《新編基礎(chǔ)物理學(xué)》第四章習(xí)題解答和分析

習(xí)題四4-1觀察者A測得與他相對靜止的Oxy平面上一個(gè)圓的面積是12cm2,另一觀察者B相對于A以0.8c(c為真空中光速)平行于Oxy平面作勻速直線運(yùn)動(dòng)，B測得這一圖形為一橢圓，其面積是多少？分析：本題考察的是長度收縮效應(yīng)。解：由于B相對于A以v=0.8c勻速運(yùn)動(dòng)，因此B觀測此圖形時(shí)與v平行方向上的線度將收2一縮為2RV1-(v/c)=2b,即是橢圓的短軸.而與v垂直方向上的線度不變，仍為2R=2a,即是橢圓的長軸.所以測得的面積為(橢圓形面積)S=-ab--：R.1-(v/c)2R--R2.1-(v/c)2=7.2cm24-2長度為1m的米尺L靜止于K'中，與x軸的夾角e'=30：K'系相對K系沿x軸運(yùn)動(dòng)，在K系中觀察得到的米尺與x軸的夾角為9=45,試求：(1)K'系相對K系的速度是多少？(2)K系中測得的米尺的長度？分析：本題考察的是長度收縮效應(yīng)。根據(jù)兩個(gè)參考系下米尺的不同長度再結(jié)合長度收縮效應(yīng)我們可以很方便的得到兩個(gè)參考系之間的相對速度解：(1)米尺相對S'系靜止，它在x'和y'軸的投影分別為：Lx'=L0cos*0.866mLy'=L0sinl'=0.5m米尺相對S米尺相對S系沿x方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為度收縮，而y方向的長度不變，即v,為S系中的觀察者，米尺在x方向?qū)a(chǎn)生長Ly=Ly'故米尺與x軸的夾角滿足tgi十tgi十LxLx'將a與Lx'、Ly'的值代入可得:v-0.816c(2)在S系中測得米尺的長度為:LyL=-y-=0.707(m)sin454-3已知x介子在其靜止系中的半衰期為1.8M10"s。今有一束n介子以u=0.8c的速度離開加速器，試問，從實(shí)驗(yàn)室參考系看來，當(dāng)n介子衰變一半時(shí)飛越了多長的距離？分析：本題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)。根據(jù)靜止系中的半衰期加上時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出在實(shí)驗(yàn)室參考系中的半衰期，然后根據(jù)該半衰期求出飛行距離。解：在冗介子的靜止系中，半衰期△t0=1.8M10*s是本征時(shí)間。由時(shí)間膨脹效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)室參系中的觀察者測得的同一過程所經(jīng)歷的時(shí)間為:=310=310個(gè))因而飛行距離為:d=vLt=7.2m4-4在某慣性系K中，兩事件發(fā)生在同一地點(diǎn)而時(shí)間相隔為4s。已知在另一慣性系K'中,該兩事件的時(shí)間間隔為6s,試問它們的空間間隔是多少？分析：本題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)以及洛倫茲變換。根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出兩參考系的相對速度，繼而根據(jù)洛倫茲變換演化出空間間隔變換的公式求出該兩事件在S系中的空間間隔。解：在k系中，&0=4s為本征時(shí)間，在K'系中的時(shí)間間隔為At=6s兩者的關(guān)系為:.A59故兩慣性系的相對速度為:v=c=5108（m/s）由洛倫茲變換，K'系中兩事件的空間間隔為:(△(△%v%)兩件事在K系中發(fā)生在同一地點(diǎn)，因此有xk=vt0=6石108（m）k1-2i）4-5慣性系K'相對另一慣性系K沿x軸作勻速運(yùn)動(dòng)，取兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合的時(shí)刻作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)。在K系中測得兩事件的時(shí)空坐標(biāo)分別為x1=6M104m,t1=2M10“s以及x2=12M104m,t2=1父10%，已知在K'系中測得該兩事件同時(shí)發(fā)生。試問：（1）K'系相對K系的速度是多少？（2）K'系中測得的兩事件的空間間隔是多少？分析：本題所考察的是洛倫茲變換的應(yīng)用問題。根據(jù)洛倫茲變換在不同參考系下兩個(gè)事件的時(shí)間變換關(guān)系，我們可以很方便的得到兩個(gè)參考系之間的相對速度。有了相對速度以后，再根據(jù)洛倫茲變換的空間變換關(guān)系，我們可以得到兩事件的空間間隔。解：（1）設(shè)S′系相對S系的速度為v,由洛倫茲變換，S'系中測得兩事件的時(shí)間為:

tl'-t2'=0v,、t2-tl=—(X2-')c因此有2t2-tl2t2-tlv=c =_1.5x108(m/)其中負(fù)號表示S'系沿S系的-x方向運(yùn)動(dòng)。(2)由洛倫茲變換，S'系中測得的兩事件的空間位置為:Xi'=(Xi-vtXi'=(Xi-vti)X2'=(X2-Vt2)故空間間隔為:1,14X2'-Xi'2(X2-Xi)-v(t2-ti)1=5.210(m)「一vc24-6(i)火箭A和B分別以0.8c和0.5c的速度相對于地球向+x和—x方向飛行，試求由火箭B測得的A的速度。(2)若火箭A相對地球以0.8c的速度向+y方向運(yùn)動(dòng)，火箭B的速度不變，試問A相對B的速度是多少？分析：本題考察的是洛倫茲速度變換。在火箭B為靜止的參考系中，先求出地面參考系相對此參考系的運(yùn)動(dòng)速度(此即為兩個(gè)參考系之間的相對速度)，然后由火箭A相對地面的運(yùn)動(dòng)速度以及洛倫茲速度變換公式求出火箭A相對火箭B的速度。解：(1)設(shè)火箭B的靜止系為S,則地面參考系相對S的運(yùn)動(dòng)速度為u=0.5c。在地面參考系中，火箭A的運(yùn)動(dòng)速度為v'=0.8c,由洛倫茲速度變換公式可得火箭A相對火箭B的運(yùn)動(dòng)速度為：v'uv=v'uv= 21uv'/c0.8c0.5c10.80.513」c=0.93c1.4(2)由于S系相對地面參考系以u1=-U沿+X方向飛行，而在地面參考系中火箭A的運(yùn)動(dòng)速度為vx=0,vy=0.8c,vz=0。則根據(jù)洛倫茲速度變換公式在S系中火箭A的運(yùn)動(dòng)速度為:V'xv'yv'zvx—U1x1=0.5c.Ui1 2vxV'xv'yv'zvx—U1x1=0.5c.Ui1 2vxcvyj1-%—： =0.7c,U12vxcvi±u5.0.Uixvx

v所以火箭A相對火箭B的速度為:2 2 2 'xv'yv'z=0.86cxyz4-7靜止在K系中的觀察者測得一光子沿與 x軸成60。角的方向飛行，另一觀察者靜止于K'系中，K'系相對K系為0.6c的速度沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，試問K'系中的觀察者測得的光子運(yùn)動(dòng)方向是怎樣的？分析：本題考察的是洛倫茲速度變換。根據(jù)兩個(gè)參考系的相對速度以及光子在K系的速度,由洛倫速度變換可以求出光子在S系中的運(yùn)動(dòng)速度。解：已知K'系相對K系的速度為u=0.6c,光子速度為成60°角，因此該光子在K系中的速度為v=0.5c,vvxy光子的運(yùn)動(dòng)速度為：c,在K系中的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榕cx軸=J3c/2,vz=0。所以在K'系中vx-uu1-2VxcvyJ1.%1--2vx

c2vzJ-uc24、3= c71--U^vxc令該光子在K'系中的運(yùn)動(dòng)方向與x軸成e角，則有:tg[=-y=43

v'x[：98.24-8 N子的靜止質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的 207倍，靜止時(shí)的平均壽命T0=2父10與s,若它在實(shí)驗(yàn)室參考系中的平均壽命T=7M10*s,試問其質(zhì)量是電子靜止質(zhì)量的多少倍？分析：本題考察的是時(shí)間膨脹效應(yīng)和相對論質(zhì)量問題。根據(jù)時(shí)間膨脹效應(yīng)我們可以求出該粒子在實(shí)驗(yàn)室參考系中的運(yùn)動(dòng)速度，然后根據(jù)該速度可以求出速度下的相對論質(zhì)量。解：設(shè)N子在實(shí)驗(yàn)室參考系中的速度為u、質(zhì)量為m,依題意有:T=將丁和飛的值代入得:0T=將丁和飛的值代入得:0ru/C2當(dāng)N子速度為u時(shí)其質(zhì)量為:4-9一物體的速度使其質(zhì)量增加了10%試問此物體在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了百分之多少?分析：本題涉及的是相對論質(zhì)量和長度以收縮問題。根據(jù)質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比可以求出該物體的運(yùn)動(dòng)速度，然后根據(jù)速度可以求出該物體在運(yùn)動(dòng)速度方向上的長度收縮。解：設(shè)物體速度為u、質(zhì)量為m、長度為L,靜止質(zhì)量和長度分別為m0和L0,依題意有:因此，根據(jù)長度收縮效應(yīng)有：L=L0j1_%2=i1iL0=90.9%L0所以在運(yùn)動(dòng)方向上縮短了：L=9.1%L04-10一電子在電場中從靜止開始加速，試問它應(yīng)通過多大的電位差才能使其質(zhì)量增加0.4%?此時(shí)電子速度是多少？(電子的靜能為0.511MeV.)分析：此題考察的是相對論質(zhì)量與速度之間的關(guān)系。根據(jù)相對論質(zhì)量公式可以很方便的求出電子的運(yùn)動(dòng)速度，再根據(jù)能量守恒，求出加速所需的電位差。解：設(shè)電子速度為u、質(zhì)量為m,靜止質(zhì)量為m0,所加的電位差為u依題意有:mim1.04n-14所以此時(shí)電子的速度為：uu0.275c根據(jù)能量守恒，有：m0c2eU=mc2.U=2.044104(V)4-11已知一粒子的動(dòng)能等于其靜止能量的n倍，試求該粒子的速率。分析：該題考察的是相對論的質(zhì)能關(guān)系式。根據(jù)粒子的動(dòng)能和靜能比可以求出該粒子總能量和靜能之比，這個(gè)比值也就是該粒子的質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比，根據(jù)相對論質(zhì)量與速度的關(guān)系式，我們可以求出該粒子的速率，從而求出該粒子的動(dòng)量。解：依題意有：Ek=nE0所以其質(zhì)量與靜止質(zhì)量之比為：2mmcEk-EoTOC\o"1-5"\h\z—=2==nmom0cEo根據(jù)相對論質(zhì)量與速度的關(guān)系有:所以該粒子的速度為：n22nu二cn14-12—靜止的粒子(質(zhì)量為mJ,裂變成兩個(gè)粒子，速度分別為0.6c和0.8c。求裂變過程的靜質(zhì)量虧損和釋放出的能量。分析：該題涉及到質(zhì)量虧損的概念和動(dòng)量守恒定律。由于反應(yīng)后的兩個(gè)粒子的質(zhì)量未知，因此我們可以根據(jù)兩個(gè)粒子之間的速度關(guān)系推導(dǎo)出二者的質(zhì)量比，又由于該兩個(gè)粒子的總動(dòng)能來源于該反應(yīng)的靜質(zhì)量虧損，因此結(jié)合反應(yīng)后兩個(gè)粒子的質(zhì)量比以及各自的速度大小，我們可以求出該反應(yīng)的質(zhì)量虧損，從而求出該反應(yīng)所釋放的能量。解：設(shè)反應(yīng)后兩粒子的質(zhì)量分別為色、m2,則根據(jù)動(dòng)量守恒定律有：曰0.6c=m20.8cTOC\o"1-5"\h\z-ml/m2=4/3(1)反應(yīng)前后總的能量守恒，所以有：2212212m°c=mic+—mi11(0.6c)+m2c+—m2(0.8c)(2)\o"CurrentDocument"22將(1)式代入(2)式，得：m0=2.17ml所以反應(yīng)前后的靜質(zhì)量虧損為：5=m)-m1-mt0.19mo釋放出的能量為：22E=mc=0.19moe4-13試求靜止質(zhì)量為小的質(zhì)點(diǎn)在恒力F作用下的運(yùn)動(dòng)速度和位移。在時(shí)間很短(t?moc/F)和時(shí)間很長(t?moc/F)的兩種極限情況下，速度和位移值又各是多少？分析：根據(jù)力和動(dòng)量的關(guān)系，經(jīng)過積分后我們可以求解在恒力作用下的力與速度之間的關(guān)系，

經(jīng)過再次積分，可以得到位移和力的關(guān)系。解：由于力代表的是動(dòng)量的變化率，因此有:dpd/、d/m。、F=—=—(mv)=—(v)dt出出，Jv2/c2將上式積分，由于力為恒力與時(shí)間無關(guān)，再代入初始條件（起始時(shí)為靜止，即初速度為零）可得:Ft=Ft=_m。 1-v2/c2因此可得速度與力之間的關(guān)系式:dxFt/m。1(Ft/m°1(Ft/m°c)2dt將上式再積分，并假定起始時(shí)所處位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得位移與力之間的關(guān)系:X鱉Fr-IIX鱉Fr-II2(2.2— _ct24m°c1/2,1十回1m lm°c)JF21-12m°c當(dāng)t?m0c/F時(shí)，有:Ft/m0v=： ,1(Ft/m°Ft/m0v=： ,1(Ft/m°c)2Ftm。tx=vdt=.。Ft22m。當(dāng)t?mjC/F時(shí)，有：v=Ft/m。1(Ft/m°c)2C,tX'VdLct4-14在原子核聚變中，兩個(gè)2H原子結(jié)合而產(chǎn)生4He原子。試求：（1）該反應(yīng)中的質(zhì)量虧損為多少？（2）在這一反應(yīng)中釋放的能量是多少？（3）這種反應(yīng)每秒必須發(fā)生多少次才能產(chǎn)生1W勺功率？已知2H原子的靜止質(zhì)量為3.34365M10"7kg,4He原子的靜止質(zhì)量為___276.6425X1。kg。分析：已知反應(yīng)前后各種反應(yīng)物和生成物的質(zhì)量，我們可以很方便的求出反應(yīng)前后的質(zhì)量虧損，并據(jù)此求出反應(yīng)所釋放的能量。解：反應(yīng)的質(zhì)量虧損為：J27二？7二？7m=2mH-mHe=23.343651。-6.64251。=。.。4481。（kg）該反應(yīng)所釋放的能量為：E=mc2=。.。4481。-91。16=4.。31。飛）要達(dá)到1W勺功率需要每秒鐘反應(yīng)的次數(shù)為：__q2___11n=1/4Q31。=2.481。4-15當(dāng)一個(gè)粒子所具有的動(dòng)能恰好等于它的靜能時(shí)，試問這個(gè)粒子的速度有多大？當(dāng)動(dòng)能為其靜能的4。。倍時(shí)，速度有多大？

而粒子的靜能則等于分析：粒子的總能量可以用粒子的動(dòng)質(zhì)量與光速的平方的乘積來表示,而粒子的靜能則等于粒子的靜質(zhì)量與光速的平方的乘積，因上我們可以很方便的把粒子的動(dòng)能和靜能之比用粒子的速度表不出來O解：根據(jù)粒子的質(zhì)量和速度之間的關(guān)系可得:m(v)=m(v)=所以粒子的總能與靜能之比為:又該粒子的總能等于動(dòng)能與靜能之和，所以該粒子的動(dòng)能與靜能之比為:所以當(dāng)動(dòng)能等于靜能時(shí)，有:所以當(dāng)動(dòng)能等于靜能時(shí)，有:11=1?21-Vc23.v二一c2當(dāng)動(dòng)能等于靜能的400倍時(shí)，有:.v=0.9999969c4-16同位素3He核由兩個(gè)質(zhì)子和一個(gè)中子組成，它的靜質(zhì)量為3.01440u（1u=1.600M10口kg）。（1）以MeV為單位，3He的靜能為多少？（2）取出一個(gè)質(zhì)子使3He成為2H（靜質(zhì)量為2.0135U）加一個(gè)質(zhì)子（靜質(zhì)量為1.0073u），試問需要多少能量？分析：本題涉及的是靜能以及質(zhì)量虧損的概念。粒子的靜能由粒子的靜質(zhì)量與光速的平方的乘積表示；而反應(yīng)前后總能量守恒的要求指明反應(yīng)進(jìn)行需要的能量由反應(yīng)前后的質(zhì)量虧損所決定。解：靜能為：E0=m0c2=3.014401.60010勿91016=4.3410"(J)=2.71103(Mev)當(dāng)從同位素氮核中取出一個(gè)質(zhì)子時(shí)，此時(shí)質(zhì)量虧損為：m=mDmH-mHe=2.01351.0073-3.0144=0.0064(u)=1.0241019(kg)

所以反應(yīng)需要能量為:E=.：mc2=1.024IO*91016=9.21610」3(J)4-17把一個(gè)靜止質(zhì)量為mo的粒子由靜止加速到0.1c所需的功是多少？由速率0.89c加速到0.99c所需的功又是多少？分析：此題涉及到的是粒子的總能量與速度之間的關(guān)系。根據(jù)能量守恒定