最新湘教版八年級上冊數(shù)學(xué)課件23等腰三角形

2.3等腰三角形2022/12/2512.3等腰三角形2022/12/201

我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？新知探究2022/12/252我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除

任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關(guān)于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D122022/12/253任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對稱.ABABBAD2022/12/254ABABBAD2022/12/204由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=2022/12/255由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D，DC中線DA=90高CB=2022/12由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理：

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.新知?dú)w納

等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).2022/12/256由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形是軸對稱圖形因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？疑問升級2022/12/257因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，如圖，△ABC是等邊三角形由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于60°.新知?dú)w納2022/12/258由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內(nèi)角的平分線所在的直線.新知?dú)w納2022/12/259由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

在邊BC上，且AD=AE.

求證：BD=CE.證明

作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F例題講解2022/12/2510例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E證明

如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點(diǎn)D掛一個重錘，自然下垂，調(diào)整架身，使點(diǎn)A恰好在鉛錘線上.（1）AD與BC是否垂直，試說明理由.（2）這時BC處于水平位置，為什么？新知探究2022/12/2511如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點(diǎn)D掛一個1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數(shù)及DC的長.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.隨堂練習(xí)2022/12/25121.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上答：∠B2.如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度數(shù).答：∠DPC=20°.隨堂練習(xí)2022/12/25132.如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的邊BC上一答：∠DPC

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？疑問升級2022/12/2514我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm2022/12/2515測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm2022/12/201事實(shí)上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點(diǎn)A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得∠ADB=∠ADC.D122022/12/2516事實(shí)上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點(diǎn)A的直線把∠沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，于是AB=AC.2022/12/2517沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).新知?dú)w納三個角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：2022/12/2518有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).新知例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.例題講解2022/12/2519例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E證明

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？疑問升級2022/12/2520有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得

∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.2022/12/2521如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得由此得到另一條等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形新知?dú)w納2022/12/2522由此得到另一條等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E

分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）例題講解2022/12/2523例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E證明∵1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和

∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，隨堂練習(xí)2022/12/25241.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和ABCDEO證明∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2022/12/2525∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長線于點(diǎn)E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠ACB，∴在△ACE中，∠CAE=180°-

∠E-∠ACE=60°又∵∠ACE=60°，∴∠BCD=∠E=60°，∴∠ACD=∠DCB，∴∠ACD=∠DCB=60°，又∵AE∥DC，∴∠CAE=∠ACE=∠E=60°

∴△ACE是等邊三角形.隨堂練習(xí)2022/12/25262.已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE證明∵C3.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，

DF∥BA，且DF平分∠CDE.求證：△ABC是等邊三角形.證明∵AB=BC，∴△ABC是等邊三角形.又∵∠CDE=120°，DF平分∠CDE.∴∠FDC=∠ABC=60°，∴△ABC是等腰三角形，∴∠EDF=∠FDC=60°，又∵DF∥BA，隨堂練習(xí)2022/12/25273.已知：如圖，AB=BC，∠CDE=120°，證明例1

等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角形周長為（）

A.9cmB.12cmC.9cm或12cmD.14cmB

另一邊長為2cm或5cm，2，2，5不符合三角形三邊關(guān)系定理，故選5.∴周長為5+5+2=12cm.解析：中考試題2022/12/2528例1等腰三角形兩邊長分別是2cm和5cm，則這個三角例2

若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角形的頂角的度數(shù)為（）

A.50°B.80°C.65°或50°

D.50°或80°

因?yàn)?0°可作為等腰三角形的一頂角或一底角，故選D.D解析：中考試題2022/12/2529例2若等腰三角形中有一個角等于50°，則這個等腰三角2.3等腰三角形2022/12/25302.3等腰三角形2022/12/201

我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除了具有一般三角形的性質(zhì)外，還具有哪些特殊的性質(zhì)呢？新知探究2022/12/2531我們前面已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形的一些性質(zhì)，那么等腰三角形除

任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.

作△ABC關(guān)于頂角平分線AD所在直線的軸反射，由于∠1=∠2，AB=AC，因此：D122022/12/2532任意畫一個等腰三角形ABC，其中AB=AC，如圖.射線AB的像是射線AC，射線AC的像是射線

；線段AB的像是線段AC，線段AC的像是線段

；點(diǎn)B的像是點(diǎn)C，點(diǎn)C的像是點(diǎn)

；線段BC的像是線段CB.從而等腰三角形ABC關(guān)于直線

對稱.ABABBAD2022/12/2533ABABBAD2022/12/204由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D，因此線段DB的像是線段

，從而AD是底邊BC上的

.由于射線DB的像是射線DC，射線DA的像是射線

，因此∠BDA

∠CDA=

°，從而AD是底邊BC上的

.由于射線BA的像是射線CA，射線BC的像是射線

，因此∠B

∠C.DC中線DA=90高CB=2022/12/2534由于點(diǎn)D的像是點(diǎn)D，DC中線DA=90高CB=2022/12由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理：

等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是頂角平分線所在的直線.新知?dú)w納

等腰三角形的兩底角相等(簡稱“等邊對等角”).

等腰三角形底邊上的高、中線及頂角平分線重合(簡稱為“三線合一”).2022/12/2535由此得到等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形是軸對稱圖形因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以AB=BC=AC，從而∠C=∠A=∠B.由三角形內(nèi)角和定理可得：∠A=∠B=∠C=60°.

如圖，△ABC是等邊三角形，那么∠A，∠B，∠C的大小之間有什么關(guān)系呢？疑問升級2022/12/2536因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，如圖，△ABC是等邊三角形由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都等于60°.新知?dú)w納2022/12/2537由此得到等邊三角形的如下性質(zhì)：等邊三角形的三個內(nèi)角相等，且都

由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，分別是三個內(nèi)角的平分線所在的直線.新知?dú)w納2022/12/2538由于等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此等邊三角形是軸例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

在邊BC上，且AD=AE.

求證：BD=CE.證明

作AF⊥BC，垂足為點(diǎn)F，則AF是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底邊上的高，也是底邊上的中線.∴

BF=CF，∴

BF-DF=CF-EF，DF=EF，即

BD=CE.F例題講解2022/12/2539例1已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E證明

如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點(diǎn)D掛一個重錘，自然下垂，調(diào)整架身，使點(diǎn)A恰好在鉛錘線上.（1）AD與BC是否垂直，試說明理由.（2）這時BC處于水平位置，為什么？新知探究2022/12/2540如圖的三角測平架中，AB=AC，在BC的中點(diǎn)D掛一個1.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度數(shù)及DC的長.答：∠BAD=24.5°，

DC=2.隨堂練習(xí)2022/12/25411.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD為BC邊上答：∠B2.如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的邊BC上一點(diǎn)，且∠APD=80°，AD=AP，求∠DPC

的度數(shù).答：∠DPC=20°.隨堂練習(xí)2022/12/25422.如圖，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的邊BC上一答：∠DPC

我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎？

如圖，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB與AC之間有什么關(guān)系嗎？疑問升級2022/12/2543我們知道，等腰三角形的兩底角相等，反過來，兩個角相等測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm2022/12/2544測量后發(fā)現(xiàn)AB與AC相等.3cm3cm2022/12/201事實(shí)上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點(diǎn)A的直線把∠BAC對折，得∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D，則∠1=∠2.又∠B=∠C，由三角形內(nèi)角和的性質(zhì)得∠ADB=∠ADC.D122022/12/2545事實(shí)上，如圖，在△ABC中，∠B=∠C.沿過點(diǎn)A的直線把∠沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以射線DB與射線DC重合，射線AB與射線AC重合.從而點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，于是AB=AC.2022/12/2546沿AD所在直線折疊，由于∠ADB=∠ADC，∠1=∠2，所以有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).新知?dú)w納三個角都是60°的三角形是等邊三角形.

由此并且結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，還可以得到等邊三角形的判定定理：2022/12/2547有兩個角相等的三角形是等腰三角形(簡稱“等角對等邊”).新知例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E

分別是AB，AC上的點(diǎn)，且DE∥BC.

求證：△ADE為等腰三角形.證明∵AB=AC，∴∠B=∠C.又∵

DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴∠ADE=∠AED.于是△ADE為等腰三角形.例題講解2022/12/2548例2已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D，E證明

有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？疑問升級2022/12/2549有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形嗎？為什么？如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得

∠A+∠B+∠C=180°.如果頂角∠A=60°，則∠B+∠C=180°-60°=120°.又AB=AC，∴∠B=∠C.∴∠B=∠C=∠A=60°.∴△ABC是等邊三角形.2022/12/2550如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC.由三角形內(nèi)角和定理得由此得到另一條等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形新知?dú)w納2022/12/2551由此得到另一條等邊三角形的判定定理：有一個角是60°的等腰三例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E

分別在BA，CA的延長線上，且AD=AE.

求證：△ADE是等邊三角形.證明∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠B=∠C=60°.∵∠EAD=∠BAC=60°，又AD=AE，∴△ADE是等邊三角形（有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形）例題講解2022/12/2552例3已知：如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D，E證明∵1.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和

∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O.

求證：△OBC為等腰三角形.ABCDEO證明∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，∴∠ABD=∠DBC=，

∠ACE=∠ECB=，隨堂練習(xí)2022/12/25531.已知：等腰三角形ABC的底角∠ABC和ABCDEO證明∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB，ABCDEO2022/12/2554∴∠DBC=∠ECB，∴△OBC是等腰三角形.又∵△2.

已知：如圖，CD平分∠ACB，AE∥DC，AE

交BC的延長線于點(diǎn)E，且∠ACE=60°.

求證：△ACE是等邊三角形.證明∵CD平分∠