最新青島版九年級數(shù)學(xué)上冊課件13相似三角形的性質(zhì)

1.3相似三角形的性質(zhì)2022/12/2411.3相似三角形的性質(zhì)2022/12/2011.明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.（重點(diǎn)）2.能熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題．（難點(diǎn)）3.理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.（重點(diǎn)）4.掌握相似三角形的周長比、面積比在實(shí)際中的應(yīng)用.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)2022/12/2421.明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)2022ACBA1C1B1問題：△ABC與△A1B1C1相似嗎？導(dǎo)入新課2022/12/243ACBA1C1B1問題：△ABC與△A1B1C1相似嗎ACBA1C1B1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.△ABC∽△A1B1C12022/12/244ACBA1C1B1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.△AB思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何量？高、角平分線、中線的長度，周長、面積等高角平分線中線2022/12/245思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何量？高、角平分量一量，猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟

ΔABC∽ΔA1B1C1,,CD和C1D1分別是它們的高,你知道

等于多少嗎？

2022/12/246量一量，猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟ΔABC∽

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應(yīng)高的比各是多少？ABCA'B'C'合作探究相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比知識點(diǎn)講授新課如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'

，解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

則∠ADB=∠A'

D'

B'=90°.

∴△ABD∽△A'

B'

D'.ABCA'B'C'D'D2022/12/248∵△ABC∽△A′B′C′，解：如圖，分別作出△ABC由此得到：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．類似的，我們可以得到其余兩組對應(yīng)邊上的高的比也等于相似比．歸納總結(jié)2022/12/249由此得到：類似的，我們可以得到其余兩組對應(yīng)邊上的高的比也ΔABC∽ΔA1B1C1，BD和B1D1是它們的中線，

已知,B1D1=4cm，則BD=

cm.62.ΔABC∽ΔA1B1C1,

AD和A1D1是對應(yīng)角平分

線，已知AD=8cm，

A1D1=3cm,則ΔABC與

ΔA1B1C1的對應(yīng)高之比為

.8:3練一練2022/12/2410ΔABC∽ΔA1B1C1，BD和B1D1是它們的中線，63.如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，點(diǎn)P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是

m.PADBC241.52022/12/24113.如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD

例：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC=60cm，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形.(1)AE是ΔASR的高嗎？為什么？(2)

ΔASR與ΔABC相似嗎？為什么？(3)求正方形PQRS的邊長.SRQPEDCBA典例精析2022/12/2412例：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在A（1）AE是ΔASR的高嗎？為什么？解：

AE是ΔASR的高.

理由：∵AD是ΔABC的高,∴∠ADC=90°.∵四邊形PQRS是正方形,∴SR∥BC.∴∠AER=∠ADC=90°.∴

AE是ΔASR的高.SRQPEDCBA2022/12/2413（1）AE是ΔASR的高嗎？為什么？解：AE是ΔASR的高（2）ΔASR與ΔABC相似嗎？為什么？解：ΔASR與ΔABC相似.理由:∵SR∥BC,

∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.

∴ΔASR與ΔABC相似.SRQPEDCBA2022/12/2414（2）ΔASR與ΔABC相似嗎？為什么？解：ΔAS（3）求正方形PQRS的邊長.是方程思想哦！解：∵ΔASR∽ΔABC,

AE,AD分別是ΔASR

和ΔABC

對應(yīng)邊上的高,∴.

設(shè)正方形PQRS的邊長為xcm,

則SR=DE=xcm,AE=(40-x)cm.∴解得x=24.

∴正方形PQRS的邊長為24cm.SRQPEDCBA2022/12/2415（3）求正方形PQRS的邊長.是方程思想哦！解：∵ΔASR變式：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的長是寬的2倍，你能求出這個(gè)矩形的面積嗎？SRQPEDCBA2022/12/2416變式：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在A如圖，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.設(shè)SP=xcm，則SR=2xcm.

得到：

所以x=2,2x=4.

S矩形PQRS=2×4=8cm2.SRQPEDCBA分析：情況一：SR=2SP.2022/12/2417如圖，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.設(shè)S設(shè)SR=xcm，則SP=2xcm.

得到：.

所以x=2.5,2x=5.S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2.原來是分類思想呀！SRQPEDCBA分析：情況二：SP=2SR.如圖，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.2022/12/2418設(shè)SR=xcm，則SP=2xcm.原來是分類思想呀！SR相似三角形對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比問題：把上圖中的高改為中線、角平分線，那么它們對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比等于多少？

圖中△ABC和△A′B′C′相似，AD,A′D′分別為對應(yīng)邊上的中線，BE,B′E′分別為對應(yīng)角的角平分線，那么它們之間有什么關(guān)系呢？ABCDEA'B'D'C'E'知識點(diǎn)2022/12/2419相似三角形對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比問題：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′.∴

∠B′=∠B,．又AD,AD′分別為對應(yīng)邊的中線,

∴△ABD∽△A′B′D′.A'B'D'C'E'ABCDE驗(yàn)證猜想12022/12/2420已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，A'B'D'由此得到：

相似三角形對應(yīng)的中線的比也等于相似比．同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對應(yīng)邊上的角平分中線的比等于相似比．歸納總結(jié)由此得到：同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對應(yīng)邊上的已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴

∠B′=∠B,∠B′A′C′=∠BAC．又AD,AD′分別為對應(yīng)角的平分線，

∴△ABD∽△A′B′D′.A'B'D'C'E'ABCDE驗(yàn)證猜想2已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即A'B'D相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比，即相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比．歸納總結(jié)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相例：兩個(gè)相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm，如果它們對應(yīng)的兩條角平分線的和為42cm，那么這兩條角平分線的長分別是多少？解：設(shè)較短的角平分線長為xcm，則由相似性質(zhì)有.解得x＝18.較長的角平分線長為24cm.故這兩條角平分線的長分別為18cm，24cm.例：兩個(gè)相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm，如果問題：我們知道，如果兩個(gè)三角形相似，它們對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.那么它們周長的比之間有什么關(guān)系？也等于相似比嗎？面積之比呢？ABCA1B1C12022/12/2425問題：我們知道，如果兩個(gè)三角形相似，它們對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,它們都相似嗎？(1)(2)(3)123(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的周長比=______，(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的周長比=______.1∶

2結(jié)論：相似三角形的周長比等于______．相似比（都相似）1∶

31∶

21∶

3有什么規(guī)律嗎？相似三角形周長比等于相似比知識點(diǎn)講授新課2022/12/2426問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，求證：相似三角形的周長比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？2022/12/2427證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，求證：相似三角相似三角形周長的比等于相似比.歸納總結(jié)相似三角形周長的比等于相似比.歸納總結(jié)(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的面積比=______(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的面積比=______1231∶

2（1）（2）（3）1∶

41∶

31∶

9問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,回答以下問題：結(jié)論：相似三角形的面積比等于____________．相似比的平方相似三角形面積的比等于相似比的平方知識點(diǎn)2022/12/2429(1)與(2)的相似比=______,1231∶2（1證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.ABCA′B′C′DD′想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？∵△ABC∽△A′B′C′.2022/12/2430證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,如圖，分相似三角形面積的比等于相似比的平方.歸納總結(jié)2022/12/2431相似三角形面積的比等于相似比的平方.歸納總結(jié)2022/12/1.已知ΔABC與ΔA′B′C′的相似比為2：3，則對應(yīng)邊上中線之比

，面積之比為

.

2.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1:9，周長的比為______.

1:32:34:9練一練2022/12/24321.已知ΔABC與ΔA′B′C′的相似比為2：3，則對1:3例：將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分的面積是△ABC的面積的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距離.

解：根據(jù)題意，可知EG∥AB.

∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.

∴△GEC∽△ABC.

即△ABC平移的距離為

2022/12/2433例：將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴例

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.2022/12/2434解：在△ABC和△DEF中，又∵∠D=∠A，∴△ABCDEF∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為2022/12/2435ABCDEF∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為

如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7，較大三角形一邊上的高為7，則較小三角形對應(yīng)邊上的高為______.

練一練2022/12/2436如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7，例

如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

2022/12/2437例如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2

.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).BCADE2022/12/2438又∵△ABC的面積為100cm2，∴△ADE的面

如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當(dāng)D點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE練一練解：∵DE∥BC，D為AB中點(diǎn)，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.

∴2022/12/2439如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.設(shè)S△ABC

=4，則S△ADE=1，S△EFC=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=2022/12/2440ABCDFE又∵EF∥AB，2022/12/20403．兩個(gè)相似三角形對應(yīng)中線的比為，則對應(yīng)高的比為______.2.相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶3,那么對應(yīng)角的角平分線的比為______.2∶

31．兩個(gè)相似三角形的相似比為,則對應(yīng)高的比為_________,則對應(yīng)中線的比為_________.隨堂練習(xí)2022/12/24413．兩個(gè)相似三角形對應(yīng)中線的比為，2.相似三角形對應(yīng)邊解：∵△ABC∽△DEF，

解得,EH＝3.2(cm).答：EH的長為3.2cm.AGBCDEFH4.已知△ABC∽△DEF，BG，EH分△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的長.2022/12/2442解：∵△ABC∽△DEF，解得,EH＝3.2(cm).5.如圖，AD是△ABC的高，AD=h,點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當(dāng)時(shí)，求DE的長.如果呢？∴△ASR∽△ABC

(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，

BAERCDS∴SR∥BC.

∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.

(相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，2022/12/24435.如圖，AD是△ABC的高，AD=h,點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)當(dāng)時(shí)，得解得BAERCDS當(dāng)時(shí)，得解得2022/12/2444當(dāng)時(shí)，得解得選做題：

6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2,要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法如圖（1）、（2)所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法更好.（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最棒的！選做題：6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5SRQPEDCBA7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求圖中小正方形的邊長.ACBD(6)ACBD(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)2022/12/2446SRQPEDCBA7.AD是ΔABC的高，BC=60cm，A8.判斷：(1)一個(gè)三角形的各邊長擴(kuò)大為原來的5倍，這個(gè)三角形的周長也擴(kuò)大為原來的5倍

()(2)一個(gè)四邊形的各邊長擴(kuò)大為原來的9倍，這個(gè)四邊形的面積也擴(kuò)大為原來的9倍

()√×2022/12/24478.判斷：√×2022/12/204710.

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與原三角形的周長比等于______，面積比等于_____.1:21:49.

在△ABC和△DEF中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，AP，DQ是中線，若AP＝2，則DQ

的值為()A．2B．4C．1D.C10.連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段把三角形截成的一個(gè)小三角形與11.兩個(gè)相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和18cm，若較大三角形的周長是42cm，面積是12cm2，則較小三角形的周長____cm，面積為____cm2.1411.兩個(gè)相似三角形對應(yīng)的中線長分別是6cm和1812.

如圖，這是圓桌正上方的燈泡(點(diǎn)A)發(fā)出的光線照射桌面形成陰影的示意圖，已知桌面的直徑為1.2

米，桌面距離地面為1米，若燈泡距離地面3米，則地面上陰影部分的面積約為多少(結(jié)果保留兩位小數(shù))？ADEFCBH解：∵FH=1米，AH=3米，

桌面的直徑為1.2米，

∴AF=AH－FH=2(米)，DF=1.2÷2=0.6(米).∵DF∥CH，

∴△ADF∽△ACH，12.如圖，這是圓桌正上方的燈泡(點(diǎn)A)發(fā)出的光線照ADEFCBH∴即解得CH=0.9米.∴陰影部分的面積為：(平方米).答：地面上陰影部分的面積為2.54平方米.ADEFCBH∴13.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面積分別為4和9，求△ABC的面積.ABCDFE解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∠ADE=∠EFC，∠A=∠CEF，∴△ADE∽△EFC.又∵S△ADE:S△EFC=4:9，∴AE:EC=2:3，則AE:AC=2:5，∴S△ADE:S△ABC=4:25，∴S△ABC=25.13.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE14.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，S△ADE＝2S△DCE，求S△ADE∶S△ABC.解：過點(diǎn)D作AC的垂線，交點(diǎn)為F，則∴又∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.ABCDE2022/12/245314.如圖，△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，∴即S△ADE

:S△ABC

＝4:9.ABCDE2022/12/2454∴即S△ADE:S△ABC＝4:9.ABCDE2相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比課堂小結(jié)2022/12/2455相似三角形的性質(zhì)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比相似三角形對應(yīng)相似三角形的性質(zhì)相似三角形周長之比等于相似比相似三角形面積之比等于相似比的平方2022/12/2456相似三角形的性質(zhì)相似三角形周長之比等于相似比相似三角形面積之1.3相似三角形的性質(zhì)2022/12/24571.3相似三角形的性質(zhì)2022/12/2011.明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.（重點(diǎn)）2.能熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決實(shí)際問題．（難點(diǎn)）3.理解并初步掌握相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.（重點(diǎn)）4.掌握相似三角形的周長比、面積比在實(shí)際中的應(yīng)用.（難點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)2022/12/24581.明確相似三角形中對應(yīng)線段與相似比的關(guān)系.學(xué)習(xí)目標(biāo)2022ACBA1C1B1問題：△ABC與△A1B1C1相似嗎？導(dǎo)入新課2022/12/2459ACBA1C1B1問題：△ABC與△A1B1C1相似嗎ACBA1C1B1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.△ABC∽△A1B1C12022/12/2460ACBA1C1B1相似三角形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例.△AB思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何量？高、角平分線、中線的長度，周長、面積等高角平分線中線2022/12/2461思考：三角形中，除了角度和邊長外，還有哪些幾何量？高、角平分量一量，猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟

ΔABC∽ΔA1B1C1,,CD和C1D1分別是它們的高,你知道

等于多少嗎？

2022/12/2462量一量，猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟ΔABC∽

如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對應(yīng)高的比各是多少？ABCA'B'C'合作探究相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比知識點(diǎn)講授新課如圖，△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，它們對∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B＝∠B'

，解：如圖，分別作出△ABC和△A'

B'

C'

的高AD和A'

D'

．

則∠ADB=∠A'

D'

B'=90°.

∴△ABD∽△A'

B'

D'.ABCA'B'C'D'D2022/12/2464∵△ABC∽△A′B′C′，解：如圖，分別作出△ABC由此得到：相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比．類似的，我們可以得到其余兩組對應(yīng)邊上的高的比也等于相似比．歸納總結(jié)2022/12/2465由此得到：類似的，我們可以得到其余兩組對應(yīng)邊上的高的比也ΔABC∽ΔA1B1C1，BD和B1D1是它們的中線，

已知,B1D1=4cm，則BD=

cm.62.ΔABC∽ΔA1B1C1,

AD和A1D1是對應(yīng)角平分

線，已知AD=8cm，

A1D1=3cm,則ΔABC與

ΔA1B1C1的對應(yīng)高之比為

.8:3練一練2022/12/2466ΔABC∽ΔA1B1C1，BD和B1D1是它們的中線，63.如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，點(diǎn)P到CD的距離是3m，則P到AB的距離是

m.PADBC241.52022/12/24673.如圖，電燈P在橫桿AB的正上方，AB在燈光下的影子為CD

例：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC=60cm，AD=40cm，四邊形PQRS是正方形.(1)AE是ΔASR的高嗎？為什么？(2)

ΔASR與ΔABC相似嗎？為什么？(3)求正方形PQRS的邊長.SRQPEDCBA典例精析2022/12/2468例：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在A（1）AE是ΔASR的高嗎？為什么？解：

AE是ΔASR的高.

理由：∵AD是ΔABC的高,∴∠ADC=90°.∵四邊形PQRS是正方形,∴SR∥BC.∴∠AER=∠ADC=90°.∴

AE是ΔASR的高.SRQPEDCBA2022/12/2469（1）AE是ΔASR的高嗎？為什么？解：AE是ΔASR的高（2）ΔASR與ΔABC相似嗎？為什么？解：ΔASR與ΔABC相似.理由:∵SR∥BC,

∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.

∴ΔASR與ΔABC相似.SRQPEDCBA2022/12/2470（2）ΔASR與ΔABC相似嗎？為什么？解：ΔAS（3）求正方形PQRS的邊長.是方程思想哦！解：∵ΔASR∽ΔABC,

AE,AD分別是ΔASR

和ΔABC

對應(yīng)邊上的高,∴.

設(shè)正方形PQRS的邊長為xcm,

則SR=DE=xcm,AE=(40-x)cm.∴解得x=24.

∴正方形PQRS的邊長為24cm.SRQPEDCBA2022/12/2471（3）求正方形PQRS的邊長.是方程思想哦！解：∵ΔASR變式：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，BC=5cm，AD=10cm，若矩形PQRS的長是寬的2倍，你能求出這個(gè)矩形的面積嗎？SRQPEDCBA2022/12/2472變式：如圖，AD是ΔABC的高，點(diǎn)P，Q在BC邊上，點(diǎn)R在A如圖，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.設(shè)SP=xcm，則SR=2xcm.

得到：

所以x=2,2x=4.

S矩形PQRS=2×4=8cm2.SRQPEDCBA分析：情況一：SR=2SP.2022/12/2473如圖，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.設(shè)S設(shè)SR=xcm，則SP=2xcm.

得到：.

所以x=2.5,2x=5.S矩形PQRS=2.5×5=12.5cm2.原來是分類思想呀！SRQPEDCBA分析：情況二：SP=2SR.如圖，AD是ΔABC的高，BC=5cm，AD=10cm.2022/12/2474設(shè)SR=xcm，則SP=2xcm.原來是分類思想呀！SR相似三角形對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比問題：把上圖中的高改為中線、角平分線，那么它們對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比等于多少？

圖中△ABC和△A′B′C′相似，AD,A′D′分別為對應(yīng)邊上的中線，BE,B′E′分別為對應(yīng)角的角平分線，那么它們之間有什么關(guān)系呢？ABCDEA'B'D'C'E'知識點(diǎn)2022/12/2475相似三角形對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比問題：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′.∴

∠B′=∠B,．又AD,AD′分別為對應(yīng)邊的中線,

∴△ABD∽△A′B′D′.A'B'D'C'E'ABCDE驗(yàn)證猜想12022/12/2476已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，A'B'D'由此得到：

相似三角形對應(yīng)的中線的比也等于相似比．同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對應(yīng)邊上的角平分中線的比等于相似比．歸納總結(jié)由此得到：同學(xué)們可以試著自己用同樣的方法求證三角形對應(yīng)邊上的已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即求證：證明：∵△ABC∽△A′B′C′，∴

∠B′=∠B,∠B′A′C′=∠BAC．又AD,AD′分別為對應(yīng)角的平分線，

∴△ABD∽△A′B′D′.A'B'D'C'E'ABCDE驗(yàn)證猜想2已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，即A'B'D相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相似比，即相似三角形對應(yīng)線段的比等于相似比．歸納總結(jié)相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)角平分線的比、對應(yīng)中線的比都等于相例：兩個(gè)相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm，如果它們對應(yīng)的兩條角平分線的和為42cm，那么這兩條角平分線的長分別是多少？解：設(shè)較短的角平分線長為xcm，則由相似性質(zhì)有.解得x＝18.較長的角平分線長為24cm.故這兩條角平分線的長分別為18cm，24cm.例：兩個(gè)相似三角形的兩條對應(yīng)邊的長分別是6cm和8cm，如果問題：我們知道，如果兩個(gè)三角形相似，它們對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.那么它們周長的比之間有什么關(guān)系？也等于相似比嗎？面積之比呢？ABCA1B1C12022/12/2481問題：我們知道，如果兩個(gè)三角形相似，它們對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,它們都相似嗎？(1)(2)(3)123(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的周長比=______，(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的周長比=______.1∶

2結(jié)論：相似三角形的周長比等于______．相似比（都相似）1∶

31∶

21∶

3有什么規(guī)律嗎？相似三角形周長比等于相似比知識點(diǎn)講授新課2022/12/2482問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，求證：相似三角形的周長比等于相似比.ABCA1B1C1想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？2022/12/2483證明：設(shè)△ABC∽△A1B1C1，相似比為k，求證：相似三角相似三角形周長的比等于相似比.歸納總結(jié)相似三角形周長的比等于相似比.歸納總結(jié)(1)與(2)的相似比=______,(1)與(2)的面積比=______(1)與(3)的相似比=______,(1)與(3)的面積比=______1231∶

2（1）（2）（3）1∶

41∶

31∶

9問題：圖中(1)(2)(3)分別是邊長為1，2，3的等邊三角形,回答以下問題：結(jié)論：相似三角形的面積比等于____________．相似比的平方相似三角形面積的比等于相似比的平方知識點(diǎn)2022/12/2485(1)與(2)的相似比=______,1231∶2（1證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,如圖，分別作出△ABC和△A′B′C′的高AD和A′D′.∵△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，并且∠B=∠B′，∴△ABD∽△A′B′D′.ABCA′B′C′DD′想一想：怎么證明這一結(jié)論呢？∵△ABC∽△A′B′C′.2022/12/2486證明：設(shè)△ABC∽△A′B′C′，相似比為k,如圖，分相似三角形面積的比等于相似比的平方.歸納總結(jié)2022/12/2487相似三角形面積的比等于相似比的平方.歸納總結(jié)2022/12/1.已知ΔABC與ΔA′B′C′的相似比為2：3，則對應(yīng)邊上中線之比

，面積之比為

.

2.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1:9，周長的比為______.

1:32:34:9練一練2022/12/24881.已知ΔABC與ΔA′B′C′的相似比為2：3，則對1:3例：將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF重疊部分的面積是△ABC的面積的一半.已知BC=2，求△ABC平移的距離.

解：根據(jù)題意，可知EG∥AB.

∴∠GEC=∠B,∠EGC=∠A.

∴△GEC∽△ABC.

即△ABC平移的距離為

2022/12/2489例：將△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC與△DEF解：在△ABC和△DEF中，∵AB=2DE，AC=2DF，又∵∠D=∠A，∴△DEF

∽

△ABC

，相似比為1:2.ABCDEF∴例

如圖，在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D.若△ABC的邊BC上的高為6，面積為，求△DEF的邊EF上的高和面積.2022/12/2490解：在△ABC和△DEF中，又∵∠D=∠A，∴△ABCDEF∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為，∴△DEF的邊EF上的高為×6=3，面積為2022/12/2491ABCDEF∵△ABC的邊BC上的高為6，面積為

如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7，較大三角形一邊上的高為7，則較小三角形對應(yīng)邊上的高為______.

練一練2022/12/2492如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7，例

如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC的面積為100cm2，且，求四邊形BCDE的面積.

∴△ADE∽△ABC.∵它們的相似比為3:5，∴面積比為9:25.BCADE解：∵∠BAC=∠DAE，且

2022/12/2493例如圖，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，已知△ABC又∵△ABC的面積為100

cm2，∴△ADE的面積為36cm2

.∴四邊形BCDE的面積為100－36=64(cm2).BCADE2022/12/2494又∵△ABC的面積為100cm2，∴△ADE的面

如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥AB.當(dāng)D點(diǎn)為AB中點(diǎn)時(shí)，求S四邊形BFED:S△ABC的值.ABCDFE練一練解：∵DE∥BC，D為AB中點(diǎn)，∴△ADE∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.

∴2022/12/2495如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別在ABCDFE又∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，相似比為1:2，面積比為1:4.設(shè)S△ABC

=4，則S△ADE=1，S△EFC=1，S四邊形BFED=S△ABC－S△ADE－S△EFC=4－1－1=2，∴S四邊形BFED:S△ABC=2:4=2022/12/2496ABCDFE又∵EF∥AB，2022/12/20403．兩個(gè)相似三角形對應(yīng)中線的比為，則對應(yīng)高的比為______.2.相似三角形對應(yīng)邊的比為2∶3,那么對應(yīng)角的角平分線的比為______.2∶

31．兩個(gè)相似三角形的相似比為,則對應(yīng)高的比為_________,則對應(yīng)中線的比為_________.隨堂練習(xí)2022/12/24973．兩個(gè)相似三角形對應(yīng)中線的比為，2.相似三角形對應(yīng)邊解：∵△ABC∽△DEF，

解得,EH＝3.2(cm).答：EH的長為3.2cm.AGBCDEFH4.已知△ABC∽△DEF，BG，EH分△ABC和△DEF的角平分線，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.8cm.求EH的長.2022/12/2498解：∵△ABC∽△DEF，解得,EH＝3.2(cm).5.如圖，AD是△ABC的高，AD=h,點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)S在AB邊上，SR⊥AD，垂足為E.當(dāng)時(shí)，求DE的長.如果呢？∴△ASR∽△ABC

(兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似).解：∵SR⊥AD，BC⊥AD，

BAERCDS∴SR∥BC.

∴∠ASR=∠B,∠ARS=∠C.

(相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比)，2022/12/24995.如圖，AD是△ABC的高，AD=h,點(diǎn)R在AC邊上，點(diǎn)當(dāng)時(shí)，得解得BAERCDS當(dāng)時(shí)，得解得2022/12/24100當(dāng)時(shí)，得解得選做題：

6.一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m，面積為1.5m2,要把它加工成一個(gè)面積盡可能大的正方形桌面，甲乙兩位同學(xué)的加工方法如圖（1）、（2)所示，請你用學(xué)過的知識說明哪位同學(xué)的加工方法更好.（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中的分?jǐn)?shù)可保留）FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最棒的！