中考復(fù)習(xí)梯形

梯形?考點(diǎn)鏈接1．掌握梯形、直角梯形、等腰梯形的判定和定理，并能熟練解決實(shí)際問題．2.能用三角形的中位線定理、梯形中位線定理來(lái)解決線段平行和線段之間的倍分問題．3．能運(yùn)用一些常見的數(shù)學(xué)思想方法解題．?典例精析【例題1】如圖，在梯形ABCD中，ZB+ZC=90°,M、N分別為上、下底的中點(diǎn)．1求證：MN=2(BC-AD).解題思路：由ZB+ZC=90。，聯(lián)想到直角三角形，從而將MN放入直角三角形中，不采用延長(zhǎng)兩腰，因?yàn)樽C明很麻煩，故采用平移腰的方法．證明：如圖，過(guò)M作ME〃AB,MF#CD，分別交BC于E、F,則AM=BE，MD=FC，ZB=ZMEN，ZC=ZMFN.???M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)..??BN-BE=NC-FC，即EN=FN.又VZB+ZC=90°，AZMEN+ZMFN=90°，.△EMF為直角三角形.11.??MN=EF=(BC-AD).22評(píng)析：在梯形這部分，除了要會(huì)應(yīng)用好梯形的一些性質(zhì)外，還要通過(guò)平移腰、平移對(duì)角線、延長(zhǎng)兩腰或作高等方法來(lái)轉(zhuǎn)化，在解決問題時(shí)，要具體分析，靈活選擇轉(zhuǎn)化方法．【例題2】如圖，梯形ABCD中，AB〃DC,E為AD上一點(diǎn)，且BE平分ZABC，CE平分ZBCD.求證：E為AD的中點(diǎn).解題思路：延長(zhǎng)BE、CD相交于F,證明△FED9ABEA.

證明：延長(zhǎng)BE,CD相交于F.VCD#AB,CE平分ZBCD.???ZF=Z1=Z2,???CF=CB.又CE是ZBCD的平分線.???E是FB的中點(diǎn).AZF=Z1,FE=EB,Z3=Z4,.?.△FED9ABEA,???DE=EA，即E是AD的中點(diǎn).評(píng)析：梯形的性質(zhì)通常與三角形的性質(zhì)相結(jié)合,常將梯形的相關(guān)結(jié)論轉(zhuǎn)化為三角形的相關(guān)問題.【例題3】某村計(jì)劃開挖一條長(zhǎng)1500m的水渠，渠道的斷面為等腰梯形，渠道深0.8m,下底寬1.2m，坡角為45°(如圖)，實(shí)際開挖渠道時(shí)，每天比原計(jì)劃多挖土20m,結(jié)果比原計(jì)劃提前4天完工,求原計(jì)劃每天挖土多少立方米.解題思路：過(guò)點(diǎn)A,B分別向DC作垂線，先計(jì)算梯形的面積，進(jìn)而得到所挖土的總立方數(shù)，并最終得解.解：過(guò)點(diǎn)A,B分別向DC作垂線，P,Q是垂足,則AP=BQ=0.8，在RtAAPD中，VZDAP=ZPDA=45°,ADP=PA=0.8.同理CQ=0.8,???CD=DP+PQ+QC=1.2+0.8X2=2.8,1???S梯形bcd=2(AB+CD)?AP=1.6(m2).???挖渠道的土方數(shù)為1.6x1500=2400(m3).設(shè)原計(jì)劃每天挖土x(m3),則實(shí)際每天挖土(x+20)m3.24002400???+=4,即卩x2+20x-12000=0,x+20x解得：x1=-120,x2=100,經(jīng)檢驗(yàn)：x1=-120,x2=100都是原方程的根，但挖土的體積不能為負(fù)數(shù)，故x=-120舍去，.°.x=100.答：原計(jì)劃每天挖土的立方數(shù)為100m3．評(píng)析：渠道是一棱柱，其截面是圖中所示的等腰梯形，故所挖土方數(shù)等于圖中等腰梯形的面積乘以水渠的長(zhǎng)度.?探究實(shí)踐【問題1】（沈陽(yáng)）如圖，已知梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC,4n對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O,E是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E不與B、C兩點(diǎn)重合），EF〃BD交AC于點(diǎn)F,EG〃AC交BD于點(diǎn)G.EC（1）求證：四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB；（2）請(qǐng)你將上述題目的條件“梯形ABCD中，AD〃BC,AB=DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結(jié)論“四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證，不必證明.解題思路：（1）四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于2OB，只要證得GE+EF=OB即可.其實(shí)只要△BOC為等腰三角形即得，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是等腰梯形，所以△BOC為等腰三角形.（2）改成的四邊形只要AB0C為等腰三角形即可.故四邊形改為矩形、正方形、菱形都可以.（1）證明：???四邊形ABCD是梯形，AD〃BC,AB=CD..\ZABC=ZDCB.又VBC=CB,AB=DC,/.△ABC^^DCB,AZDBC=ZACB.又VGE#AC,AZBEG=ZACB.AZDBC=ZBEG,AEG=BG.?.?EG〃OC,EF〃OB,.四邊形EGOF是平行四邊形，.EG=OF,EF=OG.???四邊形EGOF的周長(zhǎng)=2（OG+GE）=2OB.（2）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,E是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)

E不與B、C兩點(diǎn)重合），EF〃BD，交AC于點(diǎn)F,EG#AC交BD于點(diǎn)G,求證：四邊形EFOG的周長(zhǎng)等于20B.評(píng)析：本題是探索性題目，這類題目一定要根據(jù)已知題目找出使結(jié)論成立起決定作用的條件.【問題2】（荊州）如圖，在等腰梯形ABCD中，BC#AD，BC=8，AD=20，AB=DC=10點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)Q自A點(diǎn)出發(fā)沿A-B-C的路線移動(dòng)，且PQ〃DC,若AP=x，梯形位于線段PQ右側(cè)部分的面積為S.（1）分別求出當(dāng)點(diǎn)Q位于AB、BC上時(shí)，S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當(dāng)線段PQ將梯形ABCD分成面積相等的兩部分時(shí)，x的值是多少?（3）在（2）的條件下，設(shè)線段PQ與梯形ABCD的中位線EF交于0點(diǎn)，那么OE與OF的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？借助備用圖說(shuō)明理由；并進(jìn)一步探究：對(duì)任何一個(gè)梯形，當(dāng)一直線L經(jīng)過(guò)梯形中位線的中點(diǎn)并滿足什么條件時(shí)，其一定平分梯形的面積？（只要求說(shuō)出條件,不需要證明）.解題思路：（1）分Q在AB、BC兩種情況，抓住三角形、梯形、四邊形的面積關(guān)系，分別求出S與x的關(guān)系式.（2）由（1）所得關(guān)系式，求面積為梯形面積一半的x的值.（3）?梯形的面積等于中位線乘以高來(lái)分析解決.在RtAABN在RtAABN中，AB=10，AN=6,?：BN=8.???△AQP為等腰三角形，11AM二AP=x.22又VQM丄AD,BN丄AD,?：QM〃BN,...AM=QM=AM^N=2x,TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"ANBNAN3\o"CurrentDocument"1121S=AP?QM=—x?x=x2,\o"CurrentDocument"22331??.當(dāng)Q在AB上時(shí)，S=§x2，自變量x的取值范圍是0〈x<12；當(dāng)點(diǎn)Q在BC上時(shí)，11PQ右側(cè)四邊形ABQP為梯形，則S=-(QB+AP)?BN=-[(x-12)+x]X8=8x-48,自變量x的取值范圍是12〈x〈20.(2)梯形ABCD的面積S=1(BC+AD)?BN=112.02當(dāng)Q在AB移動(dòng)時(shí)，AAOP的面積最大值為11SAG?BN=X12X8=48〈一0.222故線段PQ等分梯形面積時(shí)，點(diǎn)Q只可能在BC上,S?.8x-48=—o=56,?x=13.2評(píng)析：本題探索圖形之間的變換關(guān)系,并利用梯形和三角形的面積來(lái)建立函數(shù)關(guān)系式,這個(gè)題考查了三角形和梯形的有關(guān)知識(shí),并和代數(shù)結(jié)合,它的新穎之處在于幾何圖形的運(yùn)動(dòng)和變化．?中考演練一、填空題在四邊形ABCD中，AD〃BC,ADMBC,若使它成為等腰梯形，則需添加的條件是（填一個(gè)正確的條件即可）．有一個(gè)直角梯形ABCD,AD〃BC，斜腰DC的長(zhǎng)為10cm,ZD=120°，如圖1,則另一腰AB的長(zhǎng)為cm.（結(jié)果不取近似值）(2)(3)(2)(3)如圖2,梯形ABCD中，AD〃BC,E、F、G、H分別是邊DC、BC、AB、DA的中點(diǎn)，梯形ABCD的邊滿足條件時(shí)，四邊形EFGH是菱形.二、選擇題（沈陽(yáng)）如圖3,梯形護(hù)坡石壩的斜坡AB的坡度i=1：3,壩高BC為2m,則斜坡AB的長(zhǎng)是（）.A.2^/5mB.2^/10mC.4^5mD.6m（紹興）如圖4,M、N分別是直角梯形ABCD的兩腰AD、CB的中點(diǎn)，DE丄AB于點(diǎn)E,將△ADE沿DE翻折,M與N恰好重合,則AE：BE等于（）.A.2：1A.2：1如圖5,在梯形ABCD中，AD〃BC，對(duì)角線AC丄BD且AC=12,BD=9,則此梯形的中位線長(zhǎng)是（）.15A.10B.C.D.1222

三、解答題（北京）如圖，梯形ABCD中，AD〃BC,BD平分ZABC,ZA=120°,BD=BC=4P3,求梯形的面積．如圖，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，四邊形CGEF為菱形，Z1=Z2=ZFCG.求證：D、F、H為線段AB的四等分點(diǎn).?實(shí)戰(zhàn)模擬一、填空題如圖6,在梯形ABCD中，AB〃CD,BC=8，DC=6運(yùn)，ZBCD=45°，ZBAD=120°，則梯如圖7,在梯形ABCD中，已知AB#CD，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，設(shè)△DEA的面積為S，梯形1ABCD的面積為S,則S與S的關(guān)系為212如圖8,在梯形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AE交BC于F點(diǎn)，已知ZB=45°,梯形的高AH=2cm,HF=5cm,則梯形的面積等于.二、選擇題（天津）如圖9,在梯形ABCD中，AB〃CD，中位線EF與對(duì)角線AC、BD交于M、N兩點(diǎn),若EF=18cm,MN=8cm，則AB的長(zhǎng)等于（）.A．10cmB．13cmC．20cmD．26cm2．（黑龍江）若等腰梯形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，11，則這個(gè)等腰梯形的周長(zhǎng)為（）．A．21B．29C．21或29D．21或22或29直角梯形的中位線長(zhǎng)a,—腰長(zhǎng)b這腰和底所夾的角是30°，則它的面積為（）.111A.abB.abC.abD.ab248三、解答題（廣東）如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM、CM的中點(diǎn).（1）求證：四邊形MENF是菱形；（2）若四邊形MENF是正方形，請(qǐng)?zhí)剿鞯妊菪蜛BCD的高和底邊BC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（溫州）如圖，在一ABCD中，對(duì)角線AC丄BC,AC=BC=2,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P分別作PM〃AB交BC于M,PN〃AD交CD于N,連結(jié)AM,設(shè)AP=x.（1）四邊形PMCN的形狀有可能是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）當(dāng)x為何值時(shí)，四邊形PMCN的面積與厶ABM的面積相等?答案:中考演練一、1.ZB=ZC或ZA=ZD,或AB=DC,或AC=BD5