算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)2

課題:教學目的:算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)（2）1?進一步掌握均值不等式定理；2一會應用此定理求某些函數(shù)的最值；3.能夠解決一些簡單的實際問題.教學重點：均值不等式定理的應用教學難點：解題中的轉化技巧授課類型：新授課課時安排：1課時教具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：重要不等式：如果a,bgR,那么a2+b2>2ab（當且僅當a=b時取"="號）定理：如果a,b是正數(shù)，那么<a^b>Jab（當且僅當a=b時取"="號）.我們稱<a^b為a,b的算術平均數(shù)，稱如ab為a,b的幾何平均數(shù)a2+b2>2ab和生+^>Jab成立的條件是不同的：前者只要求a,b都TD\bD是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù).“當且僅當”的含義是充要條件?TD\bD3.均值定理的幾何意義是“半徑不小于半弦”,以長為a+b的線段為直徑作圓，在直徑AB上取點C,使-ab\B.1IAC=a,CB=b過點C作垂直于直徑AB的弦DD',那么AaCD2=CA-CB，即CD=Jaba+b一，，、一，一a+b、■—r\B.1這個圓的半徑為卡一，顯然，它不小于CD，即節(jié)一>^ab，其中當且僅當點C與圓心重合；即a=b時，等號成立二、講解新課：a2+b2a+b1公式的等價變形：abW—-—，abW()2-+aN2(ab>0)，當且僅當a=b時取"=”號;ab3.定理：如果a,b,cgR+，那么a3+b3+c3>3abc(當且僅當a=b=c時取“二”)證明：?「a3+b3+c3—3abc=(a+b)3+c3—3a2b-3ab2—3abc=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)[a2+2ab+b2-ac-bc+c2-3ab]=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=2(a+b+c)[(a-b)2+(b一c)2+(c-a)2]?「a,b,cgR+「.上式巳0從而a3+b3+c3>3abc指出：這里a,b,cgR+若a+b+c<0就不能保證（此公式成立的充要條件為a+b+c>0）.4.推論：如果a,b,cgR+,那么a+；+c>壬abc（當且僅當a=b=c時取“=”）證明：（&'a）3+（3b）+（3.：c）3>33a-vb?3：cna+b+c>33abcn"+；+'>3abc5.關于“平均數(shù)”的概念如果a,a，…，agR+,n>1且ngN+貝上“i+"2+一七^叫做這n12nn個正數(shù)的算術平均數(shù)；n%a2...an叫做這n個正數(shù)的幾何平均數(shù)推廣：“i*a2+——■匕巳n；aa…angN*,agR+,1<i<nn'12ni語言表述：n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)上述重要不等式有著廣泛的應用，例如：證明不等式，求函數(shù)最值，判斷變量或數(shù)學式子的取值范圍等等,它們涉及到的題目活，變形多，必須把握好湊形技巧,今天，我們就來進一步學習均值不等式的應用，三、講解范例：例1已知a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2>ab+bc+ca證明：,「a2+b2>2abb2+c2>2bcc2+a2>2ca以上三式相加：2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2caa2+b2+c2>ab+bc+ca例2已知a,b,c,d都是正數(shù)，求證：(ab+cd)(ac+bd)>4abcd分析：此題要求學生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運用，同時加強對均值不等式定理的條件的認識.證明:Va,b,c,d都是正數(shù)，「.ab>0，cd>0，ac>0，bd>0.得ab+c^>福每>0,竺+竺孕亦>0.22由不等式的性質定理4的推論1，得(ab+cd)(ac+bd)二>abcd.4即(ab+cd)(ac+bd)>4abcd點評：用均值不等式證明題時，要注意為達到目標可先宏觀，而后微觀；均值不等式在運用時，常需先湊形后運用；均值不等式和不等式的基本性質聯(lián)合起來證題是常用的行之有效的方法.例3某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學問題轉化，即建立函數(shù)關系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理?解：設水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得l=240000+720(x+^600)x>240000+720x2■x-1600\x=240000+720x2x40=297600當x=1600，即x=40時,l有最小值2976000.

因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.評述：此題既是不等式性質在實際中的應用，應注意數(shù)學語言的應用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質在求最值中的應用，應注意不等式性質的適用條件，我們應用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理（即均值不等式）順利解決了本章引例中的問題,用均值不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：（1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù);（2）建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；（3）在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；（4）正確寫出答案，四、課堂練習：811-已知X/0，當X取什么值時，X2+的值最小?最小值是多少?X2TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"8181分析：注意到X2+是和的形式，再看X2?=81為定值，從而可求X2X2和的最小值.\o"CurrentDocument"8181，81解：x/0nX2>0—>0,..X2+—N2「x2,=18，X2X2X281解：x/0nX2>0即x=+3時取"=”號,當且僅當X2=X281即x=+3時取"=”號,故x=±3時，X2+的值最小，其最小值是18*X22.一段長為Lm的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？分析：均值不等式在實際問題中的應用相當廣泛，解題過程中要（1）先構造定值，（2）建立函數(shù)關系式，（3）驗證“=”號成立，（4）確定正確答案.解法一：設矩形菜園的寬為xm，則長為（L—2X）m，其中0<x<1，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1/2x+L—2x、L其面積S=x(L—2x)=w?2x(L—2x)W耳()2=~\o"CurrentDocument"228當且僅當2x=L—2x，即x=；時菜園面積最大，即菜園長=m，寬為丁424m2.Lm時菜園面積最大為虧8m2.L—x一一解法二：設矩形的長為xm,則寬為m,面積x+L—xTOC\o"1-5"\h\zx(L—x)(\X?v'L—x)2(2)2L2(m2)■S==W=一2228L(m2)■當且僅當x=L-x,即x=^(m)時，矩形的面積最大,也就是菜園的長L2m2.,L、，L,—，D,，一為；m,寬為*L2m2.\o"CurrentDocument"248設0<x<2，求函數(shù)f(x)=.(3x(8—3x)的最大值，并求出相應的x值.分析：根據(jù)均值不等式：燦<竺了，研究^3x(8-3x)的最值時，一…1「…、要考慮3x與8-3x是否為正數(shù)；二要考查式子5：3x+(8-3x)］是否為定值，解：?..0<x<2,...3x>0，8—3x>0■————-—-3x+(8—3x)f(x)=*3x(8—3x)W=4〔24當且僅當3x=8—3x時，即x=3時取"=”號.4故函數(shù)f(x)的最大值為4,此時x=3.五、小結：本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關系定理及其推廣的幾個重要不等式順利解決了函數(shù)的一些最值問題在解決問題時，我們重點從以下三個方面加以考慮：一是均值不等式成立的條件(各因式或項都取正值)；二是合理尋求各因式或項的積或和為定值；三是確定等號能夠成立,只有這樣，我們才能在分析具體問題的特點的過程當中合理運用公式的適當形式和具體方式，解決某些函數(shù)的最值問題六、課后作業(yè)：1解答下列各題：3求函數(shù)y=2x2+—(x>0)的最小值.x1求函數(shù)y=x2+(x>0)的最小值.x43求函數(shù)y=3x2—2x3(0<x<3)的最大值.求函數(shù)y=x(1—x2)(0<x<1)的最大值.b2.■-——(5)設a>0,b>0,且02+5=1，求相1+b2的最大值.分析：我們來考慮運用正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)之間的關系來解答這些問題.根據(jù)函數(shù)最值的含義，我們不難發(fā)現(xiàn)若平均值不等式的某一端為?！唬?，，一，?、、?,一,，，?—，,，a+b、.——數(shù)，則當?shù)忍柲軌蛉〉綍r，這個常數(shù)即為另一端的一個最值如飛一>^ab,若ab為常數(shù)k,則當且僅當a=b時，a+b就有最小值2、/k；若a+b為常數(shù)s,則當且僅當a=b時,ab就有最大值!s(或xy有最大值!S2).因此，解TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"24決這些問題的關鍵就是如何構造這些“定和”或“定積”.解：(1)?.?x>02x2>0，—>0,Ay=2x2+—=2x2+1N3?3'~\o"CurrentDocument"xx2x2xV2當且僅當2x2=二，即x=3《時等號成立2xv4：1,'9故當x=3項時，y有最小值3?3'~■\o"CurrentDocument"421x2x21，1⑵>=x2+m=t+t+m-龍4，x21當且僅當。=3即x=±6時，等號成立.故當x=±思時，y有最小值3&3(3)...0<x<5.3—2x>02x+x+3—2x.?.y=x2(3—2x)=x?x?(3—2x)W(z)3=1當且僅當x=3—2x即x=1時，等號成立..「0<x<1.1—x2>0..?y2=X2(1—X2)2=!?2X2(1—X2)(1—X2)W^(3)3=蘭22327當且僅當2X2=1—X2即X=M時，等號成立，容4「?當乂=二廠時，y2有最大值萬■2*由題意可知：y>0,故當x=-廠時，y有最大值一b2，.，a>0，b>0，且a2—=11b2v21b2、3*2+—W——(a2++)=「，22224HbHb2當且僅當a="+-<3，靈即a=?-，b=刁-時取"=”號.如3七'2.，—3*2故當a=乙廠，b=二廠時，a,：1+b2有最大值=一.評述：用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應注意考查下列三個條件：（1）函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；（2）函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；（3）函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值-即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等.若不滿足這些條件，則不能直接運用這種方法如下面的幾例均為錯誤的解法：（1）Vy=x+1N2,.y的最小值為2錯誤的原因是，當x<0時，就不能x運用公式.事實上，當x<0時，y<0，故最小值不可能為2（2）?.?y=3x2+—=2x2+x2+—巳3史2，「.y的最小值為332.其錯誤的X4X4原因是忽視等號成立條件的研究，事實上等號成立的條件為2X2=X2=然這樣的X不存在，故y沒有最小值，1一，

⑶?.?y=x(1—x+x*['+(1一'+'2)]—V)當且僅當x=1—x+x2即x=1時等號成立?.?.當x=1時，y有最大值為11+X21原因是忽視等號成立條件的研究，事實上等號成立的條件為2X2=X2=然這樣的X不存在，故y沒有最小值，此種解法的錯誤在于「一不是定值,顯然當x越大時，「一也越大，故y無最大值-2,如圖，為處理含有某種雜質的污水，要制造一個泌研底寬2米的無蓋長方體的沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質的質量份數(shù)與a、b的乘積/………頃ab成反比?現(xiàn)有制箱材料60平方米，問a、b各為多少近米時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質的質量份數(shù)最?。ˋ、B孔面積忽略不計）.分析：應用題的最值問題，主要是選取適當?shù)淖兞?，再依?jù)題設，建立數(shù)學模型（即函數(shù)關系式），由變量和常量之間的關系，選取基本不等式求最值k解法一：設y為流出的水中雜質的質量份數(shù)，根據(jù)題意可知：y=7，其ab中k>0且k是比例系數(shù).依題意要使y最小，只需求ab的最大值.由題設得：4b+2ab+2a=60（a>0，b>0）即a+2b+ab=30（a>0，b>0）?..a+2bN2?v；2ab..2<2rab+abW30當且僅當a=2b時取"=”號，ab有最大值..?.當a=2b時有2甘2-Jab+ab=30,即b?+2b—15=0解之得：q=3，b2=—5（舍去）「.a=2b=6故當a=6米，b=3米時經(jīng)沉淀后流出的水中雜質最少.解法二：設y為流出的水中雜質的質量份數(shù)，由題意可知：4b+2ab+2a=60（a>0，b>0）30-a?a+2b+ab=30（a>0，b>0）,.b=（0<a<30）2+ak由題設：y=p，其中k>0且k是比例系數(shù)，依題只需ab取最大值.abkabk30a-a22+a—a+32—64a+234—,c、64(a+2)+——a+2k_k:64=-1834-2■(a+2)x—Va+2..?當且僅當a+2=-6^時取"=”號，即a=6,b=3時ab有最大值18a+2故當a=6米，b=3米時經(jīng)沉淀后流出的水