不等式證明方法課件

不等式的證明不等式的證明1【例1】已知a>0，b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab2.(課本P12例3)即a3+b3≥a2b+ab2.證明一：比較法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)【例1】已知a>0，b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab22故a3+b3≥a2b+ab2.證明二：比較法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，故a3+b3≥a2b+ab2.證明二：比較法（作商）∵a2+3所以有a3+b3≥a2b+ab2.證明三：分析法欲證a3+b3≥a2b+ab2，只需證明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a>0，b>0，所以a+b>0，故只要證明a2+b2-ab≥ab即可。即證明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab顯然是成立的所以有a3+b3≥a2b+ab2.證明三：分析法欲證a3+b4即a3+b3≥a2b+ab2.證明四：綜合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).即a3+b3≥a2b+ab2.證明四：綜合法∵a2+b2≥25【例2】已知a>0，b>0，求證：證明一：比較法（作差）【例2】已知a>0，b>0，求證：證明一：比較法（作差）6證明二：比較法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.

證明二：比較法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.7證明四:綜合法證明四:綜合法8a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,

≥a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1.≥a1b2+a2b3+…+an-1bn+anb1則 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbna1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, ≥a19【例3】求證:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).證明一：(比較法)∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).=2abcd-a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc)2≤0.【例3】求證:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)10證明二：(分析法)證明三：(綜合法)一般地,對任意實數(shù)ai,bi(i=1,2,3,…,n),都有:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.(柯西不等式)證明二：(分析法)證明三：(綜合法)一般地,對任意實數(shù)ai,11【例4】設(shè)-1<a<1,-1<b<1,求證:.證明一:比較法(作差)【例4】設(shè)-1<a<1,-1<b<1,求證:證明一:比較法(12不等式證明方法課件13∵-1<a<1,-1<b<1,

∴(a-b)2≥0,(a-b)2(1+ab)≥0.1+ab>0，1-a2>0,1-b2>0,1-ab>0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,

∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0,(a14證明二:分析法證明三:綜合法∵a2+b2≥2ab,∴-a2-b2≤-2ab.從而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,

1-ab>0.證明二:分析法證明三:綜合法∵a2+b2≥2ab,∴-a215證明四:換元法設(shè)a=sinα,b=sinβ,則證明四:換元法設(shè)a=sinα,b=sinβ,則16思考

≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+…)思考≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+17【例5】設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證：證明一(分析法)(4a+1)(4b+1)≤916ab+4a+4b+1≤9

【例5】設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證：證明一(分析法18證明二(綜合法)

因為a>0,b>0,且a+b=1,所以

從而+≤.證明二(綜合法) 因為a>0,b>0,且a+b=1,所以 從19【例6】已知m>0,求證:m+≥3.證明一(比較法)

∵m+-3=∴m+≥3【例6】已知m>0,求證:m+≥3.證明一(比較20證明二(綜合法)m+=

證明三(函數(shù)思想)設(shè)f(x)=x+,則f’(x)=1-,令f’(x)=0,得:x=2.當(dāng)0<x<2時,f’(x)<0.當(dāng)x>2時,f’(x)>0.所以當(dāng)x=2時,f(x)取到最大值3,

故當(dāng)m>0時,有m+≥3.

=3證明二(綜合法)m+=證明三(函數(shù)思想)設(shè)f21

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,方程f(x)-x=0的兩根為x1,x2,且0<x1<x2<,求證:當(dāng)x∈(0,x1)時,x<f(x)<x1.練習(xí)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,方練習(xí)22謝謝大家再見謝謝大家再見23不等式的證明不等式的證明24【例1】已知a>0，b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab2.(課本P12例3)即a3+b3≥a2b+ab2.證明一：比較法（作差）（a3+b3）-（a2b+ab2）=（a3-a2b）+（b3-ab2）=a2(a-b)+b2(b-a)∵a>0，b>0，∴(a-b)2(a+b)≥0.故（a3+b3）-（a2b+ab2）≥0,∴a+b>0，而(a-b)2≥0.=(a-b)2(a+b).=(a-b)(a2-b2)【例1】已知a>0，b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab225故a3+b3≥a2b+ab2.證明二：比較法（作商）∵a2+b2≥2ab，∴又a>0，b>0，所以ab>0，故a3+b3≥a2b+ab2.證明二：比較法（作商）∵a2+26所以有a3+b3≥a2b+ab2.證明三：分析法欲證a3+b3≥a2b+ab2，只需證明(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).由于a>0，b>0，所以a+b>0，故只要證明a2+b2-ab≥ab即可。即證明a2+b2≥2ab.而a2+b2≥2ab顯然是成立的所以有a3+b3≥a2b+ab2.證明三：分析法欲證a3+b27即a3+b3≥a2b+ab2.證明四：綜合法∵a2+b2≥2ab，∴a2+b2-ab≥ab.又∵a>0，b>0，∴a+b>0，故(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b).即a3+b3≥a2b+ab2.證明四：綜合法∵a2+b2≥228【例2】已知a>0，b>0，求證：證明一：比較法（作差）【例2】已知a>0，b>0，求證：證明一：比較法（作差）29證明二：比較法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.

證明二：比較法（作商）而a>0，b>0，所以a+b>0.30證明四:綜合法證明四:綜合法31a1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn,

≥a1bn+a2bn-1+…+an-1b2+anb1.≥a1b2+a2b3+…+an-1bn+anb1則 a1b1+a2b2+a3b3+…+anbna1≥a2≥a3…≥an,b1≥b2≥b3…≥bn, ≥a132【例3】求證:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).證明一：(比較法)∵(ac+bd)2-(a2+b2)(c2+d2)∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2).=2abcd-a2d2-b2c2=(a2c2+b2d2+2abcd)-(a2c2+b2d2+a2d2+b2c2)=-(ad-bc)2≤0.【例3】求證:(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)33證明二：(分析法)證明三：(綜合法)一般地,對任意實數(shù)ai,bi(i=1,2,3,…,n),都有:(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2.(柯西不等式)證明二：(分析法)證明三：(綜合法)一般地,對任意實數(shù)ai,34【例4】設(shè)-1<a<1,-1<b<1,求證:.證明一:比較法(作差)【例4】設(shè)-1<a<1,-1<b<1,求證:證明一:比較法(35不等式證明方法課件36∵-1<a<1,-1<b<1,

∴(a-b)2≥0,(a-b)2(1+ab)≥0.1+ab>0，1-a2>0,1-b2>0,1-ab>0.所以，(1-a2)(1-b2)(1-ab)>0,

∵-1<a<1,-1<b<1, ∴(a-b)2≥0,(a37證明二:分析法證明三:綜合法∵a2+b2≥2ab,∴-a2-b2≤-2ab.從而0<1+a2b2-a2-b2≤1+a2b2-2ab=(1-ab)2,

1-ab>0.證明二:分析法證明三:綜合法∵a2+b2≥2ab,∴-a238證明四:換元法設(shè)a=sinα,b=sinβ,則證明四:換元法設(shè)a=sinα,b=sinβ,則39思考

≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+…)思考≥2+2ab+2a2b2+…=2(1+ab+a2b2+40【例5】設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證：證明一(分析法)(4a+1)(4b+1)≤916ab+4a+4b+1≤9

【例5】設(shè)a>0,b>0,且a+b=1,求證：證明一(分析法41證明二(綜合法)

因為a>0,b>0,且a+b=1,所以

從而+≤.證明二(綜合法) 因為a>0,b>0,且a+b=1,所以 從42【例6】已知m>0,求證:m+≥3.證明一(比較法)

∵m+-3=∴m+≥3【例6】已知m>0,求證:m+≥3.證明一(比較43證明二(綜合法)m+=

證明三(函數(shù)思想)設(shè)f(x)=x+,則f’(x)=1-,令f’(x)=0,得:x=2.當(dāng)0<x<2時,