一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的研究

PAGEPAGE3一道高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題的研究福建省福州第三中學(xué)（350003）黃炳鋒2005年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)選賽最后一道試題：設(shè)集合和都是由正整數(shù)組成的集合，，并且集合滿足如下條件：若，則.令，求證：（其中表示集合的元素個(gè)數(shù)）.參考答案給出的解法是：考慮一般的情形，設(shè)，，對(duì)任意的，設(shè)有種方式表示為的形式，其中，即

，則顯然有.對(duì)任意的，考慮集合，則有個(gè)這樣的集合，對(duì)于，共有個(gè)集合，下面證明這些集合是兩兩不同的.若不然，則存在及、使得，，其中，從而，由題設(shè)知，若，則，不可能；若，則，不可能.從而，即.由柯西不等式，所以，即.當(dāng)時(shí)，.該解法從組成集合的元素入手，構(gòu)造集合中具有某些特征的雙元集是兩兩不同的，建立不等量關(guān)系得到不等式，同時(shí)利用柯西不等式求出的范圍，該證法比較抽象，難度大，考生基本沒有與此類似的解答，可見不適合考生的一般思維。事實(shí)上，計(jì)算集合的元素個(gè)數(shù)，只要計(jì)算所有形如（其中）的元素個(gè)數(shù)，扣除相同的即可，由此想到構(gòu)造數(shù)陣的方法.考慮一般的情形，設(shè)，記，，構(gòu)造如下數(shù)陣，它們由個(gè)元素構(gòu)成，這些元素扣除相等的數(shù)，就組成了集合.觀察數(shù)陣，可以得到如下結(jié)論：（1）每一行的任意兩個(gè)數(shù)不相等，每一列的任意兩個(gè)數(shù)也不相等.不然，假設(shè)第行的第列與第，且列的兩個(gè)數(shù)相等，則由，得到，這與集合中的元素互異性矛盾；同樣，假設(shè)第列的第行與第，且行的兩個(gè)數(shù)相等，則由，得到，這與集合中的元素互異性矛盾；（2）任意兩列至多有一對(duì)相等的數(shù).不然，假設(shè)第列與第，且列有兩對(duì)數(shù)分別相等，由（1）知，它們不能同在一行，分別設(shè)為第行（其中，且互不相等），則由，得，即，由已知得，從而或，這均與中的元素互異性矛盾.（3）當(dāng)時(shí)，.事實(shí)上，當(dāng)時(shí)，由（1）（2）可知，上述數(shù)陣每一行的任意兩個(gè)數(shù)不相等，每一列的任意兩個(gè)數(shù)也不相等，任意兩列至多有一對(duì)相等的數(shù)，而且這一對(duì)數(shù)不能在同一行，因此數(shù)陣中所有重復(fù)的數(shù)至多有對(duì)，所以.特別地，當(dāng)時(shí)，，這個(gè)結(jié)論比試題的結(jié)論要強(qiáng).進(jìn)一步可以證明：當(dāng)時(shí)，.事實(shí)上，要證明，因?yàn)椋灾灰C，又，即證，展開得到，