342換底公式-課件高中數(shù)學(xué)必修一北師大版

4.2換底公式4.21問題引航1.換底公式的表達(dá)式是什么?其滿足什么條件?2.換底公式有何特點(diǎn)?如何應(yīng)用換底公式對對數(shù)式進(jìn)行化簡求值?問題1.換底公式的表達(dá)式是什么?其滿足什么條件?2(1)形式：logbN=_______.(2)適用條件：___________________.(3)變形：logba=________.a,b＞0,a,b≠1,N＞0(1)形式：logbN=_______.a,b＞0,a,b≠31.判一判：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)log75不能用ln5和ln7表示.()(2)等式成立.()(3)換底公式只能將對數(shù)轉(zhuǎn)化為以10或e為底的對數(shù).()(4)等式logab=?logablogba=1.()1.判一判：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)42.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)(1)log23·log32=________.(2)=________.(3)已知log34·log48·log8m＝2，則m＝________.2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)5【解析】1.(1)錯誤，因?yàn)橛蓳Q底公式可知log75=(2)正確，因?yàn)樗哉_.(3)錯誤.換底公式可以將對數(shù)轉(zhuǎn)化為以任何大于0且不等于1的實(shí)數(shù)為底的對數(shù).(4)正確.等式成立的條件是a,b＞0,a,b≠1，而等式logablogba=1成立的條件也是a,b＞0,a,b≠1.答案：(1)×(2)√(3)×(4)√【解析】1.(1)錯誤，因?yàn)橛蓳Q底公式可知log75=62.(1)log23·log32=答案：1(2)=log39=2.答案：2(3)log34·log48·log8m＝所以m＝32＝9.答案：92.(1)log23·log32=7【要點(diǎn)探究】知識點(diǎn)換底公式1.對換底公式的兩點(diǎn)說明(1)成立的條件：公式是在左右兩邊對數(shù)式都有意義的情況下才能成立.(2)作用：換底公式可以將對數(shù)化成以10或e為底的對數(shù),可以將不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),在不同底的對數(shù)之間建起了一座橋梁.【要點(diǎn)探究】82.利用換底公式化簡求值的思想和注意點(diǎn)2.利用換底公式化簡求值的思想和注意點(diǎn)9【知識拓展】由換底公式可得出的常用結(jié)論①logab·logbc·logca=1;②③④【知識拓展】由換底公式可得出的常用結(jié)論10【微思考】(1)換底公式的新底是唯一的嗎?提示：不是.這個底可以視情況而定,只要滿足對數(shù)式的含義即可.(2)換底公式可以與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)同時使用嗎?提示：可以.換底公式只是一個橋梁,它可以把底數(shù)不統(tǒng)一的對數(shù)化成底數(shù)統(tǒng)一的對數(shù),為充分利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)奠定基礎(chǔ).【微思考】11【即時練】利用換底公式求值：(1)log25·log54.(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.(3)(2014·撫州高一檢測)【即時練】12【解析】(1)log25·log54=(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78(3)【解析】(1)log25·log54=13【題型示范】類型一用換底公式表示對數(shù)式【典例1】(1)(2014·九江高一檢測)已知log73=a,log74=b,log4948=

(用a,b表示).(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.【題型示范】14【解題探究】1.如何建立log4948同a,b的關(guān)系?2.題(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示?【探究提示】1.借助換底公式統(tǒng)一底數(shù).2.借助對數(shù)的定義求解b,然后利用換底公式把log3528換成以14為底的對數(shù).【解題探究】1.如何建立log4948同a,b的關(guān)系?15【自主解答】(1)因?yàn)榇鸢福?2)因?yàn)閘og147＝a,14b＝5，所以b＝log145.所以【自主解答】16【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下，求log75的值.【解析】log75=【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下，求log75的值.17【方法技巧】應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的兩個方面(1)利用換底公式可以把不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.(2)題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時,要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式.【方法技巧】應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的兩個方面18【變式訓(xùn)練】已知2x=3,log4=y,求x+2y的值.【解題指南】把指數(shù)用對數(shù)表示,再用換底公式化為同底的進(jìn)行計(jì)算求值.【解析】因?yàn)?x=3,所以x=log23,所以x+2y=log23+2log4=log23+log2=log23+log28-log23=log223=3.【變式訓(xùn)練】已知2x=3,log4=y,求x+2y的值.19【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)xa=yb=zc且,其中x,y,z均為正數(shù).求證：z=xy.【證明】設(shè)xa=yb=zc=t(t>0,t≠1),則a=logxt,b=logyt,c=logzt,而,所以,即logtx+logty=logtz,所以logt(xy)=logtz,即xy=z.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)xa=yb=zc且,其中x,20類型二換底公式的實(shí)際應(yīng)用【典例2】(1)(2014·九江高一檢測)一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩余的質(zhì)量約是原來的75%,估計(jì)約經(jīng)過______年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的(結(jié)果保留1位有效數(shù)字)(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)?(2)根據(jù)建設(shè)有中國特色的社會主義的戰(zhàn)略方針,我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從2010年到2030年經(jīng)過20年將要翻兩番,問平均增長率至少應(yīng)為多少?(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg1.072≈0.0301)類型二換底公式的實(shí)際應(yīng)用21【解題探究】1.題(1)建立等量關(guān)系的依據(jù)是什么?2.題(2)中“翻兩番”的含義是什么?【探究提示】1.題(1)建立等量關(guān)系的依據(jù)是“每經(jīng)過一年剩余的質(zhì)量約是原來的75%”.2.題(2)中“翻兩番”的含義是總產(chǎn)值變?yōu)樵瓉淼?倍.【解題探究】1.題(1)建立等量關(guān)系的依據(jù)是什么?22【自主解答】(1)假設(shè)經(jīng)過x年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的,根據(jù)題意得：0.75x=,所以x=log0.75=(年).故估計(jì)約經(jīng)過4年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的.答案：4【自主解答】(1)假設(shè)經(jīng)過x年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的23(2)設(shè)2010年總產(chǎn)值為a,平均增長率為x,由題意,得a(1+x)20=4a,即(1+x)20=4,將上式化為對數(shù)式得lg(1+x)20=lg4,即20lg(1+x)=2lg2≈0.6020.所以lg(1+x)≈0.0301≈lg1.072.所以1+x≈1.072,即x≈0.072.故平均增長率至少應(yīng)為7.2%.(2)設(shè)2010年總產(chǎn)值為a,平均增長率為x,由題意,得24【方法技巧】解有關(guān)對數(shù)應(yīng)用問題的四個步驟(1)審清題意,弄清各數(shù)據(jù)的含義.(2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,即已知ax=N(a,N是常數(shù),且a>0,a≠1),求x.(3)利用換底公式借助于計(jì)算器來解數(shù)學(xué)模型.(4)還原為實(shí)際問題,歸納結(jié)論,注意有時要檢驗(yàn)結(jié)論是否符合實(shí)際意義.【方法技巧】解有關(guān)對數(shù)應(yīng)用問題的四個步驟25【變式訓(xùn)練】抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%,要使容器內(nèi)的空氣少于原來的0.1%,則至少要抽幾次?(lg2≈0.3010)【解析】設(shè)至少抽n次可使容器內(nèi)空氣少于原來的0.1%,則a(1-60%)n<0.1%a(設(shè)原先容器中的空氣體積為a),即0.4n<0.001,兩邊取常用對數(shù)得n·lg0.4<lg0.001,所以n>≈7.5.故至少需要抽8次.【變式訓(xùn)練】抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%,要使容器內(nèi)26【補(bǔ)償訓(xùn)練】某化工廠生產(chǎn)化工產(chǎn)品,去年生產(chǎn)成本為50元/桶,現(xiàn)使生產(chǎn)成本平均每年降低28%,那么幾年后每桶的生產(chǎn)成本為20元(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精確到1年)?【解題指南】設(shè)x年后每桶的生產(chǎn)成本為20元,由題意列出關(guān)于x,50,28%,20之間的關(guān)系式,解出x.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某化工廠生產(chǎn)化工產(chǎn)品,去年生產(chǎn)成本為50元/桶,27【解析】設(shè)x年后每桶的生產(chǎn)成本為20元.1年后每桶的生產(chǎn)成本為50×(1-28%),2年后每桶的生產(chǎn)成本為50×(1-28%)2,x年后每桶的生產(chǎn)成本為50×(1-28%)x=20.所以,0.72x=0.4,等號兩邊取常用對數(shù),得xlg0.72=lg0.4.【解析】設(shè)x年后每桶的生產(chǎn)成本為20元.28故所以，3年后每桶的生產(chǎn)成本為20元．故29【巧思妙解】“指數(shù)式和對數(shù)式”問題的換底技巧【典例】設(shè)3a=4b=36,則=

.【教你審題】【巧思妙解】“指數(shù)式和對數(shù)式”問題的換底技巧30【常規(guī)解法】由3a=4b=36得log336=a,log436=b,由換底公式可得a=log336=,b=log436=.所以=2·log363+log364=log369+log364=log3636=1.答案：1【常規(guī)解法】由3a=4b=36得log336=a,log4331【巧妙解法】等式3a=4b=36兩邊都取以10為底的對數(shù),得lg3a=lg4b=lg36,即alg3=blg4=lg36,所以=log369,=log364,所以=1.答案：1【巧妙解法】32【方法對比】常規(guī)方法切入點(diǎn)簡單,但步驟有點(diǎn)復(fù)雜,倘若對對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)不熟,則會導(dǎo)致運(yùn)算錯誤,而巧妙解法直接統(tǒng)一底數(shù),思路清晰,方便快捷.【方法對比】33【教你一招】處理“指數(shù)式和對數(shù)式”問題的換底技巧題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時,要注意指數(shù)式與對數(shù)式的互化,為了便于運(yùn)算,常借助換底公式把題目中不同底數(shù)的對數(shù)化成同底數(shù)的對數(shù),如本例中直接取常用對數(shù),然后應(yīng)用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算.【教你一招】34【類題試解】設(shè)3a＝5b＝，則＝______.【常規(guī)解法】將3a＝5b＝的兩邊取以15為底的對數(shù)得，alog153=blog155=,所以所以答案：2【類題試解】設(shè)3a＝5b＝，則＝_____35【巧妙解法】將3a＝5b＝的兩邊取常用對數(shù)得，alg3＝blg5＝lg15，所以所以答案：2【巧妙解法】將3a＝5b＝的兩邊取常用對數(shù)得，al364.2換底公式4.237問題引航1.換底公式的表達(dá)式是什么?其滿足什么條件?2.換底公式有何特點(diǎn)?如何應(yīng)用換底公式對對數(shù)式進(jìn)行化簡求值?問題1.換底公式的表達(dá)式是什么?其滿足什么條件?38(1)形式：logbN=_______.(2)適用條件：___________________.(3)變形：logba=________.a,b＞0,a,b≠1,N＞0(1)形式：logbN=_______.a,b＞0,a,b≠391.判一判：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)log75不能用ln5和ln7表示.()(2)等式成立.()(3)換底公式只能將對數(shù)轉(zhuǎn)化為以10或e為底的對數(shù).()(4)等式logab=?logablogba=1.()1.判一判：(正確的打“√”，錯誤的打“×”)402.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)(1)log23·log32=________.(2)=________.(3)已知log34·log48·log8m＝2，則m＝________.2.做一做：(請把正確的答案寫在橫線上)41【解析】1.(1)錯誤，因?yàn)橛蓳Q底公式可知log75=(2)正確，因?yàn)樗哉_.(3)錯誤.換底公式可以將對數(shù)轉(zhuǎn)化為以任何大于0且不等于1的實(shí)數(shù)為底的對數(shù).(4)正確.等式成立的條件是a,b＞0,a,b≠1，而等式logablogba=1成立的條件也是a,b＞0,a,b≠1.答案：(1)×(2)√(3)×(4)√【解析】1.(1)錯誤，因?yàn)橛蓳Q底公式可知log75=422.(1)log23·log32=答案：1(2)=log39=2.答案：2(3)log34·log48·log8m＝所以m＝32＝9.答案：92.(1)log23·log32=43【要點(diǎn)探究】知識點(diǎn)換底公式1.對換底公式的兩點(diǎn)說明(1)成立的條件：公式是在左右兩邊對數(shù)式都有意義的情況下才能成立.(2)作用：換底公式可以將對數(shù)化成以10或e為底的對數(shù),可以將不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),在不同底的對數(shù)之間建起了一座橋梁.【要點(diǎn)探究】442.利用換底公式化簡求值的思想和注意點(diǎn)2.利用換底公式化簡求值的思想和注意點(diǎn)45【知識拓展】由換底公式可得出的常用結(jié)論①logab·logbc·logca=1;②③④【知識拓展】由換底公式可得出的常用結(jié)論46【微思考】(1)換底公式的新底是唯一的嗎?提示：不是.這個底可以視情況而定,只要滿足對數(shù)式的含義即可.(2)換底公式可以與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)同時使用嗎?提示：可以.換底公式只是一個橋梁,它可以把底數(shù)不統(tǒng)一的對數(shù)化成底數(shù)統(tǒng)一的對數(shù),為充分利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)奠定基礎(chǔ).【微思考】47【即時練】利用換底公式求值：(1)log25·log54.(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78.(3)(2014·撫州高一檢測)【即時練】48【解析】(1)log25·log54=(2)log23·log34·log45·log56·log67·log78(3)【解析】(1)log25·log54=49【題型示范】類型一用換底公式表示對數(shù)式【典例1】(1)(2014·九江高一檢測)已知log73=a,log74=b,log4948=

(用a,b表示).(2)已知log147=a,14b=5,用a,b表示log3528.【題型示范】50【解題探究】1.如何建立log4948同a,b的關(guān)系?2.題(2)中如何求解b?log3528如何用a,b表示?【探究提示】1.借助換底公式統(tǒng)一底數(shù).2.借助對數(shù)的定義求解b,然后利用換底公式把log3528換成以14為底的對數(shù).【解題探究】1.如何建立log4948同a,b的關(guān)系?51【自主解答】(1)因?yàn)榇鸢福?2)因?yàn)閘og147＝a,14b＝5，所以b＝log145.所以【自主解答】52【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下，求log75的值.【解析】log75=【延伸探究】在題(2)條件不變的情況下，求log75的值.53【方法技巧】應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的兩個方面(1)利用換底公式可以把不同底的對數(shù)化成同底的對數(shù),要注意換底公式的正用、逆用以及變形應(yīng)用.(2)題目中有指數(shù)式和對數(shù)式時,要注意將指數(shù)式與對數(shù)式統(tǒng)一成一種形式.【方法技巧】應(yīng)用換底公式應(yīng)注意的兩個方面54【變式訓(xùn)練】已知2x=3,log4=y,求x+2y的值.【解題指南】把指數(shù)用對數(shù)表示,再用換底公式化為同底的進(jìn)行計(jì)算求值.【解析】因?yàn)?x=3,所以x=log23,所以x+2y=log23+2log4=log23+log2=log23+log28-log23=log223=3.【變式訓(xùn)練】已知2x=3,log4=y,求x+2y的值.55【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)xa=yb=zc且,其中x,y,z均為正數(shù).求證：z=xy.【證明】設(shè)xa=yb=zc=t(t>0,t≠1),則a=logxt,b=logyt,c=logzt,而,所以,即logtx+logty=logtz,所以logt(xy)=logtz,即xy=z.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)xa=yb=zc且,其中x,56類型二換底公式的實(shí)際應(yīng)用【典例2】(1)(2014·九江高一檢測)一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩余的質(zhì)量約是原來的75%,估計(jì)約經(jīng)過______年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的(結(jié)果保留1位有效數(shù)字)(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)?(2)根據(jù)建設(shè)有中國特色的社會主義的戰(zhàn)略方針,我國工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值從2010年到2030年經(jīng)過20年將要翻兩番,問平均增長率至少應(yīng)為多少?(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg1.072≈0.0301)類型二換底公式的實(shí)際應(yīng)用57【解題探究】1.題(1)建立等量關(guān)系的依據(jù)是什么?2.題(2)中“翻兩番”的含義是什么?【探究提示】1.題(1)建立等量關(guān)系的依據(jù)是“每經(jīng)過一年剩余的質(zhì)量約是原來的75%”.2.題(2)中“翻兩番”的含義是總產(chǎn)值變?yōu)樵瓉淼?倍.【解題探究】1.題(1)建立等量關(guān)系的依據(jù)是什么?58【自主解答】(1)假設(shè)經(jīng)過x年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的,根據(jù)題意得：0.75x=,所以x=log0.75=(年).故估計(jì)約經(jīng)過4年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的.答案：4【自主解答】(1)假設(shè)經(jīng)過x年,該物質(zhì)的剩余質(zhì)量是原來的59(2)設(shè)2010年總產(chǎn)值為a,平均增長率為x,由題意,得a(1+x)20=4a,即(1+x)20=4,將上式化為對數(shù)式得lg(1+x)20=lg4,即20lg(1+x)=2lg2≈0.6020.所以lg(1+x)≈0.0301≈lg1.072.所以1+x≈1.072,即x≈0.072.故平均增長率至少應(yīng)為7.2%.(2)設(shè)2010年總產(chǎn)值為a,平均增長率為x,由題意,得60【方法技巧】解有關(guān)對數(shù)應(yīng)用問題的四個步驟(1)審清題意,弄清各數(shù)據(jù)的含義.(2)恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù),建立數(shù)學(xué)模型,即已知ax=N(a,N是常數(shù),且a>0,a≠1),求x.(3)利用換底公式借助于計(jì)算器來解數(shù)學(xué)模型.(4)還原為實(shí)際問題,歸納結(jié)論,注意有時要檢驗(yàn)結(jié)論是否符合實(shí)際意義.【方法技巧】解有關(guān)對數(shù)應(yīng)用問題的四個步驟61【變式訓(xùn)練】抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%,要使容器內(nèi)的空氣少于原來的0.1%,則至少要抽幾次?(lg2≈0.3010)【解析】設(shè)至少抽n次可使容器內(nèi)空氣少于原來的0.1%,則a(1-60%)n<0.1%a(設(shè)原先容器中的空氣體積為a),即0.4n<0.001,兩邊取常用對數(shù)得n·lg0.4<lg0.001,所以n>≈7.5.故至少需要抽8次.【變式訓(xùn)練】抽氣機(jī)每次抽出容器內(nèi)空氣的60%,要使容器內(nèi)62【補(bǔ)償訓(xùn)練】某化工廠生產(chǎn)化工產(chǎn)品,去年生產(chǎn)成本為50元/桶,現(xiàn)使生產(chǎn)成本平均每年降低28%,那么幾年后每桶的生產(chǎn)成本為20元(lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精確到1年)?【解題指南】設(shè)x年后每桶的生產(chǎn)成本為20元,由題意列出關(guān)于x,50,28%,20之間的關(guān)系式,解出x.【補(bǔ)償訓(xùn)練】某化工廠生產(chǎn)化工產(chǎn)品,去年生產(chǎn)成本為50元/桶,63【解析】設(shè)x年后每桶的生產(chǎn)成本為20元.1年后每桶的生產(chǎn)成本為50×(1-28%),2年后每桶的生產(chǎn)成本為