江西省兩校2023年高考數(shù)學(xué)三模試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．2．已知某口袋中有3個(gè)白球和個(gè)黑球（），現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球，再換回一個(gè)不同顏色的球（即若取出的是白球，則放回一個(gè)黑球；若取出的是黑球，則放回一個(gè)白球），記換好球后袋中白球的個(gè)數(shù)是．若，則=()A． B．1 C． D．23．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，則在軸上的截距為（）A． B． C． D．4．一個(gè)圓錐的底面和一個(gè)半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個(gè)圓錐軸截面底角的大小是（）A． B． C． D．5．已知，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，，過點(diǎn)作與垂直的直線交直線于點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知平面向量，，滿足：，，則的最小值為()A．5 B．6 C．7 D．87．設(shè)直線過點(diǎn)，且與圓：相切于點(diǎn)，那么（）A． B．3 C． D．18．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn)，是線段上的點(diǎn)，且,則直線的斜率的最大值為()A． B． C． D．19．若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．函數(shù)在上最大值是110．1777年，法國科學(xué)家蒲豐在宴請(qǐng)客人時(shí)，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個(gè)客人發(fā)許多等質(zhì)量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對(duì)針落地的位置進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（）A． B． C． D．11．已知公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，且成等比數(shù)列，則（）A．56 B．72 C．88 D．4012．元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論，其中關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在球的球面上，，是邊長為2的正三角形，，則球的體積為__________．14．正四面體的一個(gè)頂點(diǎn)是圓柱上底面的圓心，另外三個(gè)頂點(diǎn)圓柱下底面的圓周上，記正四面體的體積為，圓柱的體積為，則的值是______.15．若函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在和兩處取得極值，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．16．已知三棱錐，，是邊長為4的正三角形，，分別是、的中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)除外），，若異面直線與所成的角為，且，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.18．（12分）已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成．在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn)．已知長為40米,設(shè)為．（上述圖形均視作在同一平面內(nèi)）（1）記四邊形的周長為,求的表達(dá)式;（2）要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值．20．（12分）已知函數(shù)．（1）解不等式；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求的求值范圍．21．（12分）健身館某項(xiàng)目收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為每次60元，現(xiàn)推出會(huì)員優(yōu)惠活動(dòng)：具體收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：現(xiàn)隨機(jī)抽取了100為會(huì)員統(tǒng)計(jì)它們的消費(fèi)次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項(xiàng)目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率（2）某會(huì)員消費(fèi)4次，求這4次消費(fèi)獲得的平均利潤；（3）假設(shè)每個(gè)會(huì)員每星期最多消費(fèi)4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會(huì)員中隨機(jī)抽取兩位，記從這兩位會(huì)員的消費(fèi)獲得的平均利潤之差的絕對(duì)值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望22．（10分）已知函數(shù)．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值.

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．A【答案解析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，從而得出正確選項(xiàng).【題目詳解】因?yàn)?，所以是偶函?shù)，排除C和D.當(dāng)時(shí)，，，令，得，即在上遞減；令，得，即在上遞增.所以在處取得極小值，排除B.故選：A【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像的識(shí)別，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于中檔題.2．B【答案解析】由題意或4，則，故選B．3．A【答案解析】

求出函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)后可得曲線在處的切線方程，從而可求切線的縱截距.【題目詳解】，故，所以曲線在處的切線方程為：.令，則，故切線的縱截距為.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及直線的截距，注意直線的縱截距指直線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，因此截距有正有負(fù)，本題屬于基礎(chǔ)題.4．D【答案解析】

設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達(dá)圓錐表面積與球的表面積公式,進(jìn)而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【題目詳解】設(shè)圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎(chǔ)題.5．A【答案解析】

由題意得，即可得點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【題目詳解】如圖，連接OP，AM，由題意得，點(diǎn)M的軌跡為以A，B為左、右焦點(diǎn)，的雙曲線，.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于中檔題.6．B【答案解析】

建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，，且，由于，所以..所以，即..當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí)由得，當(dāng)時(shí)，有最小值為，即，，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最小值為.故選：B【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.7．B【答案解析】

過點(diǎn)的直線與圓：相切于點(diǎn)，可得.因此，即可得出.【題目詳解】由圓：配方為，，半徑.∵過點(diǎn)的直線與圓：相切于點(diǎn)，∴；∴；故選：B.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查向量數(shù)量積的計(jì)算，考查圓的方程，屬于基礎(chǔ)題.8．C【答案解析】試題分析：設(shè)，由題意，顯然時(shí)不符合題意，故，則，可得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選C．考點(diǎn)：1．拋物線的簡單幾何性質(zhì)；2．均值不等式．【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程，均值不等式的靈活運(yùn)用，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意分析條件，根據(jù)條件，利用向量的運(yùn)算可知，寫出直線的斜率，注意均值不等式的使用，特別是要分析等號(hào)是否成立，否則易出問題．9．A【答案解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對(duì)應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯(cuò)誤.【題目詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)沒有最大值，錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【答案點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對(duì)稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對(duì)應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).10．D【答案解析】

根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計(jì)概率.【題目詳解】.故選:D.【答案點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查利用頻率估計(jì)概率，屬于基礎(chǔ)題.11．B【答案解析】

，將代入，求得公差d，再利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【題目詳解】由已知，，，故，解得或（舍），故，.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，考查等差數(shù)列基本量的計(jì)算，是一道容易題.12．B【答案解析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí)，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí)，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點(diǎn)睛：本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項(xiàng)的綜合，屬于中檔題，解題時(shí)注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系（比如相鄰項(xiàng)滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項(xiàng)積等）.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

由題意可得三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，求出正方體的對(duì)角線的長，就是球的直徑，然后求出球的體積.【題目詳解】解：因?yàn)椋瑸檎切?，所以，因?yàn)椋匀忮F的三條側(cè)棱兩兩垂直，所以它的外接球就是棱長為的正方體的外接球，因?yàn)檎襟w的對(duì)角線長為，所以其外接球的半徑為，所以球的體積為故答案為：【答案點(diǎn)睛】此題考查球的體積，幾何體的外接球，考查空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題.14．【答案解析】

設(shè)正四面體的棱長為，求出底面外接圓的半徑與高，代入體積公式求解．【題目詳解】解：設(shè)正四面體的棱長為，則底面積為，底面外接圓的半徑為，高為．∴正四面體的體積，圓柱的體積．則．故答案為：．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查多面體與旋轉(zhuǎn)體體積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．15．【答案解析】

先將函數(shù)在和兩處取得極值，轉(zhuǎn)化為方程有兩不等實(shí)根，且，再令，將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩交點(diǎn)，且橫坐標(biāo)滿足，用導(dǎo)數(shù)方法研究單調(diào)性，作出簡圖，求出時(shí)，的值，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在和兩處取得極值，所以是方程的兩不等實(shí)根，且，即有兩不等實(shí)根，且，令，則直線與曲線有兩交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，又，由得，所以，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，即函數(shù)在和上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)，因此，由得.故答案為【答案點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，已知函數(shù)極值點(diǎn)間的關(guān)系求參數(shù)的問題，通常需要將函數(shù)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，再轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)的問題來處理，屬于?？碱}型.16．【答案解析】

取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，，，直線與所成的角為，計(jì)算，，根據(jù)余弦定理計(jì)算得到答案?！绢}目詳解】取的中點(diǎn)，連接，，依題意可得，，所以平面，所以，因?yàn)?，分別、的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，所以平面，故，故，故兩兩垂直。取的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，所以直線與所成的角為，設(shè)，則，，所以，化簡得，解得，即.故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)異面直線夾角求長度，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．；，.【答案解析】

由題意，可得，利用矩陣的知識(shí)求解即可.矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，求出矩陣的特征值.【題目詳解】設(shè)矩陣，則，所以，解得，，，，所以矩陣；矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，即矩陣的兩個(gè)特征值為，.【答案點(diǎn)睛】本題考查矩陣的知識(shí)點(diǎn)，屬于?？碱}.18．（1）；（2）．【答案解析】試題分析：（1）設(shè)公差為，列出關(guān)于的方程組，求解的值，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即可利用裂項(xiàng)相消求解數(shù)列的和.試題解析：（1）設(shè)公差為.由已知得,解得或（舍去）,所以,故.（2）,考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的求和.19．（1）,．（2）【答案解析】

（1）由余弦定理的,然后根據(jù)直線與圓相切的性質(zhì)求出,從而求出;（2）求得的表達(dá)式,通過求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性求得最大值.【題目詳解】解：（1）連．由條件得．在三角形中,,,,由余弦定理,得,因?yàn)榕c半圓相切于,所以,所以,所以．所以四邊形的周長為,．（2）設(shè)四邊形的面積為,則,．所以,．令,得列表：+0-增最大值減答：要使改建成的展示區(qū)的面積最大,的值為．【答案點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、直線與圓的位置關(guān)系、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值的關(guān)系,考查考生的邏輯思維能力,運(yùn)算求解能力,以及函數(shù)與方程的思想.20．（1）或；（2）．【答案解析】

（1）通過討論的范圍，將絕對(duì)值符號(hào)去掉，轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集，之后取并集，得到原不等式的解集；（2）將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問題解決，數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【題目詳解】（1）有題不等式可化為，當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，不滿足，舍去；當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因?yàn)?，所以若函?shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn)，函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)遞減，且.數(shù)形結(jié)合可知．【答案點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分類討論求絕對(duì)值不等式的解集，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)的問題來解決，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于簡單題目.21．（1）（2）22.5（3）見解析，【答案解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)計(jì)算頻率，得出概率；（2）根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算平均利潤；（3）求出各種情況對(duì)應(yīng)的的值和概率，得出分布列，從而計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1）估計(jì)1位會(huì)員至少消費(fèi)兩次的概率；（2）第1次消費(fèi)利潤；第2次消費(fèi)利潤；第3次消費(fèi)利潤；第