河南省洛陽市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)(文)試題

河南省洛陽市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)（文）試題學(xué)校:姓名：班級：一、單選題1.已知集合A=（2x2—5x-3><2},則AB=(A.x-—<x<2!B{x<-2或x>3}C2I??2n1x-2<x<-22.D.x-2<x--2在下列四個命題中：“若b=3，則b2=9”的逆命題;“全等三角形的面積相等”的否命題；“c<1”是“x2+2x+c=0有實根”的充分不必要條件;④“若AoB=A，則AuB”的逆否命題.其中真命題的個數(shù)為（）A．A．1B．23.設(shè)S是等差數(shù)列｛a｝的前n項和,nnA．3B．27C．3D．4且a+2a+a=12，S=（）2749C．54D．364．雙曲線的實半軸長為4，焦距為10，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A．x2A．x28416x2-2^=116-~9=C．5．在ABC中，已知A=60°,a=C．5．在ABC中，已知A=60°,a=2朽,b=2，則B=A．30。B．60°C.30?；?50°D．60°或120°6．△已知函數(shù)f(x)=x2+3x+1,則limf(1+心)-f(1)=Axt02AxD.乂-蘭=1或蘭-乂=116841684x_l\°7?已知x,yx_l\°7?已知x,y滿足約束條件<x_2y<2，若z=x+y_心則z的取值范圍為A．B．(31—s,—[2,+s)I2」UC．D．8.設(shè)平面a與平面B相交于直線m,直線a在平面a內(nèi)，直線b在平面B內(nèi)，且b丄m則“a丄卩”是“a丄b”的（）A.A.充分不必要條件B?必要不充分條件C充要條件D.C充要條件ba9.ABC中A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，滿足1-忌<b+C'則角C的范圍是（）A的范圍是（）A、n」Be，日兀\兀）C．-,兀D．—,兀-3JL6丿10?已知F是橢圓M：1|+與二1的右焦點，A,B是橢圓M上關(guān)于原點O對稱的兩點，若FAFB=0，則AFAB的內(nèi)切圓的面積為（）A.5兀B.4兀C.2兀D.兀11.已知等比數(shù)列昭｝的各項都為正數(shù)，當(dāng)n>3時，aa=102n，設(shè)數(shù)列｛lga｝的n42n-4n1前n項和為Sn，<n的前n項和為T，n則T等于（2020）2020201920194040A.—B.—C.一D.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），其導(dǎo)函數(shù)為ffx，當(dāng)x>0時，恒有3f'(x)—f(—x)<0.則不等式x3f(x)—(1+2x》f(1+2x)<0的解集為()A.x<—1^或x>—_A.3二、填空題I兀兀ITOC\o"1-5"\h\z若“叫閆6,亍I使得tanx0-m”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍為.在ABC中，已知(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB，則角C=.已知函數(shù)f(x)=竺-a有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是.x已知拋物線y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過F的直線與拋物線相交于A，B兩點，A在第一象限，AM丄l，BN丄/，垂足分別為M，N，且AMAB的面積是ANAB的面積的3倍，則直線l的斜率為.三、解答題已知全集U二R，非空集合A={x1(x-2)[x-(3a+1)]<0}，B={xIa<x<a2+2},記p:x&A,q:x&B，若P是q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.cosCc+2b門在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足+=0.cosAa求A的值；△若ABC外接圓半徑為3，b+c=2紆，求ABC的面積.已知等比數(shù)列b}的前n項和為S.已知S=-6，S=42.nn36△△⑴求a，S；nn(2)證明SS，S2是成等差數(shù)列.n+1nn+2已知函數(shù)f(x)=x-alnx(agR).當(dāng)a=2時，求曲線y=f(x)在點A(1,f(1))處的切線方程；討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.已知橢圓C:乂+啟=1(a>0,b>0)的離心率為遼，其左，右焦點分別為F，a2b221F「點P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，且OP=◎，PF-PF=學(xué)其中O為坐標(biāo)原點.22124(1)求橢圓C的方程;(1)(2)過點S0,-3，且斜率為k的動直線l交橢圓于A,B兩點，求弦AB的垂直平V3丿分線在x軸上截距的最大值.22.已知函數(shù)f(x)=Inx+2x+1,g(x)=x2+x.求函數(shù)y=/(x)-g(x)的極值；若對任意x>0，都有f(x)—mg(x)<0成立，求整數(shù)m的最小值.22參考答案1．D【解析】【分析】分別化簡集合A，B，再求其交集即可.【詳解】1Ax；2x25x30x3或x2B???x||x|2x2x2，ABx2x12故選:D.【點睛】本題考查集合的運算，考查解不等式，屬于簡單題.2．A【分析】一一分析每個命題的真假性即可.【詳解】原命題的逆命題為若b29,則b3”是個假命題；原命題的否命題為不全等的三角形,它們的面積不相等”是個假命題；若x22xc0有實根，則44c0c1，所以“c1”是“X22xc0有實根”勺充分不必要條件，故其是個真命題；若ABA,則BA，故原命題為假命題，則其逆否命題也為假命題;故選:A.【點睛】本題考查了命題的真假性判斷，結(jié)合了集合的相關(guān)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3．B【分析】利用等差中項的性質(zhì)化簡等式可得a5=3，從而可以求出S9.詳解】a+2a+a=12274V4a5=12,即a5=3,...5=9（《+“）=9^=9a=27,9225’故選:B.點睛】本題考查了等差中項的應(yīng)用,屬于簡單題.4．C分析】根據(jù)題意解出a=4,c=5,所以b二3,以此即可得到雙曲線的方程.詳解】由雙曲線的實半軸長為4,焦距為10,可得a=4,c=5,所以b=3,又雙曲線的焦點可能在x軸上，也有可能在y軸上,所以雙曲線的方程為:16氣二1或話氣=1,故選:C.點睛】本題考查求雙曲線的標(biāo)椎方程,屬于簡單題.解此類題要注意焦點所在坐標(biāo)軸,不要錯寫或者漏寫方程.5．A分析】根據(jù)正弦定理即可求出sinB，再利用大邊對大角的性質(zhì)即可確定b的值.2J322J322,ab————=—ssinB2,在abc中,由正弦定理臥TsnB可得逼sinB

所以B二30或150,OO又a〉b，所以A>B,所以B二30,故選:A.°【點睛】本題考查正弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.注意出現(xiàn)多解問題時,要檢驗是否所有答案都滿足題意.6．B【分析】化簡limf"弋Lf"=2f'（l）,因此，利用求導(dǎo)公式求出廣⑴即可得解.Axt02【詳解】f(x)=x2+3x+1,則f(x)=2x+3,f(1)=5,所以limAx所以limAxt0f(1+Ax)—f(1)2Ax=1?limf(1心)—f(1)=1?f，(1)=52Ax—0Ax22Ax故選:B.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計算,考查瞬時變化率,屬于基礎(chǔ)題.7．A【分析】畫出可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,結(jié)合圖像求解.【詳解】畫出滿足約束條件的可行域如下圖所示:代表可行域內(nèi)的點(x,y)與點P(O,1)連線的斜率,結(jié)合圖像可知，當(dāng)(x，y)落在a時，斜率最大,x—1二0聯(lián)立］x+y-4=O'解得A（1'3），此時'max二2,當(dāng)(x,y)落在B時,斜率最小,x—1二013聯(lián)立1x—2y—2二O'解得B（1,—2）,此時Zmin=-2,因此,z的取值范圍為[-3,2],故選:A.點睛】本題主要考查線性規(guī)劃,考查數(shù)形結(jié)合思想的運用.此類線性規(guī)劃問題中,目標(biāo)函數(shù)常代表的幾何意義一般有截距,斜率,距離等.8．A詳解】試題分析：a丄卩，b丄又直線a在平面a內(nèi)，所以a丄b,但直線不一定相交，所以“a丄卩”是“a丄b”的充分不必要條件，故選A.考點：充分條件、必要條件.9．A【分析】化簡已知不等式可得a2+b2-c2>ab，利用余弦定理得COSC>2，利用余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可求C的范圍.詳解】，得：(a+c)+b(b+c)>(b+c)(a+c)化簡得：a2+b2-c2>ab,同除以2ab，利用余弦定理得cosC>2,兀所以0<C<亍.故選：A【點睛】本題考查了余弦定理、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10．D【分析】畫圖分析焦點三角形的面積再利用等面積法求解即可.【詳解】如圖，設(shè)左焦點為F］，連接AF］，BF］，因為FAFB=0,故FA丄FB，故四邊形件AFB為矩形.7故沐FAB=SMFB=點=7,又AB=FF2,故AFAB的內(nèi)切圓半徑r滿足14一一一一S=—(AB+AF+BF)r=x(6+8)r=7,解得r=1.AFAB的內(nèi)切圓的面積為兀.AFAB22故選：D【點睛】本題主要考查了橢圓焦點三角形的面積公式與等面積法求內(nèi)切圓半徑等.屬于中等題型.11．D【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)化簡aa二102”，得到a二10”，從而可以算出｛lga｝的通項公式，進42n—4n”而求出其前”項和，再結(jié)合裂項相消法即可得出結(jié)論.【詳解】在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝中，n當(dāng)n>3時,aa=102”側(cè)有a=10”,42n—4n由于數(shù)列｛a｝為等比數(shù)列，所以％二10,q二10,n1所以a=10n(neN*),n則lga二lg10n二n,n所以其前n項和Sn=今，1211所以〒)二2(——1),Sn(1+n)nn+1n所以T=2(1—2+2—1+20202所以T=2(1—2+2—1+20202232020202120212021'故選:D.點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合運用,需要學(xué)生熟練掌握其性質(zhì)并靈活應(yīng)用,屬于中檔題.12．B分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)二X3f(x)，則可推出g(x)的奇偶性與單調(diào)性，再利用其單調(diào)性解不等式即可.詳解】令g(X)二X3f(X),x則可得g'(x)=3x2f(x)+X3f'(x)=3x2[f(x)+3f'(X)],又當(dāng)x>0時，恒有|f'(x)-f(-x)=|fr(x)+f(x)<0,14.14.分析】14.14.分析】即x>0時,g-(x)<0,所以g(x)在［0,+b)上單調(diào)遞減，又f(-x)=-f(x),則g(-x)=-x^(-x)=g(x),所以g(x)為偶函數(shù)，所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞增，又由X3f(x)-(1+2x)3f(1+2x)<0可得,g(x)vg(l+2x),故|x|>1+2x|,即x2>(1+2x)2，解得-1<x<-1,故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用,能正確構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.13.v'3,+co【分析】根據(jù)題意,寫出原命題的否定,則其是一個真命題,再據(jù)此求范圍即可.【詳解】「兀兀因為“弓兀0G石，"3使得tanxo>m”是假命題,所以其否定:“冷W兀兀所以其否定:“冷W兀兀6，!,tanx<m”是真命題,時，tanxg所以m>、］3,故答案為:('3,+8).【點睛】本題考查命題的真假關(guān)系,考查三角函數(shù)求最值,屬于簡單題.在解決命題真假性相關(guān)問題時,若原命題不好求解,可以考慮與之相關(guān)的其他命題,比如命題的否定,逆否命題等.分析】分析】分析】分析】利用正弦定理化簡題設(shè)等式,再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理化簡(a-c)(sinA+sinC)=(a-b)sinB,可得(a-c)(a+c)=b(a-b),所以cosC=迸產(chǎn)因為C為三角形內(nèi)角,—兀所以C=—,故答案為:-.3【點睛】本題考查了正,余弦定理在解三角形中的綜合運用,需要學(xué)生熟悉各類公式并合理應(yīng)用.15.(e,+8)【分析】對f(x)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性得出最值，再由函數(shù)f(x)有兩個零點,可知其最小值小于0,代入求解即可.【詳解】由f由f(x)=—-a，得f，(x)=xex(x-1)令f-(x)>0nx>1,令f'(x)<0nx<1,所以f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)單調(diào)遞增,所以f(x)=f(1)=e-a,又因為函數(shù)f(x)=—-a有兩個零點,x所以f(x)=e-a<0,即卩a>e,min故答案為:(e,+8)?

【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點問題,難度不大.解決此類問題一般都是先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,最值等,再結(jié)合具體情況求解.16.、3【分析】利用已知條件畫出圖形,然后過B作BD丄AM于點D，再結(jié)合拋物線的定義和三角形的面積比找到線段比例關(guān)系,從而求解.【詳解】如圖所示:過B作BD丄AM于點D，則BN=MD,根據(jù)拋物線的定義可知:AM=AF，BN=BF,又△MAB的面積是“NAB的面積的3倍，則有AM=3BN,AD=2BN,所以AB二AF+BF二AM+BN二4BN,所以tan/dab所以tan/dab=而二bdJab2_ad2^j3AD所以直線1的斜率為富3,故答案為:J3.【點睛】本題主要考查直線與拋物線的綜合運用,結(jié)合了直線斜率等相關(guān)知識,難度不大.17.[--,17.[--,1)2313-亦、3,_^]討論集合A中二次不等式的兩根的大小關(guān)系進行分類求解，再根據(jù)集合間的關(guān)系對區(qū)間端點進行列式求解即可.【詳解】解：p:xGA,q:xeB,p是q的必要條件，.??A匸B.1(1)當(dāng)°3a+1>2,即a>3時，A={xI2<x<3a+1}.Ia<213-75由A匸B得h+1?a2+2，解得3<°<乙1⑵當(dāng)3a+1二2，即a=3時，A=0,不符合題意,舍去.1(3)當(dāng)3a+1V2，即a<3時，A={x13a+1<x<2}.Ia<3a+111由A-B得|2<a2+2，解得-2<aV3.綜上，實數(shù)a的取值范圍是［-1,|)(3,爭］?U點睛】本題主要考查了分類討論的思想以及集合間的基本關(guān)系,屬于中等題型.18．(1)A分析】(1)由正弦定理,結(jié)合兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知等式，再由sinBMO,可求得cosA=-土,結(jié)合范圍AG(0,n可求A的值;(2)由正弦定理可得a的值，由余弦定理可得bc的值，進而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.詳解】cosCc+2b小cosCsinC+2sinB小sinA⑴由忌=0及正弦定理得硏+=°sinA.sinAcosC+cosAsinC+2cosAsinB=0,從而sin(A+C)+2cosAsinB=°,即sinB+2cosAsinB=0,又ABC中,sinB>0,.?.cosA=2(2)由⑴知A二3兀,..sinA=ABC外接圓半徑為3,由正弦定理得a=由正弦定理得a=2RsinA=2x3<3=3\：3,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，得a2=(b+c)2-2bc+bc,b+c=2、；7,??bc=1,:::ABC的面積S=—bcsinA—xlx=—224【點睛】△本題屬于解三角形的綜合運用,結(jié)合了三角恒等變換的相關(guān)知識,屬于中檔題.19.(1)a=(-2)n,S=-2[l-(-2>](2)證明見解析nn3【分析】(1)利用基本量法求解首項與公比，進而求得a,Snn(2)根據(jù)(1)中所得的S證明2S=S1+S即可.nnn+1n+2【詳解】解：(1)由題意設(shè)等比數(shù)列｛a」的首項為a1,公比為q，則q豐1,則TOC\o"1-5"\h\za(1-q3)6S==-61-qS=叫-q6)=4261-q從而1+q3=-7,即q3=-8,所以q=-2,a1=-2，所以a=(—2》,1n(-2)x[1-(-2》]1-(-2)

一3[1-(-2丄].(2)由(1)知，S+S二一?[1-(-2'+1]-2[1-(-2》+2]二一2[2-(-2》+1-(-2\+2]n+1n+2333二-2[2+2x(-2》-4x(-2》]二-4[1-(-2》]二2S33所以S1,S,S2成等差數(shù)列.1nn+2【點睛】本題主要考查了基本量法求等比數(shù)列通項公式的方法以及數(shù)列求和等.屬于中等題型.20.(1)x+y—2二0(2)當(dāng)a<0時增區(qū)間(0,+^),當(dāng)a>0時增區(qū)間(a,+a)，減區(qū)間(0,a)【解析】試題分析：(1)當(dāng)a=2時，f(x)二x-2lnx,求得切點為A(1,1),f'(x)二1--，求得x斜率為f(1)=-1，故切線方程為y一1=-(x一1)；(2)函數(shù)的定義域為(0,+8),f'(x)二1--二a，當(dāng)a<0時，Tx>0,?：廣(x)>0恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)a>0xx時，f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.試題解析：(1)Va=2f(x)二x一2lnx,.?.f(1)二1-2ln1二1，即A(1,1)2f'(x)=1--,f'(l)=1-2=-1,x由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知所求切線的斜率k=f'(1)=-1,所以所求切線方程為y一1=-(x-1)，即x+y一2=0.ax-a(2)f'(x)=1-_=_xx當(dāng)a<0時，Vx>0,???f'(x)>0恒成立,???f(x)在定義域(0,+8)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時，令f'(x)=0，得x=a,Vx>0,.f'(x)>0,得x>a；f'(x)<0得0<x<a；3333???f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+?)上單調(diào)遞增.考點：導(dǎo)數(shù)與切線、單調(diào)區(qū)間．21.(1)蘭+y2=1(2)-12【分析】⑴設(shè)P(m,n)，根據(jù)題意列出對應(yīng)等式，解方程后即可求得a和b的值，得到橢圓方程；(2)設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理求出中點坐標(biāo)公式，當(dāng)直線的斜率存在時,利用直線的點斜式方程，求得AB的垂直平分線方程，令y=0,求得x,再利用基本不等式即可得解.【詳解】=2c2,c21=2c2,(1)由題知e2==三a2a22設(shè)P(m,n)，又F](-c,0),篤C,0)OP24PF-PF=(12、一c-m,-n)?(c-m,-n)=m2-c2+n2=,4/.c2=1，從而a2=2,b2=1,故橢圓c的方程為y+y2=1；(2)設(shè)直線l的方程為y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2),TOC\o"1-5"\h\zy=kx--/、=0,(iJ4了16=0,聯(lián)立方程:i，消去y得:9k2+Vx2—萬kx-—x2v39聯(lián)立方程:i—+y2=1〔2顯然A>0,???y1+y2又x???y1+y2又x+x又12+x)-2=234k2Ik2+12-23=3(2k2+1),則AB的中點坐標(biāo)為3(爲(wèi)’花知，\丿當(dāng)AB的斜率k為零時AB的垂直平分線為y軸，橫截距為0;TOC\o"1-5"\h\zr、「c112k當(dāng)k豐°時ab垂直平分線的方程為:y+3^力一kx-3fc1)，i丿x_/k、—ii令y_°,x_3(2k2+1)_3"2k+1k當(dāng)k<0時,x_3t2^+1))°，]L_11匕邁當(dāng)k>°時,2k+->2^2，那么x_3■爲(wèi)—1-P,k2k+—k1[2當(dāng)且僅當(dāng)2k_示，即k七時等號成立,所以當(dāng)k_