向量的數(shù)量積【新教材】人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊課件1

6.2.4向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念.3.會用向量的數(shù)量積判定兩個平面向量的垂直關(guān)系,以及解決夾角、模等問題.6.2.4向量的數(shù)量積1

向量的夾角1.定義已知兩個①非零

向量a,b,O是平面上的任意一點,作

=a,

=b(如圖所示),則②∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.

2.平行與垂直當(dāng)θ=0時,a與b同向;當(dāng)θ=π時,a與b反向;當(dāng)θ=

時,a⊥b.向量的夾角2

平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量③|a||b|cosθ

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=④|a||b|cosθ

.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.平面向量的數(shù)量積3

投影向量1.如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,

=a,

=b,考慮如下的變換:過

的起點A和終點B,分別作

所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到

,則稱上述變換為向量a向向量b⑤投影

,

叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.

2.設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向

量是⑧|a|cosθ

e

.投影向量4

向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⑨⊥

b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時,a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.向量數(shù)量積的性質(zhì)?5

向量數(shù)量積的運(yùn)算律對于向量a,b,c和實數(shù)λ,有(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=

a·(λb)

;(3)(a+b)·c=

a·c+b·c

.向量數(shù)量積的運(yùn)算律61.兩向量的數(shù)量積仍是一個向量.

(

?)2.設(shè)非零向量a與b的夾角為θ,則cosθ>0?a·b>0.(√)提示：因為a·b=|a|·|b|·cosθ,|a|>0,|b|>0,所以若cosθ>0,則三者的積大于0,即a·b>0;若a·b>0,則必有cosθ>0,所以本題正確.3.對于任意向量a,b,總有(a·b)2=a2·b2.(

?

)提示：設(shè)兩向量的夾角為θ,則(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,顯然只有當(dāng)cos2θ=1時,a2·b2=|a|2·|b|2成立,否則不成立.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1.兩向量的數(shù)量積仍是一個向量.?(

?)判斷正誤，7根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|?|=|?-?|=,根據(jù)向量的運(yùn)算律即可求解.數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].將①式變形為|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].2.利用向量的數(shù)量積判斷三角形的形狀時,一般從角的方面來判斷,即先利用兩個向量的夾角公式求出夾角,再下結(jié)論.由題意得,?+?=2?,?-?=?.同理,可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.≤?,∴1≤?≤2,故0≤?-1≤1,故?·?的取值范圍是[0,1].提示：兩個非零向量a,b滿足a⊥b時,a+b和a-b是以a和b為鄰邊的矩形的兩條對角線對應(yīng)的向量,根據(jù)矩形的對角線相等,得|a+b|=|a-b|,故此題正確.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.確定θ時要注意θ∈[0,π],當(dāng)cosθ>0時,θ∈;當(dāng)提示：設(shè)兩向量的夾角為θ,則(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,顯然只有當(dāng)cos2θ=又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.對于任意向量a,b,總有(a·b)2=a2·b2.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.兩個向量a,b的夾角為銳角時,a·b>0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角

時,a·b<0且a,b不共線.向量的夾角若兩個非零向量a,b滿足a⊥b,則|a+b|=|a-b|.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.(

?)利用?·?=?[(?+?)2-(?-?)2]求解.=-??+??=-?+?=?,故選C.即2?·?=0,故AM⊥BC.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.4.若a,b,c為非零向量,|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|.

(

?

)提示：|a·c|=|a|·|c|·|cosθ|,其中θ是向量a和c的夾角,|b·c|=|b|·|c|·|cosα|,其中α是向量b和c的夾角,而|cosθ|和|cosα|不一定相等,故此題錯誤.5.若兩個非零向量a,b滿足a⊥b,則|a+b|=|a-b|.(√)提示：兩個非零向量a,b滿足a⊥b時,a+b和a-b是以a和b為鄰邊的矩形的兩條對角線對應(yīng)的向量,根據(jù)矩形的對角線相等,得|a+b|=|a-b|,故此題正確.根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|?|=|?8

向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)

1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時),可以為負(fù)(當(dāng)a≠0,b≠0,90°<θ≤180°時),還可以為0(當(dāng)a=0或b=0或θ=90°時),其中θ為a與b的夾角.2.兩個向量a,b的夾角為銳角時,a·b>0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角

時,a·b<0且a,b不共線.3.數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)9

4.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,則(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2;(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;(3)cosθ=

.4.向量數(shù)量積的性質(zhì):10

在等腰直角△ABC中,AB=AC=1,

=3

,2

=

+

,則

·

=

(C)A.-

B.-

C.

D.

思路點撥用

,

表示

,

,然后利用平面向量的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義求解.??思路點撥11解析

∵

=3

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

.∵2

=

+

,∴

-

=

-

,即

=

,∴

=

=

+

,∴

=

-

=

-

.由題意得

⊥

,|

|=|

|=1,∴

·

=

·

=-

+

=-

+

=

,故選C.答案

C解析

∵?=3?,∴?=??=?(?-?),答案

12

向量數(shù)量積的應(yīng)用

1.依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識判斷平面圖形的形狀的關(guān)鍵是由已知條件建立

向量的數(shù)量積、模、夾角等之間的關(guān)系,其中移項、平方是出現(xiàn)向量的數(shù)量積及模等信息的常用手段.利用向量的數(shù)量積判斷三角形的形狀時,一般從角的方面來判斷,即先利用兩個向量的夾角公式求出夾角,再下結(jié)論.2.a·a=a2=|a|2和|a|=

是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積進(jìn)而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.

此外,根據(jù)平面圖形求向量的模時,注意利用圖形的特征對向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.向量數(shù)量積的應(yīng)用13

3.求兩個非零向量a,b的夾角θ或其余弦值一般采用夾角公式cosθ=

,根據(jù)題中條件分別求出|a|,|b|和a·b.確定θ時要注意θ∈[0,π],當(dāng)cosθ>0時,θ∈;當(dāng)cosθ<0時,θ∈

;當(dāng)cosθ=0時,θ=

.4.設(shè)a,b是兩個平面向量,則a·b=

[(a+b)2-(a-b)2].該等式的主要作用在于它可以將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個向量的“和向量”和“差向量”,再進(jìn)行計算求解.3.求兩個非零向量a,b的夾角θ或其余弦值一14

已知△ABC中,BC的中點為M,(

+

)⊥

,

-

-

=2

·

,

=

,|

|=3,則∠B=

,|

|=

.思路點撥根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|

|=|

-

|=,根據(jù)向量的運(yùn)算律即可求解.??思路點撥15,|?|=3,則∠B=

,|?|=

.解析

∵?+?+?+?=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則∴?=?+?=??+??.解析

∵?=3?,∴?=??=?(?-?),若a·b>0,則必有cosθ>0,所以本題正確.a·a=a2=|a|2和|a|=?是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).向量數(shù)量積的應(yīng)用理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.特別地,a·a=|a|2或|a|=

?.即4?=?,∴|?|=2|?|,已知正方形ABCD的邊長為2,圓O內(nèi)切于正方形ABCD,MN為圓O的一條動直徑,點P為正方形ABCD邊界上任一點,則?·?的取值范圍是[0,1].若a,b,c為非零向量,|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|.終點B,分別作?所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到?,則稱上述變換為向量a向向量b⑤投影

,?叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.∴?·?=?[(?+?)2-(?-?)2]已知△ABC中,BC的中點為M,(?+?)⊥?,?-?-?=2?·?,?=又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,終點B,分別作?所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到?,則稱上述變換為向量a向向量b⑤投影

,?叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.解析

∵?+?+?+?=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),解析

∵?=3?,∴?=??=?(?-?),對于向量a,b,c和實數(shù)λ,有向量數(shù)量積的應(yīng)用提示：兩個非零向量a,b滿足a⊥b時,a+b和a-b是以a和b為鄰邊的矩形的兩條對角線對應(yīng)的向量,根據(jù)矩形的對角線相等,得|a+b|=|a-b|,故此題正確.解析

由(

+

)⊥

,得(

+

)·

=0,即2

·

=0,故AM⊥BC.由

-

-

=2

·

,得(

+

)2=

,即4

=

,∴|

|=2|

|,∴△ABC為等腰直角三角形,如圖所示,∴∠B=∠C=

.

,|?|=3,則∠B=

,|?|=

16∴|

|=|

|=3,|

|=

|

|=3

,|

|=

|

|=

,|

|=

|

|=1,∴|

|=|

-

|=

=

=

=

.答案

;

∴|?|=|?|=3,|?|=?|?|=3?,|?|=?|?17已知正方形ABCD的邊長為2,圓O內(nèi)切于正方形ABCD,MN為圓O的一條動直徑,點P為正方形ABCD邊界上任一點,則

·

的取值范圍是

[0,1].

思路點撥利用

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]求解.已知正方形ABCD的邊長為2,圓O內(nèi)切于正方形ABCD,MN18解析

如圖所示.由題意得,

+

=2

,

-

=

.∵圓O為正方形ABCD的內(nèi)切圓,∴MN=2,∴

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]=

[(2

)2-

]=

-1.∵點P為正方形ABCD邊界上任一點,O為正方形ABCD內(nèi)切圓的圓心,∴1≤|

|≤

,∴1≤

≤2,故0≤

-1≤1,故

·

的取值范圍是[0,1].答案[0,1]解析

如圖所示.19已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量③|a||b|cosθ

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=④|a||b|cosθ

.對于向量a,b,c和實數(shù)λ,有數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].由題意得,?+?=2?,?-?=?.∵圓O為正方形ABCD的內(nèi)切圓,∴MN=2,∵圓O為正方形ABCD的內(nèi)切圓,∴MN=2,又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時),可以為負(fù)(當(dāng)a≠0,b≠0,90°<θ≤180°時),還可以為0(當(dāng)a=0或b=0或θ=90°時),其中θ為a與b的夾角.設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向

量是⑧|a|cosθe

.即4?=?,∴|?|=2|?|,如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,?=a,?=b,考慮如下的變換:過?的起點A和即4?=?,∴|?|=2|?|,(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;兩個向量a,b的夾角為銳角時,a·b>0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角

時,a·b<0且a,b不共線.∵點P為正方形ABCD邊界上任一點,O為正方形ABCD內(nèi)切圓的圓心,∴1≤|?|∴?=??=??+??,設(shè)非零向量a與b的夾角為θ,則cosθ>0?a·b>0.(

?)根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|?|=|?-?|=,根據(jù)向量的運(yùn)算律即可求解.∴?·?=?[(?+?)2-(?-?)2]又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.兩向量的數(shù)量積仍是一個向量.=-??+??=-?+?=?,故選C.解析

∵?+?+?+?=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴?∥?,∴a=-c.

在四邊形ABCD中,

=a,

=b,

=c,

=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,a·c=b·d,試判斷四邊形ABCD的形狀.思路點撥將題中的條件進(jìn)行化簡,利用a2=b2?|a|=|b|及a⊥b?a·b=0得出結(jié)論.已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量③|a|20解析

∵

+

+

+

=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理,可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,將①式變形為|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,∴|b|=|d|,|a|=|c|.同理,可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四邊形ABCD是菱形,∴

∥

,∴a=-c.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴

⊥

.故四邊形ABCD為正方形.解析

∵?+?+?+?=a+b+c+d=0,∴a+b=216.2.4向量的數(shù)量積1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.2.通過幾何直觀,了解平面向量投影的概念.3.會用向量的數(shù)量積判定兩個平面向量的垂直關(guān)系,以及解決夾角、模等問題.6.2.4向量的數(shù)量積22

向量的夾角1.定義已知兩個①非零

向量a,b,O是平面上的任意一點,作

=a,

=b(如圖所示),則②∠AOB=θ

(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.

2.平行與垂直當(dāng)θ=0時,a與b同向;當(dāng)θ=π時,a與b反向;當(dāng)θ=

時,a⊥b.向量的夾角23

平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為θ,我們把數(shù)量③|a||b|cosθ

叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=④|a||b|cosθ

.規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為0.平面向量的數(shù)量積24

投影向量1.如圖,設(shè)a,b是兩個非零向量,

=a,

=b,考慮如下的變換:過

的起點A和終點B,分別作

所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到

,則稱上述變換為向量a向向量b⑤投影

,

叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.

2.設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向

量是⑧|a|cosθ

e

.投影向量25

向量數(shù)量積的性質(zhì)

設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則(1)a·e=e·a=|a|cosθ.(2)a⑨⊥

b?a·b=0.(3)當(dāng)a與b同向時,a·b=|a||b|;當(dāng)a與b反向時,a·b=-|a||b|.特別地,a·a=|a|2或|a|=

.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.向量數(shù)量積的性質(zhì)?26

向量數(shù)量積的運(yùn)算律對于向量a,b,c和實數(shù)λ,有(1)a·b=b·a;(2)(λa)·b=λ(a·b)=

a·(λb)

;(3)(a+b)·c=

a·c+b·c

.向量數(shù)量積的運(yùn)算律271.兩向量的數(shù)量積仍是一個向量.

(

?)2.設(shè)非零向量a與b的夾角為θ,則cosθ>0?a·b>0.(√)提示：因為a·b=|a|·|b|·cosθ,|a|>0,|b|>0,所以若cosθ>0,則三者的積大于0,即a·b>0;若a·b>0,則必有cosθ>0,所以本題正確.3.對于任意向量a,b,總有(a·b)2=a2·b2.(

?

)提示：設(shè)兩向量的夾角為θ,則(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,顯然只有當(dāng)cos2θ=1時,a2·b2=|a|2·|b|2成立,否則不成立.判斷正誤，正確的畫“√”，錯誤的畫“?”.1.兩向量的數(shù)量積仍是一個向量.?(

?)判斷正誤，28根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|?|=|?-?|=,根據(jù)向量的運(yùn)算律即可求解.數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].將①式變形為|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].2.利用向量的數(shù)量積判斷三角形的形狀時,一般從角的方面來判斷,即先利用兩個向量的夾角公式求出夾角,再下結(jié)論.由題意得,?+?=2?,?-?=?.同理,可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.≤?,∴1≤?≤2,故0≤?-1≤1,故?·?的取值范圍是[0,1].提示：兩個非零向量a,b滿足a⊥b時,a+b和a-b是以a和b為鄰邊的矩形的兩條對角線對應(yīng)的向量,根據(jù)矩形的對角線相等,得|a+b|=|a-b|,故此題正確.(4)|a·b|⑩

≤

|a||b|.確定θ時要注意θ∈[0,π],當(dāng)cosθ>0時,θ∈;當(dāng)提示：設(shè)兩向量的夾角為θ,則(a·b)2=(|a|·|b|·cosθ)2=|a|2·|b|2·cos2θ,顯然只有當(dāng)cos2θ=又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.對于任意向量a,b,總有(a·b)2=a2·b2.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.兩個向量a,b的夾角為銳角時,a·b>0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角

時,a·b<0且a,b不共線.向量的夾角若兩個非零向量a,b滿足a⊥b,則|a+b|=|a-b|.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.(

?)利用?·?=?[(?+?)2-(?-?)2]求解.=-??+??=-?+?=?,故選C.即2?·?=0,故AM⊥BC.又∵a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,即b·(2a)=0,∴a·b=0,∴?⊥?.4.若a,b,c為非零向量,|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|.

(

?

)提示：|a·c|=|a|·|c|·|cosθ|,其中θ是向量a和c的夾角,|b·c|=|b|·|c|·|cosα|,其中α是向量b和c的夾角,而|cosθ|和|cosα|不一定相等,故此題錯誤.5.若兩個非零向量a,b滿足a⊥b,則|a+b|=|a-b|.(√)提示：兩個非零向量a,b滿足a⊥b時,a+b和a-b是以a和b為鄰邊的矩形的兩條對角線對應(yīng)的向量,根據(jù)矩形的對角線相等,得|a+b|=|a-b|,故此題正確.根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|?|=|?29

向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)

1.兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù),不是向量,其值可以為正(當(dāng)a≠0,b≠0,0°≤θ<90°時),可以為負(fù)(當(dāng)a≠0,b≠0,90°<θ≤180°時),還可以為0(當(dāng)a=0或b=0或θ=90°時),其中θ為a與b的夾角.2.兩個向量a,b的夾角為銳角時,a·b>0且a,b不共線;兩個向量a,b的夾角為鈍角

時,a·b<0且a,b不共線.3.數(shù)量積的定義中要注意兩向量的起點重合時所對應(yīng)的角才是兩個向量的夾

角,兩向量夾角的范圍是[0,π].向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)30

4.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,則(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2;(2)(a±b)2=|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2=a2±2a·b+b2;(3)cosθ=

.4.向量數(shù)量積的性質(zhì):31

在等腰直角△ABC中,AB=AC=1,

=3

,2

=

+

,則

·

=

(C)A.-

B.-

C.

D.

思路點撥用

,

表示

,

,然后利用平面向量的運(yùn)算律及數(shù)量積的定義求解.??思路點撥32解析

∵

=3

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

.∵2

=

+

,∴

-

=

-

,即

=

,∴

=

=

+

,∴

=

-

=

-

.由題意得

⊥

,|

|=|

|=1,∴

·

=

·

=-

+

=-

+

=

,故選C.答案

C解析

∵?=3?,∴?=??=?(?-?),答案

33

向量數(shù)量積的應(yīng)用

1.依據(jù)向量數(shù)量積的有關(guān)知識判斷平面圖形的形狀的關(guān)鍵是由已知條件建立

向量的數(shù)量積、模、夾角等之間的關(guān)系,其中移項、平方是出現(xiàn)向量的數(shù)量積及模等信息的常用手段.利用向量的數(shù)量積判斷三角形的形狀時,一般從角的方面來判斷,即先利用兩個向量的夾角公式求出夾角,再下結(jié)論.2.a·a=a2=|a|2和|a|=

是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).這種通過求自身的數(shù)量積進(jìn)而求模的思想是解決向量的模的問題的主要方法.

此外,根據(jù)平面圖形求向量的模時,注意利用圖形的特征對向量的數(shù)量積或夾角等進(jìn)行轉(zhuǎn)化.向量數(shù)量積的應(yīng)用34

3.求兩個非零向量a,b的夾角θ或其余弦值一般采用夾角公式cosθ=

,根據(jù)題中條件分別求出|a|,|b|和a·b.確定θ時要注意θ∈[0,π],當(dāng)cosθ>0時,θ∈;當(dāng)cosθ<0時,θ∈

;當(dāng)cosθ=0時,θ=

.4.設(shè)a,b是兩個平面向量,則a·b=

[(a+b)2-(a-b)2].該等式的主要作用在于它可以將向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這兩個向量的“和向量”和“差向量”,再進(jìn)行計算求解.3.求兩個非零向量a,b的夾角θ或其余弦值一35

已知△ABC中,BC的中點為M,(

+

)⊥

,

-

-

=2

·

,

=

,|

|=3,則∠B=

,|

|=

.思路點撥根據(jù)已知條件判斷出△ABC的形狀,進(jìn)而求出∠B;|

|=|

-

|=,根據(jù)向量的運(yùn)算律即可求解.??思路點撥36,|?|=3,則∠B=

,|?|=

.解析

∵?+?+?+?=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),向量數(shù)量積的運(yùn)算及性質(zhì)設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則∴?=?+?=??+??.解析

∵?=3?,∴?=??=?(?-?),若a·b>0,則必有cosθ>0,所以本題正確.a·a=a2=|a|2和|a|=?是求向量的模及用向量求解圖形中線段長度的依據(jù).向量數(shù)量積的應(yīng)用理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,會計算平面向量的數(shù)量積.特別地,a·a=|a|2或|a|=

?.即4?=?,∴|?|=2|?|,已知正方形ABCD的邊長為2,圓O內(nèi)切于正方形ABCD,MN為圓O的一條動直徑,點P為正方形ABCD邊界上任一點,則?·?的取值范圍是[0,1].若a,b,c為非零向量,|a|=|b|,則|a·c|=|b·c|.終點B,分別作?所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到?,則稱上述變換為向量a向向量b⑤投影

,?叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.∴?·?=?[(?+?)2-(?-?)2]已知△ABC中,BC的中點為M,(?+?)⊥?,?-?-?=2?·?,?=又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,終點B,分別作?所在直線的垂線,垂足分別為A1,B1,得到?,則稱上述變換為向量a向向量b⑤投影

,?叫做向量⑥

a

在向量⑦

b

上的投影向量.解析

∵?+?+?+?=a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),解析

∵?=3?,∴?=??=?(?-?),對于向量a,b,c和實數(shù)λ,有向量數(shù)量積的應(yīng)用提示：兩個非零向量a,b滿足a⊥b時,a+b和a-b是以a和b為鄰邊的矩形的兩條對角線對應(yīng)的向量,根據(jù)矩形的對角線相等,得|a+b|=|a-b|,故此題正確.解析

由(

+

)⊥

,得(

+

)·

=0,即2

·

=0,故AM⊥BC.由

-

-

=2

·

,得(

+

)2=

,即4

=

,∴|

|=2|

|,∴△ABC為等腰直角三角形,如圖所示,∴∠B=∠C=

.

,|?|=3,則∠B=

,|?|=

37∴|

|=|

|=3,|

|=

|

|=3

,|

|=

|

|=

,|

|=

|

|=1,∴|

|=|

-

|=

=

=

=

.答案

;

∴|?|=|?|=3,|?|=?|?|=3?,|?|=?|?38已知正方形ABCD的邊長為2,圓O內(nèi)切于正方形ABCD,MN為圓O的一條動直徑,點P為正方形ABCD邊界上任一點,則

·

的取值范圍是

[0,1].

思路點撥利用

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]求解.已知正方形ABCD的邊長為2,圓O內(nèi)切于正方形ABCD,MN39解析

如圖所示.由題意得,

+

=2

,

-

=

.∵圓O為正方形ABCD的內(nèi)切圓,∴MN=2,∴

·

=

[(

+

)2-(

-

)2]=

[(2

)2-

]=

-1.∵點P為正方形ABCD邊界上任一點,O為正方形ABCD內(nèi)切圓的圓心,∴1≤|

|≤

,∴1≤

≤2,故0≤

-1≤1,故

·