套利、無(wú)套利原理和公司理財(cái)學(xué)的發(fā)展

《理財(cái)者》2004年六期套利、無(wú)套利原理和公司理財(cái)學(xué)的發(fā)展魏峰【Abstract】Noarbitrageprincipleisabasicresearchmethodofmoderncorporatefinance.Itputcorporatefinancemakegreatadvance.ThedevelopmentofMMTheory,OptionPricingTheory(OPT),ArbitragePricingTheory(APT)ect.wasallbasedonnoarbitrageprinciple.Thisarticlegivessomeintroductiontonoarbitrageprincipleanditsapplicationincorporatefinance.【KeyWords】ArbitrageNoarbitrageprincipleCorporatefinance一、無(wú)套利原理概述1、套利簡(jiǎn)單的講套利是指一個(gè)從市場(chǎng)上獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利潤(rùn)的機(jī)會(huì)。我們可以考慮一個(gè)公司同時(shí)在兩個(gè)股票交易市場(chǎng)交易。如果交易市場(chǎng)1中該公司股票的報(bào)價(jià)高于交易市場(chǎng)2中的報(bào)價(jià)（在考慮了交易成本和匯率差異之后），那么投資者就可以通過(guò)買入交易市場(chǎng)2中的股票并在交易市場(chǎng)1中出售來(lái)鎖定一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益。菲利普·H·戴布維格和斯蒂芬·A·羅斯給出了一個(gè)關(guān)于套利的學(xué)術(shù)性的權(quán)威定義:套利是這樣一個(gè)投資策略，即保證在某些偶然情況下獲取正報(bào)酬而沒(méi)有負(fù)報(bào)酬的可能性，也無(wú)需有凈投資。換句話講套利是一個(gè)可以以零成本建立投資組合并能夠保證要么組合的價(jià)值增加或者保持為零的一個(gè)機(jī)會(huì)。從數(shù)學(xué)的角度看，它包含了這樣的意思：并且，其中是指投資組合在時(shí)點(diǎn)t的價(jià)值，表示的是括號(hào)中事件出現(xiàn)的概率。這樣套利也可以被理解為在沒(méi)有可能出現(xiàn)損失（）和沒(méi)有承擔(dān)任何風(fēng)險(xiǎn)（）的情況下，獲得報(bào)酬的可能性。有時(shí)套利也被描述成不需要任何投入就獲得收益的機(jī)會(huì)（就像免費(fèi)午餐一樣）。學(xué)術(shù)意義上的套利有兩個(gè)核心特征：第一，存在一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的收益，即所謂“保證獲取正報(bào)酬而沒(méi)有負(fù)報(bào)酬”（）。第二，存在一個(gè)自融資策略，即所謂的“無(wú)需有凈投資”（），或者如美國(guó)著名金融工程學(xué)家約翰·馬歇爾所言，是指“頭寸”完全可以用貸款來(lái)融資(即無(wú)資本)。例如，假定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的年收益率為2%，銀行一年期借款利率為1%(不考慮利息稅)。如果一個(gè)投資者將從銀行借入的10萬(wàn)元用于投資無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券，就可以多獲得1%（1000元）的價(jià)差收入。這實(shí)際上就是一個(gè)套利行為。因?yàn)?，?chǔ)戶獲得了無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券高于銀行貸款的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的利差收益，但他并沒(méi)有增加投入的資金，而只是改變了金融頭寸的持有方式。在一個(gè)完全競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)體系中，套利機(jī)會(huì)一旦被發(fā)現(xiàn)，投資者馬上就會(huì)利用這種無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的套利機(jī)會(huì)來(lái)賺取利潤(rùn)。隨著套利者的參與，市場(chǎng)的供求狀況將隨之而改變，套利空間也將逐漸減少直至消失，結(jié)果就形成了各種資產(chǎn)的均衡價(jià)格。

2、無(wú)套利和無(wú)套利原理現(xiàn)代金融理論對(duì)套利的研究就是對(duì)不能獲得套利機(jī)會(huì)這一假定的含義的研究。這是因?yàn)樵诮鹑谑袌?chǎng)上,套利的出現(xiàn)是與均衡相矛盾的。我們知道，經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)基本假定是，競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)濟(jì)主體都在一定約束條件下追求利益最大化。例如，當(dāng)國(guó)債的年收益率為2%、銀行一年期存款利率為1%時(shí)，意味著存在套利的機(jī)會(huì)。如果一個(gè)投資者追求利益最大化,那么他會(huì)不斷地追求“更多”從而實(shí)現(xiàn)“最優(yōu)”，也就是將存款轉(zhuǎn)換為國(guó)債來(lái)進(jìn)行套利。在完全市場(chǎng)的條件下，套利活動(dòng)必然會(huì)降低國(guó)債收益率，提高銀行借款收益率，直到兩者的收益率相等為止。當(dāng)兩者的收益率相等時(shí)，套利機(jī)會(huì)消失,市場(chǎng)達(dá)到了均衡狀態(tài)。在“無(wú)套利均衡”狀態(tài)下,金融資產(chǎn)的價(jià)格等于其價(jià)值，這是套利活動(dòng)的必然結(jié)果。無(wú)套利原理是指具有相同價(jià)值的金融產(chǎn)品在同一個(gè)競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)應(yīng)當(dāng)具有相同的價(jià)格。無(wú)套利原理假設(shè)金融市場(chǎng)不存在套利機(jī)會(huì)。套利是在不花費(fèi)成本的情況下，通過(guò)一些金融資產(chǎn)的買進(jìn)和賣出，以獲得可能的正的報(bào)酬的交易活動(dòng)。更一般的說(shuō)，套利是一種投資策略或金融資產(chǎn)的交易策略。這種策略可以在零凈投資之下，獲得非負(fù)的報(bào)酬。從理論上講，由于實(shí)現(xiàn)這種策略的規(guī)模可以是任意的，因此只要存在套利機(jī)會(huì)，就意味著存在一個(gè)財(cái)富泵。存在套利機(jī)會(huì)的一個(gè)簡(jiǎn)單例子是：如果兩個(gè)資本市場(chǎng)存在利率差，則可以從低利率市場(chǎng)上借入資金，在高的貨幣市場(chǎng)上借出，這樣無(wú)需成本就可以獲得收益。當(dāng)然，這種利率差是不能保持下去的，因?yàn)樘桌顒?dòng)會(huì)使兩個(gè)市場(chǎng)的利率趨于相同。如果投資者是理性的，投資者對(duì)財(cái)富的偏好隨著財(cái)富的增加而增加，那么存在套利機(jī)會(huì)與市場(chǎng)均衡相矛盾。均衡要求交易價(jià)格使金融資產(chǎn)的供需相等。對(duì)于理性的投資者來(lái)說(shuō)，其金融資產(chǎn)的需求或供給都是由其自身利益所決定的。在均衡的狀態(tài)下，金融資產(chǎn)的需求等于供給，投資者的自身利益都沒(méi)有得到滿足，因?yàn)槔硇缘娜硕枷肜锰桌麢C(jī)會(huì)獲利。更基本的，存在套利機(jī)會(huì)與投資者存在最優(yōu)資產(chǎn)組合需求相矛盾。因?yàn)槿魏我粋€(gè)投資者想利用套利機(jī)會(huì)的規(guī)模是無(wú)限的。因此，存在套利機(jī)會(huì)與經(jīng)濟(jì)主體優(yōu)化的理性相矛盾。所以如果存在套利機(jī)會(huì)，意味著供求不平衡。一旦出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，市場(chǎng)馬上就會(huì)調(diào)整要價(jià)和出價(jià)，使供求得以平衡。所以均衡時(shí)，一定不存在套利機(jī)會(huì)，也就是說(shuō)在無(wú)套利原理的存在是金融市場(chǎng)均衡的必然結(jié)果。

3、無(wú)套利原理發(fā)生作用的機(jī)制無(wú)套利原理在以下情形不成立時(shí)，將發(fā)生作用：（1）

相同的資產(chǎn)在所有市場(chǎng)上的價(jià)格相同。相同資產(chǎn)的價(jià)格不同時(shí)，套利者將①?gòu)膬r(jià)格較低市場(chǎng)上購(gòu)入該資產(chǎn)，然后在價(jià)格較高的市場(chǎng)上出售該資產(chǎn)，從而獲得正的收益；②借入該資產(chǎn)，出售給價(jià)格較高市場(chǎng)上的購(gòu)買者，然后再到價(jià)格較低的市場(chǎng)上買入相同的資產(chǎn)歸還出借人，并保留所獲差價(jià)；③在價(jià)格較高的市場(chǎng)上買空該資產(chǎn)，用所獲得的資金到價(jià)格較低的市場(chǎng)上買入該資產(chǎn)平倉(cāng)。（2）

具有相同現(xiàn)金流量的資產(chǎn)的價(jià)格相同。具有相同現(xiàn)金流量的資產(chǎn)的價(jià)格不同時(shí)，套利者①賣出價(jià)格較高的資產(chǎn)同時(shí)買入價(jià)格較低的資產(chǎn)；②使用出售價(jià)格較高的資產(chǎn)所獲資金來(lái)買入價(jià)格較低的資產(chǎn)，同時(shí)獲取部分差價(jià)；③使用價(jià)格較低資產(chǎn)的現(xiàn)金流入來(lái)清潔套利者對(duì)于價(jià)格較高資產(chǎn)的付款義務(wù)。（3）

未來(lái)價(jià)格確定的資產(chǎn)，其日前的交易價(jià)格等于未來(lái)價(jià)格的現(xiàn)值未來(lái)價(jià)格確定的資產(chǎn)，其日前的交易價(jià)格與未來(lái)價(jià)格的現(xiàn)值不同時(shí)，如果當(dāng)日價(jià)格低于未來(lái)價(jià)格的現(xiàn)值，套利者賣出一個(gè)遠(yuǎn)期合約，同時(shí)借款來(lái)買入該資產(chǎn)；在到期日套利者交割資產(chǎn)并收到約定的價(jià)款；套利者歸還借款、支付借款利息并獲取收益。未來(lái)價(jià)格確定的資產(chǎn)，其日前的交易價(jià)格高于未來(lái)價(jià)格的現(xiàn)值，套利者將買入一個(gè)遠(yuǎn)期合約，同時(shí)賣出基礎(chǔ)資產(chǎn)并將多出部分借出；到期日套利者收回投資，完成交割，從而獲取收益?？傊?，一旦出現(xiàn)上述三種情形，套利者都將通過(guò)一定的交易來(lái)進(jìn)行套利，套利者套利的結(jié)果，會(huì)使被交易的資產(chǎn)供需得到調(diào)整，從失衡從新回到均衡，套利機(jī)會(huì)最終消失。二、無(wú)套利原理的起源無(wú)套利原理在MM理論使用以前就已經(jīng)存在。早在1923年凱恩斯提出解釋遠(yuǎn)期匯率的“利率平價(jià)說(shuō)”中就引入了無(wú)套利原理。1931年，英國(guó)學(xué)者愛(ài)因齊格出版的《遠(yuǎn)期外匯理論》對(duì)此做了進(jìn)一步的總結(jié)，闡述了遠(yuǎn)期差價(jià)與利率之間的關(guān)系。匯率與利率之間的關(guān)系是及其緊密的，這種關(guān)系是通過(guò)國(guó)際間的套利性資金流動(dòng)而產(chǎn)生的。在兩國(guó)存在利率差異的情況下，資金將從利率低的市場(chǎng)流向利率高的市場(chǎng)以牟取利潤(rùn)。但是，套利者在比較金融資產(chǎn)的收益率時(shí)，不僅考慮兩種資產(chǎn)的利率所提供的收益，還要考慮其匯率變動(dòng)所產(chǎn)生的成本。因此套利者往往將套利與掉期業(yè)務(wù)結(jié)合，以避免匯率風(fēng)險(xiǎn)。套利活動(dòng)和掉期交易使低利率貨幣的現(xiàn)匯匯率下降，期匯匯率的上升；而高利率貨幣的現(xiàn)匯匯率上升，期匯匯率下降。于是，遠(yuǎn)期差價(jià)不斷加大，直到兩種資產(chǎn)的收益率相同，抵補(bǔ)套利的活動(dòng)停止，這是遠(yuǎn)期差價(jià)正好等于兩種貨幣的利差，利率平價(jià)成立。因此遠(yuǎn)期差價(jià)（期匯匯率與現(xiàn)匯匯率的差額）是由兩國(guó)間的利率差異決定的，利率高的貨幣在期匯市場(chǎng)上貼水，利率低的貨幣在期匯市場(chǎng)上升水。這就是利率平價(jià)理論。下面我們利用無(wú)套利原理給出利率平價(jià)理論的證明。假設(shè)本國(guó)的利率水平為i，同期外國(guó)的利率水平為i*，即期匯率為S（直接標(biāo)價(jià)法），遠(yuǎn)期匯率為F。若投資者用1單位本國(guó)貨幣在國(guó)內(nèi)投資，到期的收益是（1+i）；若投資者選在國(guó)外投資，則必須先將1單位的本幣兌換為1/S的外幣，再進(jìn)行投資，到期的收益是（1+i*）/S；按照約定的遠(yuǎn)期匯率F兌換，則可以收回本幣（1+i*）F/S。投資者比較在兩國(guó)的投資收益，以確定投資方向。若（1+i）>（1+i*）F/S，資本將從國(guó)外轉(zhuǎn)移至國(guó)內(nèi)，于是本幣的即期匯率上升而遠(yuǎn)期匯率下降，外幣匯率變化相反。若（1+i）<（1+i*）F/S，資本將從國(guó)內(nèi)轉(zhuǎn)移至國(guó)外，于是外幣的即期匯率上升而遠(yuǎn)期匯率下降，本幣匯率變化相反。套利性資金流動(dòng)最終使得在兩國(guó)的投資收益相等，即：（1+i）＝（1+i*）F/S1或者F/S=(1+i)/（1+i*）2給等式2兩邊減去1，可得：F-S/S=(i-i*)/（1+i*）3公式3表明；當(dāng)I>i*時(shí)，則F>S，即遠(yuǎn)期外匯出現(xiàn)升水；當(dāng)I<i*時(shí)，則F<S，即遠(yuǎn)期外匯出現(xiàn)貼水。公司3可以寫成：4由于是兩個(gè)百分比的乘積，通常較小，可以忽略不計(jì)。所以：5公式5就是利率平價(jià)方程式。它表明：如果國(guó)內(nèi)利率高于國(guó)外利率，遠(yuǎn)期外匯必然升水；如果國(guó)外利率高于國(guó)內(nèi)利率，遠(yuǎn)期外匯必然貼水，并且升（貼）水率大致等于兩國(guó)的利率差。利率平價(jià)理論得證。

三、無(wú)套利原理與公司理財(cái)學(xué)1、無(wú)套利原理與MM定理無(wú)套利均衡分析在財(cái)務(wù)領(lǐng)域的運(yùn)用最早體現(xiàn)在莫迪格萊尼和米勒（1958）研究企業(yè)資本結(jié)構(gòu)與企業(yè)價(jià)值之間關(guān)系的MM理論中。他們的理論使公司財(cái)務(wù)從此具有了嚴(yán)格的分析方法和數(shù)理理論基礎(chǔ)，可以說(shuō)是為公司財(cái)務(wù)這門學(xué)科奠定了基礎(chǔ)。兩位作者分別于1958年和1990年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。MM理論的基本假設(shè)包括：（1）無(wú)稅環(huán)境；（2）無(wú)交易成本；（3）內(nèi)部人和外部人具有相同信息，無(wú)信息不對(duì)稱；（4）利益相關(guān)者可以無(wú)成本地解決利益沖突問(wèn)題，無(wú)代理成本；（5）企業(yè)發(fā)行的負(fù)債無(wú)風(fēng)險(xiǎn)；（6）個(gè)人可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借貸。上述假設(shè)實(shí)際上是構(gòu)造一個(gè)無(wú)摩擦的市場(chǎng)環(huán)境。在這一理論條件下，市場(chǎng)均衡要求對(duì)投資者而言不存在套利機(jī)會(huì)，從而可以推導(dǎo)出企業(yè)的資本結(jié)構(gòu)與企業(yè)的價(jià)值無(wú)關(guān)。MM（1958）的命題Ⅰ及其證明如下：命題Ⅰ：假定任何公司j,用表示公司所有資產(chǎn)的期望收益（即減去利息之前的期望利潤(rùn)），表示公司債務(wù)的市場(chǎng)價(jià)值，表示普通股票的市場(chǎng)價(jià)值，用=+表示所有證券的市場(chǎng)價(jià)值，或者說(shuō)公司的市場(chǎng)價(jià)值。因此，我們的命題Ⅰ宣稱在均衡時(shí)，對(duì)于k類中的任何公司j公司，我們一定有：＝+＝6也就是說(shuō)任何公司的市場(chǎng)價(jià)值獨(dú)立于資本結(jié)構(gòu)之外，并且其價(jià)值等于其期望收益按照它的風(fēng)險(xiǎn)類別的資本成本資本化。我們將證明只要6在一類中任何一對(duì)公司之間不成立，那么套利就將發(fā)生并回復(fù)這種相等關(guān)系。在證明中我們經(jīng)過(guò)深思熟慮采用了“套利”這個(gè)術(shù)語(yǔ)。因?yàn)槿绻}Ⅰ不成立，一個(gè)投資者在買賣股票和債券時(shí)，可以將一個(gè)收入流與另外一個(gè)相交換，在其它條件相同的情況下，其中的一個(gè)收入流可以用更低的價(jià)格買入。這種交換對(duì)投資者是有利的，不管它對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度如何。當(dāng)投資者利用這種套利機(jī)會(huì)時(shí)，價(jià)格被高估的股票的價(jià)格就會(huì)下降，而被低估的股票的價(jià)格則會(huì)上升，從而消除了公司市場(chǎng)價(jià)值之間的不一致。假設(shè)有相同風(fēng)險(xiǎn)類別的兩家公司，他們的期望收益率是相同的。公司1完全通過(guò)普通股來(lái)融資，而公司2的資本結(jié)構(gòu)中有一些債務(wù)。首先假定杠桿公司的價(jià)值V2大于非杠桿公司1的價(jià)值V1，投資者持有公司2的價(jià)值S2的股票，占全部在外發(fā)行股票的a比例。用Y2來(lái)表示這一證券組合的收益，它將是公司2的持股者獲得收入的a部分，其價(jià)值等于全部收益X2減去利息費(fèi)用rD2。因?yàn)樵谖覀兺|(zhì)性的假設(shè)前提下，公司2的全部期望收益X2在任何情況下和公司1的全部期望收益X1相同。因此，后面我們將引用一個(gè)共同的符號(hào)X來(lái)代替X1和X2。那么，最初投資組合的收益可以表示為：Y2=a（X-rD2）6假設(shè)投資者賣出公司2的價(jià)值為aS2的股票，以便獲得公司1的數(shù)量為s1＝a（S2+D2）的股票。他可以通過(guò)出售最初持有的aS2、以他個(gè)人信用借入另外的aD2,和用他在公司1中新持有股票作為抵押來(lái)實(shí)現(xiàn)這一點(diǎn)。因此他可以獲得公司1的股票及盈利的s1/S1＝a（S2+D2）/S1部分。考慮到支付他個(gè)人債務(wù)aD2的利息，新的債券組合的收益Y1為：7比較6式和7式，我們可以看到只要V2>V1，則有Y1>Y2，以便能支付公司2股票的所有者去售出他們所持有的股票，由此降低S2和V2；并獲得公司1的股票，相應(yīng)增加S1和V1。因此我們可以總結(jié)處杠桿公司并不能比無(wú)杠桿公司獲得更多的好處，因?yàn)橥顿Y者可以直接通過(guò)個(gè)人賬戶的借貸來(lái)將等量的杠桿輸入到他們的證券投資組合中去?，F(xiàn)在考慮另一種可能，也就是說(shuō)杠桿公司的市場(chǎng)價(jià)值V2比V1小。假設(shè)投資者最初持有公司1數(shù)量為s1的股票，占全部發(fā)行股票S1的a部分。它在這些股票上的收益為：8假設(shè)他將這些最初持有的股票換為另一種投資組合，價(jià)值也為s1，但是有公司2的s2的股票和d的債券組成，s2和d分別表示為：，9換句話說(shuō)，新的投資組合石油比例分別為S2/V2和D2/V2的公司2的股票和債券組成。在新的證券投資組合中，股票的收益為公司2持股者總收益的s2/S2部分，即（X-rD2），債券的收益為rd。通過(guò)式8，從證券投資組合中得到的總收益Y2表達(dá)如下：比較Y2和Y1可知，如果V2<S1=V1，那么Y2就大于Y1。由此它支付了公司1的股票持有者去賣出他們持有的股票，并且以含有公司2相應(yīng)比例的股份的混合證券投資組合來(lái)代替他們持有的公司1的股票。有比例分別為Sj/Vj和Dj/Vj的杠桿公司j的股票和債券組成的混合證券投資組合的取得，可以看作是消除杠桿經(jīng)營(yíng)的一種操作，以便獲得部分非杠桿經(jīng)營(yíng)的收益Xj。正是這種消除杠桿經(jīng)營(yíng)的可能性阻止了杠桿公司的價(jià)值馳譽(yù)低于無(wú)杠桿公司,或者在更一般意義上阻止了杠桿公司的平均資本成本系統(tǒng)性的高于同類公司中的無(wú)杠桿公司。由于我們已經(jīng)證實(shí)了這種套利回阻止V2大于V1，我們可以概括為在均衡狀態(tài)下一定有V2＝V1。這樣，我們就證明了MM的假說(shuō)Ⅰ。MM（1963）對(duì)MM（1958）做了一些修正，因?yàn)樗麄円庾R(shí)到在公司稅存在的情況下，利息支出是可以抵減所得稅的。MM（1963）表明在考慮公司稅時(shí)，杠桿公司的價(jià)值等于無(wú)杠桿公司的價(jià)值加上債務(wù)的稅盾的現(xiàn)值：VL=VU+tcD，其中tc是公司所得稅的稅率。這樣最大化公司價(jià)值的資本結(jié)構(gòu)含有100％的債務(wù)。在MM（1963）中使用的仍然是套利證明。證明過(guò)程概括如下：X是給定風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別的公司所用有的的資產(chǎn)所產(chǎn)生的息稅前盈余，t是公司所得稅的邊際稅率，Xt是稅后收益，R是利息支出，等于rD，并且特定風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別的無(wú)杠桿公司稅后利潤(rùn)的資本化率。于是有Xt=(1-t)(X-R)+R=(1-t)X+tR。這意味著稅后收益包含了兩部分內(nèi)容：（1）一個(gè)不確定的現(xiàn)金流量(1-t)X；和(2)一個(gè)確定的現(xiàn)金流量tR。于是，組合后的現(xiàn)金流的均衡市場(chǎng)價(jià)值可以通過(guò)分別資本化兩個(gè)現(xiàn)金流量來(lái)計(jì)算。更準(zhǔn)確的來(lái)說(shuō)，用表示表示給定風(fēng)險(xiǎn)級(jí)別的無(wú)杠桿公司的稅后利潤(rùn)的市場(chǎng)資本化率，即r=(1-t)X/Vu或

Vu=(1-t)X/由于r是市場(chǎng)資本化確定現(xiàn)金流量的資本化率，r就是稅盾rD的折現(xiàn)率。我們預(yù)期資本結(jié)構(gòu)中永久債務(wù)水平為D的杠桿公司的價(jià)值為：VL=(1–t)X/rt+tR/r=VU+tD(3)MM證明如果（3）不成立的話，投資者可以通過(guò)從相對(duì)高估的公司轉(zhuǎn)到相對(duì)低估的公司來(lái)獲得更為有利的證券投資組合。首先假設(shè)無(wú)杠桿公司被高估，則有：VL-tD<VU投資者持有m元的無(wú)杠桿公司股票，他有權(quán)獲得最后收益中的m/VU部分，即有不確定收入：YU=(m/VU)(1-t)X現(xiàn)在假設(shè)通過(guò)投資m元得到的另一證券投資組合如下：第一部分投資到杠桿公司的股票SL{SL/(SL+(1-t)D)}·m第二部分投資到債券里：{(1-t)D/(SL+(1-t)D)}·m股票部分的投資使得投資者可以獲得杠桿公司凈利潤(rùn)的{SL/(SL+(1-t)D)}·m，它等于{m/SL+(1-t)D}}·{(1-t)(X-R)。債券部分的投資產(chǎn)生的收益為{m/(SL+(1-t)D)}·{(1-t)R}。這樣整個(gè)收益：YL={m/(SL+(1-t)D)}·{(1-t)X}當(dāng)且僅當(dāng)SL+(1-t)DSL+D-tDVL-tD<VU時(shí)，YL會(huì)高出不確定收入YU。因此，在均衡狀態(tài)下，VU不能超過(guò)VL-tD，否則投資者就會(huì)賣掉無(wú)杠桿公司的股票而去購(gòu)買杠桿公司的股票和債券。同理，可以假設(shè)杠桿公司被高估，則有；VL-tD>VU采用相同的論證可知在均衡時(shí)，VL-tD>VU也不成立。所以公式（3）成立。MM(1963)仍然具有不現(xiàn)實(shí)的地方，因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界中沒(méi)有那家公司使用100％的債務(wù)融資。因此莫迪格萊尼和米勒以及后來(lái)的財(cái)務(wù)理論家不斷的放寬MM(1958)的假設(shè)條件，來(lái)尋找企業(yè)的最有資本結(jié)構(gòu)。但是MM（1958，1963）的論證方法卻得到了財(cái)務(wù)研究人員的接受，并在后續(xù)的研究中獲得了廣泛的使用，成為了金融經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的一種基本方法。

2、無(wú)套利與期權(quán)的買賣平權(quán)理論在stroll（1969）中應(yīng)用無(wú)套利原理得到了買賣平權(quán)公式。期權(quán)買賣平權(quán)是指具有相同執(zhí)行價(jià)格K和相同到期日T且基于同一只不支付股利的股票St的歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)的差價(jià)等于基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格與期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格的現(xiàn)值之差。其公式的表現(xiàn)形式為。該命題證明如下：a)

假設(shè)，則有當(dāng)前到期日

買入看漲期權(quán)－C0賣出看跌期權(quán)+P0出售股票+S借出資金+K+K現(xiàn)金流合計(jì)>000由上表我們可知這樣的一個(gè)投資組合可以獲得無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的投資收益，也就是存在套利機(jī)會(huì)，而均衡情況下是不存在套利機(jī)會(huì)的，由此我們可知是不成立的。2．假設(shè)，則有當(dāng)前到期日

賣出看漲期權(quán)＋C0買入看跌期權(quán)－P0買入股票－S借入資金－K－K現(xiàn)金流合計(jì)>000從表格中我們可以知道，表格中投資組合同樣沒(méi)有達(dá)到均衡，因此也不成立。由此，我們得到。買賣平權(quán)定理有很多含義，最為明顯的就是它可以通過(guò)變形來(lái)顯示如何用一個(gè)看漲期權(quán)來(lái)制造一個(gè)看跌期權(quán)：。在1976年第一個(gè)看跌期權(quán)被交易之前，看跌期權(quán)就是用該種方法來(lái)創(chuàng)造的。買賣平權(quán)理論同樣也提供了一個(gè)間接從期權(quán)市場(chǎng)借貸的方法。我們只需將買賣平權(quán)等式做一調(diào)整，即可以得到。這意味著我們只需要賣出一個(gè)看跌期權(quán)、買入一個(gè)看漲期權(quán)并賣空一個(gè)單位的基礎(chǔ)資產(chǎn)，就實(shí)現(xiàn)了借款的目的。簡(jiǎn)單的，我們也可以通過(guò)買入一個(gè)看跌期權(quán)、賣出一個(gè)看漲期權(quán)并借入執(zhí)行價(jià)格現(xiàn)值的資金，構(gòu)造出賣空。這對(duì)于那些不能利用賣空的收入來(lái)獲取得利息收入得投資者尤為有用。同樣，我們也可以利用買賣平權(quán)公式來(lái)確定無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。買賣平權(quán)定理最有價(jià)值的應(yīng)用在于它為期權(quán)定價(jià)指明了方向。我們從利率平價(jià)定理可知，于是我們可以知道至少有四個(gè)要素影響著期權(quán)的價(jià)格，它們分別是股票的價(jià)格（S）、執(zhí)行價(jià)格（K）、到期的時(shí)間（T）和無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率（r）。雖然可能還有其它的因素影響著期權(quán)的價(jià)值，但是從買賣平權(quán)定理中我們找到了部分決定期權(quán)價(jià)值的因素，這為后來(lái)的期權(quán)定價(jià)的研究起了重要的指導(dǎo)作用。

4、無(wú)套利原理與期權(quán)定價(jià)理論

行使或不行使的權(quán)利給予了期權(quán)與它所基于的基礎(chǔ)資產(chǎn)的不同收益特征，這一事實(shí)也使得期權(quán)的定價(jià)變得非常困難?？紤]A股票的執(zhí)行價(jià)格為50元的看漲期權(quán)，行使日期為1年。如果你擁有該期權(quán)，一年后你的收益狀況如何呢？很明顯，如果A股票的價(jià)格一年后低于50元，你當(dāng)然不會(huì)選擇行使期權(quán)因?yàn)槟菢幽銓閮r(jià)值低于50元的股票支付50元，因此在這種情形下你的收益將為0。如果一年后股票的價(jià)格高于50元，你將會(huì)行使期權(quán)，你的收益將是股票價(jià)格和50元之間的差額。計(jì)算期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)看起來(lái)并不難。但是如何來(lái)計(jì)算期權(quán)的價(jià)值或價(jià)格呢？一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的方法是首先明確資產(chǎn)在未來(lái)預(yù)期產(chǎn)生的收益，然后合理將這些收益進(jìn)行折現(xiàn)，最后在對(duì)這些現(xiàn)值求和。這些現(xiàn)值之后就是該資產(chǎn)的價(jià)值，并且資產(chǎn)的價(jià)格應(yīng)該等于該資產(chǎn)的價(jià)值。對(duì)金融資產(chǎn)的未來(lái)收益進(jìn)行折現(xiàn)主要是基于兩個(gè)原因：一個(gè)是未來(lái)的一元錢的價(jià)值低于當(dāng)前的一元錢的價(jià)值，因此要將未來(lái)的貨幣折現(xiàn)，從而可以與當(dāng)前的貨幣進(jìn)行比較；另一個(gè)原因在于如果一種資產(chǎn)的收益現(xiàn)金流的風(fēng)險(xiǎn)高于另一種資產(chǎn)的話，在其它的條件相同的情況下，前者的價(jià)值將高于后者，因此風(fēng)險(xiǎn)較高的收益現(xiàn)金流折現(xiàn)的幅度也要高于風(fēng)險(xiǎn)較低的收益現(xiàn)金流。表面上看起來(lái)好像可以很直接的計(jì)算出期權(quán)的價(jià)值，因?yàn)槲覀冎榔跈?quán)收益的時(shí)間和數(shù)值，我們只需折現(xiàn)這些預(yù)期的未來(lái)收益就可以計(jì)算期權(quán)的價(jià)值。但是問(wèn)題在于我們使用什么數(shù)值來(lái)作為折現(xiàn)因子呢？折現(xiàn)因子應(yīng)當(dāng)反映資產(chǎn)的潛在風(fēng)險(xiǎn)。既然期權(quán)的價(jià)值取決于A公司股票價(jià)格的變化，似乎應(yīng)當(dāng)使用A公司的折現(xiàn)因子來(lái)折現(xiàn)期權(quán)的未來(lái)預(yù)期收益。問(wèn)題是當(dāng)股票的價(jià)格高于50元的時(shí)候，期權(quán)收益的變動(dòng)狀況確實(shí)與股票價(jià)格的變動(dòng)同步，但當(dāng)股票的價(jià)格低于50元時(shí)，期權(quán)的收益與股票價(jià)格的變動(dòng)完全不相關(guān)。這就說(shuō)明期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)特征與其基礎(chǔ)資產(chǎn)有著很大的區(qū)別。于是這里就出現(xiàn)了阻礙了幾代學(xué)者解決期權(quán)定價(jià)問(wèn)題的障礙：沒(méi)有合適的折現(xiàn)因子。當(dāng)兩位經(jīng)濟(jì)學(xué)家發(fā)現(xiàn)套利是解決期權(quán)定價(jià)的秘密時(shí)，期權(quán)定價(jià)的研究才有了巨大的進(jìn)展。1973年，經(jīng)濟(jì)學(xué)家費(fèi)雪·布萊克和麥容·舒爾茨表明套利概念可以用來(lái)為期權(quán)定價(jià)。他們發(fā)現(xiàn)期權(quán)的收益結(jié)構(gòu)可以用市場(chǎng)交易的資產(chǎn)的組合進(jìn)行復(fù)制。如果組合的現(xiàn)金收益與期權(quán)的現(xiàn)金收益完全相同，那么期權(quán)的價(jià)格就一定等于那個(gè)組合的價(jià)格，否則將有套利機(jī)會(huì)存在。下面的例子可以解釋他們的方法。假設(shè)A股票今天的價(jià)格為40元。一段時(shí)間之后，A股票的價(jià)格可能會(huì)升至60元，也可能降至20元。有一個(gè)A股票的歐式期權(quán)，執(zhí)行價(jià)格為50元，到期日為一段時(shí)間之后。借貸的年利率為25％。上面就是我們?yōu)槠跈?quán)定價(jià)所需要的全部信息。注意期權(quán)的收益可能為10元（股票價(jià)格上升），也可能為0（股票價(jià)格下降）。布萊克和舒爾茨建立了一個(gè)現(xiàn)有資產(chǎn)的組合來(lái)復(fù)制期權(quán)的收益狀況。在該例中，該投資組合應(yīng)當(dāng)包含0.25份A股票和4元錢借入款。但前該投資組合的價(jià)值為6元－股票的價(jià)值為10元（0.25×40），而借款4元是要償還的。該組合在一段時(shí)間之后的收益狀況與期權(quán)相同：如果股票的價(jià)格上升，你所持有的A股票的價(jià)值將變成15元，你需要償還借款和利息共計(jì)5元，這樣組合在一段時(shí)間之后的價(jià)值為10元；如果股票價(jià)格下降，你所持有的A股票的價(jià)值將變成5元，你需要償還借款和利息共計(jì)5元，這樣組合在一段時(shí)間之后的價(jià)值為0?？傊?，組合在股票價(jià)格上升的時(shí)候，收益為10元；股票價(jià)格下降時(shí)，收益為0。既然組合的收益狀況和期權(quán)相同，那么這就意味著期權(quán)的價(jià)格應(yīng)當(dāng)為6元，也就是投資組合今天的價(jià)值。套利原理證明如此。假設(shè)該期權(quán)目前的售價(jià)為7元。就像前面提到的蘋果的例子，投資者可以通過(guò)賣出貴的商品（期權(quán)）、買入便宜的商品（投資組合），來(lái)得到一個(gè)無(wú)窮大的收益率。如果你賣出期權(quán)，你會(huì)得到7元，但是如果股票價(jià)格升高，你將要在一段時(shí)間之后支付10元。在賣出期權(quán)之后，你可以以6元買入一個(gè)上面所講的投資組合。如果股票價(jià)格上升，一段時(shí)間之后你的收益將為10元，它將抵消掉你出售期權(quán)所承擔(dān)的付款義務(wù)。這樣，你可以在不動(dòng)用自己財(cái)富的情況下，獲得確定的1元錢的收益。而且只要獲利機(jī)會(huì)存在，你將不斷的交易，最終供給和需求的力量將會(huì)使組合的價(jià)值和期權(quán)的價(jià)格相等。到目前為止，一切都看起來(lái)很簡(jiǎn)單，這是因?yàn)榍懊娴睦颖容^簡(jiǎn)單。在現(xiàn)實(shí)中，投資者購(gòu)買的期權(quán)，其到期日在未來(lái)的很長(zhǎng)時(shí)間并且股票的價(jià)格有機(jī)會(huì)漲漲跌跌反復(fù)多次。因此相關(guān)的問(wèn)題是當(dāng)基礎(chǔ)資產(chǎn)的價(jià)格在到期日前不斷變動(dòng)的時(shí)候，如何為期權(quán)定價(jià)。布萊克和舒爾茨意識(shí)到套利－上述組合復(fù)制證明方法需要多次重復(fù)使用。為方便說(shuō)明，我們繼續(xù)討論前面那個(gè)簡(jiǎn)單的例子。假設(shè)A股票的期權(quán)，其執(zhí)行價(jià)格為50元，到期日為三個(gè)時(shí)段之后。當(dāng)前，也就是0時(shí)點(diǎn)，A股票的價(jià)格為40元，在每個(gè)時(shí)點(diǎn)股票的價(jià)格都會(huì)上升或下降20元。但是如果股票的價(jià)格已經(jīng)為0，那么它將永遠(yuǎn)為0。圖1是股票的價(jià)格樹，它描述了A股票在未來(lái)三個(gè)時(shí)段內(nèi)股票價(jià)格的可能集。我們將使用它來(lái)計(jì)算期權(quán)在今天，也就是0時(shí)點(diǎn)的價(jià)格。

a

40

50

610

b

000

時(shí)點(diǎn)0123圖2期權(quán)的價(jià)格樹

60

8010040

4060

20

0200時(shí)點(diǎn)0123圖1股票的價(jià)格樹

假設(shè)在時(shí)點(diǎn)2，股票的價(jià)格是40元。在這種情況下，期權(quán)在時(shí)點(diǎn)3的收益為10元或0。從前面的例子我們可知，該期權(quán)的價(jià)格為6元，并且包含0.25份A股票和4元借入款的組合可以復(fù)制期權(quán)的收益狀況。相似的，如果股票價(jià)格在時(shí)點(diǎn)2為80元，那么期權(quán)在時(shí)點(diǎn)3的收益將為50或10，這取決于股票價(jià)格上漲還是下降。含有40元借入款和1份A股票的組合可以復(fù)制期權(quán)的收益狀況。這樣投資組合和期權(quán)的價(jià)格均為40元。如果在時(shí)點(diǎn)2，股票的價(jià)格為0，那么期權(quán)在時(shí)點(diǎn)3的收益也將為0，并且一個(gè)成本為0的空組合就可以復(fù)制期權(quán)的收益狀況。這樣我們已經(jīng)計(jì)算出了在時(shí)點(diǎn)2期權(quán)價(jià)格的各種可能。通過(guò)使用相同的推理方法，我們可以計(jì)算出期權(quán)在時(shí)點(diǎn)1和時(shí)點(diǎn)0的價(jià)格。圖2是期權(quán)的價(jià)格樹，它描述了各種股票價(jià)格下期權(quán)的價(jià)格。在時(shí)點(diǎn)1，如果股票價(jià)格為60元，那么期權(quán)的持有者在時(shí)點(diǎn)2將擁有價(jià)值40元或者6元的資產(chǎn)。含有22.40元借入款和0.85份A股票的組合可以復(fù)制期權(quán)時(shí)點(diǎn)2的收益。該組合的價(jià)值為28.60元，于是當(dāng)股票價(jià)格為60元時(shí)期權(quán)在時(shí)點(diǎn)1的價(jià)格也等于28.60元。相似的，如果股票在時(shí)點(diǎn)1的價(jià)格為20元，含有0.15份A股票的組合可以復(fù)制期權(quán)的收益狀況，從而我們可知該期權(quán)的價(jià)值為3元。布萊克和舒爾茨使用重復(fù)的（或者說(shuō)是動(dòng)態(tài)的）組合復(fù)制，同時(shí)運(yùn)用套利證明，計(jì)算出了期權(quán)的價(jià)格。在每一時(shí)點(diǎn)，投資組合的價(jià)格都剛好等于為了復(fù)制下一時(shí)點(diǎn)的收益狀況所購(gòu)買的新的投資組合的價(jià)格。在我們的例子當(dāng)中，如果期權(quán)的價(jià)格不等于17.76元，例如說(shuō)20元，投資者就可以得到一個(gè)無(wú)窮大的收益率：賣出期權(quán)，然后買入0時(shí)點(diǎn)的投資組合。動(dòng)態(tài)復(fù)制的投資組合的收益抵掉消期權(quán)空頭的償付義務(wù)后，投資者可以獲利2.24元，并且獲取更多收益的愿望和行為將導(dǎo)致需求和供給產(chǎn)生作用使得復(fù)制的投資組合和期權(quán)的價(jià)值相同。布萊克和舒爾茨運(yùn)用套利思想，最終總結(jié)出了期權(quán)定價(jià)公式：不支付股利的歐式或美式看漲期權(quán)的價(jià)值為。期權(quán)定價(jià)理論的提出，是現(xiàn)代財(cái)務(wù)理論發(fā)展史上繼MM理論之后的又一個(gè)里程碑。它解決了長(zhǎng)期以來(lái)投資者對(duì)期權(quán)的價(jià)值難以計(jì)算的難題，也為許多具有期權(quán)性質(zhì)的其它金融工具（如可轉(zhuǎn)換債券、抵押貸款等）價(jià)值的衡量提供了參考。在現(xiàn)代財(cái)務(wù)理論中，期權(quán)定價(jià)理論還可以應(yīng)用到企業(yè)的投資和融資的決策中。此外，期權(quán)定價(jià)理論的提出早于期權(quán)市場(chǎng)的建立，這是經(jīng)濟(jì)學(xué)產(chǎn)生以來(lái)唯一一次理論領(lǐng)先于實(shí)踐。

四、總結(jié)無(wú)套利原理是現(xiàn)代金融理論的精髓。無(wú)套利原理作為現(xiàn)代公司理財(cái)學(xué)研究的基本方法，促成了財(cái)務(wù)理論的突破?！盁o(wú)套利”研究方法的出現(xiàn)，標(biāo)志著現(xiàn)代公司理財(cái)學(xué)從傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)學(xué)的研究中獨(dú)立出來(lái)，而且成為取得后續(xù)一系列金融研究成果的基本分析手段?，F(xiàn)代公司理財(cái)學(xué)的主要的基本理論都與無(wú)套利原理有著