2020年天津卷(含答案)

絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁(yè)，第Ⅱ卷4至6頁(yè)．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫(xiě)在答題卡上，答在試卷上的無(wú)效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．參考公式：如果事件與事件互斥，那么．．如果事件與事件相互獨(dú)立，那么球的表面積公式，其中表示球的半徑．一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，則（）A.B.C.D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.函數(shù)的圖象大致為（）AB.C.D.4.從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間）內(nèi)的個(gè)數(shù)為（A.10B.18C.20D.365.若棱長(zhǎng)為的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A.B.C.D.6.設(shè)，則的大小關(guān)系為（）A.B.C.D.7.設(shè)雙曲線的方程為，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)和點(diǎn)的直線為．若的方程為（）的一條漸近線與平行，另一條漸近線與垂直，則雙曲線A.B.C.D.8.已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①②的最小正周期為；是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是A.①B.①③C.②③D.①②③9.已知函數(shù)取值范圍是（）A.若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的B.C.D.絕密★啟用前2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫(xiě)在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3分，全部答對(duì)的給5分．10.是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．11.在的展開(kāi)式中，的系數(shù)是_________．12.已知直線_________．和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為13.已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_(kāi)________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_(kāi)________．14.已知，且，則的最小值為_(kāi)________．15.如圖，在四邊形中，，，且，則，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為_(kāi)________．三、解答題：本大題共5小題，共75分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．16.在中，角所對(duì)的邊分別為．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．17.如圖，在三棱柱中，平面，，點(diǎn)分別在棱和棱上，且為棱的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求二面角（Ⅲ）求直線的正弦值；與平面所成角的正弦值．18.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，且，其中為原點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）已知點(diǎn)19.已知滿(mǎn)足，點(diǎn)在橢圓上（異于橢圓的頂點(diǎn)），直線與以為圓心的圓相切于點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)．求直線的方程．為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，．（Ⅰ）求和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記的前項(xiàng)和為，求證：；（Ⅲ）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)20.已知函數(shù)求數(shù)列的前項(xiàng)和．，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)（Ⅱ）當(dāng)?shù)膯握{(diào)區(qū)間和極值；，且時(shí)，求證：對(duì)任意的，有．2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)參考答案第I卷一、選擇題(共45分)1.C2.A3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.D1.【解析】由題意可知，則.故選：C.2.【解析】解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.3.【解析】由函數(shù)的解析式可得：標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)CD4.【解析】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選A.之間的零件頻率為：內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為：，區(qū)間,選B.5.【解析】這個(gè)球是正方體的外接球，其半徑等于正方體的體對(duì)角線的一半，即，所以，這個(gè)球的表面積為.故選：C.，6.【解析】因?yàn)椋?，所?故選：D.7.【解析】由題可知，拋物線的焦點(diǎn)為，所以直線的方程為，，即直線的斜率為，又雙曲線的漸近線的方程為．故選：．，所以，因?yàn)?，解?.【解析】因?yàn)?，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象，故③正確.故恰有3個(gè)實(shí)根即選：B.9.【解析】注意到可.令，所以要使恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程，即與的圖象有個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)?，?dāng)當(dāng)時(shí)，此時(shí)，如圖1，與與有個(gè)不同交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意；恒有個(gè)不同交點(diǎn)，滿(mǎn)足題意；時(shí)，如圖2，此時(shí)當(dāng)令時(shí)，如圖3，當(dāng)與相切時(shí)，聯(lián)立方程得，得，解得（負(fù)值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.第Ⅱ卷二、填空題(共30分)10.11.1012.513.,14.415.,10.【解析】.故答案為：.11