金融工程維納過程與伊藤引理教案課件

金融工程維納過程與伊藤引理金融工程維納過程與伊藤引理12教學(xué)目的與要求掌握隨機(jī)變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點(diǎn)，掌握維納過程的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握一般維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。掌握Ito過程的特征。

第1頁/共47頁2教學(xué)目的與要求第1頁/共47頁3教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)一、馬爾科夫過程與效率市場的關(guān)系。二、維納過程、一般維納過程與此同時(shí)Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)系和變化。三、Ito定理及其運(yùn)用。

第2頁/共47頁3教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)第2頁/共47頁4期權(quán)的估值歐式期權(quán)的到期收益Max(ST－X,0)ST不確定，所以期權(quán)到期的收益也不確定。期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值＝？風(fēng)險(xiǎn)中性估值期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值＝未來收益折現(xiàn)后的期望值c＝E[Max(ST－X,0)]問題ST的分布是怎樣的？只有確定ST的分布才能確定c的價(jià)值第3頁/共47頁4期權(quán)的估值歐式期權(quán)的到期收益第3頁/共47頁512.1 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程效率市場假說1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動是相互獨(dú)立的。效率市場分類效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價(jià)格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。第4頁/共47頁512.1 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程效率市場假說第4頁6半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息(包括“內(nèi)幕信息”)對挑選證券都沒有用處。效率市場假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。第5頁/共47頁6半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的7馬爾可夫過程弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程(MarkovStochasticProcess)來表述。馬爾科夫過程(Markovprocess)是一種特殊類型的隨機(jī)過程。未來的預(yù)測只與變量的當(dāng)前值有關(guān)，與變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式不相關(guān)。

股價(jià)的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致：一種股票的現(xiàn)價(jià)已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價(jià)格記錄。如果弱型市場有效性正確的話，技術(shù)分析師可通過分析股價(jià)的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不可能的。是市場競爭保證了弱型市場有效性成立。第6頁/共47頁7馬爾可夫過程第6頁/共47頁812.2 維納過程（WienerProcess）布朗運(yùn)動起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國植物學(xué)家RobertBrown命名。描述布朗運(yùn)動的隨機(jī)過程的定義是維納(wiener)給出的，因此布朗運(yùn)動又稱維納過程股價(jià)行為模型通常用布朗運(yùn)動來描述。布朗運(yùn)動是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式。第7頁/共47頁812.2 維納過程（WienerProcess）布朗9維納過程（WienerProcess）維納過程（WienerProcess）性質(zhì)一：股票價(jià)格的變動是一個(gè)正態(tài)變量與時(shí)間的乘積（ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）性質(zhì)二：任意兩個(gè)不重疊時(shí)段的股票價(jià)格變動相互獨(dú)立從性質(zhì)一，我們知道△z服從正態(tài)分布，性質(zhì)2則隱含z遵循馬爾科夫過程。維納過程/布朗運(yùn)動的特征股票價(jià)格在任意時(shí)段變動的均值都為0。股票價(jià)格在某一時(shí)段變動的方差等于時(shí)間的長度第8頁/共47頁9維納過程（WienerProcess）維納過程（Wi10程序：維納過程的模擬假定股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動，即dS=μdt+σdz，其中μ和σ均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，也就是說，在短時(shí)間Δt后，S值的變化值ΔS為假定股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，即dS=μdt+σdz,其中μ和σ均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，也就是說，在短時(shí)間Δt后，ln(S)值的變化值Δln(S)為第9頁/共47頁10程序：維納過程的模擬假定股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動，即dS當(dāng)股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖11第10頁/共47頁當(dāng)股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖11第10頁/共47頁當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖12第11頁/共47頁當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖12第11頁/共47頁13股票價(jià)格的一般變動一般化的維納過程變量本身隨著時(shí)間的推移會有定量的增長a×Δt除了時(shí)間價(jià)值之外的變動為布朗運(yùn)動第12頁/共47頁13股票價(jià)格的一般變動一般化的維納過程第12頁/共47頁1412.3股票價(jià)格的一般變動股票價(jià)格的變動股票價(jià)格有隨時(shí)間推移增長的穩(wěn)定趨勢股票“實(shí)際”價(jià)格變動為布朗運(yùn)動第13頁/共47頁1412.3股票價(jià)格的一般變動股票價(jià)格的變動第13頁/共4布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第14頁/共47頁布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第14頁/共47頁15指數(shù)布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第15頁/共47頁指數(shù)布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第15頁/共47頁16上證指數(shù)第16頁/共47頁上證指數(shù)第16頁/共47頁171812.4 Ito’sLemmaIto’sLemma假設(shè)存在一個(gè)伊藤過程：如果G是x和t的函數(shù)，即：G=G(x,t)那么：期權(quán)及其他衍生證券的價(jià)格變動股票價(jià)格服從維納過程：那么：第17頁/共47頁1812.4 Ito’sLemmaIto’sLemma19證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動過程服從：其中利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，ΔG(x,t)可以展開為第18頁/共47頁19證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動過程服從：其中利用泰勒20因此，上式可以改寫為保留1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng)第19頁/共47頁20因此，上式可以改寫為保留1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng)第121其中（忽略高階項(xiàng)）：第20頁/共47頁21其中（忽略高階項(xiàng)）：第20頁/共47頁22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。第21頁/共47頁22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。第21頁/2312.5股票價(jià)格的對數(shù)正態(tài)特性對數(shù)正態(tài)分布股票價(jià)格服從維納過程股票價(jià)格的分布為對數(shù)正態(tài)分布公式第22頁/共47頁2312.5股票價(jià)格的對數(shù)正態(tài)特性對數(shù)正態(tài)分布第22頁/共24關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布定義G=lnS，由于：所以有：即：顯然G為一個(gè)廣義維納過程，其漂移率為常數(shù)，波動率為常數(shù)。因此，lnS的變化服從正態(tài)分布，不難知道：第23頁/共47頁24關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布定義G=lnS，由于：第23頁/共47頁25對數(shù)正態(tài)分布第24頁/共47頁25對數(shù)正態(tài)分布第24頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析在很短的時(shí)間Δt后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見，在短時(shí)間內(nèi)，具有正態(tài)分布特征其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。第25頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析在很短的時(shí)間Δt后，證券價(jià)格比率的變化26幾何布朗運(yùn)動的深入分析（2）但是，在一個(gè)較長的時(shí)間T后，不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：多期收益率的乘積問題，服從正態(tài)分布的變量的乘積并不服從正態(tài)分布。而由于總的連續(xù)復(fù)利收益率等于各期收益率的加和，因此仍為正態(tài)分布。因此，盡管σ是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長度T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是。股票價(jià)格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。第26頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析（2）但是，在一個(gè)較長的時(shí)間T后，27幾何布朗運(yùn)動的深入分析（3）如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對數(shù)lnS所遵循的隨機(jī)過程：這個(gè)隨機(jī)過程的特征：普通布朗運(yùn)動：恒定的漂移率和恒定的方差率。在任意時(shí)間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為，方差為。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為，和時(shí)間長度平方根成正比。從自然對數(shù)lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論:第27頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析（3）如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，則28（1）幾何布朗運(yùn)動意味著股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在T－t期間G的變化為：這意味著：進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到也就是說，證券價(jià)格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。這正好與μ作為預(yù)期收益率的定義相符。第28頁/共47頁（1）幾何布朗運(yùn)動意味著股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)刻G29（2）股票價(jià)格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動實(shí)際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。將t與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為η，則第29頁/共47頁（2）股票價(jià)格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)30結(jié)論幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動過程。第30頁/共47頁結(jié)論幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動過程。第30頁/共313212.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬有關(guān)蒙特卡羅方法的由來取名于摩納哥的著名賭城擲色子是一個(gè)隨機(jī)事件蒙特卡羅方法任何涉及隨機(jī)采樣的數(shù)值方法不僅僅用于有關(guān)隨機(jī)的問題估計(jì)圓周率π優(yōu)化問題40年代美國Los

Alamos實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家用于核武器的研究代表人物：馮諾依曼第31頁/共47頁3212.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬有關(guān)蒙特卡羅方法的由來經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，如果我們對某種估計(jì)方法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不是很了解，而又要用到該種方法時(shí)，可以用MonteCarlo方法來解決.

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子:對聯(lián)立方程偏誤的定量研究.確定Dickey-Fuller檢驗(yàn)的臨界值.確定在自相關(guān)檢驗(yàn)中樣本大小對檢驗(yàn)功效的影響.

第32頁/共47頁經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法第32頁/33經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法

在金融中的例子:奇異期權(quán)的定價(jià).確定宏觀環(huán)境對金融市場的影響.風(fēng)險(xiǎn)管理建模:壓力測試，例如，確定最小資本要求.第33頁/共47頁經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法第33頁/34模擬中的“隨機(jī)數(shù)”進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)的關(guān)鍵是要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)。例如模擬樣本為100的隨機(jī)趨勢過程的DF統(tǒng)計(jì)量的分布，若試驗(yàn)1萬次，則需要生成200萬個(gè)隨機(jī)數(shù)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機(jī)數(shù)一般是服從N(0,1)分布的隨機(jī)數(shù)。計(jì)算機(jī)所生成的隨機(jī)數(shù)并不是“純隨機(jī)數(shù)”，而是具有某種相同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)，即某種“偽隨機(jī)數(shù)”（pseudo-randomnumber）。生成隨機(jī)數(shù)的程序稱作“偽隨機(jī)數(shù)生成系統(tǒng)”。實(shí)際上計(jì)算機(jī)不可能生成純隨機(jī)數(shù)。第34頁/共47頁模擬中的“隨機(jī)數(shù)”進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而35模擬的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要通過計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)。常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一樣。若干例子見圖。第35頁/共47頁模擬的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要通過計(jì)算機(jī)編程36圖1隨機(jī)游走序列圖2帶趨勢項(xiàng)的隨機(jī)游走序列圖3三維圖圓環(huán)圖4空間曲面第36頁/共47頁圖1隨機(jī)游走序列37圖5投幣1000次的概率值模擬圖6生長曲線圖7二元正態(tài)分布圖8蒲豐問題第37頁/共47頁圖5投幣1000次的概率值模擬383912.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)我們從幾個(gè)例子來看例1：兩個(gè)I(1)變量相關(guān)系數(shù)分布的蒙特卡羅模擬未達(dá)到N圖11蒙特卡羅模擬過程示意圖生成xt,ytI(1)估計(jì)相關(guān)系數(shù)r分析r的分布設(shè)定循環(huán)次數(shù)N設(shè)定xt,yt

I(1)第38頁/共47頁3912.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)我們從幾個(gè)例子來看生成EViews程序如下：workfilecorru1500seriesresultfor!i=1to500 smpl1100 seriesx=nrnd seriesy=nrnd seriesxx seriesyy scalarsum1=0 scalarsum2=0 for!counter=1to100 sum1=sum1+x(!counter) sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1 yy(!counter)=sum2 next scalarr=@cor(xx,yy) result(!i)=rnextresult.hist定義一個(gè)非時(shí)間序列（u）工作文件，corr，容量為500。定義一個(gè)空序列result，用來存儲相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。!i為控制變量，通過一個(gè)for循環(huán)語句使計(jì)算進(jìn)行500次。把樣本范圍設(shè)置成100。生成兩個(gè)互不相關(guān)的白噪聲序列x、y，樣本容量100。定義兩個(gè)空的序列xx和yy，樣本容量也是100。定義兩個(gè)標(biāo)量sum1和sum2，初始值為0。!counter為控制變量，在這個(gè)for循環(huán)中，分別對序列x和y進(jìn)行一次累加生成兩個(gè)一階單整的序列，將結(jié)果分別放到序列xx和yy中。累加一次。計(jì)算序列xx和yy的相關(guān)系數(shù)，并將結(jié)果放到標(biāo)量r中。將相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果放到序列result中，在這個(gè)for循環(huán)中，這個(gè)操作要進(jìn)行500次。顯示序列result的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計(jì)量。第39頁/共47頁EViews程序如下：workfilecorru1540圖13兩個(gè)非相關(guān)I(1)序列的相關(guān)系數(shù)的分布第40頁/共47頁圖13兩個(gè)非相關(guān)I(1)序列的相關(guān)系數(shù)的分布第40頁/41例2：DW統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬生成T=50的相互獨(dú)立的IN(0,1)序列ut

和vt用ut

和vt分別生成兩個(gè)相互獨(dú)立的I(1)序列yt=yt-1+ut,y0=0,xt=xt-1+vt,x0=0,估計(jì)模型yt=0+1xt+wt

并計(jì)算殘差用殘差計(jì)算DW統(tǒng)計(jì)量的值存儲2000個(gè)DW值畫DW頻數(shù)分布直方圖。記錄T=50條件下DW分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差和第90、95、99百分位數(shù)。分別估計(jì)DW均值、標(biāo)準(zhǔn)差和第90、95、99百分位數(shù)值對(1/T)的響應(yīng)面函數(shù)第41頁/共47頁例2：DW統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬生成T=50的相互獨(dú)立的42例3（利用模擬方法對歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)）設(shè)股票價(jià)格St服從風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的幾何Brown運(yùn)動：其離散化形式為根據(jù)金融工程理論，設(shè)現(xiàn)在股票價(jià)格為S0，T時(shí)刻到期（單位天），敲定價(jià)為K的歐式看漲期權(quán)的價(jià)格為MC方案：按照（1）遞推產(chǎn)生n條風(fēng)險(xiǎn)中性測度下的軌道，提取出ST(n)；（2）第42頁/共47頁例3（利用模擬方法對歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)）其離散化形4344對一個(gè)大眾型歐式看漲期權(quán)的定價(jià).具體步驟如下:確定標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)據(jù)產(chǎn)生過程.通常假設(shè)該過程為具有漂移的隨機(jī)游走，即要確定漂移和波動參數(shù).同時(shí)要確定行權(quán)價(jià)格K

及到期日T.產(chǎn)生T

個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的數(shù)據(jù)，作為誤差項(xiàng),ut

N(0,1).構(gòu)造T

個(gè)標(biāo)的資產(chǎn)的觀測值.例3:利用模擬方法對歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)第43頁/共47頁44對一個(gè)大眾型歐式看漲期權(quán)的定價(jià).具體步驟如下:例3:利45記錄在時(shí)刻

T

時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格ST.對一個(gè)看漲期權(quán)如果

ST<K,則價(jià)值為０.如果

ST>K,則價(jià)值為ST-K,然后用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn).重復(fù)1到4步N

次,取

N

重復(fù)的平均值，這個(gè)平均值就是該歐式看漲期權(quán)的價(jià)格.對于更加復(fù)雜期權(quán)的定價(jià)可以按同樣思路進(jìn)行.例:利用模擬方法對歐式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)(續(xù))第44頁/共47頁45記錄在時(shí)刻T時(shí)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格ST.對一個(gè)看漲期權(quán)如有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器—能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻分布的隨機(jī)數(shù)Excel中在excel中可以采用RAND（）產(chǎn)生一個(gè)0和1之間的隨機(jī)數(shù)，累積正態(tài)分布分布的反函數(shù)為NORMSINV。所以，EXCEL中從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中隨機(jī)抽樣的方法是：NORMSINV（RAND（））STATA中生成（0，1）之間偽隨機(jī)數(shù)的命令為uniform每運(yùn)行”diuniform()”命令一次，就可以得到一個(gè)隨機(jī)數(shù).simulate[exp_list],reps(#)[saving(filename[,replace])seed(#)]:command例simulatemax=r(max),reps(10000)nodots:seq3，效果就是重復(fù)一萬次，取平均數(shù)第45頁/共47頁有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器—能夠產(chǎn)生在區(qū)間[0,1]上均勻46有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器例：虛假回歸。隨機(jī)生成兩個(gè)隨機(jī)游走序列（100個(gè)樣本），進(jìn)行回歸，計(jì)算估計(jì)量和t統(tǒng)計(jì)量；如此反復(fù)10000次。（1）利用均勻分布或正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)生成器生成隨機(jī)游走過程。（2）通過如下命令進(jìn)行模擬。.simulatebeta=(r(b1))se=(r(se1)),reps(200):rdwalk,diff(11)（3）觀察其分布，并與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相比較。.gent=beta/se.histogramt.twowayhistogramt||functiony=normalden(x,0,1),range(-33)第46頁/共47頁有關(guān)隨機(jī)數(shù)發(fā)生器例：虛假回歸。隨機(jī)生成兩個(gè)隨機(jī)游走序列（1047Dr.Fan48感謝您的觀看。第47頁/共47頁Dr.Fan48感謝您的觀看。第47頁/共47頁金融工程維納過程與伊藤引理金融工程維納過程與伊藤引理4950教學(xué)目的與要求掌握隨機(jī)變量的概念，了解馬爾科夫過程的特點(diǎn)，掌握維納過程的特點(diǎn)和性質(zhì)，掌握一般維納過程的特征以及其漂移率和方差率，維納過程的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。掌握Ito過程的特征。

第1頁/共47頁2教學(xué)目的與要求第1頁/共47頁51教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)一、馬爾科夫過程與效率市場的關(guān)系。二、維納過程、一般維納過程與此同時(shí)Ito過程的特征，漂移率和方差率，變量的均值與方差。以及這幾種過程的內(nèi)在聯(lián)系和變化。三、Ito定理及其運(yùn)用。

第2頁/共47頁3教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)第2頁/共47頁52期權(quán)的估值歐式期權(quán)的到期收益Max(ST－X,0)ST不確定，所以期權(quán)到期的收益也不確定。期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值＝？風(fēng)險(xiǎn)中性估值期權(quán)當(dāng)期的價(jià)值＝未來收益折現(xiàn)后的期望值c＝E[Max(ST－X,0)]問題ST的分布是怎樣的？只有確定ST的分布才能確定c的價(jià)值第3頁/共47頁4期權(quán)的估值歐式期權(quán)的到期收益第3頁/共47頁5312.1 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程效率市場假說1965年，法瑪(Fama)提出了著名的效率市場假說。該假說認(rèn)為：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬；證券價(jià)格對新的市場信息的反應(yīng)是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)格能完全反應(yīng)全部信息；市場競爭使證券價(jià)格從一個(gè)均衡水平過渡到另一個(gè)均衡水平，而與新信息相應(yīng)的價(jià)格變動是相互獨(dú)立的。效率市場分類效率市場假說可分為三類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式。弱式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格變動的歷史不包含任何對預(yù)測證券價(jià)格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術(shù)分析獲得超過平均收益率的收益。第4頁/共47頁512.1 弱式效率市場假說與馬爾可夫過程效率市場假說第4頁54半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調(diào)整，因此以往的價(jià)格和成交量等技術(shù)面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價(jià)格被高估或低估的證券。強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關(guān)信息都已反映在股價(jià)中，因此任何信息(包括“內(nèi)幕信息”)對挑選證券都沒有用處。效率市場假說提出后，許多學(xué)者運(yùn)用各種數(shù)據(jù)對此進(jìn)行了實(shí)證分析。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，發(fā)達(dá)國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。第5頁/共47頁6半強(qiáng)式效率市場假說認(rèn)為，證券價(jià)格會迅速、準(zhǔn)確地根據(jù)可獲得的55馬爾可夫過程弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機(jī)過程(MarkovStochasticProcess)來表述。馬爾科夫過程(Markovprocess)是一種特殊類型的隨機(jī)過程。未來的預(yù)測只與變量的當(dāng)前值有關(guān)，與變量過去的歷史和變量從過去到現(xiàn)在的演變方式不相關(guān)。

股價(jià)的馬爾科夫性質(zhì)與弱型市場有效性(theweakformofmarketefficiency)相一致：一種股票的現(xiàn)價(jià)已經(jīng)包含了所有信息，當(dāng)然包括了所有過去的價(jià)格記錄。如果弱型市場有效性正確的話，技術(shù)分析師可通過分析股價(jià)的過去歷史數(shù)據(jù)圖表獲得高于平均收益率的收益是不可能的。是市場競爭保證了弱型市場有效性成立。第6頁/共47頁7馬爾可夫過程第6頁/共47頁5612.2 維納過程（WienerProcess）布朗運(yùn)動起源于物理學(xué)中對完全浸沒于液體或氣體中的小粒子運(yùn)動的描述，以發(fā)現(xiàn)這種現(xiàn)象的英國植物學(xué)家RobertBrown命名。描述布朗運(yùn)動的隨機(jī)過程的定義是維納(wiener)給出的，因此布朗運(yùn)動又稱維納過程股價(jià)行為模型通常用布朗運(yùn)動來描述。布朗運(yùn)動是馬爾科夫隨機(jī)過程的一種特殊形式。第7頁/共47頁812.2 維納過程（WienerProcess）布朗57維納過程（WienerProcess）維納過程（WienerProcess）性質(zhì)一：股票價(jià)格的變動是一個(gè)正態(tài)變量與時(shí)間的乘積（ε服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）性質(zhì)二：任意兩個(gè)不重疊時(shí)段的股票價(jià)格變動相互獨(dú)立從性質(zhì)一，我們知道△z服從正態(tài)分布，性質(zhì)2則隱含z遵循馬爾科夫過程。維納過程/布朗運(yùn)動的特征股票價(jià)格在任意時(shí)段變動的均值都為0。股票價(jià)格在某一時(shí)段變動的方差等于時(shí)間的長度第8頁/共47頁9維納過程（WienerProcess）維納過程（Wi58程序：維納過程的模擬假定股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動，即dS=μdt+σdz，其中μ和σ均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，也就是說，在短時(shí)間Δt后，S值的變化值ΔS為假定股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，即dS=μdt+σdz,其中μ和σ均為常數(shù)，dz遵循標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動，也就是說，在短時(shí)間Δt后，ln(S)值的變化值Δln(S)為第9頁/共47頁10程序：維納過程的模擬假定股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動，即dS當(dāng)股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖59第10頁/共47頁當(dāng)股票價(jià)格服從普通布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖11第10頁/共47頁當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖60第11頁/共47頁當(dāng)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動時(shí)的走勢圖12第11頁/共47頁61股票價(jià)格的一般變動一般化的維納過程變量本身隨著時(shí)間的推移會有定量的增長a×Δt除了時(shí)間價(jià)值之外的變動為布朗運(yùn)動第12頁/共47頁13股票價(jià)格的一般變動一般化的維納過程第12頁/共47頁6212.3股票價(jià)格的一般變動股票價(jià)格的變動股票價(jià)格有隨時(shí)間推移增長的穩(wěn)定趨勢股票“實(shí)際”價(jià)格變動為布朗運(yùn)動第13頁/共47頁1412.3股票價(jià)格的一般變動股票價(jià)格的變動第13頁/共4布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第14頁/共47頁布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第14頁/共47頁63指數(shù)布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第15頁/共47頁指數(shù)布朗運(yùn)動－股票價(jià)格第15頁/共47頁64上證指數(shù)第16頁/共47頁上證指數(shù)第16頁/共47頁656612.4 Ito’sLemmaIto’sLemma假設(shè)存在一個(gè)伊藤過程：如果G是x和t的函數(shù)，即：G=G(x,t)那么：期權(quán)及其他衍生證券的價(jià)格變動股票價(jià)格服從維納過程：那么：第17頁/共47頁1812.4 Ito’sLemmaIto’sLemma67證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動過程服從：其中利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，ΔG(x,t)可以展開為第18頁/共47頁19證明：如前述，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動過程服從：其中利用泰勒68因此，上式可以改寫為保留1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng)第19頁/共47頁20因此，上式可以改寫為保留1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng)第169其中（忽略高階項(xiàng)）：第20頁/共47頁21其中（忽略高階項(xiàng)）：第20頁/共47頁70因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。第21頁/共47頁22因此，可得由此得到代入前述公式可得到伊藤引理。第21頁/7112.5股票價(jià)格的對數(shù)正態(tài)特性對數(shù)正態(tài)分布股票價(jià)格服從維納過程股票價(jià)格的分布為對數(shù)正態(tài)分布公式第22頁/共47頁2312.5股票價(jià)格的對數(shù)正態(tài)特性對數(shù)正態(tài)分布第22頁/共72關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布定義G=lnS，由于：所以有：即：顯然G為一個(gè)廣義維納過程，其漂移率為常數(shù)，波動率為常數(shù)。因此，lnS的變化服從正態(tài)分布，不難知道：第23頁/共47頁24關(guān)于對數(shù)正態(tài)分布定義G=lnS，由于：第23頁/共47頁73對數(shù)正態(tài)分布第24頁/共47頁25對數(shù)正態(tài)分布第24頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析在很短的時(shí)間Δt后，證券價(jià)格比率的變化值為：可見，在短時(shí)間內(nèi)，具有正態(tài)分布特征其均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，方差為。第25頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析在很短的時(shí)間Δt后，證券價(jià)格比率的變化74幾何布朗運(yùn)動的深入分析（2）但是，在一個(gè)較長的時(shí)間T后，不再具有正態(tài)分布的性質(zhì)：多期收益率的乘積問題，服從正態(tài)分布的變量的乘積并不服從正態(tài)分布。而由于總的連續(xù)復(fù)利收益率等于各期收益率的加和，因此仍為正態(tài)分布。因此，盡管σ是短期內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率的標(biāo)準(zhǔn)差，但是在任意時(shí)間長度T后，這個(gè)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差卻不再是。股票價(jià)格的年波動率并不是一年內(nèi)股票價(jià)格百分比收益率變化的標(biāo)準(zhǔn)差。第26頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析（2）但是，在一個(gè)較長的時(shí)間T后，75幾何布朗運(yùn)動的深入分析（3）如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，則可以利用Ito引理來推導(dǎo)證券價(jià)格自然對數(shù)lnS所遵循的隨機(jī)過程：這個(gè)隨機(jī)過程的特征：普通布朗運(yùn)動：恒定的漂移率和恒定的方差率。在任意時(shí)間長度T之后，G的變化仍然服從正態(tài)分布，均值為，方差為。標(biāo)準(zhǔn)差仍然可以表示為，和時(shí)間長度平方根成正比。從自然對數(shù)lnS所遵循的這個(gè)隨機(jī)過程可以得到兩個(gè)結(jié)論:第27頁/共47頁幾何布朗運(yùn)動的深入分析（3）如果股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動，則76（1）幾何布朗運(yùn)動意味著股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)刻G的值為lnS，T時(shí)刻G的值為lnST，其中S表示t時(shí)刻（當(dāng)前時(shí)刻）的證券價(jià)格，ST表示T時(shí)刻（將來時(shí)刻）的證券價(jià)格，則在T－t期間G的變化為：這意味著：進(jìn)一步從正態(tài)分布的性質(zhì)可以得到也就是說，證券價(jià)格對數(shù)服從正態(tài)分布。如果一個(gè)變量的自然對數(shù)服從正態(tài)分布，則稱這個(gè)變量服從對數(shù)正態(tài)分布。這表明ST服從對數(shù)正態(tài)分布。這正好與μ作為預(yù)期收益率的定義相符。第28頁/共47頁（1）幾何布朗運(yùn)動意味著股票價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布。令t時(shí)刻G77（2）股票價(jià)格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)利的對數(shù)收益率。因此幾何布朗運(yùn)動實(shí)際上意味著對數(shù)收益率遵循普通布朗運(yùn)動，對數(shù)收益率的變化服從正態(tài)分布，對數(shù)收益率的標(biāo)準(zhǔn)差與時(shí)間的平方根成比例。將t與T之間的連續(xù)復(fù)利年收益率定義為η，則第29頁/共47頁（2）股票價(jià)格對數(shù)收益率服從正態(tài)分布由于dG實(shí)際上就是連續(xù)復(fù)78結(jié)論幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動過程。第30頁/共47頁結(jié)論幾何布朗運(yùn)動較好地描繪了股票價(jià)格的運(yùn)動過程。第30頁/共798012.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬有關(guān)蒙特卡羅方法的由來取名于摩納哥的著名賭城擲色子是一個(gè)隨機(jī)事件蒙特卡羅方法任何涉及隨機(jī)采樣的數(shù)值方法不僅僅用于有關(guān)隨機(jī)的問題估計(jì)圓周率π優(yōu)化問題40年代美國Los

Alamos實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家用于核武器的研究代表人物：馮諾依曼第31頁/共47頁3212.6 隨機(jī)過程的蒙特卡羅模擬有關(guān)蒙特卡羅方法的由來經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)里，如果我們對某種估計(jì)方法的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)不是很了解，而又要用到該種方法時(shí)，可以用MonteCarlo方法來解決.

在計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的例子:對聯(lián)立方程偏誤的定量研究.確定Dickey-Fuller檢驗(yàn)的臨界值.確定在自相關(guān)檢驗(yàn)中樣本大小對檢驗(yàn)功效的影響.

第32頁/共47頁經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法第32頁/81經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法

在金融中的例子:奇異期權(quán)的定價(jià).確定宏觀環(huán)境對金融市場的影響.風(fēng)險(xiǎn)管理建模:壓力測試，例如，確定最小資本要求.第33頁/共47頁經(jīng)濟(jì)和金融中的模擬方法MonteCarlo方法第33頁/82模擬中的“隨機(jī)數(shù)”進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)的關(guān)鍵是要產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)。例如模擬樣本為100的隨機(jī)趨勢過程的DF統(tǒng)計(jì)量的分布，若試驗(yàn)1萬次，則需要生成200萬個(gè)隨機(jī)數(shù)。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中蒙特卡羅模擬和自舉模擬所用到的隨機(jī)數(shù)一般是服從N(0,1)分布的隨機(jī)數(shù)。計(jì)算機(jī)所生成的隨機(jī)數(shù)并不是“純隨機(jī)數(shù)”，而是具有某種相同統(tǒng)計(jì)性質(zhì)的隨機(jī)數(shù)，即某種“偽隨機(jī)數(shù)”（pseudo-randomnumber）。生成隨機(jī)數(shù)的程序稱作“偽隨機(jī)數(shù)生成系統(tǒng)”。實(shí)際上計(jì)算機(jī)不可能生成純隨機(jī)數(shù)。第34頁/共47頁模擬中的“隨機(jī)數(shù)”進(jìn)行蒙特卡羅模擬首先要設(shè)定數(shù)據(jù)生成系統(tǒng)。而83模擬的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要通過計(jì)算機(jī)編程來實(shí)現(xiàn)。常用的軟件有Mathematica，Gauss，Ox，EViews，Stata等。其原理基本一樣。若干例子見圖。第35頁/共47頁模擬的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)蒙特卡羅模擬和自舉模擬的實(shí)現(xiàn)要通過計(jì)算機(jī)編程84圖1隨機(jī)游走序列圖2帶趨勢項(xiàng)的隨機(jī)游走序列圖3三維圖圓環(huán)圖4空間曲面第36頁/共47頁圖1隨機(jī)游走序列85圖5投幣1000次的概率值模擬圖6生長曲線圖7二元正態(tài)分布圖8蒲豐問題第37頁/共47頁圖5投幣1000次的概率值模擬868712.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)我們從幾個(gè)例子來看例1：兩個(gè)I(1)變量相關(guān)系數(shù)分布的蒙特卡羅模擬未達(dá)到N圖11蒙特卡羅模擬過程示意圖生成xt,ytI(1)估計(jì)相關(guān)系數(shù)r分析r的分布設(shè)定循環(huán)次數(shù)N設(shè)定xt,yt

I(1)第38頁/共47頁3912.7 蒙特卡羅模擬的實(shí)現(xiàn)我們從幾個(gè)例子來看生成EViews程序如下：workfilecorru1500seriesresultfor!i=1to500 smpl1100 seriesx=nrnd seriesy=nrnd seriesxx seriesyy scalarsum1=0 scalarsum2=0 for!counter=1to100 sum1=sum1+x(!counter) sum2=sum2+y(!counter) xx(!counter)=sum1 yy(!counter)=sum2 next scalarr=@cor(xx,yy) result(!i)=rnextresult.hist定義一個(gè)非時(shí)間序列（u）工作文件，corr，容量為500。定義一個(gè)空序列result，用來存儲相關(guān)系數(shù)的計(jì)算結(jié)果。!i為控制變量，通過一個(gè)for循環(huán)語句使計(jì)算進(jìn)行500次。把樣本范圍設(shè)置成100。生成兩個(gè)互不相關(guān)的白噪聲序列x、y，樣本容量100。定義兩個(gè)空的序列xx和yy，樣本容量也是100。定義兩個(gè)標(biāo)量sum1和sum2，初始值為0。!counter為控制變量，在這個(gè)for循環(huán)中，分別對序列x和y進(jìn)行一次累加生成兩個(gè)一階單整的序列，將結(jié)果分別放到序列xx和yy中。累加一次。計(jì)算序列xx和yy的相關(guān)系數(shù)，并將結(jié)果放到標(biāo)量r中。將相關(guān)系數(shù)計(jì)算結(jié)果放到序列result中，在這個(gè)for循環(huán)中，這個(gè)操作要進(jìn)行500次。顯示序列result的直方圖以及有關(guān)統(tǒng)計(jì)量。第39頁/共47頁EViews程序如下：workfilecorru1588圖13兩個(gè)非相關(guān)I(1)序列的相關(guān)系數(shù)的分布第40頁/共47頁圖13兩個(gè)非相關(guān)I(1)序列的相關(guān)系數(shù)的分布第40頁/89例2：DW統(tǒng)計(jì)量分布的蒙特卡羅模擬生成T=50的相互獨(dú)立的IN(0,1)序列ut

和vt用ut

和vt分別生成兩個(gè)相互獨(dú)立的I(1)序列yt=yt-1+ut,y0=0,xt=