新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：解析幾何

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：解析幾何§8.1直線的方程【考試要求1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素..理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式..根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式).【知識梳理】.直線的傾斜角(1)定義：當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們以x軸作為基準(zhǔn)，”軸正向與直線/向上的方向之間所成的角。叫做直線)的傾斜角.(2)范圍：直線的傾斜角a的取值范圍為0°W..直線的斜率(1)定義：把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母A表示，即仁tan.(2)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式V-)-V\如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)％),Pz〈Xz,㈤(xiWxz),其斜率4=Xi—Xi.直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜式y(tǒng)-—=4（x―照）不含直線X=Ab斜截式y(tǒng)=kx+b不含垂直于X軸的直線兩點(diǎn)式— yW度）yi-y\xi—x\不含直線*=汨和直線y=y截距式-+t=1ab不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般式4x+2/+C=0（>+C#0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【微思考】1.直線的傾斜角越大，斜率越大對嗎？提示不對.設(shè)直線的傾斜角為。，斜率為a的大小0°0°<4<90°90°90°<^<180°a的范圍k=0k>0不存在K0A■的增減性隨。的增大而增大隨。的增大而增大2.“截距”與“距離”有何區(qū)別？當(dāng)截距相等時(shí)應(yīng)注意什么？提示“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.【基礎(chǔ)自測】題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”）（1）根據(jù)直線的傾斜角的大小不能確定直線的位置.（V）（2）若直線的斜率為tan。，則其傾斜角為a.（X）（3）斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.（X）（4）經(jīng)過定點(diǎn)4（0,6）的直線都可以用方程尸Ax+6表示.（X）題組二教材改編.若過點(diǎn)〃（一2,血，4）的直線的斜率等于1,則〃的值為（）A.1 B.4C.1或3 D.1或4答案A解析由題意得解得〃=1.3.已知直線斜率的絕對值等于1,則直線的傾斜角為.答案了或丁解析由|川=|tan。|=1知tana=±L??0二了或丁.已知三點(diǎn)力（-3,-1）,6（0,2）,。（卬,4）在同一直線上，則實(shí)數(shù)0的值為.答案22 1 42解析因?yàn)?B,C三點(diǎn)在同一直線上，所以服=做，即^ 「=-T,故加=2.0——3 m—0題組三易錯自糾.（多選）下列說法正確的是（）A.有的直線斜率不存在

B.若直線/的傾斜角為a,且aW90。，則它的斜率a=tan。,3nC.若直線1的斜率為1,則它的傾斜角為丁D.截距可以為負(fù)值答案ABD6.過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為—答案3x—2y=0或x+y—5=0解析當(dāng)截距為0時(shí)，直線方程為3不一2y=0；XV當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為-+上=1,aa2q則一+士=1,解得a=5.所以直線方程為x+y—5=0.aa題型一直線的傾斜角與斜率例1例1(D已知兩點(diǎn)/(一1,2),央必,3),且1,小一1,則直線U的傾斜角4的取值范圍是()取值范圍是()「冗冗、(冗2冗］ 「Ji2negTjuU,vj D-［pV.答案DJI解析①當(dāng)卬=—1時(shí)，。=萬；②當(dāng)加二一1時(shí)，Vk~J-(―00,一小］U乎，+°°UIIL J"nit、(n2n-???。丘［干tJuItv_-"n2n-綜合①②知直線月6的傾斜角a的取值范圍是至，—.(2)已知點(diǎn)/(I,3),夕(一2,-1).若直線/：片=雇了-2)+1與線段48相交，則立的取值范圍是()A.B.k^-2A.D.

答案D解析直線/：y=A(x—2)+l經(jīng)過定點(diǎn)0(2,1),3-1 -1-11.6=E=-2,"又直線/：尸4(l2)+1與線段用相交,【引申探究】本例(2)直線/改為若/與線段相交，則A的取值范圍是案答案答解析直線/過定點(diǎn)尸(0,0),品=3,k/v=~,.,.杉3或右看思維升華(1)斜率的兩種求法：定義法、斜率公式法.(2)傾斜角和斜率范圍求法:①圖形觀察(數(shù)形結(jié)合)；②充分利用函數(shù)〃=tana的單調(diào)性.跟蹤訓(xùn)練1(1)若圖中直線人,12,4的斜率分別為左，鼠,則()A.kKkKks B.kaVkKkzC.k〈k<k\ D.k〈k<k2答案D解析因?yàn)橹本€12,A的傾斜角為銳角，且直線A的傾斜角大于直線A的傾斜角，所以0〈人<左.直線人的傾斜角為鈍角，斜率4〈0,所以尢〈人<左.(2)直線/過點(diǎn)P(l,0),且與以/(2,D,BS,小)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線)的斜率的取值范圍是.答案(-8,一小]U[1,+°°)解析如圖所示，當(dāng)直線/過點(diǎn)8時(shí)，左=坐”=一0—1 V當(dāng)直線?/過點(diǎn)力時(shí)，~N—1要使直線/與線段46有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是(-8,—+8).題型二求直線的方程.經(jīng)過點(diǎn)。(2,-3),且傾斜角為45°的直線方程為( )A.x+y+l=O B.x+y—1=0C.%-y+5=0 D.x~y~5=0答案D解析傾斜角為45°的直線的斜率為tan45°=1,又該直線經(jīng)過點(diǎn)。(2,-3),所以用點(diǎn)斜式求得直線的方程為y+3=x—2,即x—y—5=0.2.已知點(diǎn)"是直線/：2x-y-4=0與*軸的交點(diǎn),將直線/繞點(diǎn)"按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°,得到的直線方程是()A.x+y—3=0 B.x-3/-2=0C.3x-y+6=0 D.3*+y—6=0答案D解析設(shè)直線/的傾斜角為a,則tana=k=2,直線J繞點(diǎn)”按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45。，所得直線的斜率k1=tan(a+務(wù)：,？，=一3,又點(diǎn)“(2,0),所以尸一3(x-2),即3x+y-6=0.3.經(jīng)過兩條直線Z：x+y=2,72：2%—y=l的交點(diǎn)，且直線的一個(gè)方向向量v=(—3,2)的直線方程為.答案2x+3y-5=0[x+y=2,解析聯(lián)立? 解得x=l,y=l.\2x—y=\,.?.直線過點(diǎn)(1,1),?.?直線的方向向量y=(—3,2),2直線的斜率A-=-j.2則直線的方程為y-l=-3(A-l),即2x+3y-5=0.4.過點(diǎn)⑵1)且在x軸上截距與在y軸上截距之和為6的直線方程為.答案x+y—3=0或x+2y-4=0XV解析由題意可設(shè)直線方程為-+《=1.ab'a+6=6,則421 解得a=b=3,或a=4,b=2.-+t=1.ab故所求直線方程為x+y—3=0或x+2y—4=0.思維升華(1)求直線方程一般有以下兩種方法：①直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式，然后直接寫出其方程.②待定系數(shù)法：先由直線滿足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)，即得所求直線方程.(2)在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件，特別是對于點(diǎn)斜式、截距式方程，使用時(shí)要注意分類討論思想的運(yùn)用.題型三直線方程的綜合應(yīng)用命題點(diǎn)1直線過定點(diǎn)問題例2已知4GR,寫出以下動直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo)：(1)若直線方程為尸m+3,則直線過定點(diǎn)；⑵若直線方程為y=kx+3k,則直線過定點(diǎn)；(3)若直線方程為x=Q+3,則直線過定點(diǎn).答案(1)(0,3)(2)(-3,0)(3)(3,0)解析(1)當(dāng)x=0時(shí)，y=3,所以直線過定點(diǎn)(0,3).(2)直線方程可化為y=〃(x+3),故直線過定點(diǎn)(一3,0).⑶當(dāng)尸0時(shí)，x=3,所以直線過定點(diǎn)(3,0).命題點(diǎn)2與直線有關(guān)的多邊形面積的最值例3已知直線/過點(diǎn)”(2,1),且分別與x軸的正半軸，y軸的正半軸交于4,8兩點(diǎn),。為原點(diǎn)，當(dāng)△/如面積最小時(shí)，求直線/的方程.解方法一設(shè)直線/的方程為y-l=〃(x—2),則可得彳失0),8(0,1—2公.(2k-1—「>0,???與x軸，y軸正半軸分別交于力，8兩點(diǎn)，卜 =A<0.于是l-2A>0

?I0A\?I陽8?平?(L2A)=y4,斗+2^㈢.-4k4.當(dāng)且僅當(dāng)一］=-4h即4=-g時(shí)，△/仍面積有最小值為4,此時(shí)，直線1的方程為y—1=-T(x—2),即x+2y—4=0.方法二設(shè)所求直線’的方程為「+齊l(a＞。，6〉。),21則w+尸.21 /21 211 1又,.?一+722、/—;=蕾力24,當(dāng)且僅當(dāng)一=7=不即a=4,力=2時(shí)，△力如面積S=;yab有ab\lab2 ab2 2最小值為4.此時(shí)，直線/的方程是:+5=1.【引申探究】本例中，當(dāng)I也?I,㈣取得最小值時(shí)，求直線，的方程.2k—\ \解方法一由本例知—p-,0I,4(0,1-2A)(人0).解方法一由本例知當(dāng)且僅當(dāng)一代一:，當(dāng)且僅當(dāng)一代一:，即"=一1時(shí)取等號.24.此時(shí)直線1的方程為x+y—3=0.21方法二由本例知水a(chǎn),。)，8(0,6),a〉。,b〉0,~+-=1.：.MA\?\MB\=\MA\.初=一加?旌一(a-2,-1)?(-2,6—1)=2(a-2)+6—l=2a+6-5=(2@+6)(2+;)-5=2仁+力24,yab)\ab)當(dāng)且僅當(dāng)a=6=3時(shí)取等號，此時(shí)直線/的方程為x+y-3=0.思維升華(1)直線過定點(diǎn)問題可以利用直線點(diǎn)斜式方程的結(jié)構(gòu)特征，對照得到定點(diǎn)坐標(biāo).(2)求解與直線方程有關(guān)的面積問題，應(yīng)根據(jù)直線方程求解相應(yīng)坐標(biāo)或者相關(guān)長度，進(jìn)而求

得多邊形面積.(3)求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.跟蹤訓(xùn)練2已知直線/：〃x-y+l+2A=0(〃GR).(1)證明：直線/過定點(diǎn)；(2)若直線不經(jīng)過第四象限，求才的取值范圍；(3)若直線/交x軸負(fù)半軸于交y軸正半軸于反△/如的面積為S(。為坐標(biāo)原點(diǎn))，求S的最小值并求此時(shí)直線1的方程.(1)證明直線/的方程可化為4(x+2)+(l—y)=0,令.x+2=0,1—y=0,解得令.x+2=0,1—y=0,解得x=—2y=l....無論A取何值，直線/總經(jīng)過定點(diǎn)(一2,1).(2)解由方程知，當(dāng)〃W0時(shí)直線在x軸上的截距為一一二，在y軸上的截距為1+2A,KLl±^<_2要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有J k''.1+2杉1,解得4>0;當(dāng)a=0時(shí)，直線為y=l,符合題意，故4的取值范圍是[0,+8).(3)解由題意可知再由/的方程，皿(1+2A八，，、得A 1-?0I,8(0,1+2A).1+2(八———<0,依題意得j k 解得qo.、1+2發(fā)>0,V5=1?OA?|畫=]? ?|l+2Ar|=1?―—=1[4〃+：+4)2Jx(2X2+4)=4,“=”成立的條件是k>0且4k=：,即A=1,5*in=4>此時(shí)直線1的方程為x—2y+4=0.課時(shí)精練【基礎(chǔ)保分練】

.傾斜角為120°且在y軸上的截距為一2的直線方程為()A.y=—，5x+2 B.y=—2C.y=-\[ix+2 D.y=y{ix-2答案B解析斜率為tan120°=—/,利用斜截式直接寫出方程，即曠=一4不一2..若平面內(nèi)三點(diǎn)/(I,-a),8(2,a2),<7(3,3)共線，則a等于()A.1±派或。 B.2步或0c.苧 件或。答案A解析由題意知k.AB=kACf即"i~=~Qf，Z—13—1即a(才一2a—1)=0,解得a=0或a=\±y[2..若過點(diǎn)P(1一國1+切和0(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(—2,1) B.(—1,2)C.(—8,o) D.(一°°?—2)U(1,+°°)答案A解析由題意知;<0,BP^7-<0,解得一2<水1.6-l-ra2十，4.若直線尸ax+c經(jīng)過第一、二、三象限，則有( )A.a>0,c>0 B.a>0,c<0C.a<0,c>0 D.a<0,c<05.直線2xcosa—y—3=5.直線2xcosa—y—3=0(〃W,nnA.—,— B_6 3_jinC.卬yj D答案B解析直線2xcosa-y-3=0的斜身-JIJI-1 1因?yàn)閒fey,—,所以］＜cosa4部的傾斜角的取值范圍是()nn,|_413_n2兀?Ltv.1A=2cosa,也2，解析:?直線尸ax+c經(jīng)過第一、二、三象限，直線的斜率a>0,在y軸上的截距c>0.因此4=2cosaG[l,a/3].設(shè)直線的傾斜角為"，則有tanOG[1,].「冗n~又。G[0,n）,所以夕e了，~.I"nn"即傾斜角的取值范圍是―'—.6.（多選）在下列四個(gè)命題中，錯誤的有（）A.坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角和斜率B.直線傾斜角的取值范圍是[0,n）C.若一條直線的斜率為tana,則此直線的傾斜角為aD.若一條直線的傾斜角為a,則此直線的斜率為tana答案ACD解析對于A,當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的傾斜角為90°,斜率不存在，，A錯誤；對于B,直線傾斜角的取值范圍是[0,"）,...B正確；對于C,一條直線的斜率為tana,此直線的傾斜角不一定為。，...C錯誤；對于D,一條直線的傾斜角為。時(shí)，它的斜率為tan。或不存在，D錯誤.故選ACD.7.（多選）若直線過點(diǎn)加1,2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等，則直線/的方程為（ ）A.x—y+1=0 B.x+y—3=0C.2x-y=Q D.x—y—1=0答案ABC20解析當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，斜率為4=丁不=2,所求的直線方程為y=2x,即2x—y=0；當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求的直線方程為x土尸上把點(diǎn)加1,2）代入可得1-2=〃，或1+2=%,求得女=-1,或4=3,故所求的直線方程為x—y+1=0,或x+y—3=0.綜上知，所求的直線方程為2x—y=0,x—y+l=0,或x+y—3=0.8.（多選）垂直于直線34—4/-7=0,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線在x軸上的截距是（）A.4 B.-4C.3 D.-3答案CD解析設(shè)直線方程是4x+3y+〃=0,分別令戶0和尸0,得直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別是一M一，,所以6=|x|—^|X'所以占土⑵則直線在x軸上的截距為3或一3.9.直線/過(一1,-1),(2,5)兩點(diǎn)，點(diǎn)(1011,6)在/上，則。的值為.答案2023V——1 X——1解析直線/的方程為^ —.□— —1Z一令x=lOil,得尸2023,：.b=2023.10.設(shè)直線1的方程為2x+(A—3)y-2A+6=0(M3),若直線1的斜率為-1,則k=；若直線/在x軸、y軸上的截距之和等于0,則k=.答案512 2解析因?yàn)橹本€/的斜率存在，所以直線/的方程可化為y=-u*+2,由題意得一廠二k—3 k-3=-1,解得〃=5.直線/的方程可化為1\+9=1,由題意得★—3+2=0,解得才=1.

K—OZ.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)/(一5,0),8(3,-3),f(0,2),則優(yōu)邊上中線所在的直線方程為.答案x+13y+5=0解析正的中點(diǎn)坐標(biāo)為修，一目，邊上中線所在直線方程為七&=尸，即x+13y—2—0 2+5+5=0..若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為.答案-3解析方法一設(shè)正方形一邊所在直線的傾斜角為a,其斜率〃=tana.則其中一條對角線所在直線的傾斜角為。+彳，其斜率為tan(a+l)JIz冗、 tana+tan— 。依題意知：tan|^+-1=2,即 =7^7 =2,Atana=~,\ 47 n1—tana 31-tana?tan~4正方形一邊的斜率A=$,可知相鄰一邊所在直線的斜率為-3.五方法二正方形兩條相鄰邊與對角線的夾角為丁,設(shè)正方形的邊所在直線的斜率為k,n k—2 1則由夾角公式得tanq~=或”=-3.【技能提分練】13.已知產(chǎn)(-3,2),。(3,4)及直線ax+y+3=0.若沿元的方向延長線段內(nèi)與直線有交點(diǎn)(不含。點(diǎn))，則a的取值范圍是.答案VT)解析直線/：ax+y+3=0是過點(diǎn)4(0,—3)的直線系，斜率為參變數(shù)一8易知，0,QA,…_ ， 1 7 一， ，/的斜率分別為：kg=],檢=]，％/=-a.若/與尸0延長線相交，由圖可知〃0<〃/<檢，解得1 Q x14.已知數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式為4=——匚「(〃￡”)，其前〃項(xiàng)和S=/,則直線一7十n 10 n~\~12=1與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為.答案45解析由at,= 匕一可知T7，n〃+1 nn-r1所以S=(1—0+11—9+11—()+…+([露)=1一巖,1 9又知S尸大，所以1—工7=77，所以〃=9.〃+110XV所以直線方程為行+；=1,且與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為(10,0)和(0,9),所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為gx10X9=45.【拓展沖刺練】15.（多選）已知直線xsina+ycosa+1=0（aeR）,則下列命題正確的是（ ）A,直線的傾斜角是“一。B.無論a如何變化，直線不過原點(diǎn)C.直線的斜率一定存在D.當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1答案BD解析根據(jù)直線傾斜角的范圍為［0,n）,而n-aGR,所以A不正確：當(dāng)x=y=0時(shí)，xsina+_ycos。+1=1#0,所以直線必不過原點(diǎn)，B正確；當(dāng)。=方時(shí)，直線斜率不存在，C不正確；當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為' 77* T7=；q1,所以D正確.—sina—cosa\sin2o\16.如圖，射線以，如分別與x軸正半軸成45°和30°角，過點(diǎn)尸（1,0）作直線/夕分別交0A,仍于A,6兩點(diǎn)，當(dāng)46的中點(diǎn)C恰好落在直線上時(shí)，則直線45的方程是.W0〉、/尸（1,0）.答案（3+，§）x—2y—3—4=0解析由題意可得檢=tan45°=1,A^tandSO0-30°）=一半，所以直線Jm：尸x,Iobzy=—'~x.設(shè)力（加，/〃），8（一/〃，ri）,所以小的中點(diǎn)佇匝，吟），由點(diǎn)C在直線尸/x上，且4只6三點(diǎn)共線得ni-Vn_1勿一、/3z?~2^=2? 2 ，、m—0 ?-yJ3n-1=n-0 , m—\解得加=/,所以4(4,，§).又夕(1,0),所以服=4祈］=2所以Zw：y=^^2(x—D,即直線熊的方程為(3+小)%-2/-3-^3=0.§8.2兩條直線的位置關(guān)系r考試要求」.能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直..能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)..探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.知識梳理一、兩條直線的平行與垂直.兩條直線平行(D對于兩條不重合的直線九12,若其斜率分別為左，左，則有1\〃1—.(2)當(dāng)直線/”人不重合且斜率都不存在時(shí)，h//h..兩條直線垂直(1)如果兩條直線/“A的斜率存在，設(shè)為4,kz,則有?兒=-1.(2)當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條的斜率為0時(shí)，7,±72.二、兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)已知兩條直線-Zu4x+i3；y+G=0,72：4x+氏y+C=0相交，則交點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組4x+_5j+G=0,二—“a的解.4x+氏y+C=0三、三種距離公式.兩點(diǎn)間的距離公式(1)條件：點(diǎn)4(汨，3)，P2(X2,72).(2)結(jié)論：II=yjX2—x\M-y2-y\

⑶特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)0(0,0)的距離|OP\=yjx+y.\Ax.+By.+C\7#+、.點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P(*o,㈤到直線7：Ax+By+C=G\Ax.+By.+C\7#+、\C\-Cz\.兩條平行直線間的距離\C\-Cz\兩條平行直線h：4v+砂+G=0與72：Ax+By+Ci=Q之間的距離d=-.已知直線/1：4x+5y+G=0,；2：4x+晟y+G=0(4,笈不同時(shí)為0；4,區(qū)不同時(shí)為0),則的充要條件是什么，4_L/2的充要條件是什么？提示 k0A\氏=人氏,且5GWAG(或4GW4G)；/_L/2=4A+8^=0..點(diǎn)、P(xo,%)關(guān)于點(diǎn)力(a,?的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)是什么？提示(2a-xo,2b—yo)..點(diǎn)尸(小，乂)，0(尼，㈤關(guān)于直線尸履+6(〃#0)對稱，列出R。坐標(biāo)的關(guān)系式.匕一，X2-X\?k=-lf匕一，X2-X\?k=-lfX\+X22卜b.題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉埃被颉癤”)(1)當(dāng)直線▲和A斜率都存在時(shí)，一定有無=左=八〃，2.(X)(2)已知直線Z：4x+3y+G=0,/2：4A?+旦y+G=0(4,R,G,4,民，G為常數(shù))，若直線則44+6區(qū)=0.(V)(3)點(diǎn)尸((3)點(diǎn)尸(粉㈤到直線尸履+8的距離為Ikx^+b

41+〃2(4)直線外一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的最小值就是點(diǎn)到直線的距離.(V)題組二教材改編.已知P(—2,勿)，0(0,4),且直線掰垂直于直線x+y+1=0,則勿=.答案1解析由題意知加一解析由題意知加一4—2~m所以777—4=-2一勿,所以277=1.

y=2x,x+y=3,.若三條直線y=2x,x+y=3,勿x+2y+5=0相交于同一點(diǎn)，則小的值為—答案一9y=2x,x+y=3,解析由所以點(diǎn)(1,2)滿足方程以x+2y+5=0,即0X1+2X2+5=O,所以勿=一9..兩平行直線A：2x+3y—8=0,7z：2x+3y—10=0之間的距離為答案小口殺13解析因?yàn)椴?h,解析因?yàn)椴?h,所以由兩條平行直線間的距離公式得d=-8--10 2^/13e+3,=13'題組三易錯自糾.直線2x+(勿+l)y+4=0與直線根+3y—2=0平行，則勿等于( )A.2 B.-3C.2或一3 D.一2或一3答案C解析直線2x+(/l)y+4=。與直線“+3-2=。平行，則有%*#%(叱。)，故m=2或一3.故選C.6.(多選)等腰直角三角形4比的直角頂點(diǎn)為以3,3),若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,4),則點(diǎn)6的坐標(biāo)可能是()A.(2,0) B.(0,2)C.(4,6) D.(6,4)答案AC解析設(shè)8(x,y),根據(jù)題意可得kw?knc=-1,\BC\解析設(shè)8(x,y),根據(jù)題意可得’3—4.y-3_即《3-0%-3LN~x-3~y—3_5=7~0—3~~~4—3~5,\x=2, [x=4,解得 或 所以6(2,0)或6(4,6).SO 〔y=6,故選AC.題型一兩條直線的平行與垂直1.已知兩條直線4：（a—l）x+2y+l=0,72：x+ay+3=0平行，則a等于（ ）A.-1 B.2C.0或一2 D.—1或2答案D解析方法一,??直線?。╝—l）x+2y+l=0的斜率存在.或a=2,又兩條直線在y軸上的截距不相等.：.a=~\或a=2時(shí)滿足兩條直線平行.方法二由 -451=0得，（a—1）a—1X2=0,解得a=-1或a=2.由4G—4GW0,得（a—1）X3—1X1^0.所以a=—1或a=2.2.若直線ax+4y—2=0與直線2x-5y+b=0垂直，垂足為（1,c）,則8+6+0等于（ ）A.-2B.-4C.-6D.-8答案B解析由已知得卜，X,=-1,a+4c—2=0,2—5c+Z?=0,解得a=10,c=—2,b=—12.；?a+6+c=-4.3.經(jīng)過拋物線〃=2x的焦點(diǎn)且平行于直線3x-2y+5=0的直線1的方程是（ ）A.6x—4y—3=0 B.3x—2y—3=0C.2%+3y-2=0 D.2x+3p-l=0答案A解析因?yàn)閽佄锞€4=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為t，0）,直線3x-2y+5=0的斜率為去所以所求直線/的方程為尸米得），化為一般式，得6x—4y—3=0.4.己知三條直線2x—3y+l=0,4x+3y+5=0,加x—y—1=0不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)力的取值集合為（）[421 [424]人廠13） 3131[4 21 [4 221C?"3 D-r?"3'3答案D解析由題意得直線mx-y-1=Q與2x-3y+l=0,4x+3y+5=0平行，或者直線mx-y-

TOC\o"1-5"\h\z1=0過2x-3y+l=o與4x+3y+5=0的交點(diǎn).當(dāng)直線mx-y-\=G與2x-3y+l=0,4x2 4+3y+5=0分別平行時(shí)，勿=§或一§；當(dāng)直線勿x—y—1=0過2x—3y+l=0與4x+3y+5=2 f4 2210的交點(diǎn)時(shí)，勿=一（所以實(shí)數(shù)勿的取值集合為J一個(gè)一鼻，鼻.J IO OOI思維升華（1）當(dāng)含參數(shù)的直線方程為一般式時(shí)，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時(shí)還要注意X,y的系數(shù)不能同時(shí)為零這一隱含條件.（2）在判斷兩直線的平行、垂直時(shí)，也可直接利用直線方程的系數(shù)間的關(guān)系得出結(jié)論.題型二兩直線的交點(diǎn)與距離問題.已知直線尸M+2A+1與直線廠一/x+2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍解析7=履+2什1,由方程組1 1,解析7=--%+2,2-4A*=24+2-4A*=24+16A-+1y=2A+r（若2A?+1=0,即衣=一亍則兩直線平行）交點(diǎn)坐標(biāo)為k6A+I交點(diǎn)坐標(biāo)為k6A+I7'2A-+1又???交點(diǎn)位于第一象限，(2-4k

2A+1>0,.求經(jīng)過直線Z：3x+2y-l=0和A：5x+2y+l=0的交點(diǎn)，且垂直于直線&3x~5y+6=0的直線1的方程為.答案5x+3y-l=0

解析先解方程組3x+2y—解析先解方程組3x+2y—1=0,

5x+2y+l=0,得A的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,2),再由4的斜率為、求出/的斜率為一*0 J于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出/:5y-2=--(x+l),即5x+3y—1=0..已知點(diǎn)尸(4,a)到直線4x—3y—l=0的距離不大于3,則a的取值范圍是.答案[0,10]解析由題意得，點(diǎn)夕到直線的距離為4義4—；*〃-1=0 D15—3al又J-~~~L《3,即|15-3a|W15,解得0《a<10,5所以a的取值范圍是[0,10]..若巴。分別為直線3x+4y-12=0與6x+8y+5=0上任意一點(diǎn)，貝修/列的最小值為29答案W解析因?yàn)樵诟氐桑詢芍本€平行，將直線3x+4y-12=0化為6>+8y-24=0,由1—24—5129題意可知IPQ\的最小值為這兩條平行直線間的距離，即U=/所以囿的最小值yjb題意可知IPQ\的最小值為這兩條平行直線間的距離，即、,29為百思維升華(1)求過兩直線交點(diǎn)的直線方程的方法先求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.(2)利用距離公式應(yīng)注意：①點(diǎn)P(施，㈤到直線x=a的距離d=|劉一a|,到直線y=Z)的距離—引；②兩平行線間的距離公式要把兩直線方程中x,y的系數(shù)化為相等.題型三對稱問題命題點(diǎn)1中心對稱例1(1)直線a—2y-3=0關(guān)于定點(diǎn)”(一2,1)對稱的直線方程是.答案x-2y+ll=0解析設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x,y),則關(guān)于M-2,1)的對稱點(diǎn)(一4一%2-y)在已知直線上,

.?.所求直線方程為(一4一x)-2(2—y)—3=0,即x-2y+ll=0.⑵過點(diǎn)P(0,D作直線八使它被直線71：2x+y-8=0和跖x—3什10=0截得的線段被點(diǎn)尸平分，則直線)的方程為.答案x+4y—4=0解析設(shè)［與1的交點(diǎn)為4(a,8-2a),則由題意知，點(diǎn)/關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)以一a,2a—6)在4上，代入A的方程得一a—3(2a—6)+10=0,解得a=4,即點(diǎn)力(4,0)在直線/上，所以直線1的方程為x+4y—4—0,命題點(diǎn)2軸對稱例2(1)己知入射光線經(jīng)過點(diǎn)M-3,4),被直線7：*一了+3=0反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)M2,6),則反射光線所在直線的方程為.答案6x—y—6=0解析設(shè)點(diǎn)以一3,4)關(guān)于直線/：x—y+3=0的對稱點(diǎn)為"(a,6),則反射光線所在直線過點(diǎn)獷,所以b-4a——3所以b-4a——3T=f-3+a6+4卜3=0,解得a=l,b=0.又反射光線經(jīng)過點(diǎn)M2,6),所以所求直線的方程為㈡=口.即6x—y—6=0.6—02—1(2)直線2x—y+3=0關(guān)于直線x—y+2=0對稱的直線方程是答案x-2y+3=0解析設(shè)所求直線上任意一點(diǎn)F(x,力，則P關(guān)于x—y+2—O的對稱點(diǎn)為P(J5).%),x+xo由，x+xo由，2生+2=0,丁點(diǎn)戶(照，㈤在直線2x—y+3=0上，A2(yr一2)—(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.思維升華(1)解決對稱問題的思路是利用待定系數(shù)法將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系求解.(2)幾個(gè)常用結(jié)論①點(diǎn)(x,力關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為(力一。，關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(一拓y).②點(diǎn)(人力關(guān)于直線尸x的對稱點(diǎn)為3,x),關(guān)于直線了=一天的對稱點(diǎn)為(一六一x).③點(diǎn)(x,y)關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)為(2a-x,力，關(guān)于直線尸6的對稱點(diǎn)為(x,26一引.跟蹤訓(xùn)練1(1)光線沿著直線尸一3x+6射到直線x+y=O上，經(jīng)反射后沿著直線尸就+2射出，則有()A.a=g,6=6 B.a=3,Z?=~3 bC.a=3,A=—~ D.a=-J,Z?=—66 3答案D解析由題意，直線尸一3x+6與直線尸ax+2關(guān)于直線尸一x對稱，所以直線尸ax+2上的點(diǎn)(0,2)關(guān)于直線y=~x的對稱點(diǎn)(-2,0)在直線尸一3x+b上，所以(-3)X(—2)+6=0,所以6=-6,所以直線y=-3x—6上的點(diǎn)(0,—6)關(guān)于直線y=-x的對稱點(diǎn)(6,0)在直線尸ax+2上,所以6a+2=0,所以a=-(2)已知直線/：y=3x+3,則點(diǎn)。(4,5)關(guān)于/的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為—答案(一2,7)解析設(shè)點(diǎn)〃關(guān)于直線/的對稱點(diǎn)為P'(/，/),(x‘+4v'+5、則線段即的中點(diǎn)4—^―，七-二)在直線/上，且直線上垂直于直線1,二點(diǎn)尸'的坐標(biāo)為(-2,7).題型四直線系方程的應(yīng)用命題點(diǎn)1平行直線系、垂直直線系例3(1)與直線3*+4y+1=0平行且過點(diǎn)(1,2)的直線/的方程為.答案3x+4y-ll=0解析由題意，可設(shè)所求直線方程為3x+4y+c=0(c#l),又因?yàn)橹本€/過點(diǎn)(1,2),所以3Xl+4X2+c=0,解得c=-ll.因此，所求直線方程為3x+4y—ll=0.(2)經(jīng)過點(diǎn)加2,1),且與直線2x+y-10=0垂直的直線/的方程為答案x-2y=0解析因?yàn)樗笾本€與直線2x+y-10=0垂直，所以設(shè)該直線方程為x—2y+c=0,又直線過點(diǎn)4(2,1),所以有2—2Xl+c=0,解得c=0,即所求直線方程為X-2尸0.命題點(diǎn)2過兩直線交點(diǎn)的直線系例4已知兩條直線71：x-2y+4=0和A：x+y-2=0的交點(diǎn)為P,求過點(diǎn)〃且與直線h：3x—4y+5=0垂直的直線1的方程.解方法一解4與4組成的方程組得到交點(diǎn)A0,2),因?yàn)樽?彳，所以直線1的斜率k=4 4一不，方程為y—2=一鼻笛即4x+3y—6=0.方法二設(shè)所求直線，的方程為4x+3y+c=0,由法一可知P(0,2),將其代入方程，得c=-6,所以直線/的方程為4*+3y-6=0.方法三設(shè)所求直線)的方程為x-2y+4+4(x+y-2)=0,即(1+4)x+(4—2)產(chǎn)+4—24=0,因?yàn)橹本€/與A垂直，所以3(1+乂)-4(4-2)=0,所以A=U,所以直線/的方程為4x+3y-6=0.思維升華幾種常見的直線系方程⑴與直線Ax+Sy+C=0平行的直線系方程是｛*+的+卬=0(勿CR且它。.⑵與直線Ax+By+C=0垂直的直線系方程是Bx-Ay+n=0(n&R).(3)過直線71：4x+8y+6=0與12：A2x+&y+G=0的交點(diǎn)的直線系方程為4x+5y+G+4(42x+&k+G)=0(4CR),但不包括7s，跟蹤訓(xùn)練2求過直線2x+7y-4=0與7x-21y-l=0的交點(diǎn)，且和力(一3,1),6(5,7)等距離的直線方程.解設(shè)所求直線方程為2x+7y-4+4(7*—217-1)=0,即(2+74)>+(7—21C)y+(—4—4)=0,由點(diǎn)4(-3,1),6(5,7)到所求直線距離相等，可得2+7AX-3+7-21AXl-4~/l|72+7-2+7—214zTOC\o"1-5"\h\z2+74X5+7-2MX7~4~A\y]2+7A2+7-2142 ，整理可得|43八+3|=|113」-55|,90 1解得4=米或4=可，35 3所以所求的直線方程為21x—28y-13=0或x=l.課時(shí)精練C基礎(chǔ)保分練TOC\o"1-5"\h\z1.如果直線人的斜率為&；1±72,則直線4的斜率為（ ）1 1 1—,—A.-B.aC.—D.—或不存在a a a答案D解析設(shè)直線人4的斜率分別是尢，人，當(dāng)aHO時(shí)，由 得%?左=d?〃2=—1,a當(dāng)a=O時(shí)，/與x軸平行或重合，則4與y軸平行或重合，???直線4的斜率不存在.故直線人的斜率為-1或不存在.a2.設(shè)aGR,則“a=l”是“直線7,：ax+2y~l=O與直線72：x+（a+l）y+4=0平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A解析若兩直線平行，則a（a+l）=2,即J+a-2=0,，a=l或-2,故a=l是兩直線平行的充分不必要條件..已知直線/過點(diǎn)（0,7）,且與直線尸一4*+2平行，則直線）的方程為（）A.尸一4x—7 B.y=4x~7C.產(chǎn)=4x+7 D.尸一4x+7答案D解析過點(diǎn)（0,7）且與直線y=-4x+2平行的直線方程為y-7=-4x,即直線1的方程為y=-4x+7,故選D..若直線加x+4y—2=0與直線2x—5y+〃=0垂直，垂足為（1,0），則實(shí)數(shù)〃的值為（ ）A.-12B.-2C.0D.10答案A解析由2卬-20=0,得〃=10.

由垂足（1,0）在直線加r+4y—2=0上，得"=—2,，垂足坐標(biāo)為（1,-2）.又垂足在直線2x-5y+〃=0上，得〃=-12..若直線Z：x+ay+6=0與人：（a—2）x+3y+2a=0平行，則與人間的距離為（ ）A.巾A.巾B.平C.a/3D.平答案B解析因?yàn)閍=0或，=2時(shí)，▲與，2均不平行，所以aWO且aW2.因?yàn)閔〃h,解得a=-1?2所以Z：x—y+6=0,72：x—y+鼻=0,j所以人與A之間的距離.（多選）定義點(diǎn)?（選,外）到直線7：ax+6y+c=0（a°+62R0）的有向距離為"=時(shí)空巴W+/已知點(diǎn)A,A到直線/的有向距離分別是d,d.以下命題不正確的是（ ）A.若d=d=l,則直線夕出與直線/平行B.若d=l,4=—1,則直線V月與直線/垂直C.若d+d=O,則直線產(chǎn)出與直線/垂直D.若d?則直線產(chǎn)出與直線/相交答案BCD解析設(shè)4（布，yi）,月（及，㈤，對于A,若d=d=l,則ax+6%+c= 6鹿+c=、a。f 直線KA與直線/平行，正確：對于B,點(diǎn)A,8在直線/的兩側(cè)且到直線/的距離相等，不一定與/垂直，錯誤;對于C,若d=d=O,滿足d+d=O,即axi+bM+c=a%2+8度+c=0,則點(diǎn)A,月都在直線/上，所以此時(shí)直線A月與直線/重合，錯誤；對于D,若d、?dW0,即（axi+6yi+c）（axz+byz+c）＜0,所以點(diǎn)P\,8分別位于直線7的兩側(cè)或在直線/上，所以直線產(chǎn)出與直線/相交或重合，錯誤.

7.(多選)點(diǎn)尸在直線3x+y-5=0上，且點(diǎn)戶到直線x-y-l=O的距離為乖，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為()A.(1,2) B.(2,1)C.(2,-1) D.(-2,1)答案AC’3牌+%一5=0,解析設(shè)尸(照，yo)，則，.yo—yo—1 r-解得Ab=解得Ab=1f必二2Ab=2f所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,2)或(2,-1).故選AC..(多選)已知直線力：ax—y+l—0,72：x+ay+l=0,a?R,以下結(jié)論正確的是( )A.不論a為何值時(shí)，入與乙都互相垂直B.當(dāng)a變化時(shí),人與A分別經(jīng)過定點(diǎn)4(0,1)和8(—1,0)C.不論a為何值時(shí)，/與“都關(guān)于直線x+y=0對稱D.如果7)與心交于點(diǎn)M,則|加|的最大值是正答案ABD解析對于A,aXl+(—1)Xa=0恒成立，為與乙互相垂直恒成立，故A正確；對于B,直線九y+l=0,當(dāng)a變化時(shí)，x=0,y=l恒成立，所以［恒過定點(diǎn)N(0,1);72：x+ay+l=0,當(dāng)召變化時(shí)，x=-1,y=0恒成立，所以/恒過定點(diǎn)以一1,0),故B正確.對于C,在Z上任取點(diǎn)G，ax+l),關(guān)于直線x+尸0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(一ax—1,—*),代入Ax+ay+1-O,則左邊不等于0,故C不正確；對于D,聯(lián)立?對于D,聯(lián)立?ax—y+l=09x+ay+l=0,解得《—a+1尸;7不T即3即3.直線3x-4y+5=0關(guān)于x軸對稱的直線方程是.答案3x+4y+5=0解析在所求直線上任取一點(diǎn)尸（x,y）,則點(diǎn)一關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P'（x,一力在已知直線3x—4y+5=0上，所以3萬—4（一力+5=0,即3x+4y+5=0..已知點(diǎn)［（-3,-4）,6（6,3）到直線7：ax+y+l=0的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值為.1 7答案一§或一§._八：-3a―4+1116a+3+1解析由點(diǎn)到直線的距離公式得 7=F==—=—f-r—.yja+1yja+\, 1 7解得a=-g或一g.11.過兩直線九x-3y+4=0和A：2x+y+5=0的交點(diǎn)和原點(diǎn)的直線方程為.答案3x+19y=0解析過兩直線交點(diǎn)的直線系方程為A~3y+4+A（2x+y+5）=0,代入原點(diǎn)坐標(biāo)，求得A4 4=一故所求直線方程為x—3y+4—w（2x+y+5）=0,即3>+19y=0.□ □.設(shè)光線/從點(diǎn)小一4,?。┏霭l(fā)，經(jīng)過x軸反射后經(jīng)過點(diǎn)40,坐|，則光線/與下軸的交點(diǎn)為,若該入射光線/經(jīng)”軸發(fā)生折射，折射角為入射角的一半，則折射光線所在直線的縱截距為.答案（一1,0）一市解析點(diǎn)4（一4,鎘）關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為/（一4,一回則直線/'B：尸坐x+坐與o*5X軸交于點(diǎn)（一1,0）,所以光線/與X軸的交點(diǎn)為（一1，0）；由入射角是60°,得折射角是30°,且光線經(jīng)過（一1,0）,得出折射光線所在直線方程為所以縱截距為一木.過技能提升練.若三條直線尸2x,x+y=3,勿x+〃y+5=0相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)（卬，〃）到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A./B.^/6C.2小D.2乖答案A解析聯(lián)立］二" 解得x=l,y=2.［x+y=3f把(1,2)代入加r+〃y+5=0可得，卬+2〃+5=0.加=-5—2〃.:.點(diǎn)(加，n)到原點(diǎn)的距離d=yj/n+n=yj_5+2〃一"2+n=y[5~n+2~2+52小，當(dāng)〃=—2,m=—1時(shí)取等號.???點(diǎn)(勿，〃)到原點(diǎn)的距離的最小值為十.14.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知力(1,2),Ml,5),。(3,6),〃(7,-1),則平面內(nèi)任意一點(diǎn)到點(diǎn)力與點(diǎn)。的距離之和的最小值為,平面內(nèi)到小B,C,〃的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是.答案2#(2,4)解析設(shè)平面上任一點(diǎn)M,因?yàn)閨物|+|加12|/。=24，當(dāng)且僅當(dāng)4〃，C共線，且〃在A,C之間時(shí)取等號，同理，|必|+|初|\|加|,當(dāng)且僅當(dāng)8材，〃共線，且〃在8〃之間時(shí)取等號，連接AC,加交于一點(diǎn)M,此時(shí)隔+|加1+\陽+|MD\最小，則點(diǎn)"為所求點(diǎn).因6—2為kc=-r=2，所以直線力。的方程為y—2=2(x—l),即2x-y=o.①3—15——1又因?yàn)榍?———=-1,所以直線劭的方程為曠一5=-5—1),即x+y-6=0.②1—1TOC\o"1-5"\h\z[2x—y=0, [x=2,聯(lián)立①②得,。c解得，所以M(2,4).[x+y—6=0, Lk=4,C拓展沖刺練15.(多選)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(LeonhardEuler)1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△力陽的頂點(diǎn)71(-4,0),6(0,4),其歐拉線方程為x-y+2=0,則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可以是( )A.(2,0)B.(0,2)C.(-2,0)D.(0,-2)答案AD解析設(shè)C(x,y),18的垂直平分線為尸一x,的外心為歐拉線方程x—y+2=0與直線y=-x的交點(diǎn)M-1,1),：.MC\=\MA\=y[10,Aa+l)2+(y-l)2=10,①由/(一4,0),8(0,4),△4附重心為(旨，號)代入歐拉線方程x-y+2=0,得x-y-2=0,②由①②可得x=2,y=0或x=0,y=-2.故選AD.16.已知點(diǎn)4(4,-1),6(8,2)和直線/：x-y-l=0,動點(diǎn)P(x,力在直線/上，貝/必|+PB\的最小值為.答案^65解析設(shè)點(diǎn)4與4關(guān)于直線/對稱，8為46與直線，的交點(diǎn),：.\PaAi\=\KA\,\PA,\=\PA\.\PAx\+\PB\^\A,B\=\AxP?\+\R>B\=\Pi)A\-\-\P0B\,：.'PA\+\PB\^\P?A\+\P0B\=\AxB\.當(dāng)尸點(diǎn)運(yùn)動到耳時(shí)，I川+1陽取得最小值|46|.設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線1的對稱點(diǎn)為4(*,弘)，則由對稱的充要條件知，%+1.汨―4 ， [^ri=O,一? 解得0 ???4(0,3).航+4y)—l 1/1=3,-o Z 1=0,；.(I川+|陽3M=14冽=^/82+-12=^65.§8.3圓的方程工考試要求，.回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程..能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.心知識梳理i.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x-a)~+(jr―Z?)2=r(r>0)圓心C{a,6)半徑為t一般x+y+Dx+Ey+F=0(Z/+U-4Q0)圓心—(1半徑r=/方十片一4F.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

平面上的一點(diǎn)依照，㈤與圓(x—a)'+(y—力>=/之間存在著下列關(guān)系:⑴|加1>20「V在圓外,即(照一5)'+(Jb—。)2>汽》"在圓外；(2)I加1=八=>材在圓上,即(加一團(tuán)2+(為-6)2=/=〃在圓上；⑶|MC\<y>.V在圓內(nèi),即(即-a)"+(%—6)々r'o.V在圓內(nèi).工微思考1.二元二次方程Ax+Bxy+Cy+Px+Ey+F=0表示圓的條件是什么？4=今0,提示B=0,提示—44冷0..寫出圓x+y+Dx+Ey+F=Q和兩坐標(biāo)軸都相切的條件.提小力+提小力+百一4r>0,fi=E=4F.(L基礎(chǔ)自測題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑"或"X")(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.(V)(2)已知點(diǎn)/(X1,%)，3(x2,㈤，則以力夕為直徑的圓的方程是(x—M)(*—論)+(y—%)(y-y))=0.(J)(3)若點(diǎn)〃(劉，開)在圓x2+/+〃t+￡k+尸=0外，則髭+/+%+旗+/;>0.(V)(4)方程(x+a)2+(y+6)z=/(tGR)表示圓心為(a,?,半徑為力的圓.(X)題組二教材改編.圓心為(1,1)且過原點(diǎn)的圓的方程是()A.U—l)2+(y—l)z=l B.(x+l)2+(y+l)2=lC.(x+l)2+(y+l)2=2 D.(x—1)~+(y—1)2=2答案D解析因?yàn)閳A心為(1,1)且過原點(diǎn)，所以該圓的半徑「=，7不?=4，則該圓的方程為(X一D2+(y-D2=2..圓4x+6y=0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是( )A.(2,3),3 B.(-2,3),小C.(-2,-3),13 D.(2,-3),a/13答案D解析圓的方程可化為(X—2)2+3+3)2=13,所以圓心坐標(biāo)是(2,-3),半徑「=行..圓心在直線x—2y+7=0上的圓。與x軸交于兩點(diǎn)4(—2,0),6(—4,0),則圓。的方程為.答案(x+3)z+(y—2)2=5解析因?yàn)橹本€18的中垂線方程為*=-3,代入直線x—2y+7=0,得y=2,故圓心的坐標(biāo)為以一3,2),再由兩點(diǎn)間的距離公式求得半徑r=\AC\=y[5,所以圓C的方程為(x+3)2+(y—2)2=5.題組三易錯自糾.方程步+/+公+2d7+2才+3—1=0表示圓，則a的取值范圍是( )A.水一2 B.一§〈水0C.—2〈水0 D.—2〈水g答案D解析由方程表示圓的條件得a+(2a)2—4(2a'+a—1)>0,即3a2+4a-4<0,6.(多選)圓/+/-4/-1=0( )A.關(guān)于點(diǎn)⑵0)對稱B.關(guān)于直線尸。對稱C.關(guān)于直線x+3y-2=0對稱D.關(guān)于直線x-y+2=0對稱答案ABC解析x2+y—4x—l=0=>(x-2)2+y=5,所以圓心的坐標(biāo)為(2,0).圓是關(guān)于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(diǎn)⑵0)是圓心坐標(biāo)，所以A選項(xiàng)正確；圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線產(chǎn)=0過圓心，所以B選項(xiàng)正確；圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線x+3y-2=0過圓心，所以C選項(xiàng)正確；圓是關(guān)于直徑對稱的軸對稱圖形，直線x-y+2=0不過圓心，所以D選項(xiàng)不正確.故選ABC.題型一圓的方程1.已知圓￡經(jīng)過三點(diǎn)4(0,1),5(2,0),C(0,-1),則圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )

A(x—5+/=與 B.Q+5+爐=需D-(x—5+y*答案c解析方法一(待定系數(shù)法)3〃二-5,夕=0,設(shè)圓￡的一般方程為*+/+廄+。+尸=0(。+/-43〃二-5,夕=0,'1+￡+/=0,則由題意得，4+2什尸=0,.1―￡+尸=0,3所以圓￡的一般方程為/+/--%-1=0,方法二(幾何法)因?yàn)閳A6經(jīng)過點(diǎn)4(0,1),8(2,0),所以圓￡的圓心在線段48的垂直平分線y-3=2(x—l)上.由題意知圓E的圓心又在X軸上，所以圓〃的圓心坐標(biāo)為自，0)則圓￡的半徑為I仍|=1/(2—0-02=1,所以圓V的標(biāo)準(zhǔn)方程為籃.2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0,1)為圓心且與直線X-"+26+1=0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x+(y-l)2=4 B.x+(y-l)2=2C.x+(y~~1>=8 D.x+(y1)2=16答案B解析由直線x—力+26+1=0可得該直線過定點(diǎn)4(-1,2),設(shè)圓心為6(0,1),由題意可知要使所求圓的半徑最大，則r^=\AB\=7-1一0?+2-1。=小,所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為/+(y-l)2=2.故選B.3.在平面直角坐標(biāo)系x4中，已知圓M經(jīng)過直線1：彳一/產(chǎn)+24=0與圓Gf+4=4的兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)圓材的面積最小時(shí)，圓〃的標(biāo)準(zhǔn)方程為.答案解析由/：x—，5y+24=0與C：f+/=4聯(lián)立得2，5)-+4=4,得尸1或尸2,則兩交點(diǎn)坐標(biāo)為4(一1),5(0,2),當(dāng)圓〃的面積最小時(shí)，圓M以45為直徑，則圓心(一乎，!),半徑為哈=1,圓”的標(biāo)準(zhǔn)方程為Q+嗡2+(x5)=1.思維升華(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,6)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a,b,r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于〃，E,b的方程組，進(jìn)而求出〃E,尸的值.題型二與圓有關(guān)的最值問題例1(1)已知4(0,2),點(diǎn)尸在直線x+y+2=0上，點(diǎn)0在圓Gx+y—4x-2y=0_t,則\PA\+\PQ\的最小值是.答案2小解析因?yàn)閳ACix+y—4x—2y=0,故圓，是以C(2,l)為圓心，半徑二=小的圓.設(shè)點(diǎn)月(0,2)關(guān)于直線x+y+2=0的對稱點(diǎn)為4(勿，n),zt+0〃+2F-+f-+2=0, /2 2 加=—4,故〈 解得? 故力'(-4,—2).n-2_ 1/7=-2,<m-01，連接小。交圓。于0,由對稱性可知以|+|圖|=|/2+|闋20Q\=\AfC\-r=2^/5.(2)已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程夕+4—4犬+1=0,求3的最大值和最小值.解原方程可化為(*-2)2+/=3,表示以⑵0)為圓心，為半徑的圓.」的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，X

所以設(shè)：=〃，即y=kx.當(dāng)直線尸弱與圓相切時(shí)，斜率4取最大值和最小值,此時(shí)|2A—0此時(shí)|2A—0a/4+i=木,解得4=±十.所以2的最大值為小，最小值為一十.■引申探究本例(2)中，求/+7的最大值和最小值.解 表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值.又圓心到原點(diǎn)的距離為N2—0'+0—02=2,所以f+y的最大值是(2+/)2=7+44，/+/的最小值是(2—/)2=7—4小.思維升華與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略(1)與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法.一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解.(2)與圓上點(diǎn)(x,y)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法.①形如u=二型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)(a,6)和點(diǎn)(x,y)的直線的斜率的最值問題;Xa②形如(萬一力2+3一92型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(diǎn)到定點(diǎn)(a,⑸的距離的平方的最值問題.跟蹤訓(xùn)練1己知》(*,y)為圓G*'+/—4x—14y+45=0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)0(—2,3).(1)求“聞的最大值和最小值；(2)求與的最大值和最小值.x十Z解(1)由圓G/+4—4彳-14尸1"45=0,可得(x-2)2+(y-7尸=8,.,.圓心「的坐標(biāo)為(2,7),半徑r=24.又IQC\=72+22+7-3』蜴二|附「=4m+2m=舶陽?“,=42m=2近(2)可知*表示直線的斜率k.設(shè)直線，媳的方程為y-3=*(x+2),即履一y+2A+3=0..?直線，W與圓C有交點(diǎn),.12-7+2什3|? ^(1+7 、2康，可得，與的最大值為2+小，最小值為2—十.題型三與圓有關(guān)的軌跡方程例2已知RtZVIbC的斜邊為力反且爪一1,0),6(3,0).求：(1)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊式的中點(diǎn)"的軌跡方程.解(1)方法一設(shè)C(x,y),因?yàn)?B,C三點(diǎn)不共線，所以10.因?yàn)?cL6G且8G/C斜率均存在，所以k*c?〃*=—1,V V VV又1(ac=?1,kec=~f所VX.? q=11,X十1 X—3 X十1X—6化簡得/+/—2彳3=0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為f+7—2x-3=()(y^0).方法二設(shè)的中點(diǎn)為。，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得〃(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|勿|=三4冽=2.由圓的定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以〃(1,0)為圓心，2為半徑的圓(由于4B,C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(>-1)2+/=4(了#0).⑵設(shè)以X,力，夕照，㈤，因?yàn)橘?,0),材是線段回的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得丁，Jb+0尸亍’所以Xo=2x—3,%=2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為6~1)2+/=4(沖0),將xo=2x—3,%=2y代入得(2x—4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+/=1.因此動點(diǎn)”的軌跡方程為(x-2)2+y=l(y^0).思維升華求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件的不同常采用以下方法：(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程.(4)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.跟蹤訓(xùn)練2已知線段4?的端點(diǎn)8的坐標(biāo)為(8,6),端點(diǎn)4在圓C：/+/+4*=0上運(yùn)動,求線段46的中點(diǎn)戶的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么.解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)力的坐標(biāo)為(劉，㈤，由于點(diǎn)6的坐標(biāo)為(8,6),且戶為線段用?的中點(diǎn)，8+8 %+6▼口-?? ????x=~~2，十/e有x?=2x-8>yo=2y-6.?點(diǎn)｛在圓C上運(yùn)動，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程x+y+4x=0,即髭+/+4的=0,(2x—8)-+(2y—6)~+4(2x—8)=0,化簡整理，得6x—6y+17=0,即(%—3)z+(y—3)2=1.故點(diǎn)。的軌跡是以(3,3)為圓心，1為半徑的圓.課時(shí)精練固基礎(chǔ)保分練.圓/+/+4*—6y—3=0的圓心和半徑分別為( )A.(4,-6),16 B.(2,-3),4C.(-2,3),4 D.(2,-3),16答案CD F1解析方法一易知Z>=4,￡、=—6,F=-3,則一g=—2,—^=3,或方+總-4F=4,故圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4.方法二將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+2)?+5-3尸=16,則圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑為4..圓心在x軸上，半徑為1,且過點(diǎn)⑵1)的圓的方程是( )A.(x-2)2+y=lB.(x+2)2+y=lC.(x-2)2+(y-3)2=lD.x2+(y-2)2=l答案A解析設(shè)圓的圓心為(a,0),則4a—240—1』,解得a=2,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(>-2>+爐=1.故選A.

.若一圓的圓心坐標(biāo)為(2,-3),一條直徑的端點(diǎn)分別在“軸和y軸上，則此圓的方程是()A.(x-2)?+(y+3)2=13 B.(*+2)?+(y-3)2=13C.(x—2)~+(y+3)~=52 D.(x+2)~+(y—3)-=52答案A解析直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,-6),可得直徑長為2m，則半徑長為日,所以所求圓的方程是(x-2)z+(y+3)2=13..已知圓G：(A-+l)2+(y-l)2=4,圓C與圓G關(guān)于直線x-y-l=0對稱，則圓&的方程為()A.(x+2)2+(y-2)2=4 B.(x-2)2+(y+2)2=4C.(x+2)?+(y+2)2=4 D.(x-2)2+(y-2)2=4答案B解析根據(jù)題意，設(shè)圓G的圓心為(a,6),圓4：(x+1)2+G-1)2=4,其圓心為(一1,1),半徑為2,若圓G與圓Ci關(guān)于直線X—y—1=0對稱，則圓G與G的圓心關(guān)于直線x—y—l=0對稱,rb-\d+1且圓rb-\d+1且圓C的半徑為2,則有〈a—1-1,b+121=0,解得a=2,則圓G的方程為(x—2)z+3+2尸=4..(多選)已知直線1與圓C：x+y+2x-4y+a=0相交于A,6兩點(diǎn)，弦16的中點(diǎn)為"(0，1),則實(shí)數(shù)a的取值可以為( )A.1B.2C.3D.4答案AB解析圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)~+(y—2”=5—a,故水5.又因?yàn)橄?6的中點(diǎn)為"(0，1),故”點(diǎn)在圓內(nèi)，所以(0+l)2+(l-2)z〈5-a,即水3.綜上a<3.故選AB.6.(多選)設(shè)有一組圓&：(x-〃)2+(y—A)z=4(AGR),下列命題正確的是( )A.不論A如何變化，圓心C始終在一條直線上B.所有圓C均不經(jīng)過點(diǎn)(3,0)C.經(jīng)過點(diǎn)⑵2)的圓Q有且只有一個(gè)D.所有圓的面積均為4it答案ABD解析圓心坐標(biāo)為(4,〃)，在直線尸x上，A正確：令(3-公2+(0一分2=4,化簡得2A■2-64+5=0,zl=36—40=—4<0,；.2〃-6%+5=0無實(shí)數(shù)根，?'-B正確；由(2—公2+(2—4)2=4,化簡得芥一44+2=0,VA=16—8=8>0,有兩個(gè)不相等實(shí)根，...經(jīng)過點(diǎn)⑵2)的圓a有兩個(gè)，c錯誤；由圓的半徑為2,得圓的面積為4n,D正確..已知圓G(X—2)2+(y+/zz—4)2=1,當(dāng)W變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)。的最短距離是答案1解析圓C：(x—2)?+(y+勿一4尸=1表示圓心為C(2,—m+4),半徑r=l的圓，則|陽=、22+一/42,所以當(dāng)/=4時(shí)，|比1的最小值為2,故當(dāng)w變化時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距離是1a1—r=2—1=1..若圓(x+l)2+(y-3)z=9上相異兩點(diǎn)只。關(guān)于直線-4=0對稱，則〃的值為答案2解析圓是軸對稱圖形，過圓心的直線都是它的對稱軸，已知圓的圓心為(一1,3),由題設(shè)知，直線公過圓心，則AX(—1)+2*3—4=0,解得A=2..已知0分別為圓材：(*—6)-+(y—3)~=4與圓心(x+4L+(y—2>=1上的動點(diǎn)，A為x軸上的動點(diǎn)，則|AP\+\AQ\的最小值為.答案5^5-3解析圓加(*+4)2+(-2)2=1,關(guān)于x軸對稱的圓為圓M：U+4)2+(y+2)2=l,則|^|+|AQ\的最小值為I加"1-1-—3=5鄧一3..如果圓(x—a)2+(y-a)2=8上總存在到原點(diǎn)的距離為出的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是答案[-3,-1]U[1,3]解析圓(x—a)'+(y—a尸=8的圓心(a,a)到原點(diǎn)的距離為1/a|,半徑r=24,由圓(x-a)2+(y-a)2=8上總存在點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為得2鎘一加W|近a|<2m+鏡，.??l〈|a|W3,解得 或一—1.工實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,-1]U[1,3].

.已知圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)力(—1，1)和漢一2,—2),且圓心在直線￡：x+y—1=0上.(1)求圓心為，的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)夕在圓，上，點(diǎn)0在直線x—y+5=0上，求I圖|的最小值.解(1)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5—42+3—6)2=「2(力0),。?,圓經(jīng)過點(diǎn)4(—1，1)和8(—2,—2),且圓心在直線入x+y-l=0上，( —a/+(1-。)，=落**?j—2—a2+(—2—Z?)2=r,la+Z?—1=0,解得a=3,b=-2fr=5,???圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x—3)2+(y+2)2=25.⑵:圓心⑵:圓心C到直線x-y+5=0的距離為d=I3+2+51??.直線與圓C相離,二PQ\的最小值為i/-r=5^2-5.12.已知點(diǎn)知一3,0),6(3,0),動點(diǎn)已滿足|掰=2|朋.(1)若點(diǎn)P的軌跡為曲線G求此曲線的方程；(2)若點(diǎn)0在直線/,：*+y+3=0上，直線人經(jīng)過點(diǎn)0且與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)M,求。川的最小值.解(1)設(shè)點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(x,y),則、~x+3_2+y=2、~X-3~2+/,化簡可得5—5)2+/=16,此方程即為所求.⑵曲線C是以點(diǎn)(5,0)為圓心，4為半徑的圓，如圖所示.由題意知直線A是此圓的切線，連接CQ,則IQM\=y]\CQ\2—|O|2="\/IC^|2—16,當(dāng)IQM最小時(shí)，I卬最小，此時(shí)CQLh,

ICQ\=串三=4蜴則\QM\的最小值為寸32—16=4.C技能提升練.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于46兩點(diǎn)，點(diǎn)/在圓（了-2）2+/=2上，則△力的面積的取值范圍是（）A.[2,6] B.[4,8]C.[蜴3^2] D.[24,3^2]答案A解析設(shè)圓（彳-2）2+/=2的圓心為C,半徑為r,點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離為4則圓心C（2,0）,r=y[2,所以圓心C到直線*+y+2=0的距離為2鏡，可得&“=2/+r=3蜴4k2也一片應(yīng)由已知條件可得I仍=2低所以△砌5面積的最大值為今的?之務(wù)=6, 跖面積的最小值為3/8?&n=2.綜上，防面積的取值范圍是[2,6].故選A.26.圓步+「+4'—12什1=°關(guān)于直線aLE+6=°（a>0,6〉0）對稱'則』+2的最小值是A.2y/320A.2y/320B.—O32

T16D.—*5答案c解析由圓f+/+4x—12y+l=0知，其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）“+（y一6”=39,，??圓V+/+4x—12y+l=0關(guān)于直線ax—by-\-6=0（a>0,。>0）對稱，?,?該直線經(jīng)過圓心（一2,6）,即一2a-66+6=0,Aa+3Z?=3(a>0,力0),262:262:.-+-=-(a+3h)當(dāng)且僅當(dāng)丁丁即a=。時(shí)取等號，故選CC拓展沖刺練.已知直線/：3x+4y+R=0,圓Gx+y-4x+2=0,則圓C的半徑r=；若在圓。上存在兩點(diǎn)兒B,在直線/上存在一點(diǎn)只使得/加%=90°,則實(shí)數(shù)卬的取值范圍是.答案^2[-16,4]解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(*-2)2+產(chǎn)=2,圓心為以2,0),半徑為r=小，若在圓。上存在兩點(diǎn)4B,在直線/上存在一點(diǎn)只使得/力陽=90°,過戶作圓的兩條切線掰PN(M,N為切點(diǎn))，則由題意得，NMP49Q。，而當(dāng)。<L/時(shí)，/仍V最大，只要此最大角290°即可，此時(shí)圓心C到直線1的距離為d=|3=笠生所以5=在疝》乎，-5-解得一16<z^4..已知點(diǎn)—(2,2),圓Gx2+y-8y=0,過點(diǎn)尸的動直線,與圓「交于/,3兩點(diǎn)，線段49的中點(diǎn)為材，。為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求M的軌跡方程；⑵當(dāng)|加=1/時(shí)，求/的方程及△/W的面積.解(1)圓C的方程可化為f+3—4)2=16,所以圓心為以0,4),半徑為4.設(shè)〃(x,y),則辦=(x,y-4),^=(2-x,2-y).由題設(shè)知GV?仍=0,故x(2—x)+(y—4)(2—0=0,即(x-l)2+(y-3)2=2.由于點(diǎn)尸在圓。的內(nèi)部，所以,1/的軌跡方程是(x—l)z+(y—3尸=2.(2)由⑴可知M的軌跡是以點(diǎn)ML3)為圓心，浪為半徑的圓.由于|如=|如，故。在線段制/的垂直平分線上，又。在圓十上，從而ONLPM.因?yàn)殛幍男甭蕿?,所以/的斜率為一；，故/的方程為x+3y-8=0.又|〃必=|"=2木,。至IJ/的距離為空殿，b…/4J10 14yfl04J1016所以網(wǎng)=Y,Sa/w=zX\X\=,5 2 5 5 5故的面積為百§8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系工考試要求3.能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系..能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實(shí)際問題.山知識梳理1.直線a+的+￡0與圓(%-a)2+(y-6)2=/(r>0)的位置關(guān)系的判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點(diǎn)個(gè)數(shù)幺個(gè)L個(gè)9個(gè)判定方法幾何法：設(shè)圓心到直線的距離d= -y]A+ffcKrd=rd>r\Ax+By+C=Q代數(shù)法：由 21 k2 2[x-a+y—b=r消元得到一元二次方程根的判別式4絲0A=0”02.圓與圓位置關(guān)系的判定(D幾何法若兩圓的半徑分別為八，覺，兩圓的圓心距為d,則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下:位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示*0?花勃d與力，n的關(guān)系d>ri+z2rf=ri+/2\ri—n\<cKri+d=\r-—1（n#復(fù)）0小水|八一nl5#72)(2)代數(shù)法通過兩圓方程組成方程組的公共解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.r4>。=相交圓G方程]消元 二一一，旬 必上一元二次方程｛4=0n內(nèi)切或外切圓C方程J4<0=>內(nèi)含或外離.r微思考1.過一點(diǎn)圓的切線有幾條？提示應(yīng)首先判斷這點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，若點(diǎn)在圓上則該點(diǎn)為切點(diǎn)，切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，切線應(yīng)有兩條；若點(diǎn)在圓內(nèi)，切線為零條..用兩圓的方程組成的方程組有一解或無解時(shí)能否準(zhǔn)確判定兩圓的位置關(guān)系？提示不能，當(dāng)兩圓方程組成的方程組有一解時(shí)，兩圓有外切和內(nèi)切兩種可能情況，當(dāng)方程組無解時(shí)，兩圓有外離和內(nèi)含兩種可能情況..當(dāng)兩圓相交時(shí)，怎樣求兩圓公共弦所在直線的方程？提示兩圓方程相減得到的直線方程即為兩圓公共弦所在的直線的方程.心基礎(chǔ)自測題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ杻?nèi)打“J”或“X”)(1)若直線平分圓的周長，則直線一定過圓心.(V)(2)若兩圓相切，則有且只有一條公切線.(X)(3)若直線的方程與圓的方程組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切.(V)(4)過圓。x+y=r_h一點(diǎn)P(x°,H)的圓的切線方程是劉入+為尸』(")題組二教材改編.直線尸x+1與圓f+7=l的位置關(guān)系為()A.相切 B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心 D.相離答案B.直線/：3x—y—6=0與圓2x—4尸0相交于4,8兩點(diǎn)，貝！］|4引=.答案而.兩圓/+/-2y=0與/+/-4=0的位置關(guān)系是.答案內(nèi)切題組三易錯自糾.(多選)直線X—y+?=0與圓x+y—2x—l=0有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是()A.0<zzKl B.-1〈成0C.欣1 D.—3<欣1答案ABx-y+227=0,解析聯(lián)立直線與圓的方程得2,2 消去必得2*2+(2k2)x+"-l=0,lx+y-2x-l=0,根據(jù)題意得△=(2m—2)2—8(卬2—1)=-4(0+1)'+16>0,得一3〈成1.*.*{m\0<jzK1}{初3〈欣1},{m\—Kzs<0}{m\—3<w<l},???0</77<1和一1〈成0都是直線與圓相交的充分不必要條件.6.過點(diǎn)月(3,5)作圓a/+/—2彳-4產(chǎn)+1=0的切線，則切線的方程為.答案5x-12y+45=0或*一3=0解析化圓夕+，-2萬—4了+1=0為標(biāo)準(zhǔn)方程得(萬一1)2+。-2)2=4,其圓心為(1,2),半徑為2,；IM=、3-12+