2021年初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)-第二章-4-二次函數(shù)的應(yīng)用-課時(shí)1-幾何圖形問(wèn)題-課件(北師大版)

第二章二次函數(shù)4二次函數(shù)的應(yīng)用課時(shí)1幾何圖形問(wèn)題

第二章二次函數(shù)目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入31.求二次函數(shù)的最值。2.求圖形的最值。

（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.求二次函數(shù)的最值。學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入

對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，如果其中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來(lái)刻畫，那么我們就可以利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)研究．新課導(dǎo)入對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，如果其中變量之間的關(guān)系可以新課講解

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的最值1．當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處

取得最值．即當(dāng)x＝－

時(shí)，y最值＝.

當(dāng)a＞0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值，此時(shí)不存在最大

值；當(dāng)a＜0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值，此時(shí)不存在

最小值．新課講解知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的最值1．當(dāng)自變量新課講解2.當(dāng)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時(shí)，(1)若－在自變量的取值范

圍x1≤x≤x2內(nèi)，最大值與最小值同時(shí)存在，如圖①，當(dāng)a＞0時(shí)，

最小值在x＝

處取得，最大值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的

較大的函數(shù)值；當(dāng)a＜0時(shí)，

最大值在x＝

處取得，

最小值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的較小的函數(shù)值；新課講解2.當(dāng)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時(shí)，(1)若新課講解(2)若

不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，最大值和

最小值同時(shí)存在，且函數(shù)

在x＝x1，x＝x2時(shí)的函數(shù)值

中，較大的為最大值，較

小的為最小值，如圖②.新課講解(2)若不在自變量的取值范圍x新課講解例典例分析分析：先求出拋物線y＝x2－2x－3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后

看頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的取值

范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫出圖象，

利用圖象求解．

分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)y＝x2－2x－3的最值：(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.新課講解例典例分析分析：先求出拋物線y＝x2－2x－3的頂點(diǎn)新課講解解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值，y最小值＝－4.∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點(diǎn)，在直線x＝1兩側(cè)的

圖象左右對(duì)稱，端點(diǎn)處取不到，

∴不存在最大值．新課講解解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，新課講解(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖)，

而函數(shù)y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的圖象是拋物線y＝x2－2x－3的一部分，且當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝32－2×3－3＝0；

當(dāng)x＝2時(shí)，y最小值＝22－2×2－3＝－3.新課講解(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖)，新課講解練一練1二次函數(shù)y＝x2－4x＋c的最小值為0，則c的值

為(

)A．2B．4C．－4D．16已知0≤x≤，那么函數(shù)y＝－2x2＋8x－6的最

大值是(

)A．－6

B．－2.5

C．2

D．不能確定BB新課講解練一練1二次函數(shù)y＝x2－4x＋c的最小值新課講解

知識(shí)點(diǎn)2圖形的最值

如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD,其中AB和CD分別在兩直角邊上.(1)如果設(shè)矩形的一邊AB=xm，

那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？(2)設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x

取何值時(shí)，y的值最大？

最大值是多少？新課講解知識(shí)點(diǎn)2圖形的最值新課講解1．利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相

關(guān)的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計(jì)算公式，并且

用函數(shù)表示這個(gè)面積；(4)根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式及自變量的取值范圍求出其最值．新課講解1．利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：新課講解

某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，

下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)（圖中所

有黑線的長(zhǎng)度和）為15m.當(dāng)x等于多少時(shí)，窗戶通

過(guò)的光線最多？（結(jié)果精確到0.01m)此時(shí)，窗戶的

面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m2）例典例分析新課講解 某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是新課講解解：∵7x+4y+πx=15,

設(shè)窗戶的面積是Sm2,則S=πx2+2xy

當(dāng)x=≈1.07時(shí)，S最大

=≈4.02.

因此，當(dāng)x約為1.07m時(shí)，窗戶通過(guò)的光線最多.

此時(shí)，窗戶的面積約為4.02m2.新課講解解：∵7x+4y+πx=15,新課講解例典例分析

如圖，已知△ABC的面積為2400cm2，底邊BC長(zhǎng)為80cm.若點(diǎn)D在BC邊上，E在AC邊上，F(xiàn)在AB邊上，且四

邊形BDEF為平行四邊形，設(shè)BD＝x(cm)，S?BDEF＝y(tǒng)(cm2)，求：(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最大值？最大值是多少？新課講解例典例分析 如圖，已知△ABC的面積為24新課講解分析：(1)可分別設(shè)出△DCE的邊CD上的高和△ABC的邊BC

上的高，根據(jù)條件求出△ABC的邊BC上的高，再利用

相似找出其他等量關(guān)系，然后設(shè)法用x表示?BDEF的邊BD上的高；(2)BD在BC邊上，最長(zhǎng)不超過(guò)BC；(3)根據(jù)x的取值范圍及求最值的方法解題．新課講解分析：(1)可分別設(shè)出△DCE的邊CD上的高和△AB新課講解解：(1)設(shè)△DCE的邊CD上的高為hcm，△ABC的邊BC上的

高為bcm，則有S?BDEF＝xh(cm2)．∵S△ABC＝

BC·b，∴2400＝×80b.∴b＝60.∵四邊形BDEF為平行四邊形，

∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.∴∴y＝x·＝－

x2＋60x，即y＝－

x2＋60x.

新課講解解：(1)設(shè)△DCE的邊CD上的高為hcm，△AB新課講解(2)自變量x的取值范圍是0＜x＜80.(3)由(1)可得y＝－(x－40)2＋1200.∵a＝－

＜0，0＜x＜80，∴當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最大值，最大值是1200.新課講解(2)自變量x的取值范圍是0＜x＜80.新課講解例典例分析

張大伯準(zhǔn)備用一面長(zhǎng)15m的墻和長(zhǎng)38m的柵欄修建一個(gè)如圖所示的矩形養(yǎng)殖場(chǎng)ABCD，并在養(yǎng)殖場(chǎng)的一側(cè)留出一個(gè)2m寬的門．(1)求養(yǎng)殖場(chǎng)的面積y(m2)與BC邊的長(zhǎng)x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)BC邊的長(zhǎng)為多少時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)的

面積最大？最大面積是多少？新課講解例典例分析 張大伯準(zhǔn)備用一面長(zhǎng)15m的墻和長(zhǎng)3新課講解分析：由BC邊的長(zhǎng)和柵欄的總長(zhǎng)可以表示出AB的長(zhǎng)，故可求

養(yǎng)殖場(chǎng)的面積y與BC邊的長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式，再由二次

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和自變量的取值范圍可求出養(yǎng)殖場(chǎng)的

最大面積．新課講解分析：由BC邊的長(zhǎng)和柵欄的總長(zhǎng)可以表示出AB的長(zhǎng)，故新課講解解：(1)由題意得，AB＝

m，∴y＝x·＝x·＝－

x2＋20x.

由題意知

∴0＜x≤15.∴y＝－

x2＋20x，其中0＜x≤15.

新課講解解：(1)由題意得，AB＝新課講解(2)y＝－

x2＋20x＝－(x2－40x)

＝－(x－20)2＋200.∵a＝－

＜0，0＜x≤15，∴y隨x的增大而增大．∴當(dāng)x＝15時(shí)，y最大＝－×(15－20)2＋200＝187.5.

答：BC邊的長(zhǎng)為15m時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)的面積最大，最大面

積是187.5m2.新課講解(2)y＝－x2＋20x＝課堂小結(jié)

利用二次函數(shù)求幾何圖形面積的最值是二次函數(shù)應(yīng)用的重點(diǎn)之一，解決此類問(wèn)題的基本方法是：借助已知條件，分析幾何圖形的性質(zhì)，確定二次函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出最值，從而解決問(wèn)題．課堂小結(jié)利用二次函數(shù)求幾何圖形面積的最值是二當(dāng)堂小練1已知一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)之和為20cm，則

這個(gè)直角三角形的最大面積為(

)A．25cm2B．50cm2

C．100cm2D．不確定2用一條長(zhǎng)為40cm的繩子圍成一個(gè)面積為acm2的長(zhǎng)

方形，a的值不可能為(

)A．20B．40C．100D．120BD當(dāng)堂小練1已知一個(gè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)之和為20c當(dāng)堂小練3如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，從較短

邊AD上找一點(diǎn)E，過(guò)這點(diǎn)剪下兩個(gè)正方形，它們

的邊長(zhǎng)分別是AE，DE，當(dāng)剪下的兩個(gè)正方形的面

積之和最小時(shí)，點(diǎn)E應(yīng)選在(

)A．AD的中點(diǎn)

B．AE∶ED＝(－1)∶2C．AE∶ED＝∶1

D．AE∶ED＝(－1)∶2A當(dāng)堂小練3如圖，在矩形ABCD中，AD＝1，AB＝2，拓展與延伸如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB向B以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC向C以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)△PBQ的面積最大時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)_______．11.2s拓展與延伸如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，THANKSTHANKS第二章二次函數(shù)4二次函數(shù)的應(yīng)用課時(shí)1幾何圖形問(wèn)題

第二章二次函數(shù)目錄CONTENTS1

學(xué)習(xí)目標(biāo)2

新課導(dǎo)入3

新課講解4

課堂小結(jié)5

當(dāng)堂小練6

拓展與延伸目CONTENTS1學(xué)習(xí)目標(biāo)2新課導(dǎo)入31.求二次函數(shù)的最值。2.求圖形的最值。

（重點(diǎn)）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.求二次函數(shù)的最值。學(xué)習(xí)目標(biāo)新課導(dǎo)入

對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，如果其中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來(lái)刻畫，那么我們就可以利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)來(lái)研究．新課導(dǎo)入對(duì)于某些實(shí)際問(wèn)題，如果其中變量之間的關(guān)系可以新課講解

知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的最值1．當(dāng)自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)時(shí)，函數(shù)在頂點(diǎn)處

取得最值．即當(dāng)x＝－

時(shí)，y最值＝.

當(dāng)a＞0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最小值，此時(shí)不存在最大

值；當(dāng)a＜0時(shí)，在頂點(diǎn)處取得最大值，此時(shí)不存在

最小值．新課講解知識(shí)點(diǎn)1二次函數(shù)的最值1．當(dāng)自變量新課講解2.當(dāng)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時(shí)，(1)若－在自變量的取值范

圍x1≤x≤x2內(nèi)，最大值與最小值同時(shí)存在，如圖①，當(dāng)a＞0時(shí)，

最小值在x＝

處取得，最大值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的

較大的函數(shù)值；當(dāng)a＜0時(shí)，

最大值在x＝

處取得，

最小值為函數(shù)在x＝x1，x＝x2時(shí)的較小的函數(shù)值；新課講解2.當(dāng)自變量的取值范圍是x1≤x≤x2時(shí)，(1)若新課講解(2)若

不在自變量的取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，最大值和

最小值同時(shí)存在，且函數(shù)

在x＝x1，x＝x2時(shí)的函數(shù)值

中，較大的為最大值，較

小的為最小值，如圖②.新課講解(2)若不在自變量的取值范圍x新課講解例典例分析分析：先求出拋物線y＝x2－2x－3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后

看頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否在所規(guī)定的自變量的取值

范圍內(nèi)，根據(jù)不同情況求解，也可畫出圖象，

利用圖象求解．

分別在下列范圍內(nèi)求函數(shù)y＝x2－2x－3的最值：(1)0＜x＜2；(2)2≤x≤3.新課講解例典例分析分析：先求出拋物線y＝x2－2x－3的頂點(diǎn)新課講解解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－4)．(1)∵x＝1在0＜x＜2范圍內(nèi)，且a＝1＞0，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值，y最小值＝－4.∵x＝1是0＜x＜2范圍的中點(diǎn)，在直線x＝1兩側(cè)的

圖象左右對(duì)稱，端點(diǎn)處取不到，

∴不存在最大值．新課講解解：∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，新課講解(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖)，

而函數(shù)y＝x2－2x－3(2≤x≤3)的圖象是拋物線y＝x2－2x－3的一部分，且當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝3時(shí)，y最大值＝32－2×3－3＝0；

當(dāng)x＝2時(shí)，y最小值＝22－2×2－3＝－3.新課講解(2)∵x＝1不在2≤x≤3范圍內(nèi)(如圖)，新課講解練一練1二次函數(shù)y＝x2－4x＋c的最小值為0，則c的值

為(

)A．2B．4C．－4D．16已知0≤x≤，那么函數(shù)y＝－2x2＋8x－6的最

大值是(

)A．－6

B．－2.5

C．2

D．不能確定BB新課講解練一練1二次函數(shù)y＝x2－4x＋c的最小值新課講解

知識(shí)點(diǎn)2圖形的最值

如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD,其中AB和CD分別在兩直角邊上.(1)如果設(shè)矩形的一邊AB=xm，

那么AD邊的長(zhǎng)度如何表示？(2)設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x

取何值時(shí)，y的值最大？

最大值是多少？新課講解知識(shí)點(diǎn)2圖形的最值新課講解1．利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：(1)引入自變量；(2)用含有自變量的代數(shù)式分別表示與所求幾何圖形相

關(guān)的量；(3)由幾何圖形的特征，列出其面積的計(jì)算公式，并且

用函數(shù)表示這個(gè)面積；(4)根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式及自變量的取值范圍求出其最值．新課講解1．利用二次函數(shù)求幾何圖形的面積的最值的一般步驟：新課講解

某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是半圓，

下半部分是矩形，制造窗框的材料總長(zhǎng)（圖中所

有黑線的長(zhǎng)度和）為15m.當(dāng)x等于多少時(shí)，窗戶通

過(guò)的光線最多？（結(jié)果精確到0.01m)此時(shí)，窗戶的

面積是多少？（結(jié)果精確到0.01m2）例典例分析新課講解 某建筑物的窗戶如圖所示，它的上半部分是新課講解解：∵7x+4y+πx=15,

設(shè)窗戶的面積是Sm2,則S=πx2+2xy

當(dāng)x=≈1.07時(shí)，S最大

=≈4.02.

因此，當(dāng)x約為1.07m時(shí)，窗戶通過(guò)的光線最多.

此時(shí)，窗戶的面積約為4.02m2.新課講解解：∵7x+4y+πx=15,新課講解例典例分析

如圖，已知△ABC的面積為2400cm2，底邊BC長(zhǎng)為80cm.若點(diǎn)D在BC邊上，E在AC邊上，F(xiàn)在AB邊上，且四

邊形BDEF為平行四邊形，設(shè)BD＝x(cm)，S?BDEF＝y(tǒng)(cm2)，求：(1)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)自變量x的取值范圍．(3)當(dāng)x為何值時(shí)，y取得最大值？最大值是多少？新課講解例典例分析 如圖，已知△ABC的面積為24新課講解分析：(1)可分別設(shè)出△DCE的邊CD上的高和△ABC的邊BC

上的高，根據(jù)條件求出△ABC的邊BC上的高，再利用

相似找出其他等量關(guān)系，然后設(shè)法用x表示?BDEF的邊BD上的高；(2)BD在BC邊上，最長(zhǎng)不超過(guò)BC；(3)根據(jù)x的取值范圍及求最值的方法解題．新課講解分析：(1)可分別設(shè)出△DCE的邊CD上的高和△AB新課講解解：(1)設(shè)△DCE的邊CD上的高為hcm，△ABC的邊BC上的

高為bcm，則有S?BDEF＝xh(cm2)．∵S△ABC＝

BC·b，∴2400＝×80b.∴b＝60.∵四邊形BDEF為平行四邊形，

∴DE∥AB.∴△EDC∽△ABC.∴∴y＝x·＝－

x2＋60x，即y＝－

x2＋60x.

新課講解解：(1)設(shè)△DCE的邊CD上的高為hcm，△AB新課講解(2)自變量x的取值范圍是0＜x＜80.(3)由(1)可得y＝－(x－40)2＋1200.∵a＝－

＜0，0＜x＜80，∴當(dāng)x＝40時(shí)，y取得最大值，最大值是1200.新課講解(2)自變量x的取值范圍是0＜x＜80.新課講解例典例分析

張大伯準(zhǔn)備用一面長(zhǎng)15m的墻和長(zhǎng)38m的柵欄修建一個(gè)如圖所示的矩形養(yǎng)殖場(chǎng)ABCD，并在養(yǎng)殖場(chǎng)的一側(cè)留出一個(gè)2m寬的門．(1)求養(yǎng)殖場(chǎng)的面積y(m2)與BC邊的長(zhǎng)x(m)之間的函數(shù)關(guān)系式．(2)當(dāng)BC邊的長(zhǎng)為多少時(shí)，養(yǎng)殖場(chǎng)的

面積最大？最大面積是多少？新課講解例典例分析 張大伯準(zhǔn)備用一面長(zhǎng)15m的墻和長(zhǎng)3新課講解分析：由BC邊的長(zhǎng)和柵欄的總長(zhǎng)可以表示出AB的長(zhǎng)，故可求

養(yǎng)殖場(chǎng)的面積y與BC邊的長(zhǎng)x的函數(shù)關(guān)系式，再由二次

函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和自變量的取值范圍可求出養(yǎng)殖場(chǎng)的

最大面積．新課講解分析：由BC邊的長(zhǎng)和柵欄的總長(zhǎng)可以表示出AB的長(zhǎng)，故新課講解解：(1)由題意得，AB＝

m，∴y＝x·＝x·＝－

x2＋20x.

由題意知

∴0＜x≤15.∴y＝－

x2＋20x，其中0＜x≤15.

新課講解解：(1)由題意得，AB＝新課講解(2)y＝－

x2＋20x＝－(x2－40x)

＝－(x－20)2＋200.