考研主任2003數(shù)一真題及解析33獲取

年入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試一、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上

1lim(cosx)ln(1x2)曲面zx2y2與平面2x4yz0平行的切平面的方程 設(shè)x2 n0

cosnx(x)，則a2 1 從R的基1,2 到基1,2的過(guò)渡矩陣 0 6x,0xy設(shè)二維 量(X,Y)的概率密度為f(x,y) 其他 則P{XY1}.已知一批零件的長(zhǎng)度X(單位：cmcm)服從正態(tài)分布N(,1)，從中隨機(jī)地抽取16個(gè)零件，得到長(zhǎng)度的平均值為40(cm)，則的置信度為0.95的置信區(qū)間是 (注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975,(1.645)0.95.)yf(x在(,y則f(x)有 設(shè){an},{bn},{cn}均為非負(fù)數(shù)列，且liman0,limbn1,limcn,則必有 立

anbn對(duì)任意n成立 (B)bncn對(duì)任意n 極限 不存在 (D)極限 不存在f(xy在點(diǎn)(00

x0,

f(x,y)(x2y2

點(diǎn)(0,0)f(xy的極值點(diǎn)點(diǎn)(0,0)f(xy的極大值點(diǎn)點(diǎn)(0,0)f(xy的極小值點(diǎn)根據(jù)所給條件無(wú)法判斷點(diǎn)(0,0)f(xy的極值點(diǎn)設(shè)向量組I：1,2,,r可由向量組II：1,2,,s線性表示，則 當(dāng)rs時(shí)，向量組II必線性相關(guān) (B)當(dāng)rs時(shí)，向量組II必線性相關(guān)(C)當(dāng)rs時(shí)，向量組I必線性相關(guān) (D)當(dāng)rs時(shí)，向量組I必線性相關(guān),Ax0Bx0同解，則秩(A)=秩B④若秩(A)=秩(B)，則Ax0與Bx0同解. ① ① ② ③設(shè)隨量X~t(n)(n1),Y

，則 XY~2(n) (B)Y~2(n1)(C)Y~F(n,1) (D)Y~F(1,n)D的面A1 f(x)arctan12xx的冪級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)2n1的和Dxy0x,0y}LD的正向邊界. xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx

xesinydyyesinxdx2L某建筑工程打地基時(shí)，需用汽錘將樁打進(jìn)土層汽錘每次擊打，都將克服土層對(duì)樁的阻力而作功.設(shè)土層對(duì)樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)的深度成正比(比例系數(shù)為k,k0).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)am.根據(jù)設(shè)計(jì)方案，要求汽錘每次擊打樁時(shí)所作的功與前一次擊打時(shí)所作的功之比為常數(shù)r(0r1).問(wèn)(注m表示長(zhǎng)度單位米yy(x)在(,y0xxyyy(x數(shù)xx

d2x(ysinx)(dx

0yy(xdy y(0)0,y(0)3的解2設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)且于零F(t)

f(x2y2z2 ，G(t)

f(x2y2，f(x2y2

f(x2D(t 其中(txyzx2y2z2t2}D(txyx2y2t討論F(t)在區(qū)間(0,)內(nèi)的單調(diào)性2證明當(dāng)t0F(t)2

1A

，P

，B

APB2E2

l1:ax2by3c0，l2:bx2cy3a0，l3:cx2ay3b0試證:abc(10分.(8分2e2(x),xf(x) x其中0是未知參數(shù).XX1X2Xn?min(X1,X2,,Xn求統(tǒng)計(jì)量?F?(x)如果用?作為的估計(jì)量，討論它是否具有無(wú)偏性 入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解一、填空題1ee【詳解】方法1：求limu(x)v(x)型極限，一般先化為指數(shù)limu(x)v(x)limev(x)lnu(然后求limv(xlnu(x) lncos

limlncoslim(cosx)ln(1x)=limeln(1x)ex0ln(1x)而

limlncosxlimln(1cosx1)limcosx1(等價(jià)無(wú)窮小替換ln(1x)xx0ln(1x2 ln(1x2 1 1(等價(jià)無(wú)窮小替換1cosx1x2 e 原式=e2 e12ycosx)ln(1x2)，有l(wèi)nylncos1

2x4yz平面2x4yz0{2,4,zx2y2在點(diǎn)(xyz{z(xyz(xy1}{2x,2y n1n22x02y0 可解得x1y2zx2y2 2(x14y2z502x4yz【答案】f(xx2x 221f(x)xancosnx(xan0f(xcosnxdx21所 a

x2cos2xdx

x2dsin2x

1[x2sin

sin2x 1xdcos2x1[xcos2xcos2xdx] 32【答案】 2

【詳解n維向量空間中，從基1,2,,n到基1,2,,n的過(guò)渡矩陣P12,n]=[1,2,,nP，因此過(guò)渡矩陣P為：P=[1,,,]1[1,2,,2n 1 根據(jù)定義，從R的基1,2 到基1,2的過(guò)渡矩陣0

,] 111= =

1

1 3

1【答案】4 【分析】本題為已知二維隨量(X,Y)的概率密度f(wàn)(x,y)，求滿足一定條件的概率P{g(X,Y)z0}．連續(xù)型二維隨量(X,Y)概率的求解方法 F(x,y)f(u,P{gX,Yz0g(x,【詳解】圖中陰影區(qū)域?yàn)榉e分區(qū)域.

f(xy)dxdyP{XY1}

x

f(x,

y2 2(6x12x)dx

xy

2已知方差21進(jìn)行估計(jì).XN(,1)，設(shè)有 1

XE(XXnXiXN(,)

~N(0,1)X1n ~N1n

D(Xn

u1可確定臨界值uX1nX1n置信區(qū)間(x

,x ) 你考研的超級(jí)班讓考研更輕松 問(wèn)題． 上已經(jīng)求出的置信區(qū)間(x ,x

)P{Uu1 2【詳解】方法1：由題設(shè)，10.95，可見 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知分位u4040 X1n

本題n16,x40

P{39.5140.490.95，故的置信度為0．95的置信區(qū)間是(39.51,40.49)2：由題設(shè)，10.95P{Uu}P{uUu}2(u)10.95,(u) 查得2

1.96.將1，n16,x40代入(x2

,xu

)得置信區(qū)n二、選擇題【答案】yy3個(gè)(導(dǎo)函x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù))x0是導(dǎo)數(shù)f(x共有兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)，應(yīng)選【答案】【詳解】方法1：推理由題設(shè)limbn ，假 存在并記為A， limcn

li

A,這與limc，故假設(shè)不成立，limbc不存在．所 n n 選項(xiàng)(D正確．方法2：排除法a1，bn1，滿足lima0limb1,a1,b0,ab，A n n 取bn1cn2limb1limc,而b01c(B n n a1cn2，滿足lima0limc,而limac1(C n n nn【答案】(【詳解】由 f(x,y)xy1f(x,y)xy(1)(x2y2)2，其中l(wèi)im0x0,y0(x2y2 f(xy在點(diǎn)(0,0)f(00)0yxxx0f(xyx21)(2x220yxxx0f(xyx21)(2x2故點(diǎn)(0,0)不是f(x,y)的極值點(diǎn)，應(yīng)選(A) 【分析】本題為一 上均有的比較兩組向量個(gè)數(shù)的定理：若向量組I：1,2關(guān)，則必有rs．可見正確選項(xiàng)為(D)．本題也可通過(guò)舉反例用排除法找到答案． 112，則10101線性無(wú)關(guān)，排除 0 1,21，則1,211線性無(wú)關(guān)，排除 0 0 112，112線性表示，但1 0 1【詳解若AX 與BX0同解則它們的解空間中的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)相同即n秩An-秩B),得秩(A)=秩B)，命題③成立，可排除(A 與BX0同解，通過(guò)舉一反例證明 若A ，B ，則秩(A)=秩(B)=1，但AX 與BX 題④不成立，排除(D).故正確選項(xiàng)為【答案】 量Z 服從自n2Z2

X2XiX2/t分布：設(shè)X1N(0,1)，X2~2(n)且X1,X2相互獨(dú)立，則 量ZX2/服從自n的t分布．記Z F分布：設(shè)X2(n),Y2(n),且X,Y相互獨(dú)立，則隨量Z

n1服F分布，其第一、二自由度分別為n1n2ZF(n1n2Tt(n，則有T2F(1n1FF(n1n2FF(n2n1UVnUVn先由t分布的定義知X t(n)，其中U~N(0,1),V~2(n)，于 Y = X U U1分母中只含有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的平方，所以U2~2(1).F分布的定義知Y~故應(yīng)選三【分析】圓錐體體積公式：V1r2h3b連續(xù)曲線yf(x)，直線xa、xb所圍成的圖形繞直線xx0旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積V f(x)x2dxb d連續(xù)曲線xg(x)，直線yc、yd所圍成的圖形繞直線yy0旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積V g(y)y2dyd 在點(diǎn)(x0lnx0yln

1(xx01，由于該切線過(guò)原點(diǎn)，將(0,0)點(diǎn)代入切線方程，得ln0

10x0e.y1x.)A1(eyey)dy1e ：kaoyan33，：kaoyan33，獲 考研咨詢，免費(fèi)獲 資yy1掃掃 研 Ve1(eey)2dy1e2 V1(eey)2dy1(e22eeye2y0 0(e2y2e

1e2y1 1

1e22e) )

e2

1(ee

)2dy

12e f(x)a(xx 收斂區(qū)間為(x0Rx0Rxx0Rf(x(左)xx0Rxx0Rf(x(左)連12x 2(12x)2(111f(x)1 2

1

1 1

112x1 2 2(14x2) 14x2 14x2

11

11

1xx2xnxn (1x1)1x 2 nn 所 14x2(4x)(1)4 14x (把x換成4x

nn

1, f(x)

1

(1)4x

x2

x xf(t)dt (1)n4ntxf(x)f(0)

nnx (1)n4n 12(1)

tdt

2n

,x ,)24

xf(t)dt=

(1)n

10f(x)f(0)0

4

2n

,x

, 21 (1)n4n 1 arctan12x4

2n

,x ,2

(1)n在x2處，右邊級(jí)數(shù)成為2n 1 處而在x 處右邊級(jí)數(shù)雖然收斂但左邊函數(shù)f 1 ,]2 為了求2n1x2代入(*) f()2

44

2n

22n1]

42n1f1)02(1)n

f(1)n02n 五【詳解】(1)方法1：用公式證明.由曲線為正向封閉曲線，自然 P所 xesinydyyesinxdx所 xesinydyyesinxdx

(esinyesinxDD(esinyesinxDD(esinyesinx

x與y (esinyesinx xesinydyyesinxdx xesinydyyesin 方法2：化為定 右邊xesinydyyesinxdxesinydy0esinxdx=(esinx 所 xesinydyyesinxdx xesinydyyesinxdx (2)方法1：用公式證DxesinydyyesinxdxD

(esinyesinx esinydxdyesinxdxdyesinxdxdye =(esinxesinx)dxdy2dxdy2 (ab2aba0,b0L 2：由(1)xesinydyyesinxdx(esinxesinx)dx2dx2L xn，第n次擊打時(shí)，汽錘所作的功為Wn(n1,2,3,)．由題設(shè)，當(dāng)樁被打進(jìn)x W1kxdxx2，W 2kxdx(x2x2)，W 3kxdx(x2x2)， 2

2 從 WWWk 2 WrW，WrWr2W 從 kx2WWW(1rr2)W(1r2kr)2 1r于 1rxnkxdxWWW(1r W1

akxdx

所 kx20(1r2 2 111r從 x111r1由于0r1，所以lim 1n d2 d2七(1)dydy2xydxdx2

d2

d(dx)=d(1)dx=

1 dy=

dy

dy

dx

y2

( yysin (*(2)方程(*)所對(duì)應(yīng)的齊次方程為yy0，特征方程為r210，根r 通解為YCexCex.由于i不是特征方程得根，所以設(shè)方程(*)的特解為 y*AcosxBsin y*AsinxBcosx，y*AcosxBsin AcosxBsinxAcosxBsinx2Acosx2BsinxsinA0,B1y*1sinx.yysinx yYy*CexCex

1sin 由y(0)0,y(0)3，得C 1．故變換后的微分方程滿足初始條 y(0)0,y(0)32yexex1sin2y(xy(xexex1cosx0y02 f(x2y2z2)dv2ddtf(r2)r2sindr2sindtf (t2f(r2)r2drcos4f(r2 f(x2y2)d2dtf(r2)rdr2tf(r

D(t2ddtf(r2)r2

4tf(r2)r2

F(t)

f(r)r 2dtf(r2

2f(r

tf(r2 t2f(t2)tf(r2)rdrtf(r2)r2drf(t2

tf(t2)tf(r2)r(tF(t) 00[tf(r2 [tf(r200.bf(x0，則af(x)dx0.F(t0F(t在區(qū)間(0,bt因 t

f(x2)dx2tf(x2)dx2tf(r2)dr f(x2y2 G(t)D(t

2

f(r2

f(r2tf(x2 2tf(r2 tf(r2 要證明t0F(t)G(t，只需證明t0F(tG(t)0 2tf(r F(t)

G(t)

)rdr20f(r tf(r2 tf(r2 0 0 02tf(r2)r2drtf(r2)drtf(r2 0 0 0 tf(r2)rdr tf(r2 令g(t)tf(r2)r2drtf(r2)drtf(r2) 令 g(t)f(t2)t2tf(r2)drf(t2)tf(r2)r2dr2f(t2)ttf(r f(t2)tf(r2)(tr)2dr0

t2)20，從而t0

F(t)

與特征向量，最終根據(jù)B2EA*2E相似求出其特征值與特征向量．【詳解】方法1：經(jīng)計(jì)算A*

，P1

1

5

0

0

1 0所 B

AP

，B2E

4

3

5 E(B2E)

(9)2(3)0B2E的特征值為1293當(dāng)129時(shí)，解(9EA)x01,0, 1,0, 1所以屬于特征值129

k,kk

1 2 1 2 1當(dāng)33時(shí)，解(3EA)x0， 所以屬于特征值3k

k

k01 3 3 12：A的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量為A．由A70，所以所 A*A

AEA*A

AEA*(A)

AAA*()AA*AA* A于 B(P1)P1A*P(P1)

(P1)AAA(B2E)P1A

AA

EA值為121,3

(1)27A的特 當(dāng)1時(shí)，對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)特征向量可取為 ，0 當(dāng)37時(shí)，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為3P1

0

1

，P

，P

1 10 1 kP1kP

k, 1 2 kP1

11

3 增廣矩陣的秩均為2．【詳解】方法1：“必要性”.設(shè)三條直線l1l2l3交于一點(diǎn)，則線性方程ax2by

2cy cx2ay

2A A

A A

3a

c

3(ca (abc)

6(abc) 6(abc) c a a b

6(abc)c aa b6(abc)[(cb)(bc)(ab)(a6(abc)(bcc2b2bca2acab6(abc)(a2b2c2acab3(abc)[(ab)2(bc)2(ca)2由于三條直線互不相同，所以(ab)2bc)2ca)20AabcA“充分性”.由abc0，則從必要性的證明可知 0，故秩(A) 2b2(acb2)2[a(ab)b2]=2[(