高中立體幾何-直線、平面平行的判定與性質課件

高中數(shù)學第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質高中數(shù)學第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質1.直線與平面平行的判定與性質教材研讀

判定性質定義定理圖形

條件a∩α=?①

a?α,b?α,

a∥b

a∥α②

a∥α,a?β,α∩β=b

結論a∥αb∥αa∩α=?a∥b1.直線與平面平行的判定與性質教材研讀判定性質定義定理圖形22.面面平行的判定與性質

判定性質定義定理圖形

條件α∩β=?③

a?β,b?β,

a∩b=P,a∥α,b∥α

④

α∥β,

α∩γ=a,

β∩γ=b

α∥β,a?β結論α∥βα∥βa∥ba∥α判斷下列結論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線,則這條直線平行于這個平面.

(×)2.面面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形????條件α3(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內的任一

條直線.

(×)(3)如果一條直線a與平面α內的無數(shù)條直線平行,則a∥α.(×)(4)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平

行.

(×)(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行.

(×)(6)設l為直線,α,β為兩個不同的平面,若l∥α且l∥β,則α∥β.

(×)(7)若α∥β,直線a∥α,則a∥β.

(×)

(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內的41.若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關系是

()A.平行

B.相交C.異面

D.以上均有可能答案

D與一個平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.2.下列命題中,正確的是

()A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a∥α,b?α,則a∥bC.若a∥α,b∥α,則a∥bD.若a∥b,b∥α,a?α,則a∥α答案

D由直線與平面平行的判定定理知,只有選項D正確.1.若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關系是?(53.設α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α內的兩條不同直線,l1,l2是平面β

內的兩條相交直線,則α∥β的一個充分不必要條件是

()A.m∥l1且n∥l2

B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥β

D.m∥β且l1∥α答案

A由m∥l1,m?α,l1?β,得l1∥α,同理,l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,

反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個充分不必要條件.3.設α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α內的兩條不同直線64.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:①a與β內的所有直線平行;②a與β內無數(shù)條直線平行;③a與β內的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號是

.答案②解析由面面平行的性質可知,過a與β相交的平面與β的交線才與a平

行,故①錯誤;②正確;平面β內的直線與直線a平行、異面均可,其中包括

異面垂直,故③錯誤.4.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:75.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結論中,正確的是

(只填序

號).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析

如圖,因為ABC1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1∥BC1,從而①正確;易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,從而②正確;由圖易知AD1與DC1異面,故③錯誤;因AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正確.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結論中,正確的8考點一直線與平面平行的判定和性質典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點.(1)證明AD1∥平面BDC1;(2)證明BD∥平面AB1D1.

證明(1)∵D1,D分別為A1C1與AC的中點,四邊形ACC1A1為平行四邊形,∴C1D1

DA,∴四邊形ADC1D1為平行四邊形,∴AD1∥C1D,考點突破考點一直線與平面平行的判定和性質考點突破9又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D,∵BB1∥平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,(2)連接D110∴BB1∥D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點,∴BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,∴BD∥B1D1,又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.∴BB1∥D1D,11方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).方法技巧12變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點”變?yōu)椤癉,

D1分別為AC,A1C1上的點”,則當

等于何值時,BC1∥平面AB1D1?解析當

=1時,BC1∥平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點,此時

=1,連接A1B交AB1于點O,連接OD1,由棱柱的性質知四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴O為A1B的中點,在△A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點,變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的13∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1,∴當

=1時,BC1∥平面AB1D1.∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB14考點二平面與平面平行的判定與性質典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1

C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.

證明(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點,∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.考點二平面與平面平行的判定與性質15又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.易知A1GEB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,16方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另

一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化進行證

明.方法技巧172-1一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所

示.

(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系,并證明你的結論.2-1一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖18

(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.解析(1)點F,G,H的位置如圖所示.?解析(1)點F,G,H的位置如圖所示.19考點三平行關系的綜合問題典例3

如圖所示,平面α∥平面β,點A∈α,點C∈α,點B∈β,點D∈β,點E,F

分別在線段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求證:EF∥平面β;(2)若E,F分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60°,求

EF的長.

考點三平行關系的綜合問題20解析(1)證明:①當AB,CD在同一平面內時,由平面α∥平面β,平面α∩

平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD.∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF?β,BD?β,∴EF∥平面β.②當AB與CD異面時,如圖所示,設平面ACD∩平面β=DH,且DH=AC,

解析(1)證明:①當AB,CD在同一平面內時,由平面α∥平21∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,∴AC∥DH,∴四邊形ACDH是平行四邊形,在AH上取一點G,使AG∶GH=CF∶FD,連接EG,FG,BH.則AE∶EB=CF∶FD=AG∶GH.∴GF∥HD,EG∥BH.又EG∩GF=G,BH∩HD=H,∴平面EFG∥平面β.又EF?平面EFG,∴EF∥平面β.綜合①②可知EF∥平面β.(2)如圖所示,連接AD,取AD的中點M,連接ME,MF.∵平面α∥平面β,平面α∩平面ACDH=AC,22

∵E,F分別為AB,CD的中點,∴ME∥BD,MF∥AC,且ME=

BD=3,MF=

AC=2.∴∠EMF為AC與BD所成的角或其補角,∴∠EMF=60°或120°.∴在△EFM中,由余弦定理得EF=

=

=

,即EF=

或EF=

.?EF=?231.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關系,它們之

間可以相互轉化,其轉化關系如下:

規(guī)律總結2.在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的

轉化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應用性

質定理時,其順序正好相反,但也要注意,轉化的方向總是由題目的具體

條件而定,絕對不可過于“模式化”.1.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關系,它243-1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接AC、BD交于點O,P是

DD1的中點,設Q是CC1上的點.問:當點Q在什么位置時,平面D1BQ∥平面

PAO?

3-1如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,連接25解析當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.證明:∵在正方體AC1中,Q為CC1的中點,P為DD1的中點,∴易知QB∥PA.∵QB?平面PAO,PA?平面PAO,∴QB∥平面PAO.∵P、O分別為DD1、DB的中點,∴PO∥D1B,又∵D1B?平面PAO,PO?平面PAO,∴D1B∥平面PAO,又∵D1B∩QB=B,D1B?平面D1BQ,QB?平面D1BQ,∴平面D1BQ∥平面PAO.解析當Q為CC1的中點時,平面D1BQ∥平面PAO.26高中數(shù)學第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質高中數(shù)學第四節(jié)直線、平面平行的判定與性質1.直線與平面平行的判定與性質教材研讀

判定性質定義定理圖形

條件a∩α=?①

a?α,b?α,

a∥b

a∥α②

a∥α,a?β,α∩β=b

結論a∥αb∥αa∩α=?a∥b1.直線與平面平行的判定與性質教材研讀判定性質定義定理圖形282.面面平行的判定與性質

判定性質定義定理圖形

條件α∩β=?③

a?β,b?β,

a∩b=P,a∥α,b∥α

④

α∥β,

α∩γ=a,

β∩γ=b

α∥β,a?β結論α∥βα∥βa∥ba∥α判斷下列結論的正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內的一條直線,則這條直線平行于這個平面.

(×)2.面面平行的判定與性質判定性質定義定理圖形????條件α29(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內的任一

條直線.

(×)(3)如果一條直線a與平面α內的無數(shù)條直線平行,則a∥α.(×)(4)如果一個平面內的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平

行.

(×)(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內的兩條直線平行.

(×)(6)設l為直線,α,β為兩個不同的平面,若l∥α且l∥β,則α∥β.

(×)(7)若α∥β,直線a∥α,則a∥β.

(×)

(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內的301.若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關系是

()A.平行

B.相交C.異面

D.以上均有可能答案

D與一個平面平行的兩條直線可以平行、相交,也可以異面.2.下列命題中,正確的是

()A.若a∥b,b?α,則a∥αB.若a∥α,b?α,則a∥bC.若a∥α,b∥α,則a∥bD.若a∥b,b∥α,a?α,則a∥α答案

D由直線與平面平行的判定定理知,只有選項D正確.1.若兩條直線都與一個平面平行,則這兩條直線的位置關系是?(313.設α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α內的兩條不同直線,l1,l2是平面β

內的兩條相交直線,則α∥β的一個充分不必要條件是

()A.m∥l1且n∥l2

B.m∥β且n∥l2C.m∥β且n∥β

D.m∥β且l1∥α答案

A由m∥l1,m?α,l1?β,得l1∥α,同理,l2∥α,又l1,l2相交,所以α∥β,

反之不成立,所以m∥l1且n∥l2是α∥β的一個充分不必要條件.3.設α,β是兩個不同的平面,m,n是平面α內的兩條不同直線324.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:①a與β內的所有直線平行;②a與β內無數(shù)條直線平行;③a與β內的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號是

.答案②解析由面面平行的性質可知,過a與β相交的平面與β的交線才與a平

行,故①錯誤;②正確;平面β內的直線與直線a平行、異面均可,其中包括

異面垂直,故③錯誤.4.已知平面α∥β,直線a?α,有下列命題:335.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結論中,正確的是

(只填序

號).①AD1∥BC1;②平面AB1D1∥平面BDC1;③AD1∥DC1;④AD1∥平面BDC1.答案①②④解析

如圖,因為ABC1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,故AD1∥BC1,從而①正確;易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,故平面AB1D1∥平面BDC1,從而②正確;由圖易知AD1與DC1異面,故③錯誤;因AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,故AD1∥平面BDC1,故④正確.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,下列結論中,正確的34考點一直線與平面平行的判定和性質典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,D,D1分別為AC,A1C1的中點.(1)證明AD1∥平面BDC1;(2)證明BD∥平面AB1D1.

證明(1)∵D1,D分別為A1C1與AC的中點,四邊形ACC1A1為平行四邊形,∴C1D1

DA,∴四邊形ADC1D1為平行四邊形,∴AD1∥C1D,考點突破考點一直線與平面平行的判定和性質考點突破35又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D,∵BB1∥平面ACC1A1,BB1?平面BB1D1D,平面ACC1A1∩平面BB1D1D=D1D,又AD1?平面BDC1,C1D?平面BDC1,(2)連接D136∴BB1∥D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點,∴BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,∴BD∥B1D1,又BD?平面AB1D1,B1D1?平面AB1D1,∴BD∥平面AB1D1.∴BB1∥D1D,37方法技巧證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a?α,b?α,a∥b?a∥α);(3)利用面面平行的性質定理(α∥β,a?α?a∥β);(4)利用面面平行的性質(α∥β,a?β,a∥α?a∥β).方法技巧38變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點”變?yōu)椤癉,

D1分別為AC,A1C1上的點”,則當

等于何值時,BC1∥平面AB1D1?解析當

=1時,BC1∥平面AB1D1.如圖,取D1為線段A1C1的中點,此時

=1,連接A1B交AB1于點O,連接OD1,由棱柱的性質知四邊形A1ABB1為平行四邊形,∴O為A1B的中點,在△A1BC1中,點O,D1分別為A1B,A1C1的中點,變式1-1若將本例中的條件“D,D1分別為AC,A1C1的39∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB1D1,∴BC1∥平面AB1D1,∴當

=1時,BC1∥平面AB1D1.∴OD1∥BC1,又OD1?平面AB1D1,BC1?平面AB40考點二平面與平面平行的判定與性質典例2如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1

C1的中點,求證:(1)B,C,H,G四點共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.

證明(1)∵G,H分別是A1B1,A1C1的中點,∴GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.考點二平面與平面平行的判定與性質41又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點共面.(2)∵E,F分別是AB,AC的中點,∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.易知A1GEB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,∴平面EFA1∥平面BCHG.又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,42方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另

一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化進行證

明.方法技巧432-1一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所

示.

(1)請將字母F,G,H標記在正方體相應的頂點處(不需說明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系,并證明你的結論.2-1一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖44

(2)平面BEG∥平面ACH.證明如下:因為ABCD-EFGH為正方體,所以BC∥EH,BC=EH,于是四邊形BCHE為平行四邊形,所以BE∥CH.又CH?平面ACH,BE?平面ACH,所以BE∥平面ACH.同理,BG∥平面ACH,又BE∩BG=B,所以平面BEG∥平面ACH.解析(1)點F,G,H的位置如圖所示.?解析(1)點F,G,H的位置如圖所示.45考點三平行關系的綜合問題典例3

如圖所示,平面α∥平面β,點A∈α,點C∈α,點B∈β,點D∈β,點E,F

分別在線段AB,CD上,且AE∶EB=CF∶FD.(1)求證:EF∥平面β;(2)若E,F分別是AB,CD的中點,AC=4,BD=6,且AC,BD所成的角為60°,求

EF的長.

考點三平行關系的綜合問題46解析(1)證明:①當AB,CD在同一平面內時,由平面α∥平面β,平面α∩

平面ABDC=AC,平面β∩平面ABDC=BD,知AC∥BD.∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD.又EF?β,BD?β,∴EF∥平面β.②當AB與CD異面時,如圖所示,設平面ACD∩平面β=DH,且DH=AC