對策與決策模型ppt-第八章對策與決策模型課件

第八章對策與決策模型浙江大學(xué)城市學(xué)院第八章對策與決策模型浙江大學(xué)城市學(xué)院1第八章對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會遇到的擇優(yōu)活動。人們在處理一個(gè)問題時(shí)，往往會面臨幾種情況，同時(shí)又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動目的選定一種方案，以期獲得最佳的結(jié)果。有時(shí)，人們面臨的問題具有競爭性質(zhì)，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動、政治派別的斗爭等等。這時(shí)競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時(shí)的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當(dāng)作對策問題來求解。第八章對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中2§8.1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察幾個(gè)實(shí)際例子。

例8.1

（田忌賽馬）

田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時(shí)期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。

§8.1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互3例8.2

（石頭—剪子—布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時(shí)不得分，見下表。表8.1石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10例8.2（石頭—剪子—布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的4例8.3

（囚犯的困惑）警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)，這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個(gè)月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表8.2嫌疑犯B供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯A供認(rèn)不供認(rèn)（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。例8.3（囚犯的困惑）警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕5一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個(gè)決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略，在例8.3中，局中人是A、B兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。從這些簡單實(shí)例中可以看出對策現(xiàn)象中包含的幾個(gè)基本要素。一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題6（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。對策問題中，對應(yīng)于每一局中人存在著一個(gè)策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個(gè)策略，否則該局中人可從此對策問題中刪去，因?yàn)閷λ麃碇v，不存在選擇策略的余地。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個(gè)競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看和一個(gè)完整策略的組成部分，而不能看成一個(gè)完整的策略。當(dāng)然，有時(shí)可將它看成一個(gè)多階段對策中的子對策。策略集合可以是有限集也可以是無限集。策略集為有限集時(shí)稱為有限對策，否則稱為無限對策。

記局中人i的策略集合為Si。當(dāng)對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個(gè)純局勢（簡稱局勢）。

（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可7例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A選擇策略i而B選策略j，則（i,j）就構(gòu)成此對策的一個(gè)純局勢。顯然，SA與SB一共可構(gòu)成m×n個(gè)純局勢，它們構(gòu)成表8.3。對策問題的全體純局勢構(gòu)成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA8（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結(jié)果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢集合S上的矢值函數(shù)，對于S中的每一純局勢S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應(yīng)贏得（或支付）的值。綜上所述，一個(gè)對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對每一i∈I，有一策略集合Si，當(dāng)I中每一局中人i選定策略后得一個(gè)局勢s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)為在局勢s下局中人i的贏得（或支付）。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。例如，表8.2就給出了例8.3的局勢集合和贏得函數(shù)。（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結(jié)果用矢量表示，稱之為9二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確定后，A之所得恰為B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣

表示若A選取策略i而B選取策略j，則A之所得為aij（當(dāng)aij<0時(shí)為支付）。二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確10在有些兩人對策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表8.4中，無論A、B怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10，此時(shí)，若將各人贏得數(shù)減去兩人的平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表。表8.4中的對策在轉(zhuǎn)化為零和對策后，具有贏得矩陣表8.4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)在有些兩人對策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方11給定一個(gè)兩人對策只需給出局中人A、B的策略集合SA、SB及表示雙方贏得值的贏得矩陣R。綜上所述，當(dāng)遇到零和對策或可轉(zhuǎn)化為零和對策的問題時(shí)，R可用通常意義下的矩陣表示，否則R的元素為一兩維矢量。故兩人對策G又可稱為矩陣對策并可簡記成G={SA,SB,R}給定一個(gè)兩人對策只需給出局中人A、B的策略集合SA、SB及表12例8.4

給定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

從R中可以看出，若A希望獲得最大贏利30，需采取策略1，但此時(shí)若B采取策略4，A非但得不到30，反而會失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對方有使自己損失最大的動機(jī)，在最壞的可能中爭取最好的結(jié)果。局中人A采取策略1、2、3時(shí)，最壞的贏得結(jié)果分別為min{12,－6,30,－22}=－22min{14,2,18,10}=2min{－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能為max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，無論B采取什么策略，A的贏得均不會少于2.例8.4給定G={SA,SB,R}，其中SA13B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。當(dāng)B采取策略2時(shí)，其損失不會超過2。注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時(shí)，只要對方不改變策略，任一局中人都不可能通過變換策略來增大贏得或減小損失，稱這樣的局勢為對策的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或穩(wěn)定解，（注：也被稱為鞍點(diǎn)）定義8.1

對于兩人對策G={SA,SB,R}，若有，則稱G具有穩(wěn)定解，并稱VG為對策G的值。若純局勢（）使得，則稱（）為對策G的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（）相對應(yīng)的元素稱為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，與分別稱為局中人A與B的最優(yōu)策略。對（8.1）式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。給定一個(gè)對策G，如何判斷它是否具有鞍點(diǎn)呢？為了回答這一問題，先引入下面的極大極小原理。B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=1414定理8.1

設(shè)G={SA,SB,R}，記，則必有μ+ν≤0證明:，易見μ為A的最小贏得，ν為B的最小贏得，由于G是零和對策，故μ+ν≤0必成立。定理8.2

零和對策G具有穩(wěn)定解的充要條件為μ+ν=0。

證明：

（充分性）由μ和ν的定義可知，存在一行（例如p行）μ為p行中的最小元素且存在一列（例如q列），－ν為q列中的最大元素。故有apq≥μ且apq≤－ν又因μ+ν=0，所以μ=－ν，從而得出apq=μ，apq為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，（p,q）為G的穩(wěn)定解。

定理8.1設(shè)G={SA,SB,R}，記15（必要性）若G具有穩(wěn)定解（p,q），則apq為贏得矩陣的鞍點(diǎn)。故有

從而可得μ+ν≥0，但根據(jù)定理8.1，μ+ν≤0必成立，故必有μ+ν=0。上述定理給出了對策問題有穩(wěn)定解（簡稱為解）的充要條件。當(dāng)對策問題有解時(shí)，其解可以不唯一。例如，若

則易見，（2,2），（2,4），（4,2），（4,4）均為此對策問題的解。一般又可以證明。（必要性）若G具有穩(wěn)定解（p,q），則apq為16定理8.3對策問題的解具有下列性質(zhì)：（1）無差別性。若（,）與（,）同為對策G的解，則必有。（2）可交換性。若（,j1）、（,j2）均為對策G的解，則（,j2）和（,j1）也必為G的解。

定理8.3的證明非常容易，作為習(xí)題留給讀者自己去完成。定理8.3對策問題的解具有下列性質(zhì)：（1）無差別性。若（17具有穩(wěn)定解的零和對策問題是一類特別簡單的對策問題，它所對應(yīng)的贏得矩陣存在鞍點(diǎn)，任一局中人都不可能通過自己單方面的努力來改進(jìn)結(jié)果。然而，在實(shí)際遇到的零和對策中更典型的是μ+ν≠0的情況。由于贏得矩陣中不存在鞍點(diǎn)，至少存在一名局中人，在他單方面改變策略的情況下，有可能改善自己的收益。例如，考察（8.1）中的贏得矩陣R。若雙方都采取保守的maxmin原則，將會出現(xiàn)純局勢（

4,1）或（4,3）。但如果局中人A適當(dāng)改換策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略1，而A改換策略1，則A可收益3。但此時(shí)若B改換策略

2，又會使A輸?shù)?，……。此時(shí)，在只使用純策略的范圍內(nèi)，對策問題無解。這類決策如果只進(jìn)行一次，局中人除了碰運(yùn)氣以外別無辦法。但如果這類決策要反復(fù)進(jìn)行多次，則局中人固定采用一種策略顯然是不明智的，因?yàn)橐坏κ挚闯瞿銜捎檬裁床呗?，他將會選用對自己最為有利的策略。這時(shí)，局中人均應(yīng)根據(jù)某種概率來選用各種策略，即采用混合策略的辦法，使自己的期望收益盡可能大。

具有穩(wěn)定解的零和對策問題是一類特別簡單的對策問題，它所對應(yīng)的18設(shè)A方用概率xi選用策略i，B方用概率yj選用策略j，，且雙方每次選用什么策略是隨機(jī)的，不能讓對方看出規(guī)律，記X=(x1,…,xm)T，Y=(y1,…,yn)T，則A的期望贏得為E(X,Y)=XTRY其中，R為A方的贏得矩陣。記SA:策略α1,…,αmSB:策略β1,…,βn概率x1,…,xm概率y1,…,yn分別稱SA與SB為A方和B方的混合策略。對于需要使用混合策略的對策問題，也有具有穩(wěn)定解的對策問題的類似結(jié)果。設(shè)A方用概率xi選用策略i，B方用概率yj選用策略19定義8.2若存在m維概率向量和n維概率向量，使得對一切m維概率向量X和n維概率向量y有則稱（,）為混合策略對策問題的鞍點(diǎn)。定理8.4（VonNeumann）任意混合策略對策問題必存在鞍點(diǎn)，即必存在概率向量和，使得：（證明從略）。使用純策略的對策問題（具有穩(wěn)定解的對策問題）可以看成使用混合策略的對策問題的特殊情況，相當(dāng)于以概率1選取其中某一策略，以概率0選取其余策略。對于雙方均只有兩種策略的對策問題（即2×2對策），可按幾何方法求解。借助幾何方法也可以解m×2或2×n的使用混合策略的對策問題。但當(dāng)m>2且n>2時(shí)，采用幾何方法求解就變得相當(dāng)麻煩，此時(shí)通常采用線性規(guī)劃方法求解。定義8.2若存在m維概率向量和n維概率向量，使得對一切m20A方選擇混合策略的目的是使得其中ej為只有第j個(gè)分量為1而其余分量均為零的向量，Ej

=XTRej。記，由于，在yk=1，yj=0（j≠k）時(shí)達(dá)到最大值u，

A方選擇混合策略的目的是使得其中ej為只有第j個(gè)分21故應(yīng)為線性規(guī)劃問題

minu

,j=1,2,…,n(即Ej≤Ek)xi≥0,i=1,2,…,mS.t的解。同理，應(yīng)為線性規(guī)劃maxν

,i=1,2,…,myj≥0,i=1,2,…,nS.t的解。故應(yīng)為線性規(guī)劃問題minu,j=1,222由線性規(guī)劃知識，（8.2）與（8.3）互為對偶線性規(guī)劃，它們具有相同的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。關(guān)于線性規(guī)劃對偶理論，有興趣的讀者可以參閱有關(guān)書籍，例如魯恩伯杰的“線性與非線性規(guī)劃引論”。

為了尋找例8.5中A方的最優(yōu)混合策略，求解線性規(guī)劃minuS.t0.82x1+x2≤u

x1+0.58x2≤u

x1+x2=1

x1,x2≥0可得最優(yōu)混合策略x1=0.7,x2=0.3。類似求解線性規(guī)劃maxυS.t0.82y1+y2≤υ

y1+0.58y2≥υ

y1+y2=1

y1,y2≥0可得B方最優(yōu)混合策略：y1=0.7,y2=0.3。由線性規(guī)劃知識，（8.2）與（8.3）互為對偶線性規(guī)劃，它們23三、非零和對策除了零和對策外，還存在著另一類對策問題，局中人獲利之和并非常數(shù)。例8.4現(xiàn)有一對策問題，雙方獲利情況見表8.5。表8.5B方A方1231234（8,2）（3,4）（1,6）（4,2）（0,9）（9,0）（6,2）（4,6）（7,3）（2,7）（8,1）（5,1）假如A、B雙方仍采取穩(wěn)妥的辦法，A發(fā)現(xiàn)如采取策略4，則至少可獲利4，而B發(fā)現(xiàn)如采取策略1，則至少可獲利2。因而，這種求穩(wěn)妥的想法將導(dǎo)至出現(xiàn)局勢（4，2）。三、非零和對策除了零和對策外，還存在著另一類對策問題，局中人24容易看出，從整體上看，結(jié)果并不是最好的，因?yàn)殡p方的總獲利有可能達(dá)到10。不難看出，依靠單方面的努力不一定能收到良好的效果?？磥?，對這一對策問題，雙方最好還是握手言和，相互配合，先取得總體上的最大獲利，然后再按某一雙方均認(rèn)為較為合理的方式來分享這一已經(jīng)獲得的最大獲利。例8.4說明，總獲利數(shù)并非常數(shù)的對策問題（即不能轉(zhuǎn)化為零和對策的問題），是一類存在著合作基礎(chǔ)的對策問題。當(dāng)然，這里還存在著一個(gè)留待解決而又十分關(guān)鍵的問題：如何分享總獲利，如果不能達(dá)到一個(gè)雙方（或各方）都能接受的“公平”的分配原則，則合作仍然不能實(shí)現(xiàn)。怎樣建立一個(gè)“公平”的分配原則是一個(gè)較為困難的問題，將在第九章中介紹。

最后，我們來考察幾個(gè)對策問題的實(shí)例。容易看出，從整體上看，結(jié)果并不是最好的，因?yàn)殡p方的總獲利有可25例8.6（戰(zhàn)例分析）1944年8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國諾曼第不久，立即從海防前線穿過海峽，向Avranches進(jìn)軍。美軍第一軍和英軍的行動直接威脅到德軍第九軍。美軍第三軍也開到了Avranches的南部，雙方軍隊(duì)所處的地理位置如圖8.2所示。美軍方面的指揮官是Bradley將軍，德軍指揮官是VonKluge將軍。VonKluge將軍面臨的問題是或者向西進(jìn)攻，加強(qiáng)他的西部防線，切斷美軍援助；或者撤退到東部，占據(jù)塞那河流域的有利地形，并能得到德軍第十五軍的援助。Bradley將軍的問題是如何調(diào)動他的后備軍，后備軍駐扎在海峽南部。Bradley將軍有三種可供選擇的策略：他可以命令后備軍原地待命，當(dāng)海峽形勢危急時(shí)支援第一軍或出擊東部敵人，以減輕第一軍的壓力。雙方應(yīng)如何決策，使自己能有較大的機(jī)會贏得戰(zhàn)爭的勝利呢？

例8.6（戰(zhàn)例分析）1944年8月，美軍第一軍和英軍占領(lǐng)法國26由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進(jìn)行的對策問題，看來最大的可能是美軍采取策略3而德軍采取策略2，即美方后備軍待命而德軍第九軍東撤。事實(shí)上，當(dāng)時(shí)雙方指揮官正是這樣決策的，如果真能實(shí)行，雙方勝負(fù)還難以料定。但正當(dāng)?shù)萝姷诰跑妱傞_始東撤時(shí)，突然接到了希特勒的命令要他們向西進(jìn)攻，從而失去了他們有可能取得的最佳結(jié)局，走上必然滅亡的道路。VonKluge將軍指揮的德軍向西進(jìn)攻，開始時(shí)德軍占領(lǐng)了海峽，但隨之即被美軍包圍遭到了全軍復(fù)滅，VonKluge本人在失敗后自殺。

由于兩軍作戰(zhàn)并非可以反復(fù)進(jìn)行的對策問題，看來最大的可能是美軍27§8.2決策問題人們在處理問題時(shí)，常常會面臨幾種可能出現(xiàn)的自然情況，同時(shí)又存在著幾種可供選擇的行動方案。此時(shí)，需要決策者根據(jù)已知信息作決策，即選擇出最佳的行動方案，這樣的問題稱為決策問題。面臨的幾種自然情況叫做自然狀態(tài)或簡稱狀態(tài)。

狀態(tài)是客觀存在的，是不可控因素?？晒┻x擇的行動方案叫做策略，這是可控因素，選擇哪一方案由決策者決定。

§8.2決策問題人們在處理問題時(shí)，常常會面臨幾種可能出現(xiàn)28例8.8在開采石油時(shí)，會遇到是否在某處鉆井的問題。盡管勘探隊(duì)已作了大量調(diào)研分析，但由于地下結(jié)構(gòu)極為復(fù)雜，仍無法準(zhǔn)確預(yù)測開采的結(jié)果，決策者可以決定鉆井，也可以決定不鉆井。設(shè)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和勘探資料，決策者已掌握一定的信息并列出表8.7。表8.7000不鉆井（2）

4020－30鉆井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（億元）高產(chǎn)油井（3）

一般（2）

無油（1）

自然狀態(tài)概率

收益方案問：決策者應(yīng)如何作出決策？例8.8在開采石油時(shí)，會遇到是否在某處鉆井的問題。盡管勘29解：由題意可以看出，決策問題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果決策者選取策略i而出現(xiàn)的狀態(tài)為j，則決策者的收益值為aij（當(dāng)aij為負(fù)值時(shí)表示損失值）。決策問題按自然狀態(tài)的不同情況，常被分為三種類型：確定型、風(fēng)險(xiǎn)型（或隨機(jī)型）和不確定型。確定型決策是只存在一種可能自然狀態(tài)的決策問題。這種決策問題的結(jié)構(gòu)較為簡單，決策者只需比較各種方案，確定哪一方案最優(yōu)即可。值得一提的是策略集也可以是無限集，例如，線性規(guī)劃就可行看成一個(gè)策略集是限集的確定型決策，問題要求決策者從可行解集合（策略集）中挑選出最優(yōu)解。確定型決策的求解并非全是簡單的，但由于這些問題一般均有其自己的專門算法，本節(jié)不準(zhǔn)備再作介紹。在本節(jié)中，我們主要討論風(fēng)險(xiǎn)型與不確定型決策，并介紹它們的求解方法。解：由題意可以看出，決策問題應(yīng)包含三方面信息：狀態(tài)集合決策問30一、風(fēng)險(xiǎn)型決策問題在風(fēng)險(xiǎn)型決策問題中存在著兩種以上可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)。決策者不知道究竟會出現(xiàn)哪一種狀態(tài)，但知道各種狀態(tài)出現(xiàn)的概率有多大。例如，例8.8就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題。對于風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，最常用的決策方法是期望值法，即根據(jù)各方案的期望收益或期望損失來評估各方案的優(yōu)劣并據(jù)此作出決策。如對例1，分別求出方案1（鉆井）和2（不鉆井）的期望收益值：E（1）=0.2×（－30）+0.5×20+0.3×40=16（萬元）E（2）=0由于E（1）＞E（2），選取1作為最佳策略。一、風(fēng)險(xiǎn)型決策問題在風(fēng)險(xiǎn)型決策問題中存在著兩種以上可31對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用較直觀的決策樹方法，但從本質(zhì)上講，決策樹方法仍然是一種期望值法。

例8.9某工程按正常速度施工時(shí)，若無壞天氣影響可確保在30天內(nèi)按期完工。但根據(jù)天氣預(yù)報(bào)，15天后天氣肯定變壞。有40%的可能會出現(xiàn)陰雨天氣而不影響工期，在50%的可能會遇到小風(fēng)暴而使工期推遲15天，另有10%的可能會遇到大風(fēng)暴而使工期推遲20天。對于可能出現(xiàn)的情況，考慮兩種方案：（1）提前緊急加班，在15天內(nèi)完成工程，實(shí)施此方案需增加開支18000元。

（2）先按正常速度施工，15天后根據(jù)實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決策。如遇到陰雨天氣，則維持正常速度，不必支付額外費(fèi)用。如遇到小風(fēng)暴，有兩個(gè)備選方案：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi)20000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施有三種可能結(jié)果：有50%可能減少誤工期1天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共24000元；有30%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共18000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費(fèi)用和延期損失費(fèi)共12000元。對于較為復(fù)雜的決策問題，尤其是需要作多階段決策的問題，常采用32如遇大風(fēng)暴，也有兩個(gè)方案可供選擇：（i）維持正常速度施工，支付工程延期損失費(fèi)50000元。（ii）采取應(yīng)急措施。實(shí)施此應(yīng)急措施也有三種可能結(jié)果：有70%可能減少誤工期2天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共54000元；有20%可能減少誤工期3天，支付應(yīng)急費(fèi)及誤工費(fèi)共46000元；有10%可能減少誤工期4天，支付應(yīng)急費(fèi)和誤工費(fèi)共38000元。根據(jù)上述情況，試作出最佳決策使支付的額外費(fèi)用最少。解：由于未來的天氣狀態(tài)未知，但各種天氣狀況出現(xiàn)的概率已知，本例是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)型決策問題，所謂的額外費(fèi)用應(yīng)理解為期望值。

本例要求作多次決策，工程初期應(yīng)決定是按正常速度施工還是提前緊急加班。如按正常速度施工，則15天后還需根據(jù)天氣狀況再作一次決策，以決定是否采取應(yīng)急措施，故本例為多階段（兩階段）決策問題。為便于分析和決策，采用決策樹方法。根據(jù)題意，作決策樹如圖8.6如遇大風(fēng)暴，也有兩個(gè)方案可供選擇：（i）維持正常速度施工，支33圖8.6中，□表示決策點(diǎn)，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的數(shù)目就是方案的個(gè)數(shù)?！鸨硎緳C(jī)會節(jié)點(diǎn)，從它分出的分枝稱為概率分枝，一條概率分枝對應(yīng)一條自然狀態(tài)并標(biāo)有相應(yīng)的發(fā)生概率?！鞣Q為未梢節(jié)點(diǎn)，右邊的數(shù)字表示相應(yīng)的收益值或損失值。圖8.6中，□表示決策點(diǎn)，從它分出的分枝稱為方案分枝，分枝的34在決策樹上由右向左計(jì)算各機(jī)會節(jié)點(diǎn)處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)旁。遇到?jīng)Q策點(diǎn)則比較各方案分枝的效益期望值以決定方案的優(yōu)劣，并且用雙線劃去淘汰掉的方案分枝，在決策點(diǎn)旁標(biāo)上最佳方案的效益期望值，計(jì)算步驟如下：（1）在機(jī)會節(jié)點(diǎn)E、F處計(jì)算它們的效益期望值E(E)=0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800（2）在第一級決策點(diǎn)C、D處進(jìn)行比較，在C點(diǎn)處劃去正常速度分枝，在D處劃去應(yīng)急分枝。

（3）計(jì)算第二級機(jī)會節(jié)點(diǎn)B處的效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并將－14900標(biāo)在B點(diǎn)旁。在決策樹上由右向左計(jì)算各機(jī)會節(jié)點(diǎn)處的期望值，并將結(jié)果標(biāo)在節(jié)點(diǎn)35（4）在第二級決策點(diǎn)A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－14900標(biāo)在A點(diǎn)旁。

結(jié)論最佳決策為前15天按正常速度施工，15天后按實(shí)際出現(xiàn)的天氣狀況再作決定。如出現(xiàn)陰雨天氣，仍維持正常速度施工；如出現(xiàn)小風(fēng)暴，則采取應(yīng)急措施；如出現(xiàn)大風(fēng)暴，也按正常速度施工，整個(gè)方案總損失的期望值為－14900元。

根據(jù)期望值大小決策是隨機(jī)型決策問題最常用的辦法之一。實(shí)際應(yīng)用時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情況作出分析，選取期望收益最大或期望損失最小的方案。（4）在第二級決策點(diǎn)A處進(jìn)行方案比較，劃去提前緊急加班，將－36二、不確定型決策問題只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然狀態(tài)發(fā)生的概率未知的決策問題稱為不確定型決策問題，由于概率未知，期望值方法不能用于這類決策問題。下面結(jié)合一個(gè)例子，介紹幾種處理這類問題的方法。例8.10設(shè)存在五種可能的自然狀態(tài)，其發(fā)生的概率未知。有四種可供選擇的行動方案，相應(yīng)的收益值見表8.7表8.866653415964387543266544154321自然狀態(tài)方案二、不確定型決策問題只知道有幾種可能自然狀態(tài)發(fā)生，但各種自然37（1）樂觀法（maxmax原則）

采用樂觀法時(shí)，決策者意在追求最大可能收益。他先計(jì)算每一方案的最大收益值，再比較找出其中的最大者，并采取這一使最大收益最大的方案，在例8.10中，maxa1j=6，maxa2j=8，maxa3j=9，maxa4j=6，而max{6，8，9，6}=9，采取方案3。（2）悲觀法（maxmin原則）采用悲觀法時(shí)，決策者意在安全保險(xiǎn)。他先求每一方案的最小收益,再比較找出其中的最大者，并采取這一使最小收益值最大化的方案。對于例8.10，mina1j=4，mina2j=3，mina3j=1，mina4j=3。因?yàn)閙ax{4,3，1，3}=4,采取方案1。（3）樂觀系數(shù)法（Hurwicz決策準(zhǔn)則）樂觀系數(shù)法采用折中的辦法，引入一個(gè)參數(shù)t，0≤t≤1，稱t為樂觀系數(shù)。作決策時(shí)，決策者先適當(dāng)選取一個(gè)t的值；再對各方案1求出；最后再作比較，找出使最大的方案。在例8.10中，若取t=0.5，采用樂觀系數(shù)法決策，將選取方案2。易見，t=1對應(yīng)樂觀法，而t=0則對應(yīng)于悲觀法。（1）樂觀法（maxmax原則）采用樂觀法時(shí)，38（4）等可能法（Laplace準(zhǔn)則）由于不能估計(jì)各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，決策者認(rèn)為它們相差不會過大。此時(shí)，決策者采用將各狀態(tài)的概率取成相同值的辦法把問題轉(zhuǎn)化為風(fēng)險(xiǎn)型，并借用風(fēng)險(xiǎn)型問題的期望值法來決策。對于例8.10，如取各狀態(tài)出現(xiàn)的概率均為0.2，用期望值法決策，將選取策略2。不難看出，對于不確定型決策問題，不論采用什么方法決策，最終采用的策略都不能稱為最佳策略。事實(shí)上，采取什么方法決策與決策者的心理狀態(tài)有關(guān)。而且，即使對同一決策者，在處理不同決策問題時(shí)也可能采取不同的方法。例如，在決定購買幾元錢一張的對獎券時(shí)，決策者也許會采用樂觀法。因?yàn)閹自X的損失對他來講是無所謂的事，小額獎金他也許看不上眼，要中就來個(gè)大獎。但是，在決策購買何種股票時(shí)，因?yàn)殛P(guān)系重大，也許他為了保險(xiǎn)又會采取悲觀法。同而，不確定型問題的決策充其量只能算是在決策者某種心理狀態(tài)下的選優(yōu)。要作出較符合實(shí)際情況的決策，還需決策者多作些調(diào)查研究，以便對未來自然狀態(tài)的出現(xiàn)作出較符合客觀實(shí)際的預(yù)測，才能收到較好的效果。（4）等可能法（Laplace準(zhǔn)則）由于不能估計(jì)各狀態(tài)出現(xiàn)39§8.3層次分析法建模層次分析法是對一些較為復(fù)雜、較為模糊的問題作出決策的簡易方法，它特別適用于那些難于完全定量分析的問題。社會的發(fā)展導(dǎo)致了社會結(jié)構(gòu)、經(jīng)濟(jì)體系及人們之間相互關(guān)系的日益復(fù)雜，人們希望能在錯(cuò)綜復(fù)雜的情況下，利用各種信息，通過理智的、科學(xué)的分析，作出最佳決策。例如，生產(chǎn)者面對消費(fèi)者的各種喜好或競爭對手的策略要作出最佳決策；消費(fèi)者面對琳瑯滿目的商品要根據(jù)它們的性能質(zhì)量的好壞、價(jià)格的高低、外形的美觀程度等選擇自己最為滿意的商品；畢業(yè)生要根據(jù)自己的專業(yè)特長、社會的需求情況、福利待遇的好壞等挑選最為合意的工作；科研單位要根據(jù)項(xiàng)目的科學(xué)意義和實(shí)用價(jià)值的大小、項(xiàng)目的可行性、項(xiàng)目的資助情況及周期長短等選擇最合適的研究課題……。當(dāng)我們面對這類決策問題時(shí)，容易發(fā)現(xiàn)，影響我們作決策的因素很多，其中某些因素存在定量指標(biāo)，可以給以度量，但也有些因素不存在定量指標(biāo)，只能定性地比較它們的強(qiáng)弱。在處理這類比較復(fù)雜而又比較模糊的問題時(shí)，如何盡可能克服因主觀臆斷而造成的片面性，較系統(tǒng)、全面地比較分析并作出較為明智的決策呢？§8.3層次分析法建模層次分析法是對一40Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合，系統(tǒng)化、層次化分析問題的方法，稱為層次分析法（AnalyticHiearchyProcess，簡稱AHP）。層次分析法將人們的思維過程層次化，逐層比較其間的相關(guān)因素并逐層檢驗(yàn)比較結(jié)果是否合理，從而為分析決策提供了較具說服力的定量依據(jù)，層次分析法的提出不僅為處理這類問題提供了一種實(shí)用的決策方法，而且也提供了一個(gè)在處理機(jī)理比較模糊的問題時(shí)，如何通過科學(xué)分析，在系統(tǒng)全面分析機(jī)理及因果關(guān)系的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型的范例。

一、層次分析的基本步驟層次分析過程可分為四個(gè)基本步驟：（1）建立層次結(jié)構(gòu)模型；（2）構(gòu)造出各層次中的所有判斷矩陣；（3）層次單排序及一致性檢驗(yàn)；（4）層次總排序及一致性檢驗(yàn)。下面通過一個(gè)簡單的實(shí)例來說明各步驟中所做的工作。Saaty.T.L等人在70年代提出了一種以定性與定量相結(jié)合41例8.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用?？晒┻x擇的方案有：給職工發(fā)獎金、擴(kuò)建企業(yè)的福利設(shè)施（改善企業(yè)環(huán)境、改善食堂等）和引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。工廠領(lǐng)導(dǎo)希望知道按怎樣的比例來使用這筆資金較為合理。步1建立層次結(jié)構(gòu)模型在用層次分析法研究問題時(shí)，首先要根據(jù)問題的因果關(guān)系并將這些關(guān)系分解成若干個(gè)層次。較簡單的問題通?？煞纸鉃槟繕?biāo)層（最高層）、準(zhǔn)則層（中間層）和方案措施層（最低層）。與其他決策問題一樣，研究分析者不一定是決策者，不應(yīng)自作主張地作出決策。對于本例，如果分析者自行決定分配比例，廠領(lǐng)導(dǎo)必定會詢問為什么要按此比例分配，符合決策者要求的決策來自于對決策者意圖的真實(shí)了解。經(jīng)過雙方溝通，分析者了解到如下信息：決策者的目的是合理利用企業(yè)的留成利潤，而利潤的利用是否合理，決策者的主要標(biāo)準(zhǔn)為：（1）是否有利于調(diào)動企業(yè)職工的積極性，（2）是否有利于提高企業(yè)的生產(chǎn)能力，（3）是否有利于改善職工的工作、生活環(huán)境。分析者可以提出自己的看法，但標(biāo)準(zhǔn)的最終確定將由決策者決定。例8.13某工廠有一筆企業(yè)留成利潤要由廠領(lǐng)導(dǎo)決定如何使用42根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所示。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P圖中的連線反映了因素間存在的關(guān)聯(lián)關(guān)系，哪些因素存在關(guān)聯(lián)關(guān)系也應(yīng)由決策者決定。根據(jù)決策者的意圖，可以建立起本問題的層次結(jié)構(gòu)模型如圖8.7所43對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購電冰箱時(shí)，如以質(zhì)量、外觀、價(jià)格、品牌及信譽(yù)等為準(zhǔn)則，也許在衡量質(zhì)量優(yōu)劣時(shí)又可分出若干個(gè)不同的子準(zhǔn)則，如制冷性能、結(jié)霜情況、耗電量大小等等。建立層次結(jié)構(gòu)模型是進(jìn)行層次分析的基礎(chǔ)，它將思維過程結(jié)構(gòu)化、層次化，為進(jìn)一步分析研究創(chuàng)造了條件。步2構(gòu)造判斷矩陣層次結(jié)構(gòu)反映了因素之間的關(guān)系，例如圖10.7中目標(biāo)層利潤利用是否合理可由準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則反映出來。但準(zhǔn)則層中的各準(zhǔn)則在目標(biāo)衡量中所占的比重并不一定相同，在決策者的心目中，它們各占有一定的比例。對于因果關(guān)系較為復(fù)雜的問題也可以引進(jìn)更多的層次。例如，在選購44在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)，遇到的主要困難是這些比重常常不易定量化。雖然你必須讓決策者根據(jù)經(jīng)驗(yàn)提供這些數(shù)據(jù)，但假如你提出“調(diào)動職工積極性在判斷利潤利用是否合理中占百分之幾的比例”之類的問題，不僅會讓人感到難以精確回答，而且還會使人感到你書生氣十足，不能勝任這一工作。此外，當(dāng)影響某因素的因子較多時(shí)，直接考慮各因子對該因素有多大程度的影響時(shí)，常常會因考慮不周全、顧此失彼而使決策者提出與他實(shí)際認(rèn)為的重要性程度不相一致的數(shù)據(jù)，甚至有可能提出一組隱含矛盾的數(shù)據(jù)。為看清這一點(diǎn)，可作如下設(shè)想：將一塊重為1千克的石塊砸成n小塊，你可以精確稱出它們的質(zhì)量，設(shè)為w1,…,wn?，F(xiàn)在，請人估計(jì)這n小塊的重量占總重量的比例（不能讓他知道各小石塊的重量），此人不僅很難給出精確的比值，而且完全可能因顧此失彼而提供彼此矛盾的數(shù)據(jù)。

在確定影響某因素的諸因子在該因素中所占的比重時(shí)45設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影響大小，怎樣比較才能提供可信的數(shù)據(jù)呢？Saaty等人建議可以采取對因子進(jìn)行兩兩比較建立成對比較矩陣的辦法。即每次取兩個(gè)因子xi和xj，以aij表示xi和xj對Z的影響大小之比，全部比較結(jié)果用矩陣A=(aij)n×n表示，稱A為Z－X之間的成對比較判斷矩陣（簡稱判斷矩陣）。容易看出，若xi和xj對Z的影響之比為aij，則xj和xi對Z的影響之比應(yīng)為。定義8.4若矩陣A=(aij)n×n滿足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），則稱之為正互反矩陣（易見aii=1,i=1,…,n）。關(guān)于如何確定aij的值，Saaty等建議引用數(shù)字1~9及其倒數(shù)作為標(biāo)度。他們認(rèn)為，人們在成對比較差別時(shí)，用5種判斷級較為合適。即使用相等、較強(qiáng)、強(qiáng)、很強(qiáng)、絕對地強(qiáng)表示差別程度，aij相應(yīng)地取1,3,5,7和9。在成對事物的差別介于兩者之間難以定奪時(shí)，aij可分別取值2、4、6、8。設(shè)現(xiàn)在要比較n個(gè)因子X={x1,…,xn}對某因素Z的影46從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判斷的難度，又容易因此而提供虛假數(shù)據(jù)。Saaty等人還用實(shí)驗(yàn)方法比較了在各種不同標(biāo)度下人們判斷結(jié)果的正確性，實(shí)驗(yàn)結(jié)果也表明，采用1~9標(biāo)度最為合適。如果在構(gòu)造成對比較判斷矩陣時(shí)，確實(shí)感到僅用1~9及其倒數(shù)還不夠理想時(shí)，可以根據(jù)情況再采用因子分解聚類的方法，先比較類，再比較每一類中的元素。步3層次單排序及一致性檢驗(yàn)上述構(gòu)造成對比較判斷矩陣的辦法雖能減少其他因素的干擾影響，較客觀地反映出一對因子影響力的差別。但綜合全部比較結(jié)果時(shí)，其中難免包含一定程度的非一致性。如果比較結(jié)果是前后完全一致的，則矩陣A的元素還應(yīng)當(dāng)滿足：

i、j、k=1,2,…,n

從心理學(xué)觀點(diǎn)來看，分級太多會超越人們的判斷能力，既增加了作判47定義8.5滿足（8.5）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。如前所述，如果判斷者前后完全一致，則構(gòu)造出的成對比較判斷矩陣應(yīng)當(dāng)是一個(gè)一致矩陣。但構(gòu)造成對比較判斷矩陣A共計(jì)要作次比較（設(shè)有n個(gè)因素要兩兩比較），保證A是正互反矩陣是較容易辦到的，但要求所有比較結(jié)果嚴(yán)格滿足一致性，在n較大時(shí)幾乎可以說是無法辦到的，其中多少帶有一定程度的非一致性。更何況比較時(shí)采用了1~9標(biāo)度，已經(jīng)接受了一定程度的誤差，就不應(yīng)再要求最終判斷矩陣的嚴(yán)格一致性。如何檢驗(yàn)構(gòu)造出來的（正互反）判斷矩陣A是否嚴(yán)重地非一致，以便確定是否接受A，并用它作為進(jìn)一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩陣和一致矩陣性質(zhì)的基礎(chǔ)上，找到了解決這一困難的辦法，給出了確定矩陣A中的非一致性是否可以允忍的檢驗(yàn)方法。定義8.5滿足（8.5）關(guān)系式的正互反矩陣稱為一致矩陣。48定理8.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實(shí)數(shù)，其對應(yīng)特征向量的所有分量均為正實(shí)數(shù)。A的其余特征根的模均嚴(yán)格小于λmax。（證明從略）現(xiàn)在來考察一致矩陣A的性質(zhì)，回復(fù)到將單位重量的大石塊剖分成重量為

1,…,n的n塊小石塊的例子，如果判斷者的判斷結(jié)果完全一致，則構(gòu)造出來的一致矩陣為容易看出，一致矩陣A具有以下性質(zhì)：定理8.7正互反矩陣A的最大特征根λmax必為正實(shí)數(shù)，其49根據(jù)定理8.9，我們可以由λmax是否等于n來檢驗(yàn)判斷矩陣A是否為一致矩陣。由于特征根連續(xù)地依賴于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越為嚴(yán)重，λmax對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量也就越不能真實(shí)地反映出X={x1,…,xn}在對因素Z的影響中所占的比重。因此，對決策者提供的判斷矩陣有必要作一次一致性檢驗(yàn)，以決定是否能接受它。

為確定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下辦法：（1）求出，稱CI為A的一致性指標(biāo)。容易看出，當(dāng)且僅當(dāng)A為一致矩陣時(shí)，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越嚴(yán)重。利用線性代數(shù)知識可以證明，A的n個(gè)特征根之和等于其對角線元素之和（即n）故CI事實(shí)上是A的除λmax以外其余n－1個(gè)特征根的平均值的絕對值。若A是一致矩陣，其余n－1個(gè)特征根均為零，故CI=0；否則，CI>0，其值隨A非一致性程度的加重而連續(xù)地增大。當(dāng)CI略大于零時(shí)（對應(yīng)地，λmax稍大于n），A具有較為滿意的一致性；否則，A的一致性就較差。根據(jù)定理8.9，我們可以由λmax是否等于n50（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未能指明該非一致性是否應(yīng)當(dāng)被認(rèn)為是可以允許的。事實(shí)上，我們還需要一個(gè)度量標(biāo)準(zhǔn)。為此，Saaty等人又研究了他們認(rèn)為最不一致的矩陣——用從1~9及其倒數(shù)中隨機(jī)抽取的數(shù)字構(gòu)造的正互反矩陣，取充分大的子樣，求得最大特征根的平均值，并定義稱RI為平均隨機(jī)一致性指標(biāo)。對n=1,…,11,，Saaty給出了RI的值，如表8.10所示。表8.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51（2）上面定義的CI值雖然能反映出非一致性的嚴(yán)重程度，但仍未51（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)例比較，Saaty認(rèn)為，在CR<0.10時(shí)可以認(rèn)為判斷矩陣具有較為滿意的一致性，否則就應(yīng)當(dāng)重新調(diào)整判斷矩陣，直至具有滿意的一致性為止。綜上所述，在步3中應(yīng)先求出A的最大特征根λmax及λmax對應(yīng)的特征向量W=（w1,…,wn）T，進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，使得。再對A作一致性檢驗(yàn)：計(jì)算，查表得到對應(yīng)于n的RI值，求，若CR<0.1，則一致性較為滿意，以i作為因子xi在上層因子Z中所具有的權(quán)值。否則必需重新作比較，修正A中的元素。只有在一致性較為滿意時(shí)，W的分量才可用作層次單排序的權(quán)重。（3）將CI與RI作比較，定義稱CR隨機(jī)一致性比率。經(jīng)大量實(shí)52現(xiàn)對本節(jié)例8.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序。為求出C1、C2、C3在目標(biāo)層A中所占的權(quán)值，構(gòu)造O－C層的成對比較矩陣，設(shè)構(gòu)造出的成對比較判斷知陣A=311153C1C2C3C1C2C30于是經(jīng)計(jì)算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩陣A，求出A對應(yīng)于λmax的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作為C1、C2、C3在目標(biāo)O中所占的權(quán)重。現(xiàn)對本節(jié)例8.13（即合理利用利潤問題的例子）進(jìn)行層次單排序53類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C2中的權(quán)值及P1、P2在C1中的權(quán)值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C215λmax=2，CI=CR=0W=(0.167,0.833)T1P221P1P2P1C312λmax=2，CI=CR=0W=(0.66,0.333)T類似求措施層中的P1、P2在C1中的權(quán)值，P2、P3在C254經(jīng)層次單排序，得到圖8.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1提高企業(yè)技術(shù)水平C2改善職工工作生活條件C3發(fā)獎金P1擴(kuò)建福利事業(yè)P2引進(jìn)新設(shè)備P3目標(biāo)層O準(zhǔn)則層C措施層P0.1050.6370.2580.750.250.1670.8330.6670.3332經(jīng)層次單排序，得到圖8.8。合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性提55設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個(gè)因素，它們的層次總排序權(quán)值分別為a1,…,am。又設(shè)其后的下一層次（B層）包含n個(gè)因素B1,…,Bn，它們關(guān)于Aj的層次單排序權(quán)值分別為b1j,…,bnj（當(dāng)Bi與Aj無關(guān)聯(lián)系時(shí)，bij=0）。現(xiàn)求B層中各因素關(guān)于總目標(biāo)的權(quán)值，即求B層各因素的層次總排序權(quán)值b1,…,bn，計(jì)算按表8.11所示方式進(jìn)行,即，i=1,…,n。表8.11bnm…bn2bn1Bn………………B2m…b22b21B2B1m…b12b11B1B層總排序權(quán)值A(chǔ)mAm……A2a2A1a1層A層B步4

層次總排序及一致性檢驗(yàn)最后，在步驟（4）中將由最高層到最低層，逐層計(jì)算各層次中的諸因素關(guān)于總目標(biāo)（最高層）的相對重要性權(quán)值。設(shè)上一層次（A層）包含A1,…,Am共m個(gè)因素，它們的層次總56例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單排序權(quán)值的計(jì)算如表8.12所示。層C層PC1C2C3層P的總排序權(quán)值0.1050.6370.258P10.7500.6670.251P20.250.1670.3330.218P300.83300.531對層次總排序也需作一致性檢驗(yàn)，檢驗(yàn)仍象層次總排序那樣由高層到低層逐層進(jìn)行。這是因?yàn)殡m然各層次均已經(jīng)過層次單排序的一致性檢驗(yàn)，各成對比較判斷矩陣都已具有較為滿意的一致性。但當(dāng)綜合考察時(shí)，各層次的非一致性仍有可能積累起來，引起最終分析結(jié)果較嚴(yán)重的非一致性。例如，對于前面考察的工廠合理利用留成利潤的例子，措施層層次單57設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性檢驗(yàn)，求得單排序一致性指標(biāo)為CI(j)，(j=1,…,m)，相應(yīng)的平均隨機(jī)一致性指標(biāo)為RI(j)(CI(j)、RI(j)已在層次單排序時(shí)求得)，則B層總排序隨機(jī)一致性比率為CR=

當(dāng)CR<0.10時(shí)，認(rèn)為層次總排序結(jié)果具有較滿意的一致性并接受該分析結(jié)果。對于表8.11中的P層總排序，由于C—P層間的三個(gè)判斷矩陣的一致性指標(biāo)（即CI(j)，j=1，2，3）均為0，故P層總排序的隨機(jī)一致性比率CR=0，接受層次分析結(jié)果，將留成利潤的25.1%用于發(fā)獎金，21.8%用于擴(kuò)建福利事業(yè)，余下的53.1%用于引進(jìn)新技術(shù)新設(shè)備。設(shè)B層中與Aj相關(guān)的因素的成對比較判斷矩陣在單排序中經(jīng)一致性58三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要困難有兩個(gè)：（1）如何根據(jù)實(shí)際情況抽象出較為貼切的層次結(jié)構(gòu)；（2）如何將某些定性的量作比較接近實(shí)際的定量化處理。層次分析法對人們的思維過程進(jìn)行了加工整理，提出了一套系統(tǒng)分析問題的方法，為科學(xué)管理和決策提供了較有說服力的依據(jù)。但層次分析法也有其局限性，主要表現(xiàn)在：（1）它在很大程度上依賴于人們的經(jīng)驗(yàn)，主觀因素的影響很大，它至多只能排除思維過程中的嚴(yán)重非一致性（即矛盾性），卻無法排除決策者個(gè)人可能存在的嚴(yán)重片面性。（2）比較、判斷過程較為粗糙，不能用于精度要求較高的決策問題。AHP至多只能算是一種半定量（或定性與定量結(jié)合）的方法，如何用更科學(xué)、更精確的方法來研究問題并作出決策，還有待于進(jìn)一步的探討研究。在應(yīng)用層次分析法時(shí)，建立層次結(jié)構(gòu)模型是十分關(guān)鍵的一步?，F(xiàn)再分析若干實(shí)例，以便說明如何從實(shí)際問題中抽象出相應(yīng)的層次結(jié)構(gòu)。三、層次分析法應(yīng)用舉例在應(yīng)用層次分析法研究問題時(shí)，遇到的主要59第八章對策與決策模型浙江大學(xué)城市學(xué)院第八章對策與決策模型浙江大學(xué)城市學(xué)院60第八章對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中經(jīng)常會遇到的擇優(yōu)活動。人們在處理一個(gè)問題時(shí)，往往會面臨幾種情況，同時(shí)又存在幾種可行方案可供選擇，要求根據(jù)自己的行動目的選定一種方案，以期獲得最佳的結(jié)果。有時(shí)，人們面臨的問題具有競爭性質(zhì)，如商業(yè)上的競爭、體育中的比賽和軍事行動、政治派別的斗爭等等。這時(shí)競爭雙方或各方都要發(fā)揮自己的優(yōu)勢，使己方獲得最好結(jié)果。因而雙方或各方都要根據(jù)不同情況、不同對手做出自己的決擇，此時(shí)的決策稱為對策。在有些情況下，如果我們把可能出現(xiàn)的若干種情況也看作是競爭對手可采取的幾種策略，那么也可以把決策問題當(dāng)作對策問題來求解。第八章對策與決策模型對策與決策是人們生活和工作中61§8.1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互沖突的各方，其結(jié)局不取決于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的綜合結(jié)果。先考察幾個(gè)實(shí)際例子。

例8.1

（田忌賽馬）

田忌賽馬是大多數(shù)人都熟知的故事，傳說戰(zhàn)國時(shí)期齊王欲與大將田忌賽馬，雙方約定每人挑選上、中、下三個(gè)等級的馬各一匹進(jìn)行比賽，每局賭金為一千金。齊王同等級的馬均比田忌的馬略勝一籌，似乎必勝無疑。田忌的朋友孫臏給他出了一個(gè)主意，讓他用下等馬比齊王的上等馬，上等馬對齊王的中等馬，中等馬對齊王的下等馬，結(jié)果田忌二勝一敗，反而贏了一千金。

§8.1對策問題對策問題的特征是參與者為利益相互62例8.2

（石頭—剪子—布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的游戲。游戲雙方只能選石頭、剪子、布中的一種，石頭贏剪子，剪子贏布，而布又贏石頭，贏者得一分，輸者失一分，雙方相同時(shí)不得分，見下表。表8.1石頭剪子布石頭01－1剪子－101布1－10例8.2（石頭—剪子—布）這是一個(gè)大多數(shù)人小時(shí)候都玩過的63例8.3

（囚犯的困惑）警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕的原因是他們持有大量偽幣，警方懷疑他們偽造錢幣，但沒有找到充分證據(jù)，希望他們能自己供認(rèn)，這兩個(gè)人都知道：如果他們雙方都不供認(rèn)，將被以使用和持有大量偽幣罪被各判刑18個(gè)月；如果雙方都供認(rèn)偽造了錢幣，將各被判刑3年；如果一方供認(rèn)另一方不供認(rèn)，則供認(rèn)方將被從寬處理而免刑，但另一方面將被判刑7年。將嫌疑犯A、B被判刑的幾種可能情況列表如下：表8.2嫌疑犯B供認(rèn)不供認(rèn)嫌疑犯A供認(rèn)不供認(rèn)（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每對數(shù)字表示嫌疑犯A、B被判刑的年數(shù)。如果兩名疑犯均擔(dān)心對方供認(rèn)并希望受到最輕的懲罰，最保險(xiǎn)的辦法自然是承認(rèn)制造了偽幣。例8.3（囚犯的困惑）警察同時(shí)逮捕了兩人并分開關(guān)押，逮捕64一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題的局中人，一個(gè)決策總是可以包含兩名局中人（如棋類比賽、人與大自然作斗爭等），也可以包含多于兩名局中人（如大多數(shù)商業(yè)中的競爭、政治派別間的斗爭）。局中人必須要擁用可供其選擇并影響最終結(jié)局的策略，在例8.3中，局中人是A、B兩名疑犯，警方不是局中人。兩名疑犯最終如何判刑取決于他們各自采取的態(tài)度，警方不能為他們做出選擇。從這些簡單實(shí)例中可以看出對策現(xiàn)象中包含的幾個(gè)基本要素。一、對策的基本要素（1）局中人。參加決策的各方被稱為決策問題65（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可采取的全部策略稱為此局中人的策略集合。對策問題中，對應(yīng)于每一局中人存在著一個(gè)策略集合，而每一策略集合中至少要有兩個(gè)策略，否則該局中人可從此對策問題中刪去，因?yàn)閷λ麃碇v，不存在選擇策略的余地。應(yīng)當(dāng)注意的是，所謂策略是指在整個(gè)競爭過程中對付他方的完整方法，并非指競爭過程中某步所采取的具體局部辦法。例如下棋中的某步只能看和一個(gè)完整策略的組成部分，而不能看成一個(gè)完整的策略。當(dāng)然，有時(shí)可將它看成一個(gè)多階段對策中的子對策。策略集合可以是有限集也可以是無限集。策略集為有限集時(shí)稱為有限對策，否則稱為無限對策。

記局中人i的策略集合為Si。當(dāng)對策問題各方都從各自的策略集合中選定了一個(gè)策略后，各方采取的策略全體可用一矢量S表示，稱之為一個(gè)純局勢（簡稱局勢）。

（2）策略集合。局中人能采取的可行方案稱為策略，每一局中人可66例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A選擇策略i而B選策略j，則（i,j）就構(gòu)成此對策的一個(gè)純局勢。顯然，SA與SB一共可構(gòu)成m×n個(gè)純局勢，它們構(gòu)成表8.3。對策問題的全體純局勢構(gòu)成的集合S稱為此對策問題的局勢集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略例如，若一對策中包含A、B兩名局中人，其策略集合分別為SA67（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結(jié)果用矢量表示，稱之為贏得函數(shù)。贏得函數(shù)F為定義在局勢集合S上的矢值函數(shù)，對于S中的每一純局勢S，F(xiàn)（S）指出了每一局中人在此對策結(jié)果下應(yīng)贏得（或支付）的值。綜上所述，一個(gè)對策模型由局中人、策略集合和贏得函數(shù)三部分組成。記局中人集合為I={1,…,k}，對每一i∈I，有一策略集合Si，當(dāng)I中每一局中人i選定策略后得一個(gè)局勢s；將s代入贏得函數(shù)F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)為在局勢s下局中人i的贏得（或支付）。本節(jié)討論只有兩名局中人的對策問題，即兩人對策，其結(jié)果可以推廣到一般的對策模型中去。對于只有兩名局中人的對策問題，其局勢集合和贏得函數(shù)均可用表格表示。例如，表8.2就給出了例8.3的局勢集合和贏得函數(shù)。（3）贏得函數(shù)（或稱支付函數(shù)）。對策的結(jié)果用矢量表示，稱之為68二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確定后，A之所得恰為B之所失，或者A之所失恰為B之所得，即雙方所得之和總為零。在零和對策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的贏得值即可，故贏得函數(shù)可用贏得矩陣表示。例如若A有m種策略，B有n種策略，贏得矩陣

表示若A選取策略i而B選取策略j，則A之所得為aij（當(dāng)aij<0時(shí)為支付）。二、零和對策存在一類特殊的對策問題。在這類對策中，當(dāng)純局勢確69在有些兩人對策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方贏得數(shù)之和為一常數(shù)。例如在表8.4中，無論A、B怎樣選取策略，雙方贏得總和均為10，此時(shí)，若將各人贏得數(shù)減去兩人的平均贏得數(shù)，即可將贏得表化為零和贏得表。表8.4中的對策在轉(zhuǎn)化為零和對策后，具有贏得矩陣表8.4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)在有些兩人對策的贏得表中，A之所得并非明顯為B之所失，但雙方70給定一個(gè)兩人對策只需給出局中人A、B的策略集合SA、SB及表示雙方贏得值的贏得矩陣R。綜上所述，當(dāng)遇到零和對策或可轉(zhuǎn)化為零和對策的問題時(shí)，R可用通常意義下的矩陣表示，否則R的元素為一兩維矢量。故兩人對策G又可稱為矩陣對策并可簡記成G={SA,SB,R}給定一個(gè)兩人對策只需給出局中人A、B的策略集合SA、SB及表71例8.4

給定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

從R中可以看出，若A希望獲得最大贏利30，需采取策略1，但此時(shí)若B采取策略4，A非但得不到30，反而會失去22。為了穩(wěn)妥，雙方都應(yīng)考慮到對方有使自己損失最大的動機(jī)，在最壞的可能中爭取最好的結(jié)果。局中人A采取策略1、2、3時(shí)，最壞的贏得結(jié)果分別為min{12,－6,30,－22}=－22min{14,2,18,10}=2min{－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能為max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，無論B采取什么策略，A的贏得均不會少于2.例8.4給定G={SA,SB,R}，其中SA72B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。當(dāng)B采取策略2時(shí)，其損失不會超過2。注意到在贏得矩陣中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此時(shí)，只要對方不改變策略，任一局中人都不可能通過變換策略來增大贏得或減小損失，稱這樣的局勢為對策的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)或穩(wěn)定解，（注：也被稱為鞍點(diǎn)）定義8.1

對于兩人對策G={SA,SB,R}，若有，則稱G具有穩(wěn)定解，并稱VG為對策G的值。若純局勢（）使得，則稱（）為對策G的鞍點(diǎn)或穩(wěn)定解，贏得矩陣中與（）相對應(yīng)的元素稱為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，與分別稱為局中人A與B的最優(yōu)策略。對（8.1）式中的贏得矩陣，容易發(fā)現(xiàn)不存在具有上述性質(zhì)的鞍點(diǎn)。給定一個(gè)對策G，如何判斷它是否具有鞍點(diǎn)呢？為了回答這一問題，先引入下面的極大極小原理。B采取各方案的最大損失為max{12,14,－6}=1473定理8.1

設(shè)G={SA,SB,R}，記，則必有μ+ν≤0證明:，易見μ為A的最小贏得，ν為B的最小贏得，由于G是零和對策，故μ+ν≤0必成立。定理8.2

零和對策G具有穩(wěn)定解的充要條件為μ+ν=0。

證明：

（充分性）由μ和ν的定義可知，存在一行（例如p行）μ為p行中的最小元素且存在一列（例如q列），－ν為q列中的最大元素。故有apq≥μ且apq≤－ν又因μ+ν=0，所以μ=－ν，從而得出apq=μ，apq為贏得矩陣的鞍點(diǎn)，（p,q）為G的穩(wěn)定解。

定理8.1設(shè)G={SA,SB,R}，記74（必要性）若G具有穩(wěn)定解（p,q），則apq為贏得矩陣的鞍點(diǎn)。故有

從而可得μ+ν≥0，但根據(jù)定理8.1，μ+ν≤0必成立，故必有μ+ν=0。上述定理給出了對策問題有穩(wěn)定解（簡稱為解）的充要條件。當(dāng)對策問題有解時(shí)，其解可以不唯一。例如，若

則易見，（2