八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件

第十七章勾股定理勾股定理第1課時(shí)第十七章勾股定理合作探究培素養(yǎng)知識點(diǎn)一利用勾股定理求(直角)三角形的邊長或高(P27練習(xí)T2拓展)

【典例1】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.合作探究培素養(yǎng)知識點(diǎn)一利用勾股定理求(直角)三角形的邊長八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件

【學(xué)霸總結(jié)】正確理解勾股定理的三個(gè)方面(1)適用的條件：只有在直角三角形中才能用勾股定理.(2)解決的問題：勾股定理揭示的是直角三角形三邊的關(guān)系，已知兩邊長，可求第三邊的長.(3)注意的問題：直角三角形中已知的兩邊沒有明確是直角邊還是斜邊時(shí)，必須分類討論，不能漏掉任何一種情況.【學(xué)霸總結(jié)】以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道(10分)如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽.∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，證明勾股定理的三個(gè)步驟2 D.如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，請你先把圖中其他8條線段的長計(jì)算出那么△ACD的面積是 ()設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，請利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理.(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)如圖，該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，=ab+c2+ab=，直角三角形的斜邊長是______.證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角∴=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=6.AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰直角三角形ADE，…，以此類推，則第2020個(gè)等腰【多維訓(xùn)練】1.等腰三角形底邊上的高為8，腰長為10，則它的面積為 (

)

★2.一直角三角形的一直角邊長為6，斜邊長比另一直角邊長大2，則該三角形的面積為 (

)BC以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明★3.如圖所示，長方形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小長方形的周長之和為_______.

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★3.如圖所示，長方形ABCD的對角線AC=10，BC=8，★★4.(規(guī)律探究)如圖所示，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰直角三角形ADE，…，以此類推，則第2020個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是______.

★★4.(規(guī)律探究)如圖所示，已知△ABC是腰長為1的等腰直知識點(diǎn)二勾股定理與圖形面積(P24練習(xí)T2拓展)

【典例2】(6分)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2.求最大的正方形E的面積.知識點(diǎn)二勾股定理與圖形面積(P24練習(xí)T2拓展)

【思維模板】通關(guān)四步具體操作理解題意在已知所有的三角形都是直角三角形的情況下利用勾股定理轉(zhuǎn)換求面積.思路探索審題能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積.【思維模板】通關(guān)四步具體操作理解題意在已知所有的三角形都是直八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件【學(xué)霸總結(jié)】利用面積關(guān)系可以證明勾股定理，反過來可以利用勾股定理解決與面積有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是將一個(gè)大正方形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)較小正方形的面積，要認(rèn)真體會勾股定理在這類面積問題中的作用.【學(xué)霸總結(jié)】【變式探究】1.如圖，三角形是直角三角形，四邊形是正方形，已知正方形A的面積是64，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是 (

)B【變式探究】B★2.(2020·南通市崇川區(qū)期末)如圖，以Rt△ABC的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為(

)B★2.(2020·南通市崇川區(qū)期末)如圖，以Rt△ABC的★★3.如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)有

(

)

個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)D★★3.如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作等邊三知識點(diǎn)三勾股定理的證明

(P23-24勾股定理的證明拓展)【典例3】如圖①是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c.圖②是以c為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，指出它是什么圖形；(2)用這個(gè)圖形證明勾股定理；知識點(diǎn)三勾股定理的證明

(3)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(無需證明).(3)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖①中所給的直∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是 ()面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和.2或2它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，AED，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)=ab+c2+ab=，分類討論，不能漏掉任何一種情況.(P23-24勾股定理的證明拓展)=6.方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為()設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，出的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段.另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(無需證明).如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形利用面積關(guān)系可以證明勾股定理，反過來可以利用勾股定理解決與面積有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是將一個(gè)大正方形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)較小正方形的面積，要認(rèn)真體會勾股定理在這類面積問題中的作用.4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用拼接的方法將所給的直角三角形組合成一個(gè)新的圖形，然后運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)算化簡等手段得出a2+b2=c2的形式.【自主解答】(1)如圖所示，是直角梯形；∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).從(1)中圖我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積=三個(gè)三角形的面積和，即ab+ab+c2.兩者列成等式化簡即可得：a2+b2=c2；(3)畫邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a，b為直角邊，c為斜邊.(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=【變式探究】4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請?jiān)囈辉?略【變式探究】【學(xué)霸總結(jié)】證明勾股定理的三個(gè)步驟(1)讀圖：觀察整個(gè)圖形是由哪些圖形拼接而成，圖中包括幾個(gè)直角三角形，幾個(gè)正方形，它們的邊長各是多少.(2)列式：根據(jù)整個(gè)圖形的面積等于各部分圖形的面積和，列出關(guān)于直角三角形三邊長的等式.(3)化簡：根據(jù)整式的運(yùn)算化簡等式，得出勾股定理.【學(xué)霸總結(jié)】【多維訓(xùn)練】1.如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和.根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程.略【多維訓(xùn)練】分類討論，不能漏掉任何一種情況.運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)∵=S△ABC+S△ACD，=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD，(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.一、選擇題(每小題4分，共12分)線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有 ()另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(無需證明).知識點(diǎn)一利用勾股定理求(直角)三角形的邊長或高(P27練習(xí)T2拓展)如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_______________.(3)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_______________.那么△ACD的面積是 ()利用面積關(guān)系可以證明勾股定理，反過來可以利用勾股定理解決與面積有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是將一個(gè)大正方形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)較小正方形的面積，要認(rèn)真體會勾股定理在這類面積問題中的作用.方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為()★2.如圖，該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示寫出一種證明勾股定理的方法嗎？分類討論，不能漏掉任何一種情況.★2.如圖，該圖形是由任意的解：此圖可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移得到.∵=S△ABC+S△ACD，=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD，即b2+ab=c2+a(b-a)，整理得b2+ab=c2+a(b-a)，b2+ab=c2+ab-a2，∴a2+b2=c2.解：此圖可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，技能培優(yōu)拓思維【火眼金睛】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，求邊BC的長.技能培優(yōu)拓思維【火眼金睛】正解：如圖①，在Rt△ABD中，BD==15；在Rt△ACD中，DC==6.所以BC=BD+DC=15+6=21.如圖②，當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，BC=BD-DC=15-6=9.正解：如圖①，在Rt△ABD中，BD=【一題多變】教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c)，大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×ab+(a-b)2，所以4×ab+(a-b)2=c2，即a2+b2=c2.由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2=c2.圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.【一題多變】略八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件【母題變式】【變式一】試用勾股定理解決以下問題：如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4，則斜邊上的高為_____.

【變式二】試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋(a-2b)2=a2-4ab+4b2，畫在給出的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段.略【母題變式】課時(shí)提升作業(yè)七勾股定理(第1課時(shí))(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分，共12分)1.如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線段BC上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C).若線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有 (

)個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)C課時(shí)提升作業(yè)七勾股定理(第1課時(shí))C2.設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，則ab的值是 (

)3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是 (

)A. B. C.2 D.DA2.設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，二、填空題(每小題4分，共12分)4.(2020·綏化中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB-AC=2，BC=8，則AB的長是_______.

5.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，△ABC的三邊a，b，c的大小關(guān)系式為__________.(用“<”連接)

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c<a<b

二、填空題(每小題4分，共12分)17c<a<b別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_______________.(2)解決的問題：勾股定理揭示的是直角三角形三邊的關(guān)系，已知兩邊長，可求線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有 ()算化簡等手段得出a2+b2=c2的形式.(規(guī)律探究)如圖所示，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道在Rt△ACD中，DC=運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).(2)列式：根據(jù)整個(gè)圖形的面積等于各部分圖形的面積和，列出關(guān)于直角三角形等腰三角形底邊上的高為8，腰長為10，則它的面積為 ()4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，出的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段.教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.證明勾股定理的三個(gè)步驟圖所示的直角三角形演化而成的.∴=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′證明勾股定理的三個(gè)步驟6.(分類討論思想)(2020·云南模擬)在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_______________.

2或2

別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=____三、解答題(共26分)7.(8分)一個(gè)直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的驗(yàn)證方法.如圖，火柴盒的一個(gè)側(cè)面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，請利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理.三、解答題(共26分)解：∵四邊形BCC′D′為直角梯形，∴

=(BC+C′D′)·BD′=.∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，

∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.∴=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=，即

=，整理，得a2+b2=c2.解：∵四邊形BCC′D′為直角梯形，8.(8分)小明將一副三角板如圖所示擺放在一起，發(fā)現(xiàn)只要知道其中一邊的長就可以求出其他各邊的長，若已知CD=2，求AC的長.

8.(8分)小明將一副三角板如圖所示擺放在一起，發(fā)現(xiàn)只要知道解：∵BD=CD=2，∴BC==2，∴設(shè)AB=x，則AC=2x，∴x2+(2)2=(2x)2，∴x2+8=4x2，∴3x2=8，∴x2=，∴x=，AC=2AB=.解：∵BD=CD=2，∴BC==2，【一道題培優(yōu)】9.(10分)如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽.它的主題圖案是由一連串如圖所示的直角三角形演化而成的.設(shè)其中的第一個(gè)直角三角形OA1A2是等腰三角形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，請你先把圖中其他8條線段的長計(jì)算出來，填在下面的表格中，然后再計(jì)算這8條線段的長的乘積.略【一道題培優(yōu)】第十七章勾股定理勾股定理第1課時(shí)第十七章勾股定理合作探究培素養(yǎng)知識點(diǎn)一利用勾股定理求(直角)三角形的邊長或高(P27練習(xí)T2拓展)

【典例1】在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面積.某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程.合作探究培素養(yǎng)知識點(diǎn)一利用勾股定理求(直角)三角形的邊長八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件

【學(xué)霸總結(jié)】正確理解勾股定理的三個(gè)方面(1)適用的條件：只有在直角三角形中才能用勾股定理.(2)解決的問題：勾股定理揭示的是直角三角形三邊的關(guān)系，已知兩邊長，可求第三邊的長.(3)注意的問題：直角三角形中已知的兩邊沒有明確是直角邊還是斜邊時(shí)，必須分類討論，不能漏掉任何一種情況.【學(xué)霸總結(jié)】以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道(10分)如圖是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會的會徽.∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，證明勾股定理的三個(gè)步驟2 D.如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).形，且OA1=A1A2=A2A3=A3A4=…=A8A9=1，請你先把圖中其他8條線段的長計(jì)算出那么△ACD的面積是 ()設(shè)AB=a，BC=b，AC=c，請利用四邊形BCC′D′的面積驗(yàn)證勾股定理.(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)如圖，該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，=ab+c2+ab=，直角三角形的斜邊長是______.證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角∴=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=6.AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰直角三角形ADE，…，以此類推，則第2020個(gè)等腰【多維訓(xùn)練】1.等腰三角形底邊上的高為8，腰長為10，則它的面積為 (

)

★2.一直角三角形的一直角邊長為6，斜邊長比另一直角邊長大2，則該三角形的面積為 (

)BC以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明★3.如圖所示，長方形ABCD的對角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小長方形的周長之和為_______.

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★3.如圖所示，長方形ABCD的對角線AC=10，BC=8，★★4.(規(guī)律探究)如圖所示，已知△ABC是腰長為1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜邊AC為直角邊，畫第二個(gè)等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜邊AD為直角邊，畫第三個(gè)等腰直角三角形ADE，…，以此類推，則第2020個(gè)等腰直角三角形的斜邊長是______.

★★4.(規(guī)律探究)如圖所示，已知△ABC是腰長為1的等腰直知識點(diǎn)二勾股定理與圖形面積(P24練習(xí)T2拓展)

【典例2】(6分)如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面積分別為2，5，1，2.求最大的正方形E的面積.知識點(diǎn)二勾股定理與圖形面積(P24練習(xí)T2拓展)

【思維模板】通關(guān)四步具體操作理解題意在已知所有的三角形都是直角三角形的情況下利用勾股定理轉(zhuǎn)換求面積.思路探索審題能夠發(fā)現(xiàn)正方形A，B，C，D的邊長正好是兩個(gè)直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積.【思維模板】通關(guān)四步具體操作理解題意在已知所有的三角形都是直八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件【學(xué)霸總結(jié)】利用面積關(guān)系可以證明勾股定理，反過來可以利用勾股定理解決與面積有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是將一個(gè)大正方形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)較小正方形的面積，要認(rèn)真體會勾股定理在這類面積問題中的作用.【學(xué)霸總結(jié)】【變式探究】1.如圖，三角形是直角三角形，四邊形是正方形，已知正方形A的面積是64，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是 (

)B【變式探究】B★2.(2020·南通市崇川區(qū)期末)如圖，以Rt△ABC的三邊為邊，分別向外作正方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為(

)B★2.(2020·南通市崇川區(qū)期末)如圖，以Rt△ABC的★★3.如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形，上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)有

(

)

個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)D★★3.如圖，以直角三角形的三邊a，b，c為邊，向外作等邊三知識點(diǎn)三勾股定理的證明

(P23-24勾股定理的證明拓展)【典例3】如圖①是用硬紙板做成的兩個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c.圖②是以c為直角邊的等腰直角三角形.請你開動腦筋，將它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.(1)畫出拼成的這個(gè)圖形的示意圖，指出它是什么圖形；(2)用這個(gè)圖形證明勾股定理；知識點(diǎn)三勾股定理的證明

(3)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(無需證明).(3)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖①中所給的直∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，正方形B的面積是100，則半圓C的面積是 ()面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和.2或2它們拼成一個(gè)能證明勾股定理的圖形.統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，AED，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)=ab+c2+ab=，分類討論，不能漏掉任何一種情況.(P23-24勾股定理的證明拓展)=6.方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為()設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，出的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段.另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(無需證明).如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形利用面積關(guān)系可以證明勾股定理，反過來可以利用勾股定理解決與面積有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是將一個(gè)大正方形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)較小正方形的面積，要認(rèn)真體會勾股定理在這類面積問題中的作用.4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用拼接的方法將所給的直角三角形組合成一個(gè)新的圖形，然后運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)算化簡等手段得出a2+b2=c2的形式.【自主解答】(1)如圖所示，是直角梯形；∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠B′AC′，(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).從(1)中圖我們還發(fā)現(xiàn)梯形的面積=三個(gè)三角形的面積和，即ab+ab+c2.兩者列成等式化簡即可得：a2+b2=c2；(3)畫邊長為(a+b)的正方形，如圖，其中a，b為直角邊，c為斜邊.(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=【變式探究】4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.現(xiàn)把它們適當(dāng)拼合，可以得到如圖所示的圖形，利用這個(gè)圖形可以驗(yàn)證勾股定理，你能說明其中的道理嗎？請?jiān)囈辉?略【變式探究】【學(xué)霸總結(jié)】證明勾股定理的三個(gè)步驟(1)讀圖：觀察整個(gè)圖形是由哪些圖形拼接而成，圖中包括幾個(gè)直角三角形，幾個(gè)正方形，它們的邊長各是多少.(2)列式：根據(jù)整個(gè)圖形的面積等于各部分圖形的面積和，列出關(guān)于直角三角形三邊長的等式.(3)化簡：根據(jù)整式的運(yùn)算化簡等式，得出勾股定理.【學(xué)霸總結(jié)】【多維訓(xùn)練】1.如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形AED，所以∠BAE=90°，且四邊形ACFD是一個(gè)正方形，它的面積和四邊形ABFE的面積相等，而四邊形ABFE的面積等于Rt△BAE和Rt△BFE的面積之和.根據(jù)圖示寫出證明勾股定理的過程.略【多維訓(xùn)練】分類討論，不能漏掉任何一種情況.運(yùn)用正方形的性質(zhì)、直角三角形的面積公式結(jié)合等積法列出等式，然后運(yùn)用計(jì)∵=S△ABC+S△ACD，=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD，(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).(2)由(1)中圖我們根據(jù)梯形的面積公式可知，梯形的面積=(a+b)(a+b).4個(gè)全等的直角三角形的直角邊分別為a，b，斜邊為c.∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.一、選擇題(每小題4分，共12分)線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有 ()另一種能證明勾股定理的圖形嗎？請畫出拼后的示意圖(無需證明).知識點(diǎn)一利用勾股定理求(直角)三角形的邊長或高(P27練習(xí)T2拓展)如圖，對任意的符合條件的直角三角形ABC繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得直角三角形別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_______________.(3)假設(shè)圖①中的直角三角形有若干個(gè)，你能運(yùn)用圖①中所給的直角三角形拼出證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角別為a，b，c，a∶b=2∶3，c=，則a=_______________.那么△ACD的面積是 ()利用面積關(guān)系可以證明勾股定理，反過來可以利用勾股定理解決與面積有關(guān)的問題，解題關(guān)鍵是將一個(gè)大正方形的面積轉(zhuǎn)化為四個(gè)較小正方形的面積，要認(rèn)真體會勾股定理在這類面積問題中的作用.方形，它們的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=16，則S1的值為()★2.如圖，該圖形是由任意的符合條件的兩個(gè)全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根據(jù)圖示寫出一種證明勾股定理的方法嗎？分類討論，不能漏掉任何一種情況.★2.如圖，該圖形是由任意的解：此圖可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再向下平移得到.∵=S△ABC+S△ACD，=S△ABD+S△BCD，∴S△ABC+S△ACD=S△ABD+S△BCD，即b2+ab=c2+a(b-a)，整理得b2+ab=c2+a(b-a)，b2+ab=c2+ab-a2，∴a2+b2=c2.解：此圖可以看成Rt△BEA繞其直角頂點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，技能培優(yōu)拓思維【火眼金睛】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，求邊BC的長.技能培優(yōu)拓思維【火眼金睛】正解：如圖①，在Rt△ABD中，BD==15；在Rt△ACD中，DC==6.所以BC=BD+DC=15+6=21.如圖②，當(dāng)高AD在△ABC外部時(shí)，BC=BD-DC=15-6=9.正解：如圖①，在Rt△ABD中，BD=【一題多變】教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法可以幫助我們直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c)，大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×ab+(a-b)2，所以4×ab+(a-b)2=c2，即a2+b2=c2.由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2=c2.圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.【一題多變】略八年級數(shù)學(xué)下冊課堂勾股定理公開課課件【母題變式】【變式一】試用勾股定理解決以下問題：如果直角三角形ABC的兩直角邊長為3和4，則斜邊上的高為_____.

【變式二】試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋(a-2b)2=a2-4ab+4b2，畫在給出的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段.略【母題變式】課時(shí)提升作業(yè)七勾股定理(第1課時(shí))(30分鐘50分)一、選擇題(每小題4分，共12分)1.如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是線段BC上的動點(diǎn)(不含端點(diǎn)B，C).若線段AD長為正整數(shù)，則點(diǎn)D的個(gè)數(shù)共有 (

)個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)C課時(shí)提升作業(yè)七勾股定理(第1課時(shí))C2.設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，斜邊長為，則ab的值是 (

)3.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AD∥BC，∠ABC=60°，∠BCD=30°，BC=6，那么△ACD的面積是 (

)A. B. C.2 D.DA2.設(shè)a，b是直角三角形的兩條直角邊，若該三角形的周長為6，二、填空題(每小題4分，共12分)4.(2020·綏化中考)在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB-AC=2，BC=8，則AB的長是_______.

5.如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1，△ABC的三邊a，b，c的大小關(guān)系式為__________.(用“<”連接)

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c<a<b

二、填空題(每小題4分，共12