初奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練試題集15

初一奧林匹克數(shù)學(xué)比賽訓(xùn)練試題集（15）一、選擇題（共8小題，每題4分，滿分32分）1．（4分）用代數(shù)式表示“x與y的差的平方減去x與y的平方差”應(yīng)是（）A．（x2﹣y2）﹣（x﹣y）2B．（x﹣y）2﹣（x2﹣y2）C．（x﹣y）2﹣（x﹣y2）D．（x﹣y2）﹣（x﹣y）22．（4分）除以m得商k余1的數(shù)是（）A．mk+mB．C．mk+1D．n+1n22n得（）3．（4分）化簡(jiǎn)（4xy）÷[（﹣xy）]22C．nD．nA．16xB．4x4x16x4．（4分）計(jì)算＝（）A．B．C．D．5．（4分）一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都是正整數(shù)，且分子比分母小1，若分子和分母都減去1，則所得分?jǐn)?shù)為小于的正數(shù)，則知足上述條件的分?jǐn)?shù)共有（）A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)6．（4分）已知：|x﹣1|+|x﹣5|＝4，則x的取值范圍是（）A．1≤x≤5B．x≤1C．1＜x＜5D．x≥57．（4分）比較m＝和n＝的大小是（）A．m＝nB．m＞nC．m＜nD．不可以確立8．（4分）某學(xué)生到工廠勤工儉學(xué)，按合同規(guī)定，干滿30天，工廠將付給他一套工作服和70元錢(qián)，但他工作了20天，因?yàn)檫€有任務(wù)，他中斷了合同，工廠只付給他一套工作服和20元錢(qián)，那么這套工作服值（）A．50元B．60元C．70元D．80元二、填空題（共8小題，每題5分，滿分40分）9．（5分）已知|x﹣3|+＝．10．（5分）化簡(jiǎn)：（x+|x|）+（x﹣|x|）+x?|x|+＝．11．（5分）已知方程2（x+1）＝3（x﹣1）的解為a+2，那么方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]第1頁(yè)（共11頁(yè)）＝3a的解為．12．（5分）若n為自然數(shù)，使﹣1的值是質(zhì)數(shù)的n為．23．13．（5分）若x﹣x﹣1＝0，則1995+2x﹣x的值為14．（5分）對(duì)于y的不等式（2a﹣b）y+a﹣5b＞0的解為y，那么對(duì)于y的不等式ay＞b的解為．15．（5分）設(shè)n＝是990的倍數(shù)，那么＝．16．（5分）假如在7個(gè)連續(xù)偶數(shù)中，最大數(shù)恰巧是最小數(shù)的3倍，那么最大的一個(gè)數(shù)等于．三、解答題（共3小題，滿分48分）17．（16分）證明：32不可以能寫(xiě)成n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．18．（16分）一個(gè)樓梯共有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁一級(jí)臺(tái)階或二級(jí)臺(tái)階，最多可以邁三級(jí)臺(tái)級(jí)，從地面上到最上邊一級(jí)臺(tái)階，一共可以有多少種不同樣的邁法？19．（16分）把1到3這三個(gè)自然數(shù)填入10×10的方格內(nèi)，每格內(nèi)填一個(gè)數(shù)，求證：不論如何填法都能使在各行、各列、兩條對(duì)角線上的數(shù)字和中，必有兩個(gè)是同樣的．第2頁(yè)（共11頁(yè)）初一奧林匹克數(shù)學(xué)比賽訓(xùn)練試題集（15）參照答案與試題分析一、選擇題（共8小題，每題4分，滿分32分）1．（4分）用代數(shù)式表示“x與y的差的平方減去x與y的平方差”應(yīng)是（）A．（x2﹣y2）﹣（x﹣y）2B．（x﹣y）2﹣（x2﹣y2）C．（x﹣y）2﹣（x﹣y2）D．（x﹣y2）﹣（x﹣y）2【分析】先表示出x與y的差的平方，即（x﹣y）2，再表示出x與y的平方差，即x2﹣2y，再作差即可．【解答】解：依據(jù)題意，代數(shù)式為（x﹣y）2﹣（x2﹣y2）．應(yīng)選：B．【討論】本題觀察了依據(jù)實(shí)詰問(wèn)題列代數(shù)式，列代數(shù)式要分清語(yǔ)言表達(dá)中重點(diǎn)詞語(yǔ)的意義，理清它們之間的數(shù)目關(guān)系．本題解題的重點(diǎn)是正確劃分“差的平方”與“平方差”．2．（4分）除以m得商k余1的數(shù)是（）A．mk+mB．C．mk+1D．【分析】讓除數(shù)m乘以商k再加上余數(shù)1即可．【解答】解：所求的數(shù)為mk+1，應(yīng)選：C．【討論】用到的知識(shí)點(diǎn)為：被除數(shù)＝商×除數(shù)+余數(shù)．n+1n22n得（）3．（4分）化簡(jiǎn)（4xy）÷[（﹣xy）]22nD．nA．16xB．4xC．4x16x【分析】先算積的乘方，再算除法．【解答】解：原式＝16x2n+22n2n2n＝16x2y÷xy．應(yīng)選：A．【討論】本題觀察了整式的混淆運(yùn)算．在乘方、乘除的混淆運(yùn)算中，要依據(jù)先乘方后乘除的次序運(yùn)算，其運(yùn)算次序和有理數(shù)的混淆運(yùn)算次序相像．4．（4分）計(jì)算＝（）A．B．C．D．【分析】觀察式子發(fā)現(xiàn)，第3頁(yè)（共11頁(yè)），，，，＝至此問(wèn)題解決．【解答】解：，＝，＝，＝，＝，＝．應(yīng)選：D．【討論】本題觀察因式分解．奇妙利用如，來(lái)解題．5．（4分）一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都是正整數(shù)，且分子比分母小1，若分子和分母都減去1，則所得分?jǐn)?shù)為小于的正數(shù)，則知足上述條件的分?jǐn)?shù)共有（）A．5個(gè)B．6個(gè)C．7個(gè)D．8個(gè)【分析】依據(jù)一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母都是正整數(shù)，且分子比分母小1，即可設(shè)分子是a，則分母是a+1，即可表示出這個(gè)分?jǐn)?shù)，依據(jù)若分子和分母都減去1，則所得分?jǐn)?shù)為小于，即可列出不等式，即可求得a的值，從而求解．【解答】解：設(shè)a是正整數(shù)，該分?jǐn)?shù)表示為．依題意得：＜，所以a可取1，2，3，4，5，6六個(gè)值．所以，知足上述條件的分?jǐn)?shù)共有五個(gè)：，，，，．應(yīng)選：A．【討論】本題主要觀察了不等式的實(shí)質(zhì)應(yīng)用，正確列出不等式以及解不等式是解題重點(diǎn)．第4頁(yè)（共11頁(yè)）6．（4分）已知：|x﹣1|+|x﹣5|＝4，則x的取值范圍是（）A．1≤x≤5B．x≤1C．1＜x＜5D．x≥5【分析】分別討論①x≥5，②1＜x＜5，③x≤1，依據(jù)x的范圍去掉絕對(duì)值，解出x，綜合三種狀況可得出x的最后范圍．【解答】解：從三種狀況考慮：第一種：當(dāng)x≥5時(shí)，原方程即可化簡(jiǎn)為：x﹣1+x﹣5＝4，解得：x＝5；第二種：當(dāng)1＜x＜5時(shí)，原方程即可化簡(jiǎn)為：x﹣1﹣x+5＝4，恒建立；第三種：當(dāng)x≤1時(shí)，原方程即可化簡(jiǎn)為：﹣x+1﹣x+5＝4，解得：x＝1；所以x的取值范圍是：1≤x≤5．應(yīng)選：A．【討論】本題觀察了含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，難度適中，重點(diǎn)是分類討論x的取值范圍．7．（4分）比較m＝和n＝的大小是（）A．m＝nB．m＞nC．m＜nD．不可以確立【分析】運(yùn)用作差法可判斷出m和n的大?。窘獯稹拷猓簃﹣n＝﹣＜0，m＜n．應(yīng)選：C．【討論】本題觀察有理數(shù)大小的比較，有必定難度，重點(diǎn)是掌握做差法的使用．8．（4分）某學(xué)生到工廠勤工儉學(xué)，按合同規(guī)定，干滿30天，工廠將付給他一套工作服和70元錢(qián)，但他工作了20天，因?yàn)檫€有任務(wù)，他中斷了合同，工廠只付給他一套工作服和20元錢(qián)，那么這套工作服值（）A．50元B．60元C．70元D．80元【分析】依據(jù)總酬勞＝工作服款+薪資的等量關(guān)系，可獲得兩個(gè)方程，解方程組即可獲得工作服的價(jià)值．【解答】解：設(shè)一套工作用共需x元，且學(xué)生干一天活可得y元，則依題意得：，第5頁(yè)（共11頁(yè)）解得x＝80，即一套工作服80元，應(yīng)選：D．【討論】本題觀察了二元一次方程組的應(yīng)用，解題重點(diǎn)是要讀懂題目的意思，依據(jù)題目給出的條件，找出適合的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．二、填空題（共8小題，每題5分，滿分40分）9．（5分）已知|x﹣3|+＝﹣．【分析】由題意|x﹣3|+（2x﹣y）2＝0，依據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可以求出x和y的值，此后輩入求解．【解答】解：∵|x﹣3|≥0，（2x﹣y）2≥0，又|x﹣3|+（2x﹣y）2＝0，x﹣3＝0，2x﹣y＝0，x＝3，y＝6，∴＝＝﹣，故答案為：﹣．【討論】本題主要觀察絕對(duì)值的性質(zhì)，當(dāng)x＞0時(shí)，|x|＝x；當(dāng)x≤0時(shí)，|x|＝﹣x，解題的重點(diǎn)是如何依據(jù)已知條件，去掉絕對(duì)值．10．（5分）化簡(jiǎn)：（x+|x|）+（x﹣|x|）+x?|x|+22＝2x﹣x﹣1或2x+x+1．【分析】本題觀察了絕對(duì)值的定義，數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)絕對(duì)值，題中應(yīng)試慮當(dāng)x大于0和當(dāng)x小于0兩種狀況，詳細(xì)分析詳細(xì)解答．【解答】解：原式＝x+|x|+x﹣|x|+x?|x|+＝2x+x?|x|+，當(dāng)x＞0時(shí)，|x|＝x，原式＝2x+x2+1，當(dāng)x＜0時(shí)，|x|＝﹣x，原式＝2x﹣x2﹣1，22故答案為2x+x+1或2x﹣x﹣1．【討論】本題主要觀察了絕對(duì)值的性質(zhì)，數(shù)軸上一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做該數(shù)絕對(duì)值，難度適中．11．（5分）已知方程2（x+1）＝3（x﹣1）的解為a+2，那么方程2[2（x+3）﹣3（x﹣a）]第6頁(yè)（共11頁(yè)）＝3a的解為10．【分析】將方程2（x+1）＝3（x﹣1）的解求出來(lái)使之等于a+2，可求出a的值，再將a的值代入可得出所求方程的解．【解答】解：對(duì)于方程2（x+1）＝3（x﹣1），其解x＝5，即a+2＝5，∴a＝3a＝3代入2[2（x+3）﹣（3﹣a）]＝3a，得：2[2（x+3）﹣3（x﹣3）]＝3×3，4x+12﹣6x+18＝9，∴x＝10．故填10．【討論】本題觀察一元一次方程解的定義，要求嫻熟掌握方程的解即是能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值．12．（5分）若n為自然數(shù)，使﹣1的值是質(zhì)數(shù)的n為2，3．【分析】因?yàn)椹?＝，且n為自然數(shù)，使﹣1的值是質(zhì)數(shù)，將0代入不符合條件，舍去；將2，3代入，可得2與5，符合題意；當(dāng)n≥4，假如n是偶數(shù)，則（n+2）可被2整除，則可得合數(shù)，假如n是奇數(shù)，則（n﹣1）可被2整除，也可得合數(shù)；所以n的值為2，3．【解答】解：∵當(dāng)n＝2時(shí)，﹣1＝2，是質(zhì)數(shù)，當(dāng)n＝3時(shí)，﹣1＝5，是質(zhì)數(shù)，當(dāng)n≥4時(shí)，﹣1＝是合數(shù)，∴若n為自然數(shù)，使﹣1的值是質(zhì)數(shù)的n為2，3．【討論】本題觀察了學(xué)生對(duì)合數(shù)與質(zhì)數(shù)意義的理解，還觀察了因式分解的內(nèi)容．解本題的重點(diǎn)是注意分類討論思想的應(yīng)用．23的值為1994．13．（5分）若x﹣x﹣1＝0，則1995+2x﹣x【分析】由已知，得x2﹣x＝1，再利用因式分解的知識(shí)對(duì)要求的代數(shù)式進(jìn)行降次，進(jìn)行整體代入求解．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，第7頁(yè)（共11頁(yè)）x2﹣x＝1，1995+2x﹣x3＝﹣x（x2﹣x）﹣x2+2x+19952＝﹣x+x+1995＝﹣（x2﹣x）+19951994．故答案為1994．【討論】注意本題的整體代入思想，可以運(yùn)用因式分解的知識(shí)對(duì)代數(shù)式進(jìn)行降次．14．（5分）對(duì)于y的不等式（2a﹣b）y+a﹣5b＞0的解為y，那么對(duì)于y的不等式ay＞b的解為y．【分析】第一依據(jù)不等式（2a﹣b）y+a﹣5b＞0的解為y，解得a、b的值，此后輩入不等式ay＞b解得解集．【解答】解：∵（2a﹣b）y+a﹣5b＞0的解集是y，∴y＜，解得a＝﹣，b＝﹣，∴﹣y＞﹣，∴y．故答案為：y．【討論】本題主要觀察認(rèn)識(shí)不等式．當(dāng)題中有多個(gè)未知字母時(shí)，應(yīng)把對(duì)于某個(gè)字母的不等式中的字母看作未知數(shù)，求得解集，再依據(jù)解集進(jìn)行判斷，求得另一個(gè)字母的值．本題需注意，在不等式兩邊都除以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，應(yīng)改變不等號(hào)的方向．15．（5分）設(shè)n＝是990的倍數(shù)，那么＝240．【分析】先依據(jù)n＝是990的倍數(shù)，可得c＝0，再依據(jù)990是9或11的倍數(shù)，可得a+b＝6或a+b＝15，且a﹣b＝11﹣13，從而求解．【解答】解：∵990|n＝，即10|n，∴c＝0．同時(shí)9|n，且11|n，第8頁(yè)（共11頁(yè)）a+b＝6或a+b＝15，且a﹣b＝11﹣13，∴相應(yīng)的有a＝2，b＝4，或a＝，b＝（不含題意，舍去）∴＝240．故答案為：240．【討論】本題觀察了整數(shù)的十進(jìn)制表示法，解題的重點(diǎn)是熟習(xí)9，10，11的倍數(shù)的特點(diǎn)，有必定的難度．16．（5分）假如在7個(gè)連續(xù)偶數(shù)中，最大數(shù)恰巧是最小數(shù)的3倍，那么最大的一個(gè)數(shù)等于．【分析】想要求最大的數(shù)，就要先設(shè)出未知數(shù)，再經(jīng)過(guò)理解題意可知本題的等量關(guān)系，最大數(shù)為最小數(shù)的3倍，并且最大數(shù)比最小數(shù)大12，依據(jù)等量關(guān)系列方程求解．【解答】解：設(shè)7個(gè)連續(xù)偶數(shù)挨次為n﹣6，n﹣4，n﹣2，n，n+2，n+4，n+6，則由題意可知n+6＝3（n﹣6），∴解得n＝12．所以最大的偶數(shù)為n+6＝18．【討論】解題重點(diǎn)是要讀懂題目的意思，依據(jù)題目給出的條件，找出本題中題目所給出等量關(guān)系，并且列出方程求解．三、解答題（共3小題，滿分48分）17．（16分）證明：32不可以能寫(xiě)成n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和．【分析】假定32可以寫(xiě)成幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，這n個(gè)連續(xù)自然數(shù)挨次為k，k+1，k+n﹣1，則k+k+1++k+n﹣1＝32．＝32即n（2k+n﹣1）＝64＝26n與（2k+n﹣1）都應(yīng)為偶數(shù)．則n為偶數(shù)，且2k為偶數(shù)，n﹣1為奇數(shù)，n為奇數(shù)，矛盾．∴假定錯(cuò)誤．【解答】解：連續(xù)N個(gè)自然數(shù)的和為S＝n+（n+1）+（n+2）+（n+m）＝（2n+m）（m+1）/2若m為奇數(shù)，則2n+m為奇數(shù)若m為偶數(shù)，則m+1為奇數(shù)則N個(gè)自然數(shù)的和必為奇數(shù)*偶數(shù)或奇數(shù)*奇數(shù)32＝25不論怎么分除了1和32以外分不出這樣的奇數(shù)*偶數(shù)，1和第9頁(yè)（共11頁(yè)）32非連續(xù)偶數(shù)，所以32不可以能寫(xiě)成n個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和【討論】本題是經(jīng)過(guò)奇偶數(shù)知識(shí)點(diǎn)解決的問(wèn)題．主要觀察學(xué)生對(duì)奇偶數(shù)正確運(yùn)用，重點(diǎn)是奇偶數(shù)推理論證．18．（16分）一個(gè)樓梯共有10級(jí)臺(tái)階，規(guī)定每步可以邁一級(jí)臺(tái)階或二級(jí)臺(tái)階，最多可以邁三級(jí)臺(tái)級(jí)，從地面上到最上邊一級(jí)臺(tái)階，一共可以有多少種不同樣的邁法？【分析】第一從簡(jiǎn)單狀況下手，如有1級(jí)臺(tái)階，則只有唯一的邁法，如有2級(jí)臺(tái)階，則有兩種邁法，如有3級(jí)臺(tái)階，則有4種邁法，如有4級(jí)臺(tái)階，則依據(jù)第一步邁的級(jí)數(shù)分三類討論：①第一步邁一級(jí)臺(tái)階，那么還剩三級(jí)臺(tái)階，依據(jù)前面分析可知a3＝4種邁法，②第一步邁二級(jí)臺(tái)階，還剩二級(jí)臺(tái)階，依據(jù)前面的分析可知有a2＝2種邁法，③第一步邁三級(jí)臺(tái)階，那么還剩一級(jí)臺(tái)階，還有a1＝1種，此后挨次求出a5、a6、a10．【解答】解：從簡(jiǎn)單狀況下手：（1）如有1級(jí)臺(tái)階，則只有唯一的邁法：a1＝1；（2）如有2級(jí)臺(tái)階，則有兩種邁法：一步一級(jí)或一步二級(jí)，則a2＝2；（3）如有3級(jí)臺(tái)階，則有4種邁法：①一步一級(jí)地走，②第一步邁一級(jí)而第二步邁二級(jí)，③第一步邁二級(jí)而第二步邁一級(jí)，④一級(jí)邁三級(jí)，a3＝4；（4）如有4級(jí)臺(tái)階，則依據(jù)第一步邁的級(jí)數(shù)分三類討論：①第一步邁一級(jí)臺(tái)階，那么還剩三級(jí)臺(tái)階，依據(jù)前面分析可知a3＝4種邁法，②第一步邁二級(jí)臺(tái)階，還剩二級(jí)臺(tái)階，依據(jù)前面的分