輔導(dǎo)講義：弧長和扇形地面積、圓錐地側(cè)面積和全面積

比擬扇形面積計(jì)算公式與弧長計(jì)算公式， 可以發(fā)現(xiàn)：可以將扇形面積的計(jì)算公式： S=』n比擬扇形面積計(jì)算公式與弧長計(jì)算公式， 可以發(fā)現(xiàn)：可以將扇形面積的計(jì)算公式： S=』n二、圓錐的側(cè)面積和全面積:輔導(dǎo)：弧長和扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積一、弧長和扇形的面積:『活動(dòng)一』因?yàn)?60。的圓心角所對(duì)弧長就是圓周長 C=2nR,所以1°的圓心角所對(duì)的弧長是?這樣，在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長I=.『活動(dòng)二』類比弧長的計(jì)算公式可知：在半徑為 R的圓中，圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式為：S=.『活動(dòng)三』扇形面積的另一個(gè)計(jì)算公式nR1氏化為S= ? R,從面可得扇形面積的另一計(jì)算公式： S=.18021?圓錐的根本概念：的線段SASA……叫做圓錐的母線,的線段叫做圓錐的高.扇形的各元素之間的關(guān)系:將圓錐的側(cè)面沿母線I剪開，展開成平面圖形，可以得到一個(gè)扇形，設(shè)圓錐的底面半徑為r，這個(gè)扇形的半徑等于，扇形弧長等于.3?圓錐側(cè)面積計(jì)算公式圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長是扇形的弧長,1這樣，S圓錐側(cè)=S扇形=—?2nr?I=nrl24?圓錐全面積計(jì)算公式2S圓錐全=s圓錐側(cè)+S圓錐底面=nrI+nr=nr〔I+r〕三、例題講解:例1、〔2011?某某，11,4分〕母線長為2,底面圓的半徑為1的圓錐的側(cè)面積為.例2、〔2011年某某省東營市，21,9分〕如圖，點(diǎn)AB、C、D均在圓上，AD//BC,BD平分/ABC/BAD120°，四邊形ABC啲周長為15.〔1〕求此圓的半徑；〔2〕求圖中陰影局部的面積.

P的坐標(biāo)為〔一4,0〕，例3、〔2010P的坐標(biāo)為〔一4,0〕，OP的半徑為2,將OP沿x軸向右平移4個(gè)單位長度得OPi.〔1〕畫出OPi，并直接判斷OP與OP的位置關(guān)系；〔2〕設(shè)OP與x軸正半軸，y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A,B,求劣弧AB與弦AB圍成的圖形的面積〔結(jié)果保存n〕?四、同步練習(xí):1、 〔2012某某,11,3分〕如圖，在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，將△ABC點(diǎn)上，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,如此頂點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑長為:A.10nB. C. nD.n3 3A\Bkz-\A\Bkz-\C第1題圖〔第3題〕2、〔2012某某,12,3分〕如圖，等邊△ABC的周長為6n，半徑是1的OO從與AB相切于點(diǎn)D的位置出發(fā)，在△ABC外部按順時(shí)針方向沿三角形滾動(dòng)，又回到與 AB相切于點(diǎn)D的位置，如此OO自轉(zhuǎn)了：〔 〕A.2周B.3周C.4周D5周3、〔2012某某某某，7,3分〕如圖，OO的外切正六邊形ABCDE的邊長為2，如此圖中陰影局部的面積為〔 〕.A3nnB. 3A3nnB. 3C2.3fD.234、〔2012某某內(nèi)江,8,3分〕如圖2,AB是OO的直徑，弦CDLAB/CDB=30°,CD=23，如此陰影局部圖形的面積為〔 〕A.4nB.2nC.圖2D圖2D5、〔2012?某某省某某市?14題?3分〕圓錐的底面直徑和母線長都是10cm，如此圓錐的側(cè)面積為 .6、〔2012?某某，題號(hào)16分值3〕一個(gè)圓錐的母線長為4，側(cè)面積為8，如此這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是.7、〔2012某某省某某市，17,3分〕假如圓錐的底面半徑為2cm,母線長為5cm,如此此圓錐的側(cè)面積為cn^.

8、〔2012某某達(dá)州，11,3分〕圓錐的底面半徑為4,母線長為6，如此它的側(cè)面積是?〔不取近似值〕9、〔2012年某某某某市，16，3〕如圖，矩形OAB（內(nèi)接于扇形MON當(dāng)=CO寸，/NM啲度數(shù)是?10、（2012某某中考試題第15題，3分）如圖6，RtAABC的邊BC位于直線I上，AO,3，/AC號(hào)90°，/A=30o，假如△RtABC由現(xiàn)在的位置向右無滑動(dòng)地翻轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn) A第3次落在直線上I時(shí)，點(diǎn)A所經(jīng)過的路線的長為 〔結(jié)果用含ji的式子表示〕.11、〔2011?某某，11、〔2011?某某，14，3分〕如圖，將半徑為

成一個(gè)圓錐的側(cè)面，如此這個(gè)圓錐的高是.12、 〔2012某某某某，23，10分〕如圖，在O于D,假如/C=45°，如此〔1〕BD的長是；〔5分〕〔2〕求陰影局部的面積? 〔5分〕3cm的圓形紙片剪掉三分之一，余下局部圍O中，直徑AB=2，CA切OO于A，BC交OO第12題圖13、 〔2012某某省義烏市，20，8分〕如圖，AB是OO的直徑，點(diǎn)CD在OO上,D點(diǎn)E在OO外，/EA(=ZD=60°.D〔1〕求/ABO的度數(shù)；〔2〕求證：AE是OO的切線；〔3〕當(dāng)BO=4時(shí)，求劣弧AC的長?14、〔2012年某某省，第23題、7分.〕如圖，在扇形OAB中/AOB90°,半徑OA6將扇形OA冊(cè)過點(diǎn)B的直線折疊?點(diǎn)O恰好落在弧AB上點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C,求整個(gè)陰影局部的周長和面積.15、 〔2011某某某某，25,9分〕如圖，在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，一段圓弧經(jīng)過網(wǎng)格的交點(diǎn)AB、C

〔1〕請(qǐng)完成如下操作:以點(diǎn)O為原點(diǎn)、豎直和水平方向所在的直線為坐標(biāo)軸、網(wǎng)格邊長為單位長，建立平面直角坐標(biāo)系；②用直尺和圓規(guī)畫出該圓弧所在圓的圓心 D的位置〔不用寫作法，保存作圖痕跡〕，并連結(jié)ADCD〔2〕請(qǐng)?jiān)凇?〕的根底上，完成如下問題：寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：CD;OD的半徑=〔結(jié)果保存根號(hào)〕；假如扇形ADO一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，如此該圓錐的底面面積為〔結(jié)果保存 n丨；假如E〔7,0〕，試判斷直線EC與OD的位置關(guān)系并說明你的理由.AtTAtTOLbhC■w參考答案例1、考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：先計(jì)算出底面圓的周長，它等于圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長， 而母線長為扇形的半徑,

然后根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算即可.解答：解：???圓錐的底面圓的半徑為 I,：圓錐的底面圓的周長=2nX仁2n,1???圓錐的側(cè)面積=—X2nX2=2n.故答案為：2n.21點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓錐的側(cè)面積公式： S=lr?圓錐側(cè)面展開圖為扇形，底面圓的周長等2于扇形的弧長，母線長為扇形的半徑.例2、考點(diǎn)：扇形面積的計(jì)算；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.專題：幾何圖形問題.分析：〔1〕根據(jù)條件可以證得四邊形ABCD是等腰梯形，且ABAODC/DBC90°,在直角厶BDC中,BC是圓的直徑，BG2DC根據(jù)四邊形ABCD勺周長為15,即可求得BC即可得到圓的半徑；〔2〕根據(jù)S陰影=S扇形AOB-SaAOD即可求解.解答：解：〔1〕：AD//BC/BAD120°.?/AB(=60。.又tBD平分/ABC?/ABD/DBC/ADB30°「.SS=i￡=fi?,/BCD60°?AB=AD=DC/DBC90°又在直角厶BD3中，BC是圓的直徑，BO2DC?BC+-BO15：BO6?此圓的半徑為3.〔2〕設(shè)BC的中點(diǎn)2為O由〔1〕可知O即為圓心.連接OAOD過O作OELAD于E.在直角△AOE中,/AOE30°??OE=OA?cos30°3瓦??OE=OA?cos30°3瓦 Saao=S扇形AOD-SAOD60 323603 9jE=6-9巧2 4 4點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了扇形的面積的計(jì)算，正確證得四邊形 ABCD1等腰梯形，是解題的關(guān)鍵.例3、考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；扇形面積的計(jì)算分析：〔1〕根據(jù)題意作圖即可求得答案，注意圓的半徑為〔2〕首先根據(jù)題意求得扇形BRA與厶BRA的面積，再作差即可求得劣弧錯(cuò)誤！未找到引用源。與弦AB圍成的圖形的面積.解答：解：〔1〕如圖：?OP與OPi的位置關(guān)系是外切;〔2〕如圖:S扇形BPIA=9022=S= =n,s^apib=360X2X2=2,???劣弧與弦AB圍成的圖形的面積為： n-2.題目難度不大，解題的關(guān)鍵點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系以與扇形面積的求解方法.題目難度不大，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.四、C為圓心AC為半徑，圓1、【解析】△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60C為圓心AC為半徑，圓心角為60°的弧，根據(jù)弧長公式|nr180可求路徑長為.103【答案】C【點(diǎn)評(píng)】考查的知識(shí)點(diǎn)有網(wǎng)格中的勾股定理〔求中等難度的題型。AC〕，圖形的旋轉(zhuǎn)，弧長公式|nr1802、【解析】三角形的周長恰好是圓周長的三倍，但是圓在點(diǎn)ABC處分別旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，沒有滾動(dòng)，在三個(gè)頂點(diǎn)處旋轉(zhuǎn)的角度之和是三角形的外角和360°。所以O(shè)O自轉(zhuǎn)了4圈?！敬鸢浮緾【點(diǎn)評(píng)】此題最容易出錯(cuò)的地方就是在頂點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)，難度較大。如果學(xué)生能動(dòng)手操作一下，正確答案就出來了。3、【解析】圖中陰影局部的面積等于：三角形 AOB面積一扇形AOB面積，不難知道，？AOB=2/CDB==2/CDB=60°，所以0C=sin60S陰影=S扇形co=1n?6△BED所以B為等邊三角形，可求出？AOBiAB上的高是,3，扇形AOB圓心角/0=60°，半徑OA=、3,從而陰影局部的面積是1x2xx3-60一（初=.3￡，應(yīng)當(dāng)選A.2 360 2【答案】A【點(diǎn)評(píng)】此題著重考查了扇形面積的計(jì)算與解直角三角形的知識(shí)， 以與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合思想,有一定綜合性，難度中等.4、【解析】如如下圖所示，取AB與CD的交點(diǎn)為E,由垂徑定理知CE= 3，而/COB互=2,0E=!0C=1接下來發(fā)現(xiàn)0E=BE可證△0C陣…2【答案】【點(diǎn)評(píng)】圓的有關(guān)性質(zhì)是中考高頻考點(diǎn)， 而圖形面積也是多數(shù)地方必考之處， 將它們結(jié)【點(diǎn)評(píng)】合可謂珠聯(lián)璧合.解答此題需在多處轉(zhuǎn)化：一是將陰影面積轉(zhuǎn)化為扇形面積問題解決； 二是由圓周角度數(shù)求出圓心角度數(shù)；三是發(fā)現(xiàn)圖中存在的全等三角形，這一點(diǎn)是解題關(guān)鍵.105、【分析】S側(cè)=nrl=n?—x10=50n.【解答】505、21【點(diǎn)評(píng)】圓錐的側(cè)面積S側(cè)=—-2nr-l=nrl〔其中r是圓錐底面圓的半徑，I是母線的長〕.26、【解析】此題考查圓錐展開圖與側(cè)面積計(jì)算公式 .設(shè)半徑為r,圓錐側(cè)面積即展開圖扇形1 1的面積，根據(jù)S扇二丄IR,即8n=丄x2nx4，得r=2.【答案】22 2【點(diǎn)評(píng)】在解決圓錐的計(jì)算問題時(shí)，要把握好兩個(gè)相等關(guān)系：圓錐側(cè)面展開圖〔扇形〕的半徑R等于圓錐的母線長，扇形的弧長I等于圓錐的底面周長2r?幾乎所有圓錐計(jì)算問題都是從這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系入手解決的.7、【解析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式 =nrl計(jì)算，此圓錐的側(cè)面積=nx2x5=10n［答案】10n【點(diǎn)評(píng)】此題綜合考查有關(guān)扇形和圓錐的相關(guān)計(jì)算. 解題思路：解決此類問題時(shí)要緊緊抓住

兩者之間的兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系： ①圓錐的母線長等于側(cè)面展開圖的扇形半徑； ②圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的扇形弧長?正確對(duì)這兩個(gè)關(guān)系的記憶是解題的關(guān)鍵.8、解析：圓錐的側(cè)面積可由公式來求，這里 R=6,l=8n,因此S=24n。答案：24n點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓錐的側(cè)面展開與其側(cè)面積的求法， 初步考查學(xué)生的空間觀點(diǎn)，注意此題不要與全面積相混淆。9、分析：首先連接0B由矩形的性質(zhì)可得△BO（是直角三角形，又由OE=ON2OC/BOC的度數(shù)，又由圓周角定理求得/ NMB勺度數(shù).解答：解：連接OB???=CQ???O咅ON=2OCT四邊形OAB（是矩形，二/BCO90°,「.cosOC1 1/BOC——一，???/BOC6O。，.../NMB—/BOC3O。.故答案為：30°.OB2 2點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、矩形的性質(zhì)以與特殊角的三角函數(shù)值. 此題難度適中，注意輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.10、思路導(dǎo)引：確定路線長度，由于路線是圓弧，因此確定旋轉(zhuǎn)角，與旋轉(zhuǎn)半徑是解決問題的關(guān)鍵，.3+3解析：計(jì)算斜邊長度是2,第一次經(jīng)過路線長度是1202180第二次經(jīng)過路線長度是90 解析：計(jì)算斜邊長度是2,第一次經(jīng)過路線長度是1202180第二次經(jīng)過路線長度是90 .3 120 2180180第三次經(jīng)過路線長度與第二次經(jīng)過路線長度一樣，也是90 3120 2180180所以當(dāng)點(diǎn)A三次落在直線l上時(shí)，經(jīng)過的路線長度是120218090 、3120218090 、31801202180〕+2X—^-3 +33點(diǎn)評(píng)：解答旋轉(zhuǎn)問題，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)半徑以與旋轉(zhuǎn)角度是前提， 另外計(jì)算連續(xù)的弧長問題，注意旋轉(zhuǎn)規(guī)律，進(jìn)展屢次循環(huán)旋轉(zhuǎn)的有關(guān)弧長之和的計(jì)算11、考點(diǎn)：圓錐的計(jì)算。專題：計(jì)算題。分析：算出圍成圓錐的扇形的弧長，除以 2n即為圓錐的底面半徑，禾U用勾股定理即可求得圓錐的高.1360(1-) 3解答：解：圍成圓錐的弧長為 3 =4ncm二圓錐的底面半徑為4n180十2n=2cm二圓錐的高為寸3222=icm故答案為1cm點(diǎn)評(píng)：考查圓錐的計(jì)算；得到圓錐的底面半徑是解決此題的突破點(diǎn)；用到的知識(shí)點(diǎn)為： 圓錐的底面周長等于側(cè)面展開圖的弧長.12、解析：〔1〕由CA切OO于A,得/A=90°，再結(jié)合/C=45°，得/B=45°.連接AD如此由直徑AB=2，得/ADB90°.故BDABxcos45°=2Xcos45°=J2;〔2〕運(yùn)用代換得到陰影局部的面積等于△ACD勺面積?解：〔1〕填2;〔2〕由〔1〕得，AD=BD???弓形BD的面積=弓形AD的面積，故陰影局部的面積=△ACD勺面積?A A???CDAD=BD=2 CDKA[=-x<2xV2=1，即陰影局部的面積是1.2 2點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以與割補(bǔ)法，解法較多，有利于考生從自己的角度獲取解題方法，中等偏下難度13、【解析】〔1〕根據(jù)相等的弧長對(duì)應(yīng)的圓周角相等，得/ ABC/D=60°?！?〕直徑對(duì)應(yīng)的圓周角為直角， 如此由三角形內(nèi)角和為180°，得出/BAC的大小，繼而得出/BAE的大小為90°,即AE是OO的切線?！?〕由題意易知，△OBC是等邊三角形，如此由劣弧AC對(duì)應(yīng)的圓心角可求出劣弧AC的長。20.解：〔1 /ABC與/D都是弧AC所對(duì)的圓周角TOC\o"1-5"\h\z???/ABC/D=60° 2分〔2〕TAB是OO的直徑 ?/AC號(hào)90° 3分?/BA(=30°?/BAE=/BAGF/EAC30°+60°=90° 4 分即BALAE'.AE是OO的切線 5分

〔3〕如圖，連結(jié)OUOB=OC/ABC60°「.AOB（是等邊三角形TOC\o"1-5"\h\z???OB=BC=4,ZBOC60°「./AOC120° 7 分???劣弧AC的長為120——4 8 8分\o"CurrentDocument"180 3【點(diǎn)評(píng)】此題考查圓弧的長與其對(duì)應(yīng)的圓心角、 圓周角的關(guān)系，與三角形的內(nèi)角和為180相等的弧長對(duì)應(yīng)的圓周角、圓心角相等.14、【解析】陰影局部的周長包括線段AGCBDB的長和弧AB的長?由折疊的性質(zhì)可知，AGCD=O/=6;DB=OB=6.故周長可求?求面積需要連接 OD證明△ODB是正三角形，得到ZCBO30。，求出OC的長，陰影局部的面積=S扇形