金融工程第章遠期與期貨定價

第三章遠期與期貨定價遠期價值、遠期價格與期貨價格2交割價格遠期價值：遠期合約本身的價值遠期價格：理論上的交割價格期貨價格第一節(jié)遠期價格與期貨價格遠期價格與期貨價格的關(guān)系當無風險利率恒定且對所有到期日都相同時，交割日相同的遠期價格和期貨價格應(yīng)相等。當利率變化無法預測時當標的資產(chǎn)價格與利率呈正相關(guān)時，期貨價格高于遠期價格當標的資產(chǎn)價格與利率呈負相關(guān)時，遠期價格就會高于期貨價格基本假設(shè)31.沒有交易費用和稅收。2．市場參與者能以相同的無風險利率借入和貸出資金。3．遠期合約沒有違約風險。4．允許現(xiàn)貨賣空。5．當套利機會出現(xiàn)時，市場參與者將參與套利活動，從而使套利機會消失，我們得到的理論價格就是在沒有套利機會下的均衡價格。6．期貨合約的保證金賬戶支付同樣的無風險利率。這意味著任何人均可不花成本地取得遠期和期貨的多頭和空頭地位。主要符號4T：遠期和期貨合約的到期時間，單位為年。t：現(xiàn)在的時間，單位為年。變量T和t是從合約生效之前的某個日期開始計算的，T-t代表遠期和期貨合約中以年為單位的距離到期時間的剩余時間。S：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間t時的價格。ST：遠期（期貨）標的資產(chǎn)在時間T時的價格（在t時刻這個值是個未知變量）。K：遠期合約中的交割價格。f：遠期合約多頭在t時刻的價值，即t時刻的遠期價值。F：t時刻的遠期合約和期貨合約中的理論遠期價格和理論期貨價格，在本書中如無特別注明，我們分別簡稱為遠期價格和期貨價格。r：T時刻到期的以連續(xù)復利計算的t時刻的無風險利率（年利率），在本書中，如無特別說明，利率均為連續(xù)復利的年利率。

構(gòu)建兩種投資組合，令其終值相等，則其現(xiàn)值一定相等；否則就可進行套利，即賣出現(xiàn)值較高的投資組合，買入現(xiàn)值較低的投資組合，并持有到期末，套利者就可賺取無風險收益。5第二節(jié)無收益資產(chǎn)遠期合約的定價無套利定價法無收益資產(chǎn)的遠期價值6無收益資產(chǎn)是指在到期日前不產(chǎn)生現(xiàn)金流的資產(chǎn)，如貼現(xiàn)債券。構(gòu)建組合：組合A：一份遠期合約多頭加上一筆數(shù)額為 的現(xiàn)金（無風險投資）組合B：一單位標的資產(chǎn)。遠期合約到期時，兩種組合都等于一單位標的資產(chǎn)，因此現(xiàn)值必須相等。 f+=Sf=S－兩種理解：無收益資產(chǎn)遠期合約多頭的價值等于標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格與交割價格現(xiàn)值的差額。一單位無收益資產(chǎn)遠期合約多頭可由一單位標的資產(chǎn)多頭和無風險負債組成?，F(xiàn)貨-遠期平價定理7

遠期價格：（F）就是使合約價值（f）為零的交割價格（K）F=無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理：對于無收益資產(chǎn)而言，遠期價格等于其標的資產(chǎn)現(xiàn)貨價格的終值。反證法7運用無套利原理對無收益資產(chǎn)的現(xiàn)貨-遠期平價定理的反證F>？F<？例3.1設(shè)一份標的證券為一年期貼現(xiàn)債券、剩余期限為6個月的遠期合約多頭，其交割價格為$950，6個月期的無風險年利率（連續(xù)復利）為6%，該債券的現(xiàn)價為$930。則我們可以算出該遠期合約多頭的價值為多少例3.2假設(shè)一年期的貼現(xiàn)債券價格為$960，3個月期無風險年利率為5%，則3個月期的該債券遠期合約的交割價格應(yīng)為多少?遠期價格的期限結(jié)構(gòu)10遠期價格的期限結(jié)構(gòu)描述的是不同期限遠期價格之間的關(guān)系。 F=當即即期期利利率率和和遠遠期期利利率率所所用用的的利利率率均均為為連連續(xù)續(xù)復復利利時時，，即即期期利利率率和和遠遠期期利利率率的的關(guān)關(guān)系系可可表表示示為為：：例3.3假設(shè)設(shè)某某種種不不付付紅紅利利股股票票6個個月月遠遠期期的的價價格格為為20元元，，目目前前市市場場上上6個個月月至至1年年的的遠遠期期利利率率為為8％％，，求求該該股股票票1年年期期的的遠遠期期價價格格。。已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的資資產(chǎn)產(chǎn)13支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的資資產(chǎn)產(chǎn)在到到期期前前會會產(chǎn)產(chǎn)生生完完全全可可預預測測的的現(xiàn)現(xiàn)金金流流的的資資產(chǎn)產(chǎn)例子子：：附附息息債債券券和和支支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金紅紅利利的的股股票票。。負現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的資資產(chǎn)產(chǎn)：：黃金金、、白白銀銀等等貴貴金金屬屬本本身身不不產(chǎn)產(chǎn)生生收收益益，，但但需需要要花花費費一一定定的的存存儲儲成成本本，，存存儲儲成成本本可可看看成成是是負負收收益益。。我我們們令令已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益的的現(xiàn)現(xiàn)值值為為I，，對對黃黃、、白白銀銀來來說說，，I為為負負值值。。第三三節(jié)節(jié)已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的遠遠期期合合約約定定價價支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的遠遠期期價價值值14構(gòu)建建組組合合：：組合合A：：一一份份遠遠期期合合約約多多頭頭加加上上一一筆筆數(shù)數(shù)額額為為Ke-r（（T－－t））的的現(xiàn)現(xiàn)金金;組合合B：：一一單單位位標標的的證證券券加加上上利利率率為為無無風風險險利利率率、、期期限限為為從從現(xiàn)現(xiàn)在在到到現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益派派發(fā)發(fā)日日、、本本金金為為I的的負負債債。。遠期期合合約約到到期期時時，，兩兩種種組組合合都都等等于于一一單單位位標標的的資資產(chǎn)產(chǎn)：：f+=S-If=S-I-兩種種理理解解：：支付付已已知知現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益資資產(chǎn)產(chǎn)的的遠遠期期合合約約多多頭頭價價值值等等于于標標的的證證券券現(xiàn)現(xiàn)貨貨價價格格扣扣除除現(xiàn)現(xiàn)金金收收益益現(xiàn)現(xiàn)值值后后的的余余額額與與交交割割價價格格現(xiàn)現(xiàn)值值之之差差。。一單位支付付已知現(xiàn)金金收益資產(chǎn)產(chǎn)的遠期合合約多頭可可由一單位位標的資產(chǎn)產(chǎn)和I+單單位位無風險負負債構(gòu)成。。由于使用的的是I的現(xiàn)現(xiàn)值，所以以支付一次次和多次現(xiàn)現(xiàn)金收益的的處理方法法相同。支付已知現(xiàn)現(xiàn)金收益資資產(chǎn)的現(xiàn)貨貨－遠期平平價公式15支付已知現(xiàn)現(xiàn)金收益資資產(chǎn)的現(xiàn)貨貨-遠期平平價公式。。根據(jù)F的定定義，我們們可從上式式求得：F=(S-I)公式的理解解：支付已已知現(xiàn)金收收益資產(chǎn)的的遠期價格格等于標的的證券現(xiàn)貨貨價格與已已知現(xiàn)金收收益現(xiàn)值差差額的終值值。反證法F>(S-I)F<(S-I)例3.4假設(shè)6個個月期和12個月月期的無風風險年利率率分別為9%和10%，而一一種十年期期債券現(xiàn)貨貨價格為990元元，該證券券一年期遠遠期合約的的交割價格格為1001元，，該債券在在6個月月和12個個月后都都將收到$60的的利息，且且第二次付付息日在遠遠期合約交交割日之前前，求該合合約的價值值。例3.51718支付已知收收益率的資資產(chǎn)在到期前將將產(chǎn)生與該該資產(chǎn)現(xiàn)貨貨價格成一一定比率的的收益的資資產(chǎn)支付已知收收益率資產(chǎn)產(chǎn)的遠期合合約外匯遠期和和期貨：外外匯發(fā)行國國的無風險險利率股指期貨：：市場整體體水平的紅紅利率基本本可預測遠期利率協(xié)協(xié)議：本國國的無風險險利率遠期外匯綜綜合協(xié)議：：外匯發(fā)行行國的無風風險利率第四節(jié)支付已知現(xiàn)現(xiàn)金收益率率資產(chǎn)的遠遠期合約定定價支付已知收收益率資產(chǎn)產(chǎn)的遠期價價值19建立組合：：組合A：一一份遠期合合約多頭加加上一筆數(shù)數(shù)額為Ke-r（T－t）的的現(xiàn)金；組合B：單單位位證券并且且所有收入入都再投資資于該證券券，其中q為該資產(chǎn)產(chǎn)按連續(xù)復復利計算的的已知收益益率。兩種理解：：支付已知紅紅利率資產(chǎn)產(chǎn)的遠期合合約多頭價價值等于單單位證券的的現(xiàn)值與交交割價現(xiàn)值值之差。一單位支付付已知紅利利率資產(chǎn)的的遠期合約約多頭可由由單單位標標的資產(chǎn)和和單單位無風風險負債構(gòu)構(gòu)成。例3.620例3.7A股票現(xiàn)現(xiàn)在的市場場價格是25美元元，年平均均紅利率為為4％，無無風險利率率為10％％，若該股股票6個個月的遠期期合約的交交割價格為為27美美元，求該該遠期合約約的價值及及遠期價格格。第五節(jié)外外匯匯遠期期貨貨定價為一單位外外幣的美元元價格為一單位外外幣的遠期期或期貨價價格為期限為T的外幣的的無風險利利率為對應(yīng)于同同樣期限的的美元無風風險利率則：例3.8假定澳元與與美元的2年期的無風險險利率分別別為5%及及7%，且且澳元及美美元的匯率率為0.62（即1澳元所對對應(yīng)的美元元數(shù)量）請計算一下下2年期的的期貨合約約匯率假定2年期期的期貨合合約匯率為為0.63，請問一一個套利者者將如何交交易假定2年期期的期貨合合約匯率為為0.6600，請請問一個套套利者將如如何交易24持有成本持有成本＝＝保存成本本＋利息成成本－標的的資產(chǎn)在合合約期限內(nèi)內(nèi)提供的收收益具體例子：：不支付紅利利的股票，，沒有保存存成本和收收益，所以以持有成本本就是利息息成本r股票指數(shù)的的持有成本本是r－－q外幣的持有有成本是r－。。遠期和期貨貨定價中的的持有成本本（c）概概念：第六節(jié)遠期期與期貨價價格的一般般結(jié)論非完全市場場上的定價價公式25存在交易成成本：假定每一筆筆交易的費費率為Y，，那么不存存在套利機機會的遠期期價格就不不再是確定定的值，而而是一個區(qū)區(qū)間：借貸存在利利差如果用表表示借借入利率，，用表表示借出出利率，對對非銀行的的機構(gòu)和個個人，一般般是。。這這時遠期和和期貨的價價格區(qū)間為為：存在賣空限限制因為賣空會會給經(jīng)紀人人帶來很大大風險，所所以幾乎所所有的經(jīng)紀紀人都扣留留賣空客戶戶的部分所所得作為保保證金。假假設(shè)這一比比例為X，，那么均衡衡的遠期和和期貨價格格區(qū)間應(yīng)該該是：26如果上述三三種情況同同時存在，，遠期和期期貨價格區(qū)區(qū)間應(yīng)該是是：完全市場可可以看成是是的特殊情況況。消費性資產(chǎn)產(chǎn)的遠期合合約定價消費性資產(chǎn)產(chǎn)則是指那那些投資者者主要出于于消費目的的而持有的的資產(chǎn)，如如石油、銅銅、農(nóng)產(chǎn)品品等。對于于消費性資資產(chǎn)來說，，遠期定價價公式不再適用，，而是轉(zhuǎn)化化為27同一時刻的的兩者價格格高低取決決于持有成成本在遠期（期期貨）到期期日，遠期期（期貨））價格將收收斂于標的的資產(chǎn)的現(xiàn)現(xiàn)貨價格標的資產(chǎn)的的現(xiàn)貨價格格對同一時時刻的遠期期（期貨））價格起著著重要的制制約關(guān)系價格的領(lǐng)先先滯后關(guān)系系第七節(jié)遠遠期（期貨貨）價格與與標的資產(chǎn)產(chǎn)現(xiàn)貨價格格的關(guān)系當前遠期（（期貨）價價格與標的的資產(chǎn)預期期的未來現(xiàn)現(xiàn)貨價格的的關(guān)系**在一個無套套利的有效效市場中，，標的資產(chǎn)產(chǎn)和其冗余余證券期貨貨之間具有有一體化性性質(zhì)，現(xiàn)貨貨相對于期期貨的預期期收益率總總是正好等等于標的資資產(chǎn)的風險險溢酬。**轉(zhuǎn)移風險和和管理風險險的確是期期貨市場的的最本質(zhì)功功能。28練習1.每季度計一一次復利的的年利率為為14%，請計算算與之等價價的每年計計一次復利利的年利率率和連續(xù)復復利年利率率。2.假設(shè)連續(xù)復復利的零息息票利率分分別為：期限（月））年利率率38.068.298.4128.5158.6188.7請計算第2、3、4、5、6季度的連續(xù)續(xù)復利遠期期利率。3.假設(shè)一種無無紅利支付付的股票目目前的市價價為20元，無無風險連續(xù)續(xù)復利年利利率為10%，求該股票票3個月期遠期