2012考研數(shù)三真題及解析

2012年入學(xué)統(tǒng)一考一、選擇題：1～8432分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求x2y

x2x22

x1x1x

x22

1y1為水平的，沒有斜漸近線故兩條選xx設(shè)函數(shù)f(x)(ex1)(e2x (enxn)，其中n為正整數(shù)，則f'(0) (enxn) (nenxf0( f(t連續(xù)，則二次積分2d

4

（A）0dx2x44

xyf

y（B）0dx2x

f(xy2（C）02

4x2x

x2y2f

2y

2x42（2x42（B）

f(x

y

x2y2xxx2x2y2xxx2y

2y

.4x除答案（C（D）.Xf(x2y24x

(1)已知級(jí)數(shù)i（A）02（B）12（C）12（D）32（D）

n nin

條件收斂，則范圍為 n【解析 的知識(shí)點(diǎn)是絕對(duì)收斂和條件收斂的定義及常見的p級(jí)數(shù)的收斂性結(jié)論.i

nsin絕對(duì)收斂可知3； i

(1)n

條件收斂可知2，故答案為0 0 1設(shè)

0,1,1,

其中c1c2c3c4 234c c 2341 2 3的是 （A）1,2（C）1,3（C）

（B）1,2（D）2,3 ，可知1,3,4線性相關(guān)。故選（6）設(shè)A為3階矩陣，P為3階可逆矩陣，且P1AP

，P,, 2 Q,,則Q1AQ （A）

1 2

2 1 （B） 0 0【解析：QP 0，則Q11 0P1 1

1 0 0 01故Q1AQ1 0P1AP 01 0

0 1 0 1 1 1

2 1 2（B

設(shè) 量X與Y相互獨(dú)立，且都服從區(qū)間0,1上的均勻分布，則PX2Y2 14

2

8

4（D）

fx,yfxfy 0x1,0y

PX2Y21=fx,ydxdy，其中D表示單位圓在第一象限的部分，被積函數(shù)是1，故根據(jù)二重D4分的幾何意義，知PX2Y214

，故選X3X4XXXXN1,X3X4

X1X

的分布 （A）N（C）2（D）F（B）從形式上，該統(tǒng)計(jì)量只能服從tBX1XXX1XX3X4

X1X2X3X42均XX2 X1XXX2 二、填空題：914424分，請(qǐng)將答案寫在指定位置上1limtanxcosxsin 14e-limtan 11limtanxcosxsinxex4

cosxsinxtanxtanlimtanx =x4

cosxsinx

4

cosxsintanx1tanxtan 4 4=

4 -2sinx 4 x1tanxtan 4 4=lim

4 -2x 4 2--2=2limtan x

cosxsinx所以limtanxcosxsinxe4

=e-設(shè)函數(shù)f(x) x,x1,yff(x)，求

2x1,x

dx

f'f(x)f

f'f(0)f'(0)f'1ffxf'0

f'(1)2，可知 dxz

f(x,y滿足f(x,y)f(x,y)2xyx2(y

0，則

(0,1)2dxf(xy2xy2o(x2y1)2所以x

2

1

y4yxy4xx4ln2S 2

dyydx 4ln2 4lny y A3A3,A*AAB,BA* -BEABA*EAA*|A|E3E

A,B,3

AC

P(AB)2

,P(C)3

,則P(ABC) 4

PABCPC【解析：由條件概率的定義，PABCPCPC1PC112 2PABCPABPABC1PABCACACPAC02ABCACPABC0，PABC1PABC3 三、解答題：15—2394分.請(qǐng)將解答寫在指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或（15（ex2e22cos計(jì)算

ex2e22cos

lime22cosx

ex222cosx

x222cos 2x22 ox

+ox

公式 （16（

=xx計(jì)算二重積分exxydxdy，其中D為由曲線y 與yxxD

】 xD(x,y)|0xx

y

1xyxyO1xexxydxdylim1

xexx0 D1xx1 x12xx1lim0ex2y 1 x x1lim0ex

21lim1exdx1ex2 1lime1exx2121ex2 1lim121xdex2 1lim12exx11exdx2 1lim12e(e1)2 （17（2/件）與6y（萬元/件求生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品的總成本函數(shù)C(x,y(萬元1）設(shè)成本函數(shù)為C(x,yC(x,y)20x x2x對(duì)x積分得，C(x,y)20x D(y)4yyC(xyDy6y，yDy)6y1y2cy2x2所以，C(x,y)20x 6yx2

y2 x2又C(0,0)10000，故c10000，所以C(x,y)20x 6yx2

y2 2）xy50y50x(0x50)x2xC(x)20x 6(50x)

1(50

3x236x4所以，令C(x)3x360x24,y26，這時(shí)總成本最小C(2426)2x3）50件且總成本最小時(shí)甲產(chǎn)品的邊際成本為C(24263250x（18（1 x

1

cosx

,1x2fxx

x cos x

f'xln1xx1

12

sinx1 1

111x11xsin11

2xsinx

1x1

1

1

1當(dāng)0x1時(shí)，有l(wèi)n1x01x21，所以1

xsinx0fx0f00x

x x 1 x

x cosx x 1 1

1

1當(dāng)1x0，有l(wèi)n1x01x21，所以1

xsinx0fx0x

x x 1 x

x cosx x

,1x1 （19（10分）fxfxfx2f(x0fxf(xfy

f(x2)xf(t201特征方程為r2r20，特征根為1

2，齊次微分f(xf(x2f(x0的通f(x)CexCe2x.fxf(x2ex得2CexCe2x2ex，可知C

0 f(x000yex2xet2dty12xex2xet2dty2x212x2ex2000y0x0x0y0yx0x0當(dāng)x 時(shí)

2x0,212x2ex2xet2dt

，可

y ；

x 時(shí)002x0212x2ex2xet2dt0y0x0y000y

f(x2xf(t2dtx0左右兩邊的凹凸性相反，可知000yf(x2)xf(t2dt00（20（ 0

1 0

設(shè)A ，b a

0 1 0 Axb有無窮多解，求aAxb1a001a001a001a0001aa001（Ⅰ）

1 1

1 0 0 0 a aa2（Ⅱ） 1 aa2 可知當(dāng)要使得原線性方程組有無窮多解，則有1a40及aa20，可知a1 1

0

此時(shí)，原線性方程組增廣矩陣為 ，進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形得 0

0

00

0 0 可知導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為，非齊次方程的特解為 ，故其通解為k 11Axb2個(gè)不同的解，有|A|0

00 0

0 即 A

1)210，得1或- 1x1 x當(dāng)1

0x0，顯然不符，故1 2 1

1 3 1 （21（ 1，AT為矩陣A的轉(zhuǎn)置，已知r(ATA)2， a fxTATAx求1）由r(ATA)r(A)2 1a10a 2x1fxTATAxx,x,x 2x

2 4x 32x22x24x24xx4x 1 2 2 則矩陣B 2 4 EB

26B10;22;3

1對(duì)于0解EBX0

1

1對(duì)于2解EBX0

0 0 1對(duì)于6解EBX0

1 將1,2,3單位化1

1

1

2211，

11，

110 0

2

6Q1,2,3（22（已知隨量X,Y以及XY的分布律如下表所示X012PY012P0124P0（1）（2）covXY,YXYX012PY012P0124P0（1）PX2YPX0,Y0PX2,Y110 （2）covXY,YcovX,YcovY,YcovX,YEXYEXEY，其中EX2EX21EY1EY25DXEX2EX214 DYEY2EY2512,EXY 所以，covX,Y0，covY,YDY2，covXY,Y2, 03（23（

設(shè) 量X和Y相互獨(dú)立，且均服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，VminX,Y,UmaxX,Y求（1）隨量