氣溶膠力學第7章-氣溶膠粒子的擴散與沉降-課件

第七章

氣溶膠粒子的擴散與沉降第七章

氣溶膠粒子的擴散與沉降1

1872年植物學家布朗（RobertBrown）首先觀察到水中花粉的連續(xù)隨機運動，后來人們稱之為布朗運動。大約50年后才有人觀察到煙塵粒子在空氣中的類似運動。1900年愛因斯坦導出了布朗運動的關系式，后來被實驗所驗證。氣溶膠粒子的擴散是由于氣體分子隨機運動，碰撞粒子并使其內系統(tǒng)的一部分輸?shù)搅硪徊糠莸倪^程。在這一過程中粒子沒有特定的運動方向。隨機運動的結果使得粒子總是由高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴散。

在任何氣溶膠系統(tǒng)中都存在擴散現(xiàn)象，而對粒徑小于幾個

的微細粒子，擴散現(xiàn)象尤為明顯，而且往往伴隨有粒子的沉降、粒子的收集和粒子的凝并發(fā)生。無論采取何種收集手段，氣溶膠粒子的擴散對其收集性能有著重要的影響。為了除塵凈化目的，在本章中我們將著重介紹有關擴散的基本理論及其應用。1872年植物學家布朗（RobertBrown）首一

擴

散

的

基

本

定

律

在各向同性的物質中，擴散的數(shù)學模型是基于這樣一個假設：即穿過單位截面積的擴散物質的遷移速度與該面的濃度梯度成比例，即（7-1）式（7-1）稱為費克第一擴散定律。這里F——在單位時間內通過單位面積的粒子的數(shù)量；C——擴散物質的濃度；D——擴散系數(shù)。在某些情況下，D為常數(shù)。而在另一些情況下，D可能是變量。其單位為。式（7-1）中的負號說明物質向濃度增加的相反方向擴散。在各向同性介質中，物質擴散的基本微分方程可以從式（7-1）中推導出來。一

擴

散

的

基

本

定

律在各向同性的物質中考慮一體積微元，令其各邊平行相應的坐標軸，而長邊分別為2dx，2dy,2dz。微元體的中心在P（x,y,z）點，這里擴散物質的濃度為C，ABCD和

二面垂直x軸，如圖7-1所示。那么穿過平面ABCD進入微元體的擴散物質為：同理，穿過

面流出微元體的擴散物質為：

那么對于這兩個面在微元體中擴散物質的增量為：對于其它相應的面，我們分別得到：

和

考慮一體積微元，令其各邊平行相應的坐標軸，而長邊分別為而微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而我們可以得出（7-2）如果擴散系數(shù)為常數(shù)，F(xiàn)x,Fy,Fz由式（7-1）決定，則式（7-2）變?yōu)椋海?-3）對于一維情況，式（7-3）變?yōu)椋?-4）式（7-3）或式（7-4）通常稱為費克擴散第二定律。而微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而我們可以得出（7-2對于柱坐標，式（7-3）可改寫為：

（7-5）對于球面坐標，式（7-3）可改寫為：

（7-6）所有這些方程都可以寫成向量形式：（7-7）對于一維情況，當x方向上有速度為的介質的運動時，則在微元體中對應兩面擴散物質的增加率為：對于柱坐標，式（7-3）可改寫為：（7-5）對于球面坐標同理，在微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而，考慮到式（7-1）我們可以得到此時的擴散方程為：對于三維情況：

（7-8）（7-9）擴散方程也可以用其他概念來概括，若以

表示粒子在t時刻出現(xiàn)在區(qū)間[x,x+dx]的概率，以C0表示系統(tǒng)中粒子的個數(shù)濃度，那么在t時刻落在區(qū)間[x,x+dx]內的粒子的個數(shù)濃度為這樣，我們可以把擴散方程用概率寫成為（7-10）同理，在微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而，考慮到式（7對于一維情況：（7-11）當沒有介質的運動時，vx=0，則（7-12）擴散系數(shù)的確定無疑是非常重要的。1905年愛因斯坦曾指出：氣溶膠粒子的擴散等價于一巨型氣體分子；氣溶膠粒子布朗運動的動能等同于氣體分子；作用于粒子上的擴散力是作用于粒子的滲透壓力。對于單位體積中有n個懸浮粒子的氣溶膠，其滲透壓力P0由范德霍夫（Van’tHoff）定律得：式中k是波爾茲曼常數(shù)；T是絕對溫度。對于一維情況：（7-11）當沒有介質的運動時，vx=0，則圖7-1粒子的擴散模型

由圖7-1，因為粒子的濃度由左向右是逐漸降低，氣溶膠粒子從左向右擴散并穿過平面E、E’、E，E'平面間微元距離dx,相應的粒子濃度變化為dn，由式（7-13）知，驅使粒子由左向右擴散力Fdiff為：（7-14）進行擴散運動的粒子還受斯托克斯阻力的作用，當粒子擴散是穩(wěn)定的，則式中C——肯寧漢修正系數(shù)，所以

（7-15）圖7-1粒子的擴散模型由圖7-1，因為粒子的濃度由左向式（7-15）中左面的乘積nv是單位時間內通過單位面積的粒子的數(shù)量，即式（7-1）中的F，所以（7-16）式（7-16）是氣溶膠粒子擴散系數(shù)的斯托克斯-愛因斯坦公式?；蛘邔憺椋海?-17）式中B——粒子的遷移率。擴散系數(shù)D隨溫度的增高而增大,與粒徑大小成反比，其大小可表征擴散運動的強弱。粒徑對擴散系數(shù)的影響見表7-1。

式（7-15）中左面的乘積nv是單位時間內通過單位面積表7-1單位密度球體的擴散系數(shù)（20℃）擴散系數(shù)粒子直徑（μm）遷移率（cm/s.N）

此外，由式（7-16）知，物質的擴散系數(shù)與其密度無關系，因此，在考慮氣溶膠粒子的擴散問題時，可以應用其幾何直徑。

表7-1單位密度球體的擴散系數(shù)（20℃）擴散系數(shù)粒子直徑

二

在

靜

止

介

質

中

氣

溶

膠

粒

子

的

擴

散

沉

降關于布朗運動引起的氣溶膠粒子在“壁”上的沉降有很大的實際意義。這里所說的“壁”是指氣溶膠粒子所接觸的固體及液體表面。我們可以認為：只要氣溶膠粒子與“壁”接觸，粒子就粘在其上。這樣，確定粒子在“壁”上沉降的速度，可以歸結為計算一定分布狀態(tài)的粒子到達一直邊界的概率。

在大多數(shù)情況下，以粒子的濃度表示更方便一些。這時和壁相碰撞粒子的濃度等于零。我們可以用擴散理論來解決很多實際問題。（一）平面源在x=0處存在一平面源的擴散物質，對擴散系數(shù)D為常數(shù)的一維情況，可以應用式（7-4）來描述，即

二

在

靜

止

介

質

中

氣

溶

膠

粒

子

的

擴該方程的解可以很容易看出為：該式對x=0是對稱的，當x趨近于+∞或-∞時，對t>0,式（7-18）趨于零，除x=0以外，對t=0,它處處為零。在單位橫截面為無限長圓柱體中擴散物質的總量M為：（7-18）（7-19）如果濃度分布是由式（7-18）表示，令那么

（7-20）因而式（7-20）可以寫為（7-21）該方程的解可以很容易看出為：該式對x=0是對稱的，當x式（7-21）描述了在t=0時刻在平面x=0上的物質M由于擴散而引起的擴散。圖7-2上所表示的是三個連續(xù)時間的典型分布。以上討論的問題，擴散物質的一半沿x的負方向移動。然而如果我們有一半無限圓柱體伸展于x>0的區(qū)間里并且在x=0處有一不滲透的邊界，所有的擴散發(fā)生在x的正方向，這時濃度分布為（7-22）式（7-21）描述了在t=0時刻在平面x=0上的物質

圖7-2平面源濃度-距離曲線（曲線上的數(shù)字為Dt）

圖7-2平面源濃度-距離曲線（曲線上的數(shù)字為Dt）（二）對垂直墻的擴散垂直墻在x=x0處與含有靜止氣溶膠的很大空間相聯(lián)，此處初始濃度n0是均勻的，在這里我們可以應用一維擴散方程（7-4）式，且有：

初始條件x>x0時，n(x,0)=n0邊界條件t>0時，n(x0,t)=0,這一問題的解是：（7-23）——概率積分函數(shù)。

其中

（二）對垂直墻的擴散垂直墻在x=x0處與含有靜止氣溶膠如果x0=0，即垂直墻位于x=0處，此時，（7-24）圖7-3壁面附近氣溶膠的濃度分布

圖7-4壁面附近氣溶膠的濃度分布

式（7-23）與式（7-24）所表示的濃度分布見圖7-3及圖7-4：如果x0=0，即垂直墻位于x=0處，此時，（7-24）通常比粒子的分布更有興趣的問題是粒子的擴散速度，或在單位時間、單位面積上粒子的沉降量。單位面積上的擴散速度F可以按（7-1）式表示，即（7-25）把式（7-23）代入式（7-25）有那么在t1—t0時間間隔內到達單位面積墻壁上的粒子數(shù)量為：（7-26）（7-27）通常比粒子的分布更有興趣的問題是粒子的擴散速度，或在單位時在0—t時間內粒子沉降的數(shù)量為（7-28）此問題中的壁可以成為“吸收壁”。（三）半無限原始分布時的擴散

在實踐中更經(jīng)常出現(xiàn)的問題，是由原始分布發(fā)生在半無限區(qū)間的情況，此時我們規(guī)定為：當t=0時，C=C0，x<0;C=0,x>0,以上情況可以參看圖（7-5），對寬度微元擴散物質的強度為

那么，在距微元

,,處的點P在t時刻的濃度由式（7-21）知為：在0—t時間內粒子沉降的數(shù)量為（7-28）此問題中的壁可以

圖7-5半無限原始分布

由于原始分布（7-21）引起的擴散方程的解是整個分布區(qū)間的積分，即(7-30)這里

，一般寫為：

（7-31）次函數(shù)可以查誤差函數(shù)表，并且次函數(shù)有下列基本性質；（7-32）圖7-5半無限原始分布由于原始分布（7-2因而（7-33）——誤差函數(shù)的余函數(shù)。這樣該問題的擴散方程的解可以寫為（7-34）式（7-34）所表示的濃度分布的形式見圖（7-6）可以看出，對所有的t>0時刻，在x=0處。該情況的墻壁稱為“滲透壁”。圖7-6濃度-距離曲線

因而（7-33）——誤差函數(shù)的余函數(shù)。這樣該問題的擴散方程（7-35）這種情況下的濃度分布見圖7-7，該分布對x=0是對稱的。區(qū)間里的初始濃度為C0的擴散物質的擴散問題，幾分限用從x-h到x+h來代替（7-30）式中x到∞，可以得到：

用同樣的方法，對于分布在

（7-35）這種情況下的濃度分布見圖7-7，該分布對x=0圖7-7對有范圍的線源的濃度-距離曲線[曲線上的數(shù)值

]

圖7-7對有范圍的線源的濃度-距離曲線[曲線]（四）重力場中的擴散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，如果沒有布朗運動在氣溶膠云中發(fā)生，在沉降過程中，氣溶膠云的頂部將保持一明顯的邊界。然而在布朗擴散的情況下，就不存在明顯的邊界了。錢德萊塞克哈（Chandrasekehar）曾經(jīng)討論了這個問題，作用在粒子上的重力為：此時粒子的沉降速度為：（7-36）亦可查表7-2。（四）重力場中的擴散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，表7-2氣溶膠粒子的特征參數(shù)粒子直徑表中β——粒子遷移率；D——粒子的擴散系數(shù)；τ——張弛時間；——平均熱速度；

——粒子的平均自由程。

表7-2氣溶膠粒子的特征參數(shù)粒子直徑表中β——粒子遷移那么對在垂直方向上的一維情況；可以應用式（7-37）邊界條件：t>0時，n(0,t)=0(7-38)初始條件：x≠h時，n(x,0)=0（7-39）x=h時

此時，方程（7-37）的解為：（7-40）因而粒子在（t,t+dt）之間與水平壁面相撞的概率為：（7-41）那么對在垂直方向上的一維情況；可以應用式（7-37）邊界若把式（7-41）對h從0到∞積分，我們可以得到在時間（t,t+dt）中在一厘米的壁上所沉積的粒子數(shù)：（7-42）當

，則式（7-42）化為

即布朗運動已

不影響對壁的沉降速度，此時它只與粒子的沉降速度

有關。

當

時，式（7-42）化為

在這種情況下沉淀由沒有沉降作用時的擴散和沒有擴散作用時的沉降各占一半貢獻。由此可見，同時有布朗運動和外力作用情況下，計算氣溶膠在壁上的沉降速度時，只取兩種效應簡單的總和會產生嚴重的偏差。以上各點，只有在靜止介質中才是正確的，在實踐中這種情況是很少遇到的，只能認為是理想化的結果。若把式（7-41）對h從0到∞積分，我們可以得到在時間（三

層

流

中

氣

溶

膠

粒

子

層流中氣溶膠粒子的擴散問題在實際中遇到得較少，往往在一些測量方法中遇到的擴散（一）圓管中氣溶膠粒子向筒壁的沉淀：氣溶膠粒子轉移的概率

為：

而位移的絕對平均值為（7-43）因而可以認為在管子進口地方和管壁之間的距離小于

（7-44）的粒子全部沉淀在壁上，若我們假定層流時的速度分布為三

層

流

中

氣

溶

膠

粒

子

層流中氣溶膠粒子的擴（7-45）式中

——平均速度；R——管的直徑；

——某一點到圓心的距離。

這樣在層流

內的平均速度為

，因而在t時間內在這個層中的粒子沿軸向走過的平均距離為（7-46）把式（7-44）與式（7-46）中的t消去，我們得到（7-47）因而在單位時間流過離管口x的橫截面的粒子數(shù)目為：（7-48）其中N0是進入管口剖面的粒子數(shù)目，因為

于是（7-49）（7-45）式中——平均速度；R——管的直徑；——某一其中（7-50）式（7-49）的圖形見圖7-8。圖7-8粒子在細管中的沉降（二）均一速度場中氣溶膠粒子的擴散對于濃度為N0的粒子流，瞬時的從一點源射出，并有一均一的速度v的氣流在x方向流過點源，這一問題常稱瞬間點源問題。在和氣流一起運動的坐標系統(tǒng)中，對位于原點的點源，濃度分布為其中（7-50）式（7-49）的圖形見圖7-8。圖7-（7-51）其中N0時在t=0時刻，源所放出來的粒子數(shù)目。而在靜止的坐標系統(tǒng)中，式（7-51）變?yōu)椋海?-52）同理，對于分布在y坐標軸上的無限長的粒子的線源，我們可以得到：（7-53）其中

表示單位長線源放出的粒子數(shù)目。

在源頭連續(xù)的情況下，空氣中氣溶膠粒子的分布應是恒定的，因而對式（7-9）我們假定，此外我們還假定（7-51）其中N0時在t=0時刻，源所放出來的粒子物質的對流輸送速度比擴散輸送要大，如果氣流速度v是x軸方向，那么

項比

小很多，因而可略去

項，式（7-9）可化為：（7-54）這樣式（7-54）的解與式（7-4）的解是一樣的。即用x代替t，用z代x，用D/v代替D，并乘以，對線源得：

（7-55）而對于定常的點源則得：（7-56）物質的對流輸送速度比擴散輸送要大，如果氣流速度v是x軸方向，四

氣

溶

膠

粒

子

向

圓

柱

體

對于懸浮在氣體中的細小粒子，被截留和慣性碰撞收集的可能性是很小的，因為它們不僅服從繞圓柱體的流線，而且也以不規(guī)則的方式橫斷流線而運動，在氣體分子的撞擊下粒子作隨機運動，粒子的軌跡離開氣體流線而沉降到障礙物的整個表面，越是細小的粒子和較小的流動速度，越表現(xiàn)出這一效果。朗繆爾（Langmuir）第一個研究了由于擴散作用粒子在孤立圓柱體上的沉降。利用方程（5-57），假設在t時間內粒子完全沉降到物體表面的氣溶膠的厚度為xo，則由式（7-44）得：的

擴

散（7-57）四

氣

溶

膠

粒

子

向

圓

柱

體

對于懸浮在氣體中把式（5-57）用于擴散沉降，此時（7-58）為了確定xo，必須求出在x0厚度中的沉降時間t，為此假設擴散發(fā)生在之間，如圖7-9所示。

圖7-9擴散沉降發(fā)生的時間把式（5-57）用于擴散沉降，此時（7-58）為了確如果圓柱體的半徑a遠遠大于厚度xo時，該式可簡化為：把此式代入式（7-57）可得：（7-59）如果圓柱體的半徑a遠遠大于厚度xo時，該式可簡化為：把此式其中

稱為派克萊特數(shù)。粒子擴散系數(shù)D為：

（7-60）其中k——波爾茲曼常熟；T——絕對溫度；C——肯寧漢修正系數(shù)；dp——粒子直徑。也可以應用圖7-10來查粒子擴散系數(shù)D值。圖7-10粒子擴散系數(shù)對于

，式（7-58）可以簡化為：

（7-61）其中稱為派克萊特數(shù)。粒子擴散系數(shù)D為：（7-60）其中耐坦森也推倒一同樣的關系式，當

時為：

（7-62）福爾德蘭德爾托到的關系式為：（7-63）同樣，基于庫瓦帕拉-黑派爾速度場，富克斯和斯太乞金娜托到的公式為：（7-64）這里，C=0.75或C=0.5，這個方程有個優(yōu)點，即不需要進行干擾效果的修正。若假定為勢流，斯太爾曼（Stairmand）托到的關系為：（7-65）耐坦森也推倒一同樣的關系式，當時為：（7-62）福爾德把Peclet數(shù)引進擴散收集效率的關系式中，在孤立圓柱體情況下，對于勢流

，對于粘性流，

，所以用無因次數(shù)

可表征擴散沉降的強度，即擴散沉降效率是

的函數(shù)。

例1.已知

求擴散沉降效率。解：由式（7-64）對于小于

數(shù)情況，斯太乞金娜和桃捷森（Torgeson）得出：

（7-67）把Peclet數(shù)引進擴散收集效率的關系式中，在孤立圓柱如果

此時Re=0.0513，式（7-61）、（7-64）、（7-65）分別為：由圖7-10中查得擴散系數(shù)D，那么上列三式的計算結果見圖7-11?？梢娪嬎憬Y果式（7-61）〈式（7-64）〈式（7-65）。在沒有實驗資料驗證的情況下，在實驗中應用式（7-64）可能較穩(wěn)妥些。7-11擴散收集效率如果五

氣

溶

膠

粒

子

向

球

體由于擴散作用引起的粒子的沉降服從費克第一定律，即的

擴

散（7-68）其中N——是粒子沉降到表面積A上的速度。圖7-12中表示出了厚度為

的濃度邊界。與速度邊界層相似，濃度邊界層的濃度可以表示為：（7-69）圖7-12擴散邊界層與速度邊界層五

氣

溶

膠

粒

子

向

球

體由于擴散作用引起的粒子為了便于分析，假設濃度邊界層的厚度是速度邊界層的一部分，即（7-70）那么式（7-69）可以寫為

（7-71）且在球體表面的濃度梯度為（7-72）應用圖7-13中所表示的球體表面積微元由式（7-72）和（7-68）得：把上式對球體的前半部分進行積分得：（7-73）

圖

7-13向球表面擴散

為了便于分析，假設濃度邊界層的厚度是速度邊界此外，粒子的沉降量還可由下式計算：

由式（6-20）及式（7-71）可把上式化為：（7-74）把表示N的兩個方程（7-73）、（7-74）等同起來并令

，

稱施密特（Schmidt）數(shù)，則由于

比1小的多，上式還可以近似寫為：

（7-75）此外，粒子的沉降量還可由下式計算：由式（6-20）及式（7把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）由于尾跡的影響，球體的后半部分很難進行精確的分析，我們假設后半球收集的粒子數(shù)目與前半球相同，這時，（7-77）粒子流過球體直徑為圓的斷面的總流量為：（7-78）把式（7-77）被式（7-78）除得到收集效率：（7-79）對于標準空氣，施密特數(shù)可以寫為：（7-80）把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）表7-3例2的計算結果

0.10.20.51.05.0C2.911.891.3371.1681.034SCED0.000280.000130.0000560.0000330.00001例2.球滴直徑為0.5mm，以速度10m/s穿過標準狀態(tài)的空氣，計算不同粒徑的擴散收集效率，設

解：

由式（7-79）得：

計算結果見表7-3。除了上述計算擴散收集效率的克勞福德（Crawford）方法之外，約翰斯通和羅伯茲建議采用相似熱傳輸?shù)挠嬎愎剑海?-81）表7-3例2的計算結果0例3.直徑為1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿過含粉塵粒子的標準空氣，設，計算單一效率與綜合效率。

解：

經(jīng)計算

對對而擴散效率為

計算結果見圖7-14。圖7-14液滴的收集效率

例3.直徑為1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿過含粉塵六

煙

塵

在

大

氣

中

的

紊

流從通風口及煙囪中流出的污染物質向大氣中的擴散與很多因素有關：流出物質的物理-化學性質、氣象特征、煙囪的高度和位置、以及煙囪下游的地區(qū)特征，但這些因素不可能在分析方法中全部考慮到。要達到最大程度的擴散，流出物必須由足夠的沖量和浮力，對于流出物中的細小固體粒子，他們的沉降速度較低，可以把氣體擴散的研究成果用于小粒子的擴散。然而對大粒子就不能以相同的方法處理，它們有明顯的沉降速度。擴

散

與

沉

降六

煙

塵

在

大

氣

中

的

紊

流從通風口及煙囪（一）煙塵在大氣中擴散的數(shù)學模型如果風速取為沿x軸方向，且風速u為常量，則擴散方程可以寫為：（7-82）在煙囪的擴散問題中，式（7-82）中右邊第2項遠小于第一項，因而可以略去。此外，擴散過程是穩(wěn)定的，因而，這樣式（7-82）可以簡化為：

（7-83）此二階偏微分方程的一般解為：（7-84）這里,K是任意常數(shù)，其值由邊界條件確定，必須滿足的條件是源的下游任何垂直平面上污染物的遷移量是常數(shù)（穩(wěn)定狀態(tài)），且該常數(shù)必須等于源的發(fā)散量Q，即（一）煙塵在大氣中擴散的數(shù)學模型如果風速取為沿x軸方向（7-85）對y的積分限制應為

到

，然而對z的積分限應根據(jù)源的狀態(tài)而定。（1）在地面上的點源：對在地面水平的點源，z的積分應取從0到

，根據(jù)式（7-84）、式（7-85）為令

，則上式為

，

由標準積分，我們有：（7-85）對y的積分限制應為到因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度為H的點源：式（7-85）中對z的積分限可取為到

，這樣會導致一小的誤差，但在數(shù)學上更容易處理，此時常數(shù)化為：（7-87）（二）正態(tài)分布為了估算在源的下游污染物的濃度，往往遇到一分布函數(shù)，即正態(tài)分布函數(shù)，因而需要對正態(tài)分布函數(shù)進行研究。正態(tài)分布函數(shù)為：因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度為H的點源：（7-88）這里是任一實數(shù)；

稱標準偏差，是大于零的實數(shù)。

式（7-88）的圖形見圖7-15，

決定了f(x)的最大值的位置，且曲線對

是對稱的。當

=0時，曲線對稱與x軸。

標準偏差，決定曲線的寬窄，不論

是多大，曲線下的面積總是1。分布函數(shù)隨

的增大而擴展，在大氣污染擴散中有重要的物理意義。通常擴散方程取雙正態(tài)分布形式，是每一個軸向的單一正態(tài)分布函數(shù)的簡單乘積，因此我們將用這些方程與下面的內容進行比較。（7-88）這里是任一實數(shù)；稱標準偏差，是大于零的實數(shù)圖7-15不同

的正態(tài)分布

、

圖7-15不同的正態(tài)分布、（三）地面水平上點源的擴散把式（7-86）代入式（7-84）中可以得到地面水平面上污染物的濃度：（7-90）在把式（7-89）應用于解決點源的擴散問題，最大濃度發(fā)生在中心線上，相當于式（7-89）中的、

為零，因而式（7-89）變?yōu)椋?/p>

把式（7-90）改寫成與上式相似的形式，為此我們令：；（7-91）把式（7-91）代到式（7-90）中可得到地面水平點源下游的濃度關系式：（三）地面水平上點源的擴散把式（7-86）代入式（7-84）（7-92）在計算中，通常

的單位為m，風速u用m/s表示，如果濃度C用

、

表示。如果y、z都取為零，那么公式（7-92）化為（7-93）這一方程金額已用來計算地面水平點源中心線的濃度。（三）地面水平以上高度H處的點源由式（7-89）知，對一有效高度為H的煙囪的擴散，指數(shù)相

必須加以改變，需要把式（7-92）中的z以（z-H）代之，對于沒有反射的高度為H的點源（見圖7-16）濃度為（7-94）（7-92）在計算中，通常圖7-16高度為H的點源的擴散模型

圖7-17應用假象源來描述在地面的反射圖7-16高度為H的點源的擴散模型圖7-17應用“沒有反射”這一限制是極為重要的。這個方程對計算氣溶膠粒子在x方向下游某一點的濃度（地面水平）是有意義的。但是對于氣體污染物，將不會被地面所吸收，而要從地面水平擴散回大氣里，即地面對氣體污染物不是一個匯。對該情況我們可以假想在-H處有一鏡像源，如圖7-17所示。在A點以后的陰影面積中濃度將增加，此陰影區(qū)中的濃度由兩個正態(tài)分布曲線疊加而定，即把式（7-94）進行疊加，因而一項中包含（z+H）項，另一項包含（z-H）項，結果濃度方程為：（7-95）當z=0時，方程（6-90）變?yōu)椋海?-96）“沒有反射”這一限制是極為重要的。這個方程對計算氣溶該式表示具有反射時的地面水平的濃度。（五）標準誤差的決定以上推導的幾個公式是對下風連續(xù)源有效的，對于瞬時或間歇的點源是無效的。此外，僅僅已知發(fā)散強度Q及有效高度H還是不夠的，還必須知道

值才能進行計算。

吐爾耐爾（Turner）根據(jù)大量觀測資料給出了

和

對距離x的關系圖，如圖7-18、7-19所示。可以根據(jù)不同大氣穩(wěn)定性等級及下游的位置x查得水平標準誤差及垂直標準誤差

，大氣穩(wěn)定性等級可以從表7-4中查得。

（六）有效煙囪高度的計算有效煙囪高度H是煙囪的實際高度h加上煙的上升高度

的方法，卡森（Carson）和莫塞斯（Moses）總結了711個煙的升高的觀測值得出：

該式表示具有反射時的地面水平的濃度。（五）標準誤差的決定表7-4大氣穩(wěn)定性等級表

10米高度處表面風速m/s白天太陽的輻射強度夜間氣象條件強中等弱云層覆蓋晴朗<22-33-55-6>6AA-BBCCA-BBB-CC-DDBCCDDEEDDDFFEDD（7-97）其中

——煙的升高，m；

——煙在煙囪出口的速度，m/s；D——煙囪直徑，m；u——煙囪出口處的風速，m/s；——熱擴散速度，kJ/s。

表7-4大氣穩(wěn)定性等級表10米高度處表面風速m/s白圖7-18標準誤差

與距離x間的函數(shù)關系

圖7-19標準誤差

與距離x間的函數(shù)關系圖7-18標準誤差與距離x間的函數(shù)關系圖7-19這里m——煙囪內的質量流量，kg/s

；——煙氣的定壓比熱；

——分別為煙囪出口溫度及煙囪出口處的大氣溫度，

；P——大氣壓力。

郝蘭德（Holland）提出：（7-98）其中P——大氣壓力，單位是毫巴，其他符號同前。此外，莫塞斯和卡森還對不同大氣穩(wěn)定性提出了下列三個公式：（不穩(wěn)定）

（7-99）（中等穩(wěn)定）

（7-100）（穩(wěn)定）

（7-101）這里m——煙囪內的質量流量，kg/s；——煙氣的定壓比熱以上n個計算煙囪的升高的公式都是可取的。（七）煙囪高度的決定在煙囪的下風側一般都存在其他企業(yè)和居民區(qū)，在那里濃度不得超過一定值C。風速u從氣象資料中可以確定，主要問題是求出所需的煙囪高度H。在中等穩(wěn)定氣象條件下，比例

幾乎與距離x無關。如果此比例取為常數(shù)，且讓y=0，那么由式（7-96）可知濃度是的單一函數(shù)。把式（7-96）對x求導數(shù)并令其等于零，可以得到沿中心線的最大濃度及其位置。即：（7-102）由式（7-102），

值可以由煙囪高度H加以確定，而從圖（7-19）中可以讀出x值，它是最大濃度所在位置，如果把條件代入式（7-96）且令y=0，那么在點源下游中心線地面水平的最大濃度為:以上n個計算煙囪的升高的公式都是可取的。（七）煙囪高度的決定（無反射時）

（7-103）（有反射時）

（7-104）改寫以上兩式得：（無反射時）

（有反射時）

若

已知，可從式（7-103）和（7-104）決定

值。再由圖7-20查出相應的x值，再由x從圖7-19種查出

值，把

代入式（7-102）即可得出在設計距離處不超過濃度C的煙囪高度H，這個高度不是煙囪的實際高度，而是有效高度，若把H作為實際高度，則其中包含了安全因素。把此高度代入式（7-103）、（7-104）可得：（無反射時）（7-103）（有反射時）（7-104）改（無反射）

（有反射）

說明煙囪有效高度增加一倍，下游中心線的地面水平最大濃度減少4倍，因而控制地面水平最大濃度的有效辦法是增加煙囪高度。

圖7-20標準誤差乘積

與x的關系

（無反射）（有反射）說明煙囪有效高度增加一倍，下游（八）線源在某些情況下，如位于河流或筆直延伸的公路旁的一組工業(yè)，以及繁忙的公路，均可作為線源來處理，可模擬成一連續(xù)發(fā)散的無限線源。當風流方向垂直發(fā)散線時，下有的濃度可以寫為：（7-105）這里q為單位長線源的強度，一般單位為g/m.s。若線源的程度較短，我們必須考慮兩邊的邊緣影響，線源兩端的位置取為，這里

，那么沿x軸地面水平的濃度以下式來計算：

（7-106）這里，該積分值可查表。

（八）線源在某些情況下，如位于河流或筆直延伸的公路旁的一（九）粒子在地面上的沉降氣體污染物不受重力影響，而固體粒子的運動受重力強烈影響，重力對粒子擴散的影響是使中心顯示向下傾斜。由于重力影響，高度H在式（7-94）中必須用離子的沉降距離加以修正，粒子離開煙囪后的自由沉降距離是其中

是粒子最終沉降速度，t是污染物流到下游x距離處的時間，因而

，這時粒子濃度方程為：（7-107）若計算沿中心線地面水平的濃度，由y=0,z=0，我們得：（7-108）這里是粒子的發(fā)散速度，

可以g/s表示，

用m表示，u用m/s表示。（九）粒子在地面上的沉降氣體污染物不受重力影響，而固若以

表示單位時間單位面積的質量沉降，則C與

之間的關系如下：

所以粒子沿中心線在地面水平的沉降為：（7-109）例3.密度為1.5g/cm3的粉塵，從有效高度H=120m的煙囪中發(fā)散，粒子的發(fā)散流量對

的粒子為4g/s，風速是3m/s，且大氣穩(wěn)定性等級為D級。求出：①對距離為200—5000m的下游的沉降量，②在何處發(fā)生最大沉降量。解：①對

的粒子經(jīng)計算

，由式（7-109）得：

若以表示單位時間單位面積的質量沉降，則C與之間的關系如下令

，

按上式可計算出

值如表7-5所示。

表7-5不同位置的沉降量②從表7-5中可以看出最大沉降量發(fā)生在離煙囪2000m處。

x(m)AB2005001000150020003000400050001840751101602102903508.519314055708410091.716.14.772.180.8430.2260.0370令，按上式可計算出值如表7-5所示。表7-5不同第七章

氣溶膠粒子的擴散與沉降第七章

氣溶膠粒子的擴散與沉降67

1872年植物學家布朗（RobertBrown）首先觀察到水中花粉的連續(xù)隨機運動，后來人們稱之為布朗運動。大約50年后才有人觀察到煙塵粒子在空氣中的類似運動。1900年愛因斯坦導出了布朗運動的關系式，后來被實驗所驗證。氣溶膠粒子的擴散是由于氣體分子隨機運動，碰撞粒子并使其內系統(tǒng)的一部分輸?shù)搅硪徊糠莸倪^程。在這一過程中粒子沒有特定的運動方向。隨機運動的結果使得粒子總是由高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域擴散。

在任何氣溶膠系統(tǒng)中都存在擴散現(xiàn)象，而對粒徑小于幾個

的微細粒子，擴散現(xiàn)象尤為明顯，而且往往伴隨有粒子的沉降、粒子的收集和粒子的凝并發(fā)生。無論采取何種收集手段，氣溶膠粒子的擴散對其收集性能有著重要的影響。為了除塵凈化目的，在本章中我們將著重介紹有關擴散的基本理論及其應用。1872年植物學家布朗（RobertBrown）首一

擴

散

的

基

本

定

律

在各向同性的物質中，擴散的數(shù)學模型是基于這樣一個假設：即穿過單位截面積的擴散物質的遷移速度與該面的濃度梯度成比例，即（7-1）式（7-1）稱為費克第一擴散定律。這里F——在單位時間內通過單位面積的粒子的數(shù)量；C——擴散物質的濃度；D——擴散系數(shù)。在某些情況下，D為常數(shù)。而在另一些情況下，D可能是變量。其單位為。式（7-1）中的負號說明物質向濃度增加的相反方向擴散。在各向同性介質中，物質擴散的基本微分方程可以從式（7-1）中推導出來。一

擴

散

的

基

本

定

律在各向同性的物質中考慮一體積微元，令其各邊平行相應的坐標軸，而長邊分別為2dx，2dy,2dz。微元體的中心在P（x,y,z）點，這里擴散物質的濃度為C，ABCD和

二面垂直x軸，如圖7-1所示。那么穿過平面ABCD進入微元體的擴散物質為：同理，穿過

面流出微元體的擴散物質為：

那么對于這兩個面在微元體中擴散物質的增量為：對于其它相應的面，我們分別得到：

和

考慮一體積微元，令其各邊平行相應的坐標軸，而長邊分別為而微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而我們可以得出（7-2）如果擴散系數(shù)為常數(shù)，F(xiàn)x,Fy,Fz由式（7-1）決定，則式（7-2）變?yōu)椋海?-3）對于一維情況，式（7-3）變?yōu)椋?-4）式（7-3）或式（7-4）通常稱為費克擴散第二定律。而微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而我們可以得出（7-2對于柱坐標，式（7-3）可改寫為：

（7-5）對于球面坐標，式（7-3）可改寫為：

（7-6）所有這些方程都可以寫成向量形式：（7-7）對于一維情況，當x方向上有速度為的介質的運動時，則在微元體中對應兩面擴散物質的增加率為：對于柱坐標，式（7-3）可改寫為：（7-5）對于球面坐標同理，在微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而，考慮到式（7-1）我們可以得到此時的擴散方程為：對于三維情況：

（7-8）（7-9）擴散方程也可以用其他概念來概括，若以

表示粒子在t時刻出現(xiàn)在區(qū)間[x,x+dx]的概率，以C0表示系統(tǒng)中粒子的個數(shù)濃度，那么在t時刻落在區(qū)間[x,x+dx]內的粒子的個數(shù)濃度為這樣，我們可以把擴散方程用概率寫成為（7-10）同理，在微元體中擴散物質的總量的變化率為：因而，考慮到式（7對于一維情況：（7-11）當沒有介質的運動時，vx=0，則（7-12）擴散系數(shù)的確定無疑是非常重要的。1905年愛因斯坦曾指出：氣溶膠粒子的擴散等價于一巨型氣體分子；氣溶膠粒子布朗運動的動能等同于氣體分子；作用于粒子上的擴散力是作用于粒子的滲透壓力。對于單位體積中有n個懸浮粒子的氣溶膠，其滲透壓力P0由范德霍夫（Van’tHoff）定律得：式中k是波爾茲曼常數(shù)；T是絕對溫度。對于一維情況：（7-11）當沒有介質的運動時，vx=0，則圖7-1粒子的擴散模型

由圖7-1，因為粒子的濃度由左向右是逐漸降低，氣溶膠粒子從左向右擴散并穿過平面E、E’、E，E'平面間微元距離dx,相應的粒子濃度變化為dn，由式（7-13）知，驅使粒子由左向右擴散力Fdiff為：（7-14）進行擴散運動的粒子還受斯托克斯阻力的作用，當粒子擴散是穩(wěn)定的，則式中C——肯寧漢修正系數(shù)，所以

（7-15）圖7-1粒子的擴散模型由圖7-1，因為粒子的濃度由左向式（7-15）中左面的乘積nv是單位時間內通過單位面積的粒子的數(shù)量，即式（7-1）中的F，所以（7-16）式（7-16）是氣溶膠粒子擴散系數(shù)的斯托克斯-愛因斯坦公式?；蛘邔憺椋海?-17）式中B——粒子的遷移率。擴散系數(shù)D隨溫度的增高而增大,與粒徑大小成反比，其大小可表征擴散運動的強弱。粒徑對擴散系數(shù)的影響見表7-1。

式（7-15）中左面的乘積nv是單位時間內通過單位面積表7-1單位密度球體的擴散系數(shù)（20℃）擴散系數(shù)粒子直徑（μm）遷移率（cm/s.N）

此外，由式（7-16）知，物質的擴散系數(shù)與其密度無關系，因此，在考慮氣溶膠粒子的擴散問題時，可以應用其幾何直徑。

表7-1單位密度球體的擴散系數(shù)（20℃）擴散系數(shù)粒子直徑

二

在

靜

止

介

質

中

氣

溶

膠

粒

子

的

擴

散

沉

降關于布朗運動引起的氣溶膠粒子在“壁”上的沉降有很大的實際意義。這里所說的“壁”是指氣溶膠粒子所接觸的固體及液體表面。我們可以認為：只要氣溶膠粒子與“壁”接觸，粒子就粘在其上。這樣，確定粒子在“壁”上沉降的速度，可以歸結為計算一定分布狀態(tài)的粒子到達一直邊界的概率。

在大多數(shù)情況下，以粒子的濃度表示更方便一些。這時和壁相碰撞粒子的濃度等于零。我們可以用擴散理論來解決很多實際問題。（一）平面源在x=0處存在一平面源的擴散物質，對擴散系數(shù)D為常數(shù)的一維情況，可以應用式（7-4）來描述，即

二

在

靜

止

介

質

中

氣

溶

膠

粒

子

的

擴該方程的解可以很容易看出為：該式對x=0是對稱的，當x趨近于+∞或-∞時，對t>0,式（7-18）趨于零，除x=0以外，對t=0,它處處為零。在單位橫截面為無限長圓柱體中擴散物質的總量M為：（7-18）（7-19）如果濃度分布是由式（7-18）表示，令那么

（7-20）因而式（7-20）可以寫為（7-21）該方程的解可以很容易看出為：該式對x=0是對稱的，當x式（7-21）描述了在t=0時刻在平面x=0上的物質M由于擴散而引起的擴散。圖7-2上所表示的是三個連續(xù)時間的典型分布。以上討論的問題，擴散物質的一半沿x的負方向移動。然而如果我們有一半無限圓柱體伸展于x>0的區(qū)間里并且在x=0處有一不滲透的邊界，所有的擴散發(fā)生在x的正方向，這時濃度分布為（7-22）式（7-21）描述了在t=0時刻在平面x=0上的物質

圖7-2平面源濃度-距離曲線（曲線上的數(shù)字為Dt）

圖7-2平面源濃度-距離曲線（曲線上的數(shù)字為Dt）（二）對垂直墻的擴散垂直墻在x=x0處與含有靜止氣溶膠的很大空間相聯(lián)，此處初始濃度n0是均勻的，在這里我們可以應用一維擴散方程（7-4）式，且有：

初始條件x>x0時，n(x,0)=n0邊界條件t>0時，n(x0,t)=0,這一問題的解是：（7-23）——概率積分函數(shù)。

其中

（二）對垂直墻的擴散垂直墻在x=x0處與含有靜止氣溶膠如果x0=0，即垂直墻位于x=0處，此時，（7-24）圖7-3壁面附近氣溶膠的濃度分布

圖7-4壁面附近氣溶膠的濃度分布

式（7-23）與式（7-24）所表示的濃度分布見圖7-3及圖7-4：如果x0=0，即垂直墻位于x=0處，此時，（7-24）通常比粒子的分布更有興趣的問題是粒子的擴散速度，或在單位時間、單位面積上粒子的沉降量。單位面積上的擴散速度F可以按（7-1）式表示，即（7-25）把式（7-23）代入式（7-25）有那么在t1—t0時間間隔內到達單位面積墻壁上的粒子數(shù)量為：（7-26）（7-27）通常比粒子的分布更有興趣的問題是粒子的擴散速度，或在單位時在0—t時間內粒子沉降的數(shù)量為（7-28）此問題中的壁可以成為“吸收壁”。（三）半無限原始分布時的擴散

在實踐中更經(jīng)常出現(xiàn)的問題，是由原始分布發(fā)生在半無限區(qū)間的情況，此時我們規(guī)定為：當t=0時，C=C0，x<0;C=0,x>0,以上情況可以參看圖（7-5），對寬度微元擴散物質的強度為

那么，在距微元

,,處的點P在t時刻的濃度由式（7-21）知為：在0—t時間內粒子沉降的數(shù)量為（7-28）此問題中的壁可以

圖7-5半無限原始分布

由于原始分布（7-21）引起的擴散方程的解是整個分布區(qū)間的積分，即(7-30)這里

，一般寫為：

（7-31）次函數(shù)可以查誤差函數(shù)表，并且次函數(shù)有下列基本性質；（7-32）圖7-5半無限原始分布由于原始分布（7-2因而（7-33）——誤差函數(shù)的余函數(shù)。這樣該問題的擴散方程的解可以寫為（7-34）式（7-34）所表示的濃度分布的形式見圖（7-6）可以看出，對所有的t>0時刻，在x=0處。該情況的墻壁稱為“滲透壁”。圖7-6濃度-距離曲線

因而（7-33）——誤差函數(shù)的余函數(shù)。這樣該問題的擴散方程（7-35）這種情況下的濃度分布見圖7-7，該分布對x=0是對稱的。區(qū)間里的初始濃度為C0的擴散物質的擴散問題，幾分限用從x-h到x+h來代替（7-30）式中x到∞，可以得到：

用同樣的方法，對于分布在

（7-35）這種情況下的濃度分布見圖7-7，該分布對x=0圖7-7對有范圍的線源的濃度-距離曲線[曲線上的數(shù)值

]

圖7-7對有范圍的線源的濃度-距離曲線[曲線]（四）重力場中的擴散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，如果沒有布朗運動在氣溶膠云中發(fā)生，在沉降過程中，氣溶膠云的頂部將保持一明顯的邊界。然而在布朗擴散的情況下，就不存在明顯的邊界了。錢德萊塞克哈（Chandrasekehar）曾經(jīng)討論了這個問題，作用在粒子上的重力為：此時粒子的沉降速度為：（7-36）亦可查表7-2。（四）重力場中的擴散粒子在重力作用下向水平表面的沉降，表7-2氣溶膠粒子的特征參數(shù)粒子直徑表中β——粒子遷移率；D——粒子的擴散系數(shù)；τ——張弛時間；——平均熱速度；

——粒子的平均自由程。

表7-2氣溶膠粒子的特征參數(shù)粒子直徑表中β——粒子遷移那么對在垂直方向上的一維情況；可以應用式（7-37）邊界條件：t>0時，n(0,t)=0(7-38)初始條件：x≠h時，n(x,0)=0（7-39）x=h時

此時，方程（7-37）的解為：（7-40）因而粒子在（t,t+dt）之間與水平壁面相撞的概率為：（7-41）那么對在垂直方向上的一維情況；可以應用式（7-37）邊界若把式（7-41）對h從0到∞積分，我們可以得到在時間（t,t+dt）中在一厘米的壁上所沉積的粒子數(shù)：（7-42）當

，則式（7-42）化為

即布朗運動已

不影響對壁的沉降速度，此時它只與粒子的沉降速度

有關。

當

時，式（7-42）化為

在這種情況下沉淀由沒有沉降作用時的擴散和沒有擴散作用時的沉降各占一半貢獻。由此可見，同時有布朗運動和外力作用情況下，計算氣溶膠在壁上的沉降速度時，只取兩種效應簡單的總和會產生嚴重的偏差。以上各點，只有在靜止介質中才是正確的，在實踐中這種情況是很少遇到的，只能認為是理想化的結果。若把式（7-41）對h從0到∞積分，我們可以得到在時間（三

層

流

中

氣

溶

膠

粒

子

層流中氣溶膠粒子的擴散問題在實際中遇到得較少，往往在一些測量方法中遇到的擴散（一）圓管中氣溶膠粒子向筒壁的沉淀：氣溶膠粒子轉移的概率

為：

而位移的絕對平均值為（7-43）因而可以認為在管子進口地方和管壁之間的距離小于

（7-44）的粒子全部沉淀在壁上，若我們假定層流時的速度分布為三

層

流

中

氣

溶

膠

粒

子

層流中氣溶膠粒子的擴（7-45）式中

——平均速度；R——管的直徑；

——某一點到圓心的距離。

這樣在層流

內的平均速度為

，因而在t時間內在這個層中的粒子沿軸向走過的平均距離為（7-46）把式（7-44）與式（7-46）中的t消去，我們得到（7-47）因而在單位時間流過離管口x的橫截面的粒子數(shù)目為：（7-48）其中N0是進入管口剖面的粒子數(shù)目，因為

于是（7-49）（7-45）式中——平均速度；R——管的直徑；——某一其中（7-50）式（7-49）的圖形見圖7-8。圖7-8粒子在細管中的沉降（二）均一速度場中氣溶膠粒子的擴散對于濃度為N0的粒子流，瞬時的從一點源射出，并有一均一的速度v的氣流在x方向流過點源，這一問題常稱瞬間點源問題。在和氣流一起運動的坐標系統(tǒng)中，對位于原點的點源，濃度分布為其中（7-50）式（7-49）的圖形見圖7-8。圖7-（7-51）其中N0時在t=0時刻，源所放出來的粒子數(shù)目。而在靜止的坐標系統(tǒng)中，式（7-51）變?yōu)椋海?-52）同理，對于分布在y坐標軸上的無限長的粒子的線源，我們可以得到：（7-53）其中

表示單位長線源放出的粒子數(shù)目。

在源頭連續(xù)的情況下，空氣中氣溶膠粒子的分布應是恒定的，因而對式（7-9）我們假定，此外我們還假定（7-51）其中N0時在t=0時刻，源所放出來的粒子物質的對流輸送速度比擴散輸送要大，如果氣流速度v是x軸方向，那么

項比

小很多，因而可略去

項，式（7-9）可化為：（7-54）這樣式（7-54）的解與式（7-4）的解是一樣的。即用x代替t，用z代x，用D/v代替D，并乘以，對線源得：

（7-55）而對于定常的點源則得：（7-56）物質的對流輸送速度比擴散輸送要大，如果氣流速度v是x軸方向，四

氣

溶

膠

粒

子

向

圓

柱

體

對于懸浮在氣體中的細小粒子，被截留和慣性碰撞收集的可能性是很小的，因為它們不僅服從繞圓柱體的流線，而且也以不規(guī)則的方式橫斷流線而運動，在氣體分子的撞擊下粒子作隨機運動，粒子的軌跡離開氣體流線而沉降到障礙物的整個表面，越是細小的粒子和較小的流動速度，越表現(xiàn)出這一效果。朗繆爾（Langmuir）第一個研究了由于擴散作用粒子在孤立圓柱體上的沉降。利用方程（5-57），假設在t時間內粒子完全沉降到物體表面的氣溶膠的厚度為xo，則由式（7-44）得：的

擴

散（7-57）四

氣

溶

膠

粒

子

向

圓

柱

體

對于懸浮在氣體中把式（5-57）用于擴散沉降，此時（7-58）為了確定xo，必須求出在x0厚度中的沉降時間t，為此假設擴散發(fā)生在之間，如圖7-9所示。

圖7-9擴散沉降發(fā)生的時間把式（5-57）用于擴散沉降，此時（7-58）為了確如果圓柱體的半徑a遠遠大于厚度xo時，該式可簡化為：把此式代入式（7-57）可得：（7-59）如果圓柱體的半徑a遠遠大于厚度xo時，該式可簡化為：把此式其中

稱為派克萊特數(shù)。粒子擴散系數(shù)D為：

（7-60）其中k——波爾茲曼常熟；T——絕對溫度；C——肯寧漢修正系數(shù)；dp——粒子直徑。也可以應用圖7-10來查粒子擴散系數(shù)D值。圖7-10粒子擴散系數(shù)對于

，式（7-58）可以簡化為：

（7-61）其中稱為派克萊特數(shù)。粒子擴散系數(shù)D為：（7-60）其中耐坦森也推倒一同樣的關系式，當

時為：

（7-62）福爾德蘭德爾托到的關系式為：（7-63）同樣，基于庫瓦帕拉-黑派爾速度場，富克斯和斯太乞金娜托到的公式為：（7-64）這里，C=0.75或C=0.5，這個方程有個優(yōu)點，即不需要進行干擾效果的修正。若假定為勢流，斯太爾曼（Stairmand）托到的關系為：（7-65）耐坦森也推倒一同樣的關系式，當時為：（7-62）福爾德把Peclet數(shù)引進擴散收集效率的關系式中，在孤立圓柱體情況下，對于勢流

，對于粘性流，

，所以用無因次數(shù)

可表征擴散沉降的強度，即擴散沉降效率是

的函數(shù)。

例1.已知

求擴散沉降效率。解：由式（7-64）對于小于

數(shù)情況，斯太乞金娜和桃捷森（Torgeson）得出：

（7-67）把Peclet數(shù)引進擴散收集效率的關系式中，在孤立圓柱如果

此時Re=0.0513，式（7-61）、（7-64）、（7-65）分別為：由圖7-10中查得擴散系數(shù)D，那么上列三式的計算結果見圖7-11?？梢娪嬎憬Y果式（7-61）〈式（7-64）〈式（7-65）。在沒有實驗資料驗證的情況下，在實驗中應用式（7-64）可能較穩(wěn)妥些。7-11擴散收集效率如果五

氣

溶

膠

粒

子

向

球

體由于擴散作用引起的粒子的沉降服從費克第一定律，即的

擴

散（7-68）其中N——是粒子沉降到表面積A上的速度。圖7-12中表示出了厚度為

的濃度邊界。與速度邊界層相似，濃度邊界層的濃度可以表示為：（7-69）圖7-12擴散邊界層與速度邊界層五

氣

溶

膠

粒

子

向

球

體由于擴散作用引起的粒子為了便于分析，假設濃度邊界層的厚度是速度邊界層的一部分，即（7-70）那么式（7-69）可以寫為

（7-71）且在球體表面的濃度梯度為（7-72）應用圖7-13中所表示的球體表面積微元由式（7-72）和（7-68）得：把上式對球體的前半部分進行積分得：（7-73）

圖

7-13向球表面擴散

為了便于分析，假設濃度邊界層的厚度是速度邊界此外，粒子的沉降量還可由下式計算：

由式（6-20）及式（7-71）可把上式化為：（7-74）把表示N的兩個方程（7-73）、（7-74）等同起來并令

，

稱施密特（Schmidt）數(shù)，則由于

比1小的多，上式還可以近似寫為：

（7-75）此外，粒子的沉降量還可由下式計算：由式（6-20）及式（7把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）由于尾跡的影響，球體的后半部分很難進行精確的分析，我們假設后半球收集的粒子數(shù)目與前半球相同，這時，（7-77）粒子流過球體直徑為圓的斷面的總流量為：（7-78）把式（7-77）被式（7-78）除得到收集效率：（7-79）對于標準空氣，施密特數(shù)可以寫為：（7-80）把式（7-71）代入式（7-73）（7-76）表7-3例2的計算結果

0.10.20.51.05.0C2.911.891.3371.1681.034SCED0.000280.000130.0000560.0000330.00001例2.球滴直徑為0.5mm，以速度10m/s穿過標準狀態(tài)的空氣，計算不同粒徑的擴散收集效率，設

解：

由式（7-79）得：

計算結果見表7-3。除了上述計算擴散收集效率的克勞福德（Crawford）方法之外，約翰斯通和羅伯茲建議采用相似熱傳輸?shù)挠嬎愎剑海?-81）表7-3例2的計算結果0例3.直徑為1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿過含粉塵粒子的標準空氣，設，計算單一效率與綜合效率。

解：

經(jīng)計算

對對而擴散效率為

計算結果見圖7-14。圖7-14液滴的收集效率

例3.直徑為1.0mm的液滴，以12m/s的速度穿過含粉塵六

煙

塵

在

大

氣

中

的

紊

流從通風口及煙囪中流出的污染物質向大氣中的擴散與很多因素有關：流出物質的物理-化學性質、氣象特征、煙囪的高度和位置、以及煙囪下游的地區(qū)特征，但這些因素不可能在分析方法中全部考慮到。要達到最大程度的擴散，流出物必須由足夠的沖量和浮力，對于流出物中的細小固體粒子，他們的沉降速度較低，可以把氣體擴散的研究成果用于小粒子的擴散。然而對大粒子就不能以相同的方法處理，它們有明顯的沉降速度。擴

散

與

沉

降六

煙

塵

在

大

氣

中

的

紊

流從通風口及煙囪（一）煙塵在大氣中擴散的數(shù)學模型如果風速取為沿x軸方向，且風速u為常量，則擴散方程可以寫為：（7-82）在煙囪的擴散問題中，式（7-82）中右邊第2項遠小于第一項，因而可以略去。此外，擴散過程是穩(wěn)定的，因而，這樣式（7-82）可以簡化為：

（7-83）此二階偏微分方程的一般解為：（7-84）這里,K是任意常數(shù)，其值由邊界條件確定，必須滿足的條件是源的下游任何垂直平面上污染物的遷移量是常數(shù)（穩(wěn)定狀態(tài)），且該常數(shù)必須等于源的發(fā)散量Q，即（一）煙塵在大氣中擴散的數(shù)學模型如果風速取為沿x軸方向（7-85）對y的積分限制應為

到

，然而對z的積分限應根據(jù)源的狀態(tài)而定。（1）在地面上的點源：對在地面水平的點源，z的積分應取從0到

，根據(jù)式（7-84）、式（7-85）為令

，則上式為

，

由標準積分，我們有：（7-85）對y的積分限制應為到因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度為H的點源：式（7-85）中對z的積分限可取為到

，這樣會導致一小的誤差，但在數(shù)學上更容易處理，此時常數(shù)化為：（7-87）（二）正態(tài)分布為了估算在源的下游污染物的濃度，往往遇到一分布函數(shù)，即正態(tài)分布函數(shù)，因而需要對正態(tài)分布函數(shù)進行研究。正態(tài)分布函數(shù)為：因而或者（7-86）（2）在地面水平以上高度為H的點源：（7-88）這里是任一實數(shù)；

稱標準偏差，是大于零的實數(shù)。

式（7-88）的圖形見圖7-15，

決定了f(x)的最大值的位置，且曲線對

是對稱的。當

=0時，曲線對稱與x軸。

標準偏差，決定曲線的寬窄，不論

是多大，曲線下的面積總是1。分布函數(shù)隨

的增大而擴展，在大氣污染擴散中有重要的物理意義。通常擴散方程取雙正態(tài)分布形式，是每一個軸向的單一正態(tài)分布函數(shù)的簡單乘積，因此我們將用這些方程與下面的內容進行比較。（7-88）這里是任一實數(shù)；稱標準偏差，是大于零的實數(shù)圖7-15不同

的正態(tài)分布

、

圖7-15不同的正態(tài)分布、（三）地面水平上點源的擴散把式（7-86）代入式（7-84）中可以得到地面水平面上污染物的濃度：（7-90）在把式（7-89）應用于解決點源的擴散問題，最大濃度發(fā)生在中心線上，相當于式（7-89）中的、

為零，因而式（7-89）變?yōu)椋?/p>

把式（7-90）改寫成與上式相似的形式，為此我們令：；（7-91）把式（7-91）代到式（7-90）中可得到地面水平點源下游的濃度關系式：（三）地面水平上點源的擴散把式（7-86）代入式（7-84）（7-92）在計算中，通常

的單位為m，風速u用m/s表示，如果濃度C用

、

表示。如果y、z都取為零，那么公式（7-92）化為（7-93）這一方程金額已用來計算地面水平點源中心線的濃度。（三）地面水平以上高度H處的點源由式（7-89）知，對一有效高度為H的煙囪的擴散，指數(shù)相

必須加以改變，需要把式（7-92）中的z以（z-H）代之，對于沒有反射的高度為H的點源（見圖7-16）濃度為（7-94）（7-92）在計算中，通常圖7-16高度為H的點源的擴散模型

圖7-17應用假象源來描述在地面的反射圖7-16高度為H的點源的擴散模型圖7-17應用“沒有反射”這一限制是極為重要的。這個方程對計算氣溶膠粒子在x方向下游某一點的濃度（地面水平）是有意義的。但是對于氣體污染物，將不會被地面所吸收，而要從地面水平擴散回大氣里，即地面對氣體污染物不是一個匯。對該情況我們可以假想在-H處有一鏡像源，如圖7-17所示。在A點以后的陰影面積中濃度將增加，此陰影區(qū)中的濃度由兩個正態(tài)分布曲線疊加而定，即把式（7-94）進行疊加，因而一項中包含（z+H）項，另一項包含（z-H）項，結果濃度方程為：（7-95）當z=0時，方程（6-90）變?yōu)椋海?-96）“沒有反射”這一限制是極為重要的。這個方程對計算氣溶該式表示具有反射時的地面水平的濃度。（五）標準誤差的決定以上推導的幾個公式是對下風連續(xù)源有效的，對于瞬時或間歇的點源是無效的。此外，僅僅已知發(fā)散強度Q及有效高度H還是不夠的，還必須知道

值才能進行計算。

吐爾耐爾（Turner）根據(jù)大量觀測資料給