS,故可得A"〃面SBC.【小問2詳解】因為四邊形A8CD為直角梯形，且8CD=90。，故可得8CJ_C。，又因為面ABCD±面SCD,且面ABCDQ面SCD=CD,又BCu面ABCD,故可得8。_1面58,又CSu面SCD，故可得BCJ_CS；又AM1CD,AM“BN，故CD1BN,又CD工BC,BCcBN=B,BC,BNu面BCS,故可得C0_L面8CS,CSu面BCS,故可得8_LCS,綜上所述，CQ,CS,CB兩兩垂直，故以C為坐標原點建立空間直角坐標系，如下所示：則C(0,0,0),A(2,0,2),S(0,4,0),M(0,2,2),AM=(-2,2,O),SM=(O,-2,2),CM=(O,2,2)設(shè)平面S4M的法向量比=(x,y,z),m-AM=0 [—x+y=O故可得<_.,即<'八，不妨取y=l,則x=i,z=i,m-SM=0 1-y+z=O故慶=(1,1,1)：設(shè)平面AWC的法向量萬=(x,y,z)\n-AM=0 [-x+y=0故可得〈_.，即〈 ' ,不妨取y=l,則x=l,z=-l,[n-CM=0 1y+z=0故元=(U,T)；設(shè)二面角S-AM-C的平面角為e,,mn1 1故可得.°=麗=反耳=§.故二面角S—AM—C的余弦值為319.已知數(shù)列｛a“｝滿足q=1,且=2?！?〃-1,若b“=2"a”,也｝的前〃項和為S”.(1)求證：｛《,+〃｝為等比數(shù)列，并求｛4｝的通項公式；(2)求S“并求滿足不等式5“>242的最小正整數(shù)〃的值.【答案】(1)證明見解析；(2)§4=242；最小正整數(shù)〃=5.【解析】【分析】(1)由上二一^=2可證得數(shù)列為等比數(shù)列；利用等比數(shù)列通項公式求得勺+〃后即可推導(dǎo)an+n得到an.(2)采用錯位相減法可求得S“，代入〃=4可得S4；利用S用一S“>0可知S“單調(diào)遞增，則由S4=242可得結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)得到如乂)，；%+(〃+1)—況+"-1+("+1)_24+2〃.2,又“+1=2,an+naan+n???數(shù)列｛q,+〃｝是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列;小問2詳解】由(1)得:2=2"(2"-〃)=4"一〃-2",則S“=(4+42+…+4")—(lx2i+2x22+3x23+3+(〃—l12"T+〃.2"),2S?=2(4+42+--+4,,)-(lx22+2x23+3x24+--+(/7-l)-2n+/l-2n+1),兩式作差得：S.=(4+42+…+4")+(2+2?+23+…+2")—/r2"M=l(lz￡l+TOC\o"1-5"\h\z1-4 1-2\o"CurrentDocument"4向4 10=--―-+2n+l-2-n-2n+1=--—(n-l)2n+l-—,\o"CurrentDocument"3 3 3v7 34 10.?.54=-x256-3x32--=242；3 3???S”+「S”=芍一〃二—一與一?+(〃-1)2,+岑=4日一(〃+1)2向-1)，又2"+2+ = 二2"+| 222_2=2，，5,加一5”>。，，S“單調(diào)遞增，又=242,滿足不等式S“>242的最小正整數(shù)n=5.20.已知拋物線￡：丁=2座(〃>0)的焦點為凡且F到直線/x-y+2=0的距離為2夜.(1)求拋物線E的方程；(2)若正方形ABCO的邊AB在直線/上，頂點C,。在拋物線E上，求叫.【答案】(1)y2=8x(2)264【解析】【分析】(1)寫出拋物線焦點坐標，利用點到直線的距離公式，可求得答案；(2)根據(jù)題意可設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，根據(jù)正方形幾何性質(zhì)可求出參數(shù)，再利用拋物線的焦半徑公式可求得答案.【小問1詳解】拋物線￡:丁2=2〃犬(〃>0)的焦點為產(chǎn)(片,0),F(-^,0)到直線ljc-y+2=0的距離為2&，|￡+2|即1 =2&，因為，>0，解得，=4，&-故拋物線E的方程為y2=8x；【小問2詳解】因為A8CO是正方形，所以A8||C￡>，直線/與CO之間的距離等于ICO|,設(shè)直線8的方程為：y=x+m,聯(lián)立產(chǎn)二口，消去x得：y2-Sy+8m=0,由△=64—32m>0得/”<2,設(shè)。(%,％),￡)(工2，%)，則y+必=8,(%=8凡所以ICD1=夜|X_%1=夜?J(V+y2)2-4xy2=8,2-5，,Im—21直線/與CC間的距離為d=五,所以8：2一4二%,整理得：128(2-m)=(加一2>,由于m<2,故解得加=一126,所以％+%=MM-2m=8+252=260,故/q+lFD]=%+W+p=260+4=264..已知函數(shù)/(x)=(x+/n)lnx-2x+6(/ne7?).(1)若曲線y=/(x)在x=l處的切線與直線x-y=0垂直，求函數(shù)f(x)的極值;(2)當(dāng)機21時，求證：/(x)有且只有一個零點%,且/'(%)<梃6-7.【答案】(1)極小值y+6,無極大值；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得參數(shù)機，再利用導(dǎo)數(shù)分析/(x)的單調(diào)性，再求極值即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究/(X)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理即可證明/(X)只存在一個零點，同時求出與的取值范圍，結(jié)合f(x)的單調(diào)性即可證明.【小問1詳解】因為/(x)=(x+/w)lnx-2x+6,故可得f(x)=lnx+ 2,又y=/(x)在x=l處的切線與直線x-y=O垂直，故可得/⑴=_],則1+加一2=-1，解得/n=0，故/(x)=xlnx-2x+6,/(x)=lnx-l.令f(x)>0,解得x>e,此時〃x)單調(diào)遞增：令f(x)<0,解得0cx<e，此時/(x)單調(diào)遞減；故/(x)在x=e處取得極小值/(e)=-e+6,/(x)無極大值.【小問2詳解】因為/(x)=(x+m)lnx-2x+6,故/'(x)=lnx+'—l,f(x)=A'n,因為故當(dāng)xe(O,m)時，/(x)<0.f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xw(/“+oo)時，f(x)>0.f(x)單調(diào)遞增，故/'(x)>f(m)=lnm>0.故/(x)在(0,+8)單調(diào)遞增；又/(1)=4>0,/卜-6)=-6卜出+機)―26小+6=_8右6_6(相_1)<0,故/(x)只有一個零點/,且不右卜-6」),又故由f(x)在(0,加)單調(diào)遞減可得：/(x0)</(e-6)=-6+/ne6-l=///e6-7.即f(xo)<we6-7.【點睛】本題考察利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，涉及二次求導(dǎo)，零點存在定理，屬綜合困難題；其中關(guān)于零點與所在區(qū)間的估計，是解決第二問的關(guān)鍵.【選考題】請考生在第22、23兩題中任選一題作答注意：只能