2023學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修同步導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)方案

導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第三章章末復(fù)習(xí)方案章末·核心歸納章末·考法整合章末·核心歸納章末·考法整合考法一利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義研究曲線的切線利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程的關(guān)鍵是搞清所給的點是不是切點，常見類型有兩種：一是求“在某點處的切線方程”，此點一定為切點，方法是先求導(dǎo)，再求斜率k＝f′(x0)，可得切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型的題目中的點不一定是切點，方法是設(shè)切點為(x1，y1)，則切線方程為y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切線過點P(x0，y0)，得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)

①，又y1＝f(x1)

②，由①②求出x1，y1的值，即可求出過點P(x0，y0)的切線方程．y＝x＋1考法二函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，這是導(dǎo)數(shù)的幾何意義在研究曲線變化規(guī)律時的一個應(yīng)用，它充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．這部分內(nèi)容要注意的是f(x)為增函數(shù)?f′(x)≥0，且f′(x)＝0的根有有限個；f(x)為減函數(shù)?f′(x)≤0，且f′(x)＝0的根有有限個．【真題2】(2017·全國卷Ⅱ改編)設(shè)函數(shù)f(x)＝(1－x2)ex，討論f(x)的單調(diào)性．考法三利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值或最值導(dǎo)數(shù)是求極值和最值的重要工具．函數(shù)的極值是一個局部性的概念，在定義域上，用方程f′(x)＝0的根和不可導(dǎo)點的x的值依次將函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間，并列成表格，結(jié)合在每個區(qū)間上的單調(diào)性求極值；對于函數(shù)的最值問題，求在[a，b]上連續(xù)且在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的最值，可將過程簡化，即不用判斷極值是極大值還是極小值，直接與區(qū)間端點函數(shù)值比較即可．考法四導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)解決生活中優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學(xué)模型，寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，根據(jù)實際意義確定定義域；(2)求函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)，解方程f′(x)＝0得出定義域內(nèi)的實根，確定極值點；(3)比較函數(shù)在區(qū)間端點和極值點處的函數(shù)值大小，獲得所求的最大(小)值；(4)還原到實際問題中作答．【真題4】(2016·江蘇卷)現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當(dāng)PO1為多少時，倉庫的容積最大？考法五利用導(dǎo)數(shù)討論方程的根這類問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的極(最)值的應(yīng)用，問題的難點在于如何把參數(shù)和所求得極(最)值形成聯(lián)系，破解的方法是根據(jù)題目的要求，畫出函數(shù)的大致圖象，標(biāo)明函數(shù)極(最)值位置，通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．【真題5】(2016·北京卷)設(shè)函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.(1)求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；(2)設(shè)a＝b＝4，若函數(shù)f(x)有三個不同零點，求c的取值范圍；(3)求證：a2－3b>0是f(x)有三個不同零點的必要而不充分條件．

解析

(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b.因為f(0)＝c，f′(0)＝b，故曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝bx＋c.考法六利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)的方法的解題技巧：(1)樹立服務(wù)意識：所謂“服務(wù)意識”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)(一般第一問先讓解出來)，如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問的證明不等式．(2)強化變形技巧：所謂“強化變形技巧”是指對于給出的不等式直接證明時無法下手，可考慮對不等式進行必要的等價變形后，再去證明．例如采用兩邊取對數(shù)(指數(shù))，移項、通分等．要注意變形的方向；因為要利用函