均值、方差、正態(tài)分布-學(xué)生用

-.z§12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差假設(shè)離散型隨機(jī)變量*的分布列為**1*2…*i…*nPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(*)＝*1p1＋*2p2＋…＋*ipi＋…＋*npn為隨機(jī)變量*的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(*)＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(*i－E(*))2pi為隨機(jī)變量*的方差，它刻畫了隨機(jī)變量*與其均值E(*)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根eq\r(D*)為隨機(jī)變量*的標(biāo)準(zhǔn)差．2．均值與方差的性質(zhì)(1)E(a*＋b)＝aE(*)＋b.(2)D(a*＋b)＝a2D(*)．(a，b為常數(shù))3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)假設(shè)*服從兩點(diǎn)分布，則E(*)＝__p__，D(*)＝p(1－p)．(2)假設(shè)*～B(n，p)，則E(*)＝__np__，D(*)＝np(1－p)．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(*)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(*－μ2,2σ2)，*∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱函數(shù)φμ、σ(*)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線．(2)正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于*軸上方，與*軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線*＝μ對(duì)稱；③曲線在*＝μ處到達(dá)峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與*軸之間的面積為__1__；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著__μ__的變化而沿*軸平移，如圖甲所示；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ__越小__，曲線越“瘦高〞，表示總體的分布越集中；σ__越大__，曲線越“矮胖〞，表示總體的分布越分散，如圖乙所示．(3)正態(tài)分布的定義及表示如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量*滿足P(a<*≤b)＝?eq\o\al(b,a)φμ，σ(*)d*，則稱隨機(jī)變量*服從正態(tài)分布，記作*～N(μ，σ2)．正態(tài)總體在三個(gè)特殊區(qū)間取值的概率值①P(μ－σ<*≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)＝0.997_4.1．判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量，它不確定．()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量平均程度越?。?)(3)正態(tài)分布中的參數(shù)μ和σ完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布．()2．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,5)(k＝2,4,6,8,10)，則D(ξ)等于()A．5B．8C．10D．163．設(shè)隨機(jī)變量*服從正態(tài)分布N(2,9)，假設(shè)P(*>c＋1)＝P(*<c－1)，則c等于()A．1B．2C．3D．44．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，假設(shè)*表示取到次品的件數(shù)，則D(*)＝________.5．在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果*運(yùn)發(fā)動(dòng)罰球命中的概率為0.7，則他罰球1次的得分*的均值是________．題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差例1(2021·)設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分．袋中有20個(gè)大小一樣的球，其中記上0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有n個(gè)(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一球，ξ表示所取球的標(biāo)號(hào)．(1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)假設(shè)η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．題型二二項(xiàng)分布的均值、方差例2(2021·)*居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的平安防系統(tǒng)(簡(jiǎn)稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為eq\f(1,10)和p.(1)假設(shè)在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為eq\f(49,50)，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望E(ξ)．假設(shè)*班級(jí)教室共有4扇窗戶，在每天上午第三節(jié)課上課預(yù)備鈴聲響起時(shí)，每扇窗戶或被敞開或被關(guān)閉，且概率均為0.5.記此時(shí)教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為*.(1)求*的分布列；(2)假設(shè)此時(shí)教室里有兩扇或兩扇以上的窗戶被關(guān)閉，班長(zhǎng)就會(huì)將關(guān)閉的窗戶全部敞開，否則維持原狀不變．記每天上午第三節(jié)課上課時(shí)該教室里敞開的窗戶個(gè)數(shù)為Y，求Y的數(shù)學(xué)期望．題型三正態(tài)分布的應(yīng)用例3在*次大型考試中，*班同學(xué)的成績(jī)服從正態(tài)分布N(80,52)，現(xiàn)該班同學(xué)中成績(jī)?cè)?0～85分的有17人．試計(jì)算該班成績(jī)?cè)?0分以上的同學(xué)有多少人．在*次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布，即ξ～N(100,100)，總分值為150分．(1)試求考試成績(jī)?chǔ)挝挥趨^(qū)間(80,120]的概率；(2)假設(shè)這次考試共有2000名考生參加，試估計(jì)這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．離散型隨機(jī)變量的均值與方差問題典例：(12分)甲袋和乙袋中都裝有大小一樣的紅球和白球，甲袋中共有m個(gè)球，乙袋中共有2m個(gè)球，從甲袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為eq\f(2,5)，從乙袋中摸出1個(gè)球?yàn)榧t球的概率為P2.(1)假設(shè)m＝10，求甲袋中紅球的個(gè)數(shù)；(2)假設(shè)將甲、乙兩袋中的球裝在一起后，從中摸出1個(gè)紅球的概率是eq\f(1,3)，求P2的值；(3)設(shè)P2＝eq\f(1,5)，假設(shè)從甲、乙兩袋中各自有放回地摸球，每次摸出1個(gè)球，并且從甲袋中摸1次，從乙袋中摸2次．設(shè)ξ表示摸出紅球的總次數(shù)，求ξ的分布列和均值．思維啟迪(1)概率的應(yīng)用，知甲袋中總球數(shù)為10和摸1個(gè)為紅球的概率，求紅球．(2)利用方程的思想，列方程求解．(3)求分布列和均值，關(guān)鍵是求ξ的所有可能值及每個(gè)值所對(duì)應(yīng)的概率．規(guī)解答解(1)設(shè)甲袋中紅球的個(gè)數(shù)為*，依題意得*＝10×eq\f(2,5)＝4.[3分](2)由，得eq\f(\f(2,5)m＋2mP2,3m)＝eq\f(1,3)，解得P2＝eq\f(3,10).[6分](3)ξ的所有可能值為0,1,2,3.P(ξ＝0)＝eq\f(3,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(48,125)，P(ξ＝1)＝eq\f(2,5)×eq\f(4,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＝eq\f(56,125)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,5)×Ceq\o\al(1,2)×eq\f(1,5)×eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(19,125)，P(ξ＝3)＝eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(2,125).[8分]所以ξ的分布列為ξ0123Peq\f(48,125)eq\f(56,125)eq\f(19,125)eq\f(2,125)[10分]所以E(ξ)＝0×eq\f(48,125)＋1×eq\f(56,125)＋2×eq\f(19,125)＋3×eq\f(2,125)＝eq\f(4,5).[12分]求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值．第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率．第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列．第四步：求均值和方差．第五步：反思回憶．查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)．溫馨提醒(1)此題重點(diǎn)考察了概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值．(2)此題解答中的典型錯(cuò)誤是計(jì)算不準(zhǔn)確以及解答不規(guī)．如第(3)問中，不明確寫出ξ的所有可能值，不逐個(gè)求概率，這都屬于解答不規(guī)．方法與技巧1．均值與方差的常用性質(zhì)．掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會(huì)給解題帶來方便：(1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b；E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)；D(aξ＋b)＝a2D(ξ)；(2)假設(shè)ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．2．根本方法(1)隨機(jī)變量的分布列求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)隨機(jī)變量ξ的均值、方差，求ξ的線性函數(shù)η＝aξ＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用ξ的均值、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量是服從常用的分布(如二項(xiàng)分布)，可直接利用它們的均值、方差公式求解．3．關(guān)于正態(tài)總體在*個(gè)區(qū)域取值的概率求法(1)熟記P(μ－σ<*≤μ＋σ)，P(μ－2σ<*≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<*≤μ＋3σ)的值．(2)充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與*軸之間面積為1.①正態(tài)曲線關(guān)于直線*＝μ對(duì)稱，從而在關(guān)于*＝μ對(duì)稱的區(qū)間上概率相等．②P(*<a)＝1－P(*≥a)，P(*<μ－a)＝P(*≥μ＋a)．(3)3σ原則在實(shí)際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)的隨機(jī)變量只取(μ－3σ，μ＋3σ]之間的值，取該區(qū)間外的值的概率很小，通常認(rèn)為一次試驗(yàn)幾乎不可能發(fā)生．失誤與防1．在沒有準(zhǔn)確判斷分布列模型之前不能亂套公式．2．對(duì)于應(yīng)用問題，必須對(duì)實(shí)際問題進(jìn)展具體分析，一般要將問題中的隨機(jī)變量設(shè)出來，再進(jìn)展分析，求出隨機(jī)變量的分布列，然后按定義計(jì)算出隨機(jī)變量的均值、方差.A組專項(xiàng)根底訓(xùn)練一、選擇題1．正態(tài)總體N(1,9)在區(qū)間(2,3)和(－1,0)上取值的概率分別為m，n，則()A．m>nB．m<nC．m＝nD．不確定2．*一隨機(jī)變量*的分布列如下，且E(*)＝6.3，則a的值為()*4a9P0.50.1bA.5B．6C．7D．83．(2021·)如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割為125個(gè)同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取一個(gè)小正方體，記它的油漆面數(shù)為*，則*的均值E(*)等于()A.eq\f(126,125)B.eq\f(6,5)C.eq\f(168,125)D.eq\f(7,5)4．*種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為*，則*的數(shù)學(xué)期望為()A．100B．200C．300D．4005．一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率都為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則射擊停頓后剩余子彈的數(shù)目*的期望值為()A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4二、填空題6．從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球的袋中隨機(jī)取出2個(gè)球，設(shè)其中有*個(gè)紅球，則隨機(jī)變量*的分布列為*012P隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(1,2k－1)，k＝1,2,3，…，n，則P(2<ξ≤5)＝________.8．*次英語考試的成績(jī)*服從正態(tài)分布N(116,64)，則10000名考生中成績(jī)?cè)?40分以上的人數(shù)為________．三、解答題9．*超市為了響應(yīng)環(huán)保要求，鼓勵(lì)顧客自帶購物袋到超市購物，采取了如下措施：對(duì)不使用超市塑料購物袋的顧客，超市給予9.6折優(yōu)惠；對(duì)需要超市塑料購物袋的顧客，既要付購置費(fèi)，也不享受折扣優(yōu)惠．假設(shè)該超市在*個(gè)時(shí)段購物的人數(shù)為36人，其中有12位顧客自己帶了購物袋，現(xiàn)從這36人中隨機(jī)抽取兩人．(1)求這兩人都享受折扣優(yōu)惠或都不享受折扣優(yōu)惠的概率；(2)設(shè)這兩人中享受折扣優(yōu)惠的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列