用空間向量解決距離、夾角的應(yīng)用（第3課時）【 知識精講+對點(diǎn)專練 】 高二數(shù)學(xué) 備課精研（人教A版2019選修第一冊）

1.4.2用空間向量解決距離、夾角的應(yīng)用（第3課時）第1

章空間向量與立體幾何人教A版2019選修第一冊1.會用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系.3.線線角、線面角、面面角解決實(shí)際問題學(xué)習(xí)目標(biāo)

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題

知識回顧

化為向量問題進(jìn)行向量運(yùn)算回到圖形問題

知識回顧

利用平面的法向量求二面角

利用向量方法求二面角的大小時,多采用法向量法,即求出兩個面的法向量,然后通過法向量的夾角來得到二面角的大小,但利用這種方法求解時,要注意結(jié)合圖形觀察分析,確定二面角是銳角還是鈍角,不能將兩個法向量的夾角與二面角的大小完全等同起來.知識回顧分析：且8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和與禮物的重力是一對相反向量典例1解：ABDPEFC典例2例10ABDPEFGCABDPEFGCABDPEFGCABDPEFGCABDPEFGC

如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A，B到直線(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，甲乙之間拉緊的繩長為d，求庫底與水壩所在平面夾角的余弦值.典例3解由題意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，利用空間向量解決實(shí)際問題(1)分析實(shí)際問題的向量背景，將題目條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)對于和垂直、平行、距離、角度有關(guān)的實(shí)際問題，可以考慮建立向量模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).課本練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)1.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為√解析不妨設(shè)CA＝CC1＝2CB＝2，2.已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是側(cè)棱BB1的中點(diǎn)，則直線AE與平面A1ED1所成角的大小為A.60° B.90°C.45° D.以上都不對√解析以點(diǎn)D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.由題意知，A1(1,0,2)，E(1,1,1)，D1(0,0,2)，A(1,0,0)，設(shè)平面A1ED1的一個法向量為n＝(x，y，z)，令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0,1,1)，設(shè)直線與平面A1ED1所成角為θ，則sinθ＝1，所以直線AE與平面A1ED1所成的角為90°.3.在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝____.解析平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，4.已知正△ABC與正△BCD所在平面垂直，則平面ABD與平面BDC夾角的余弦值為____.解析取BC的中點(diǎn)O，連接AO，DO，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，123456789101112131415165.如圖，在三棱錐V－ABC中，頂點(diǎn)C在空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處，頂點(diǎn)A，B，V分別在x軸、y軸、z軸上，D是線段AB的中點(diǎn)，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

，則異面直線AC與VD所成角的余弦值為_____.解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中點(diǎn)，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).6.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點(diǎn).(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值；解以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值；解連接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.又四邊形B1EDF為菱形，∴DB1為∠EDF的平分線，故直線AD與平面B1EDF所成的角為∠ADB1.由A(0,0,0)，