安徽省六校教育研究會2022屆高三下學(xué)期2月第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題（含答案與解析）

安徽省六校教育研究會2022屆高三聯(lián)考試題

數(shù)學(xué)（理科）（時間：120分鐘分值：150分）注意事項：.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上..回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效..考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.設(shè)集合A={H-1<E},^={4og2x<l}>則館5=（）A.1x|-l<x< B.|x|-l<x<11C.1x|0<x<11D.1x|0<x<11.若復(fù)數(shù)z滿足z?i=l一晨其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為（）.A.0B.-1A.0B.-1C.TD.—i2.如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布直方圖，記由該直方圖得到的數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別為小仇。則（）, Q+, Q+C7A.b>c>a B.a>b>c C. >b2.設(shè)。=sin；,力=In兀，c=兀4，則（ ）A.c<b<a B.a<c<b C.a<b<c-a+bD. >c2D.c<a<b|x+y-5<0.設(shè)尢，了滿足約束條件（2x+y—8W0,貝Uz=3x+4y的最大值是（）”3A.12A.12B.17C.18.某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約到A,B,C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，8醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為（）TOC\o"1-5"\h\z12 2 3A.- B.- C.- D.一3 3 5 5.已知拋物線C:/=4尤，點P為直線x=-2上的任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,B,則點到直線A8的距離的最大值為（）A1 B.4 C.5 D.75.在x 的展開式中，V項的系數(shù)為（）A.45 B.90 C.120 D.1.已知點?（一1,0）,圓（x—iy+y2=9上兩個不同的點A（x，x）、8（七,必）滿足=4尸8（2wR）,則|4%+3y—25|+性w+3%—25|的最大值為（）27A.12 B.18 C.60 D.一2.直線。與平面。所成的角為15。，點P為空間一定點，過點尸作與a成45。、與。成60。的直線/可以作（）A2條 B.3條 C.4條 D.無數(shù)條.已知數(shù)列｛4｝滿足：6=1,々=1，a“=a,i+a“-2（〃N3,〃GN*）,若將數(shù)列｛《,｝的每一項按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1,記前〃段圓弧所在正方形的面積之和為5,，第〃段圓弧與其所在的正方形所圍成的扇形面積為c”.現(xiàn)有如下命題：Pi-S“+i=an+x+an+l-an；Pi：q+g+…+a2n-i=4"-1；Py：q+a?+%+?,?+u,n= —1?“4：4(c?-c?-1)=^?+1-a?_2.則下列選項為真命題的是（）A.[%八P2 B.W|V「P3 C.飛人飛 D.p2Vp4.已知函數(shù)〃x）=（x4-4x，e”,若方程/（x）=a有3個不同的實根X],xi<%,）,則a—7的取值范圍是（）x2-4―27c） （2473力Le> IJC,卜辭,246e] D.卜晶,24八2]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題目的橫線上.）.已知向量1=（1,2）,b=<3,-4）,則向量萬在向量5上的投影為..若雙曲線c：[-方=l（a〉0,〃〉0）的一個焦點F關(guān)于其一條漸近線的對稱點P在雙曲線上，則雙曲線的離心率為..函數(shù)/（x）=3sin（0x+e）（0>O，M<T）,已知=3且對于任意的xeR都有/（一1+工卜/卜^-X卜。，若/（x）在上單調(diào)，則0的最大值為..在四棱錐S-AB8中，已知S4_1_底面ABC。，AB//CD,ABA.AD,AB=3,CD=AD=6,M是平面SAD內(nèi)的動點，且滿足NCMD=N8M4.則當(dāng)四棱錐的體積最大時，三棱錐M-ACD外接球的表面積為.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（一）必考題：共60分.\AD\1.在aABC中，A。是底邊BC上的高，垂足為點O,且匕才=不.oC5⑴若邊長|A8|,忸q,1cAi成等比數(shù)列，求NBAC的正弦值;\AC\\AB\（2）求扁卡晶的最大值..在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬如圖，在“陽馬”P—A8CO中，側(cè)棱 底面ABC。，且PD=CD.

EE(1)若P3=4,試計算底面ABC。面積的最大值；(2)過棱PC的中點E作EF工PB,交PB于點F,連OE,DF,BD若平面OEF與平面4BC。所成銳二面角的大小為試求生的值.3BC19.某校高三年級舉行元宵喜樂會，兩人一組猜燈謎，每輪游戲中，每小組兩人各猜燈謎兩次，猜對燈謎的次數(shù)之和不少于3次就可以獲得“最佳拍檔''稱號.甲乙兩人同一小組，甲和乙猜對燈謎的概率分別為R,TOC\o"1-5"\h\z7(1)若6=2，P,=一,求在第一輪游戲中他倆就獲得“最佳拍檔”稱號的概率；4 3「 ， , ,(2)若《+呂=5,且在前〃輪游戲中甲乙兩人的小組獲得“最佳拍檔”稱號的次數(shù)的期望為16次，則〃的最小值是多少？并求此時的4，6的值.2 2.已知橢圓C:?+2r=l(a>b〉o)的左右焦點分別為耳卜6,0),6(G,o),且橢圓C上的點M(1)求橢圓(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若在x軸上存在一點E,使得過點E的任意一條直線/與橢圓的兩個交點P、(2)若在x軸上存在一點E,為定值，試求出此定值..已知函數(shù)〃x)=xlnx的圖象曲線C滿足以下兩個特性:①過點P(U)存在兩條直線與曲線C相切;②曲線C上有A,B兩點，其橫坐標(biāo)分別x2(O<x,<x2<l),且滿足兩點在曲線C上等高.請完成以下兩個問題.(1)求實數(shù)，的取值范圍；(2)若左=5(五三匕?+X/2,且左eZ,求4值.(二)選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.x=r+-,.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為， ；(，為參數(shù)).以。為極點，x軸的非卜”？負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線。2：。=2(".0)和4：。=一二(0..0),曲線G分別交。2，C,6 6于P,。兩點.(1)求曲線C極坐標(biāo)方程和曲線G的直角坐標(biāo)方程；(2)求△OPQ的面積..函數(shù)/'(x)=|x+2]+|x—a|(aeR).(1)當(dāng)a=2時，不等式/(x)W8的解集M；(2)若xe(0,l)時，不等式/(x)<x+4恒成立，求”的取值范圍.參考答案一、選擇題(本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.).設(shè)集合A=kH<E},5=Wlog2x<l}>則ADB=()A.|x|-l<x<l|B.|x|-l<x<l|C.{x|0<x<l| D.|x|0<x<l]【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合8,再根據(jù)交集的運算即可得出答案.【詳解】解：B={x|log2x<1}={x|0<x<2),所以AnB={x[0<xWl}.故選：C..若復(fù)數(shù)z滿足=l- 其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部為(

A.OB.-1C.-i【答案】B【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)z為a+A.OB.-1C.-i【答案】B【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)z為a+初的形式，由此求得z的虛部.1-z(l-z)-(-z)【詳解】依題意Z=—=\-故Z的虛部為T.Il'\-l)故選B.【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查虛部的概念，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖，是根據(jù)某班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績畫出的頻率分布宜方圖,記由該直方圖得到的數(shù)學(xué)考試成績的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)分別為mh,c,則（）A.b>c>aB.a>b>ca+c,

C. >b2-a+bD. >2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖讀出眾數(shù)。，計算中位數(shù)從平均數(shù)c,再比較大小.70+80【詳解】由頻率分布直方圖可知：眾數(shù)a= =75；2中位數(shù)應(yīng)落在70-80區(qū)間內(nèi)，則有：0.004x10+0.018x10+0.04x(/7-70)=0.5,解得：b=77；E,… s50+60 s60+70 70+80平均數(shù)c=0.004xlOx f0.018x10x i-0.04xl0x 1-cccc.o80+90 rxr\rir\90+1000.032x1Ox +0.006xl0x =2.2+11.7+30+27.2+5.7=76.8故選：A4.設(shè)。=5皿5，力=In兀，。=兀咻，則（A.c<b<aB.a<c<bA.c<b<aB.a<c<bC.a<b<cD.c<a<b【答案】B【解析】TOC\o"1-5"\h\zIT I【分析】根據(jù)已知條件，將sin二與sin0和sin一進(jìn)行比較，將In兀與Ine進(jìn)行比較，將1T5與2 6 兀兀。和g進(jìn)行比較確定如b、c三個數(shù)的大小，從而完成求解.【詳解】O=sinOVsin-Vsin*^=一,所以。€（0,3，111兀>111€=1,所以bw（l,+oo）,2 62 211 1 _1 ? 1—=-^-<-y==7l2<7l"=l,所以C€（/,l）,所以a<C<6.故選：B.x+y-5<0.設(shè)X,y滿足約束條件<2x+y-8W0,則Z=3x+4y的最大值是（）y<339A.12 B.17 C.18 D.y【答案】C【解析】3【分析】根據(jù)線性約束條件作出可行域，作直線y=--x沿可行域的方向平移，由z的幾何意義即可求4解.【詳解】根據(jù)線性約束條件作出可行域如圖：由圖知：過點A時，三最大即z最大,4x+y-5=0 / 、可得4(2,3),所以Zmax=3x2+4x3=18，故選：C..某日，甲、乙、丙三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約到A,B,C三家醫(yī)院接種疫苗，每家醫(yī)院每日至多接待兩個單位.已知A醫(yī)院接種的是只需要打一針的腺病毒載體疫苗，B醫(yī)院接種的是需要打兩針的滅活疫苗，C醫(yī)院接種的是需要打三針的重組蛋白疫苗，則甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率為()TOC\o"1-5"\h\z2 -2 3A.- B.- C.— D.一3 3 5 5【答案】B【解析】【分析】求出三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約接種疫苗的基本事件數(shù)，再求出甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的基本事件數(shù)，然后利用古典概率公式計算作答，【詳解】當(dāng)4,B,C三家醫(yī)院都接待一個單位時有A；種，當(dāng)A,B,C三家醫(yī)院有兩家接待兩個單位時有C；C；A；種，因此，三個單位被系統(tǒng)隨機預(yù)約接種疫苗的基本事件有A；+C；C；A；=24個，它們等可能，甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的事件M,即甲不選C醫(yī)院，選A,B醫(yī)院之一，有C；種選法，乙、丙從A,B,C三家醫(yī)院中任選一家，去掉他們都選4醫(yī)院的情況，有32-1種選法，因此，事件M含有的基本事件數(shù)為C；(32-1)=16個，243所以甲單位不接種需要打三針的重組蛋白疫苗的概率P(M)=^=1243故選：B7.已知拋物線C:y2=4x,點P為直線x=-2上的任意一點，過點P作拋物線C的兩條切線，切點分別為A,B,則點到直線AB的距離的最大值為()【答案】D【解析】【分析】先求得直線AB的方程，再去求點”(0,1)到直線48的距離的最大值即可解決.【詳解】設(shè)尸(-2,6),切點A(x，yJ,B(x2,y2)由題意知在點A處的切線斜率存在且不為0,設(shè)在點A處切線斜率為原

在點A處切線方程可設(shè)為y=K（x-xJ+M丁=4x 一2 4 4，八,可得y丁尸尸一4%=oy=3(x-5)+y kAkA2則在點A2則在點A處切線方程可化為y=—（x-占）+乂，即2x-必y+2%=0

y由題意知在點B處的切線斜率存在且不為0,設(shè)在點B處切線斜率為心在點8處切線方程可設(shè)為丫=即。-毛）+%由<y2=由<y2=4xy=kB(x-x2)+y2,4 4可得y-丁+正-你=。22則在點B處切線方程可化為y=—（X-/）+%，即2x- +2%2=。丫2又兩條切線均過點P，則2（-2）-切切+2%=。，2（-2）-y加+2%=0則直線4B的方程為y-?n+2x=0,即2（x-2）-?n=0則直線48恒過定點Q（2,0）點M（0,1）到直線AB的距離的最大值即為點M（0,1）到Q（2,0）的距離\MQ\=>/（2-0）2+（0-1）2=x/5故點M（0,1）到直線A8的距離的最大值為6.故選：D8.在l+8.在l+x+的展開式中,/項的系數(shù)為（A.4A.45 B.90【答案】A【解析】C.120D.1【分析】寫出1+X+10的展開式通項，令X的指數(shù)為2,【分析】寫出1+X+10的展開式通項，令X的指數(shù)為2,求出參數(shù)的值，代入通項后即可得解.【詳解】2022的展開式通項為4+1X+]2O22展開式通項為紜討=C：?X”?（X-2022X+]2O22展開式通項為紜討=C：?X”?（X-2022j=C>X-2O234故1+X+的展開式通項為=C；oC：令〃一2023k=2,且0(后《〃"10,k>reN,所以，r=2，k=0,故展開式中V項的系數(shù)為C：°C；=45.故選：A.9.已知點?（一1,0）,圓（％-1）2+曠2=9上的兩個不同的點4（%2）、8（±,%）滿足AP=^Pfi(2eR),則|4%+3乂-25|+|4電+3y2-25|的最大值為()A.12 B.18 C.60 D.—2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出弦AB中點的軌跡，再求出這個軌跡上的點到直線3x+4y-25=0的距離最大值即可推理計算作答.【詳解】因而=4而（2wR）,則點A,P,B共線，即過點P的直線AB與圓（%—1）2+丁=9交于不同的兩點A,B,? II ? ? II ? |4x+3y,-25|林司+3y,-25|+|4x2+3%-25|=5(' '+1一生一b表示點A、8到直線%+323x+4y-25=0的距離和的5倍，設(shè)弦AB中點Ma。,%）,則有~/ ~+■-/— —2,* / "V42+32 V42+32 V42+32于是得：|4x,+3y-25|+|4x2+3^-25|=10.』展":5|,圓（x—l）2+y2=9的圓心Q（l,0）,顯然點尸在此圓內(nèi)，即過點P的任意直線與圓都相交,當(dāng)點M與點P,Q都不重合時，由圓的性質(zhì)知，PM±QM,有PA/?西=0,當(dāng)點M與點P,Q之一重合時，兩■?西=0也成立，于是得麗西=0,又麗:=（毛+1,%）,的從而得x：+y：=l,即點M的軌跡是以原點為圓心的單位圓,圓片+貨=1的圓心到直線3x+4y-25=0的距離d=則圓x：+y：=l上的點到宜線3x+4y-25=0的距離的最大值為d+l=6,所以林內(nèi)+3y—25|+14%2+3%—25|的最大值為60.故選：C10.直線a與平面a所成的角為15。，點P為空間一定點，過點P作與a成45。、與。成60。的直線/可以作（）A.2條 B.3條 C.4條 D.無數(shù)條【答案】B【解析】【分析】設(shè)直線。與平面。交于點A,過點A作與a成45。的直線，它在如圖的軸截面為等腰直角三角形的圓錐側(cè)面上運動.設(shè)。在a內(nèi)的射影為直線6,。、b確定的平面為夕，由直線與平面所成角的性質(zhì)可得當(dāng)圓錐的母線在落在平面夕內(nèi)時，它與。所成角為60。或30°.由此將圓錐的母線繞點A旋轉(zhuǎn)并觀察母線與直線。所成角的變化，可得圓錐側(cè)面上共有三條母線所在的直線與。所成角為60°，由此結(jié)合異面直線所成角的定義可得滿足條件的直線/的條數(shù).【詳解】解：設(shè)直線。與平面a相交于點a,。在a內(nèi)的射影直線為6，設(shè)圓錐的頂點為A點，圓錐的軸平面圓錐的軸截面為等腰RIaABC,如圖所示.可得圖中圓錐的任意一條母線與平面a所成角都等于45。，設(shè)直線c為圓錐的一條母線所在直線，直線。、b確定的平面為夕，由直線與平面所成角的性質(zhì)，可得當(dāng)c落在平面/內(nèi)時，直線c與直線〃所成角等于45。+15?；?5。-15。，當(dāng)c與A5所在直線重合時，c與。所成角為60。；當(dāng)c與AC所在直線重合時，c與。所成角為30。.當(dāng)直線c從AC的位置按順時針方向旋轉(zhuǎn)到位置時，。、c所成角從30°增大到90°,再減小到60。,這個過程中必定有一個位置滿足c與。所成角為60°；同理當(dāng)直線c從AC的位置按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到AB位置時，這個過程中也存在一個位置滿足。與“所成角為60°.綜上所述，經(jīng)過點A的直線c共有3條滿足c與。所成角為60。.將滿足條件的直線c平移到使它經(jīng)過空間的點P得到直線/,根據(jù)異面直線所成角的定義，可得直線/與直線。所成角為60。，滿足條件的直線/有3條.二過點尸作與a成45。、與。成60°的直線/可以作3條.故選：B.11.已知數(shù)列｛《,｝滿足：q=l,a2=l,a“=a“T+a“_2（〃N3,〃eN*）,若將數(shù)列｛《,｝的每一項按照下圖方法放進(jìn)格子里，每一小格子的邊長為1,記前〃段圓弧所在正方形的面積之和為5“，第"段圓弧與其所在的正方形所圍成的扇形面積為c”.現(xiàn)有如下命題：Pi-S“+i=+an+]-an；Pl：a\+。3+…+。2〃-1=。2〃-1；Pa?6?|+a2+%+???+ = —1；“4：4（%-%）=%.—?則下列選項為真命題是（）A.—Ap2 B. c.-i/72A—ip3 D.p2Vp4【答案】D【解析】【分析】命題Pl，可以取〃=1、〃=%和〃=2+1去驗證是否成立；命題“2，可以通過對〃進(jìn)行取值驗證；命題「3,可通過疊加的方法來進(jìn)行推導(dǎo)；命題「4,可以通過題意寫出｛%｝的表達(dá)式，然后帶入化簡驗證，判斷完四個命題后，再根據(jù)四個選項的組合進(jìn)行選擇.【詳解】因為q=l,4=1，=。”一1+4-2（〃N3,〃gN*）,P\,S"+]=a"+an+1,an,當(dāng)〃=1時，S2= +a2-at=2,而。|+生=2成立，假設(shè)當(dāng)〃=Z時，S*+]=a；+]+1?a*,那么當(dāng)〃=A+1時，S*+2=S*+i+=心+?*+l+aM-ak=d+2+aM（4+1+.4）=城+2+4+1?%+2，則當(dāng)〃=攵+1時，等式也成立,所以對于任意rigN*?S〃+]=a.]+an+l-an成立，故該命題正確；〃2，由題意可得6=1,。2=1，%=2,%=3,%=5，4=8,。7=13,4+〃3+…+生〃t=生〃-1，當(dāng)〃=2時，4+%=3工％一1，該命題錯誤；〃3，4=4，%=%-4，%=%一〃2,…，a〃=4+1一°〃-1，疊加得：4+。2+。3+…+?！?4+2—%=an+2-1，故該命題正確；P4，由題意可知％=%;，所以49一%)=4一凡(「= 4”小??+??)(=q+1)。酒，故該命題正確；所以選項A,「P|AP2為假命題；選項B,「P|V「P3為假命題；選項C,「P2人「P3為假命題；選項A,p2Vp4為真命題.故選：D.12.已知函數(shù)〃x)=(x4-4x)e",若方程/(x)=a有3個不同的實根/，x-七(不<W<七)，則a—7的取值范圍是()x2-4-27「I (24百八、A.下，。 B.--^-,0Le， VeJC,1第,24八] D,卜|；,24八21【答案】A【解析】【分析】求得/'(刈=12-12卜2d，得到函數(shù)/(x)單調(diào)性進(jìn)而畫出函數(shù)外力的圖象，結(jié)合圖象ae[o,出詈叵，進(jìn)而得到z的取值范圍為卜2jj,0),得到三]=石井，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的額單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)/⑺式/一公)，，可得/'(力=14-12/.=(/一⑵/產(chǎn)，當(dāng)x<-26時，/。)>0,/(X)單調(diào)遞增；當(dāng)-2有<x<24時,r(x)<。，f(x)單調(diào)遞減：當(dāng)X>26時，r(x)>0,f(x)單調(diào)遞增：又由當(dāng)Xf-8時，/(x).0,XT+8時，/(X)—>+00,且/(2/J)/，弁G,/(0)=0./(2^)=(144-96V3)e2^.故可大致畫出/(X)的圖象如下:由圖象可知,。的取值范圍為'144+由圖象可知,。的取值范圍為'144+96行'―^此時對應(yīng)*2取值范圍為(-2百,0),而a/一4故令g(x)=x1*(-2石WxW0),則g，(x)=(x3+3f)e*=(*+3)//,故當(dāng)一2，5wx<-3時，g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)-3<xW0時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；而g(-26)=-^^<0,g(-3)=-5,g(0)=0,a 「27Q故一；的取值范圍是~?,0.x2-4 e)二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填寫在題目的橫線上.)13.已知向量1=(1,2),B=⑶-4),則向量萬在向量5上的投影為【答案】-1【解析】【分析】利用向量投影的意義解答即可._ ahIx3-2x4 .【詳解】解：由己知，向量萬在向量b上的投影為彳7= 、=一］.\b\ V32+42故答案為：T.【點睛】本題考查了平面向量的投影求法：利用數(shù)量積的幾何意義求之即可..若雙曲線C：=-3=l（a>0力>0）的一個焦點/關(guān)于其一條漸近線的對稱點尸在雙曲線上，則雙曲線的離心率為.【答案】亞【解析】【分析】求出焦點關(guān)于一條漸近線的對稱點P的坐標(biāo)，代入雙曲線方程求解作答.【詳解】由雙曲線的對稱性，不妨令尸為右焦點，漸近線為y=^x,即取一做=0,令半焦距為c,則aF（c,O）,TOC\o"1-5"\h\z過戶垂直于漸近線y=2%的直線方程為：y=-y（x-c）,即or+勿=ac,a bbx-ay=0x~c b a2ab由4 /解得（ :，即過尸垂直于漸近線y=-x的直線與該漸近線交于點（幺,竺）,ax-\-by=ac ab a cci y=—、cry2 t （乙U \2 Cl。、2依題意，點P的坐標(biāo)為（1—c,包），而點尸在雙曲線上，則有（二一°廠（一屋）CC 2 71_一ab即（3一￡）2-4（0）2=1,而e=￡,于是得（2-e）2—：=l,整理得：e2=5,而e>l，解得cac a ee"e=y/5>所以雙曲線的離心率為6.故答案為：>/5.函數(shù)/（力=35皿（0*+夕“3>0,闞<5）,已知/（gj=3且對于任意的xeR都有1/1一己+[+/■[,若/（X）在上單調(diào)，則①的最大值為.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)已知條件，利用《看+犬卜/?-｝。和建立起關(guān)于0的等量關(guān)系，然后根據(jù)/（X）在W，上單調(diào)，卡出”的范圍，在前面的等量關(guān)系中選取合適的值即可.【詳解】因為函數(shù)/（x）=3sin（6yx+e）[<y>O,|d<1

所以fTOC\o"1-5"\h\znco 兀，丁、 兀E， /，丁、所以-^-+0=]+E(A￡Z),^=———4-kxit{k}gZ),? ,冗、=—sin-co,(xH? ,冗、=—sin-co,(xH—)+夕，6. 7T所以sin(x—)?co+(p_ 6?rs、i?rs所以sin[cox———+夕J=sin[cox+———cpLL,、t COTl COH _,八所以(OX +0=COX4 (p+12k、7l(k>￡Z)6 6,vcon con.z.)、或COX 卜(p+(OXd (p—攵3兀(攵3GZ),6 6所以夕=——+&兀（幺￡Z）或1CDX=左3兀（23GZ）,6即x=g（左eZ）（舍去），所以尹=?+右兀&eZ）,2a） o因為夕=:一2+3（4wZ）,所以「竺+人兀=竽+公兀（吊wZ）,即0=1+2（匕一玲）,23 23 6（5兀2兀、令.=4-&，所以0=l+2r（feZ）,/（x）在（布，豆J上單調(diào)，7177r所以一工一=一，所以口（12,而3=l+2p￡Z）,122口當(dāng)0=11,（p---,所以/（x）=3sinjllx-g］,函數(shù)在（空，4］不單調(diào)，舍去；6 Io） V3697當(dāng)3=9, +kit（kgZ）,舍去；當(dāng)口=7,（p=T,所以/（無）=3Sm（7.1+工］,函數(shù)在不單調(diào)，舍去；6 16yz \3o97當(dāng)0=5,夕=一二，所以/（無）=3sin（5x—g］,函數(shù)在（空,§＞］單調(diào)，6 \oJ\3o97所以。的最大值為5.故答案為：5.16.在四棱錐S—ABC。中，已知S4L底面ABC。，AB//CD,AB1AD,AB=3,CD=AD=6,M是平面SAO內(nèi)的動點，且滿足NCM0=N3M4.則當(dāng)四棱錐A/—A3CZ5的體積最大時，三棱錐M—ACO外接球的表面積為.【答案】136%【解析】【分析】分析可知絲■=!，然后以點以點A為坐標(biāo)原點，A。、AB.AS所在直線分別為x、V、zMD2軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點M（x,O,z）,求出點M的軌跡方程，可知當(dāng)點M到平面ABC。的距離最大時，四棱錐M-ABCD的體積最大，設(shè)點M（-2,0,4）,設(shè)三棱錐M—AC。的球心為O（a,力,c）,列方程組求出點。的坐標(biāo)，可求得球。的半徑，再利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因為A8〃CO,AB1AD,AB=3,CD=AD=6,則四邊形ABC。為直角梯形，?.?S4_L平面ABC。，ABI平面ABC。，則AB_LSA,\AB±AD^ = .?.AB_L平面S4D,則CD_L平面54）,-.AM>ZWu平面SAD,..AB，AM,CD人DM,則NR4M=/COM=90，故NBMA=4cMDotanNBMA=tanZCMDo組=—o—=-,MAMDMD2則4（0,0,。）、8（0,3,0）、C（6,6,0）、￡>（6,0,0）,設(shè)點M（x,0,z）,MAI, ,由后=5可得2j.+z2=J(x-6『+z2,化簡可得(x+2)-+z2=16,即點M的軌跡為圓，當(dāng)點M到平面ABC。的距離最大時，四棱錐M-ABCD的體積最大,不妨設(shè)點M（-2,0,4）,設(shè)三棱錐M-ACD的球心為O（a,b,c）,網(wǎng)=兩a2+b2+c2=(a+2)2+b2+(c-4)2a=3由《oa|=oc|,可得，ci~+b~+c~=(a-6)+(b-6)+c~,解得，b=3網(wǎng)=西a2+b2+c2=(a-6)2+b2+c2c=4

所以，三棱錐M-ACD外接球球心為0（3,3,4）,球。的半徑為|礪卜后存彳=后，因此，三棱錐M-AC。的外接球的表面積為4萬x|礪『=47x34=136*故答案為：136%.【點睛】方法點睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個頂點距離均相等的點為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點間的距離公式可求得球的半徑.三、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.第17?21題為必考題，每個考生必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答）（-）必考題：共60分.\BC\17.在aABC中，AQ是底邊BC\BC\⑴若邊長|A8|,忸C|,|CA|成等比數(shù)列，求NBAC的正弦值;\AC\\AB\（2）求扁卡品的最大值.【答案】（1）-3（2）V13【解析】【分析】（1）設(shè)|AB|=c,|8q=a,|C4|=b,|A￡）|=〃，根據(jù)等面積法可得;= ,h1再由一=一，即可得到〃=3歷sinNBAC，最后由三邊成等比數(shù)列，即可得到〃=ac，從而得解；a3（2）設(shè)NBAC=6由余弦定理及（1）中的結(jié)論可得/??+/=3"csin6+2bccose，再兩邊同除。c，即\AC\\AB\_.八°八可得到最后利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得:{ +7 ；=3sm。+2cos0,可得到最后利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得:1^1M【小問1詳解】

解：設(shè)= 忸q=a,|CA|=b, =又由于a,h,c成等比數(shù)列，即〃=ac，代入上式，得sin/BAC=g.由面積公式可得=』由面積公式可得=』bcsinN84C.又已知，代入上式可知/=3bcsinZBAC.【小問2詳解】解：設(shè)NB4C=氏在aABC中，由余弦定理可知62+c2=a2+?ccos6,由(1)可知〃2=3bcsin。，代入上式可知人？+/=3bcsine+?ccos。，于是\AC\\AB\_bc于是\AC\\AB\_bc十 網(wǎng)\AC\cb=3sin6+2cose=gsin(e+8)其中tane=g夕為銳角，故當(dāng)sin(e+e)=l時,幽+網(wǎng)(網(wǎng)|AC18.在《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬如圖，在“陽馬”P-A8CO中，側(cè)棱PD_L底面ABC。，且PD=CD.(1)若P3=4,試計算底面ABC。面積的最大值；(2)過棱PC的中點E作EF上PB,交于點F,連OE,DF,8D.若平面OE尸與平面A8CO所成銳二面角的大小為四，試求變的值.3BC【答案】⑴4&⑵旦2【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，可設(shè)PO=CZ)=x,AD=y,表示出底面A8CO的面積，然后利用基本不等式即可完成最值得求解；(2)設(shè)出A￡)=/l,以點。為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面。EF與平面A8CO的法向DC量，然后利用已知條件，求解出4,即可求解出"的值.BC【小問1詳解】設(shè)P￡)=C￡)=x,AD=y,由已知可知2x?+y2=16,而底面a8C￡＞的面積為刈.則由均值不等式，可知Sam。則由均值不等式，可知Sam。1W/12x2+y2=町=萬心.”萬=4也,當(dāng)且僅當(dāng)JIx=y時等號成立.【小問2詳解】如圖，以點。為原點，射線D4,DC,OP分別為x軸，y軸，z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)PD=￡）C=1,AD=A,則0（0,0,0）,P（0,0,l）,8（41,0）,C（0,l,0）,由于￡是PC的中點，則于是麗?瓦:=()，即必>!_￡>￡：.又已知EF工PB，而DECEF=E,所以PB_L平面。￡尸，故麗=(41,一1)是平面。所的一個法向量.而因為P￡>_L平面ABCD,所以加=(0,0,1)是平面ABCD的一個法向量.由已知平面OEF與平面ABCC所成銳二面角的大小為3nBPDP| 1 |1? 「則cos—=.——..，——, =—.解得/=夜，3\bp\-\DP\IVF+2I2 7所以生=1=也.BCA2故當(dāng)平面。EF與平面ABC。所成銳二面角的大小為藝，史=立3BC219.某校高三年級舉行元宵喜樂會，兩人一組猜燈謎，每輪游戲中，每小組兩人各猜燈謎兩次，猜對燈謎的次數(shù)之和不少于3次就可以獲得“最佳拍檔”稱號.甲乙兩人同一小組，甲和乙猜對燈謎的概率分別為4,a.7(1)若《=-，P,=—,求在第一輪游戲中他倆就獲得“最佳拍檔”稱號的概率；34(2)若/]+￡=§,且在前〃輪游戲中甲乙兩人的小組獲得“最佳拍檔”稱號的次數(shù)的期望為16次，則〃的最小值是多少？并求此時的R，△的值.2【答案】(1)j??2(2)27,P,=P2=-【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，即可求得輪游戲中他倆就獲得最佳拍檔稱號的概率；（2）求得第一輪游戲中獲得“最佳拍檔''稱號的概率為尸= -3邛8,根據(jù)題意得到（4、「141 8PyP^PA--P,G,令，= 得到,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)和二項分布的13J|_39」 3性質(zhì)，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，在“第一輪游戲中他倆就獲得最佳拍檔稱號”為事件A,則尸⑷=仲衿）（吟剖吟和;*>圖吼吟］1I【小問2詳解】解：他們在第一輪游戲中獲得“最佳拍檔”稱號的概率為p=（1—6） +c}p-c\p2（1一鳥）+《邛Q=2片々（片+鳥）一3￥耳=546一3斤寫，TOC\o"1-5"\h\z由于owqwl,0<^<1,因此gvqwi,故= ,4 16當(dāng)「=一時，可得4"=一，9 27甲乙兩人小組前〃輪游戲中獲得“最佳拍檔''稱號的次數(shù)16 ”由心=〃P=16,知〃min=下—=27max2所以〃的最小值是27,此時2 2 \ / \20.已知橢圓C:j+《=l（a>b〉O）的左右焦點分別為耳卜6,0）,6（6,0）,且橢圓C上的點M?滿足|“耳|=￡,NM耳瑪=150。.為定值，試求出此定值.【答案】（1）—+/=14-5【解析】【分析】（1）根據(jù)焦點坐標(biāo)和焦點三角形中利用余弦定理建立方程，然后解出方程即可;（2）先聯(lián)立直線和橢圓的方程，然后根據(jù)韋達(dá)定理表示出尸、。兩點的縱坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而表示出1即可求得該定值，同時也對直線/為）軸時檢驗即可\EP\\EQ\【小問1詳解】依題意得：c=G，山段=2。=26由橢圓定義知：段=2a2 2又用=亍，則用=2"亍，在△"耳"中，=150°由余弦定理得：=\MFf+\F.F2f-2|M"H46|cosN孫瑪故所求橢圓方程為：—+/=14'【小問2詳解】設(shè)石（根,0）、P（N，y）、Q（w，%），當(dāng)直線/不為X軸時的方程為x=（y+m

（x=ty+mx2.Z+y=1化簡可得：（/+4）/+25?丁+（加2-4）=。根據(jù)韋達(dá)定理可得：%+%=-1,弘必=3;1+]= ] + [ =].（%+%『-2%必\EPf\EQf~（l+t2）y^（1+。員飛+尸） y汶1 （32-8療）+（2病+8）產(chǎn)一】+『 （w2-4）29/77 1 1 ,當(dāng)且僅當(dāng)32-8M=2>+8，即切=土生"■時，7T3T+7TTp=5（定值）5\EP\\EQ\即在x軸上存在點即在x軸上存在點E使得I+商為定值5,點E坐標(biāo)為[爭,。]或，半J經(jīng)檢驗，當(dāng)直線PQ為x軸時，上面求出的點E也符合題意【點睛】(1)解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去M或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；(2)涉及到直線方程時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.21.已知函數(shù)/(x)=xln龍的圖象曲線C滿足以下兩個特性:①過點尸(U)存在兩條宜線與曲線C相切；②曲線C上有A,B兩點,其橫坐標(biāo)分別為巧，^(0<^<%2<1),且滿足兩點在曲線C上等高.請完成以下兩個問題.(1)求實數(shù)，的取值范圍；/2 2 、(2)若k=5廣+入內(nèi),且左eZ,求A值.【答案】(1)(一》,0)(2)k=2【解析】【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程y-〃lnM=(l+ln〃)(x-M),代入點P(lj),轉(zhuǎn)化為

-1=111“-”在(0,+8)有兩解，利用導(dǎo)數(shù)求得g(x)=lnx-x的單調(diào)性與最值，即可求解;1 2 -X2,得到與+工2>一，構(gòu)造函數(shù)ex2J 1 2 -X2,得到與+工2>一，構(gòu)造函數(shù)ex2J ~e函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為七二 -%,<x2--ex221ex"~21g(x)=2=(0<x<l)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為2<%+七<1，得到%—1 e.廠X；+X； I“一—k=5- ^+%1%2,即可求解.【小問1詳解】解：由題意，函數(shù)/(x)=xlnx,可得尸(x)=l+lnx,設(shè)切點為(”,v),則切線的斜率為/'(")=1+ln”，即有切線的方程為y-Mln〃=(l+ln〃)(x-M),代入點尸(1J),即有,即為"1=ln〃一m在(0,+8)有兩解,又由g(x)=lnx-x,可得g'(x)=--l,當(dāng)x>l時，g'(x)<0,g(x)遞減；當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,g(x)遞增，所以當(dāng)x=l時，g(x)a=g(l)=T,且當(dāng)Xf+oo時，g(x)f-OO：當(dāng)XfO時，g(x)r-oo,即有「一1<一1,解得「<0,故實數(shù)r的取值范圍是(一8,0).【小問2詳解】①解：由/''(x)=l+lnx,當(dāng)0<"時,fr(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)X*時，r(x)>o, 單調(diào)遞增，又由/(1)=0,則有。<玉V,v七vl,ext<1<ex2,4-/2(x)=2xlnx-x2+l,0<x<l,可得〃'(力=2(111%-工+1),令°(力=如x-j+1,則d(x)='-l,

因為0<x<l,所以0(x)>0,°(x)單調(diào)遞增，又由奴1)=0,所以何力<0,即"(x)<0,所以人(力單調(diào)遞減,所以〃(x)〈〃⑴=。，即Zdnx-V+ivO,所以不等式lnx>所以不等式lnx>則為則為Injq=%1ln(eX|)-X)>x,?—ex.1所以％；ex,21所以％；ex,2整理得Xj4-X2>—,一e?1.TOC\o"1-5"\h\zInx 1 Inx構(gòu)造函數(shù)g(x)=--(O<x<l),則g，(x